1、理科数学 5.3立体几何中的向量方法高频考点高频考点探究突破探究突破预测演练预测演练巩固提升巩固提升高频考点探究突破命题热点命题热点 一一用空间向量证明空间的平行与垂直用空间向量证明空间的平行与垂直【思考】【思考】如何用空间向量证明空间的平行与垂直如何用空间向量证明空间的平行与垂直?例例1已知直三棱柱已知直三棱柱ABC-A1B1C1中中,ACBC,D为为AB的中点的中点,AC=BC=BB1.求证求证:(1)BC1AB1;(2)BC1平面平面CA1D.证明证明:如图如图,以以C1为原点为原点,C1A1,C1B1,C1C所在直线分别为所在直线分别为x轴、轴、y轴、轴、z轴建立空间直角坐标系轴建立空
2、间直角坐标系.由由AC=BC=BB1,设设AC=2,则点则点A(2,0,2),B(0,2,2),C(0,0,2),A1(2,0,0),B1(0,2,0),C1(0,0,0),D(1,1,2).因此因此BC1平面平面CA1D.不妨令不妨令x=1,则则y=-1,z=1,n=(1,-1,1).又又BC1在平面在平面CA1D外外,BC1平面平面CA1D.题后反思题后反思1.用空间向量证明空间中的平行关系用空间向量证明空间中的平行关系:(1)设直线设直线l1和和l2的方向向量分别为的方向向量分别为v1和和v2,则则l1l2(或或l1与与l2重重合合)v1v2.(2)设直线设直线l的方向向量为的方向向量为
3、v,与平面与平面共面的两个不共线向量共面的两个不共线向量v1和和v2,则则l或或l 存在两个实数存在两个实数x,y,使使v=xv1+yv2.(3)设直线设直线l的方向向量为的方向向量为v,平面平面的法向量为的法向量为u,则则l或或l vu.(4)设平面设平面和和的法向量分别为的法向量分别为u1,u2,则则u1u2.2.用空间向量证明空间中的垂直关系用空间向量证明空间中的垂直关系:(1)设直线设直线l1和和l2的方向向量分别为的方向向量分别为v1和和v2,则则l1l2v1v2 v1v2=0.(2)设直线设直线l的方向向量为的方向向量为v,平面平面的法向量为的法向量为u,则则lvu.(3)设平面设
4、平面和和的法向量分别为的法向量分别为u1和和u2,则则u1u2u1u2=0.对点训练对点训练1在直三棱柱在直三棱柱ABC-A1B1C1中中,ABC=90,BC=2,CC1=4,点点E在线段在线段BB1上上,且且EB1=1,D,F,G分别为分别为CC1,C1B1,C1A1的中点的中点.求证求证:(1)B1D平面平面ABD;(2)平面平面EGF平面平面ABD.证明证明:(1)以以B为坐标原点为坐标原点,BA,BC,BB1所在直线分别为所在直线分别为x轴、轴、y轴、轴、z轴建立空间直角坐标系轴建立空间直角坐标系,如图如图.则点则点B(0,0,0),D(0,2,2),B1(0,0,4),设设BA=a,
5、则点则点A(a,0,0),即即B1DBA,B1DBD,又又BABD=B,因此因此B1D平面平面ABD.即即B1DEG,B1DEF,又又EGEF=E,因此因此B1D平面平面EGF.结合结合(1)可知平面可知平面EGF平面平面ABD.命题热点命题热点 二二利用空间向量求空间角利用空间向量求空间角【思考】【思考】如何用空间向量求空间角如何用空间向量求空间角?例例2如如图图,直四棱柱直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面的底面是菱形是菱形,AA1=4,AB=2,BAD=60,E,M,N分别分别是是BC,BB1,A1D的中点的中点.(1)证明证明MN平面平面C1DE;(2)求二面角求二面角A-MA1-
6、N的正弦值的正弦值.(1)证明证明:连接连接B1C,ME.因为因为M,E分别为分别为BB1,BC的中点的中点,因此四边形因此四边形MNDE为平行四边形为平行四边形,MNED.又又MN 平面平面EDC1,所以所以MN平面平面C1DE.(2)解解:由已知可得由已知可得DEDA.以以D为坐标原点为坐标原点,的的方向为方向为x轴正方向轴正方向,建立如图所示的建立如图所示的空间直角坐标系空间直角坐标系D-xyz,题后反思题后反思用空间向量求空间角的方法用空间向量求空间角的方法:设直线设直线l1,l2的方向向量分别为的方向向量分别为a,b,平面平面,的法向量分别为的法向量分别为n,m.对点训练对点训练2如
7、如图图,正方形正方形CDEF所在平面与等腰梯形所在平面与等腰梯形ABCD所所在平面互相垂直在平面互相垂直,已知已知ABCD,AB=2AD,BAD=60.(1)求证求证:平面平面ADE平面平面BDE;(2)求平面求平面ABF与平面与平面BDE所成锐二面角的余弦值所成锐二面角的余弦值.(1)证明证明:平面平面CDEF平面平面ABCD,平面平面CDEF平面平面ABCD=CD,DECD,DE平面平面ABCD,DEBD.在在ABD中中,AB=2AD,BAD=60,由余弦定理由余弦定理,得得BD=AD,AB2=AD2+BD2,ADB=90,即即BDAD.AD 平面平面ADE,DE 平面平面ADE,ADDE
8、=D,BD平面平面ADE.又又BD 平面平面BDE,平面平面ADE平面平面BDE.(2)解解:四边形四边形ABCD是等腰梯形是等腰梯形,BAD=60,又由又由(1)知知ADB=90,CBD=CDB=30,AD=BC=CD.以以D为坐标原点为坐标原点,分别以分别以DA,DB,DE所在直线作为所在直线作为x轴、轴、y轴、轴、z轴建立空间直角坐标系轴建立空间直角坐标系,对点训练对点训练3(2020全国全国,理理20)如如图图,已知三棱柱已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形的底面是正三角形,侧面侧面BB1C1C是矩形是矩形,M,N分别为分别为BC,B1C1的中点的中点,P为为AM上一点上一点
9、,过过B1C1和和P的平面交的平面交AB于于E,交交AC于于F.(1)证明证明AA1MN,且且平面平面A1AMN平面平面EB1C1F;(2)设设O为为A1B1C1的中心的中心,若若AO平面平面EB1C1F,且且AO=AB,求求直线直线B1E与平面与平面A1AMN所成所成角角的的正弦值正弦值.(1)证明证明:因为因为M,N分别为分别为BC,B1C1的中点的中点,所以所以MNCC1.又由已知得又由已知得AA1CC1,故故AA1MN.因为因为A1B1C1是正三角形是正三角形,所以所以B1C1A1N.又又B1C1MN,故故B1C1平面平面A1AMN.所以平面所以平面A1AMN平面平面EB1C1F.由由
10、(1)知平面知平面A1AMN平面平面ABC.作作NQAM,垂足为垂足为Q,则则NQ平面平面ABC.又又n=(0,-1,0)是平面是平面A1AMN的法向量的法向量,命题热点命题热点 三三用空间向量求空间中的距离用空间向量求空间中的距离【思考】【思考】如何用空间向量求空间中的距离如何用空间向量求空间中的距离?例例3如图如图,在四棱锥在四棱锥P-ABCD中中,底面底面四边形四边形ABCD是正方形是正方形,侧面侧面PDC是边长为是边长为a的正的正三三角角形形,且侧面且侧面PDC底面底面ABCD,E为为PC的的中点中点.(1)求异面直线求异面直线PA与与DE所成角的余弦值所成角的余弦值;(2)求点求点D
11、到平面到平面PAB的距离的距离.解解:如图如图,取取DC的中点的中点O,连接连接PO,PDC为正三角形为正三角形,PODC.又侧面又侧面PDC底面底面ABCD,PO底面底面ABCD.如如图建立空间直角坐标系图建立空间直角坐标系O-xyz.则点则点D到平面到平面PAB的的距离距离 题后反思题后反思求空间中距离的方法求空间中距离的方法:(1)直线到平面的距离、两平行平面间的距离均可转化为点直线到平面的距离、两平行平面间的距离均可转化为点到平面的距离到平面的距离.(3)设直线设直线n的方向向量为的方向向量为n,直线直线n与异面直线与异面直线a,b都垂直都垂直,A是是直线直线a上任一点上任一点,B是直
12、线是直线b上任一点上任一点,则异面直线则异面直线a,b的距离的距离对点训练对点训练4如图如图,在四棱锥在四棱锥P-ABCD中中,PA底面底面ABCD,ABAD,AB+AD=4,CD=,CDA=45.(1)求证求证:平面平面PAB平面平面PAD.(2)设设AB=AP.若直线若直线PB与平面与平面PCD所成的角为所成的角为30,求线段求线段AB的长的长;在线段在线段AD上是否存在一个点上是否存在一个点G,使得点使得点G到点到点P,B,C,D的的距离都相等距离都相等?说明理由说明理由.(1)证明证明:因为因为PA平面平面ABCD,AB 平面平面ABCD,所以所以PAAB.因为因为ABAD,PAAD=
13、A,所以所以AB平面平面PAD.又又AB 平面平面PAB,所以平面所以平面PAB平面平面PAD.(2)解解:以以A为坐标原点为坐标原点,建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系A-xyz,如图如图.在在平面平面ABCD内作内作CEAB交交AD于点于点E,则则CEAD.在在RtCDE中中,DE=CDcos 45=1,CE=CDsin 45=1.设设AB=AP=t,则点则点B(t,0,0),P(0,0,t).由由AB+AD=4,得得AD=4-t,所以点所以点E(0,3-t,0),C(1,3-t,0),D(0,4-t,0),假设在线段假设在线段AD上存在一个点上存在一个点G,使得点使得点G到点到点P,B
14、,C,D的的距离都相等距离都相等.设设G(0,m,0)(其中其中0m4-t),由由消去消去t,化简得化简得m2-3m+4=0.因为方程因为方程没有实数根没有实数根,所以在线段所以在线段AD上不存在一个点上不存在一个点G,使得点使得点G到点到点P,C,D的距离都相等的距离都相等.从而从而,在线段在线段AD上不存在一个点上不存在一个点G,使得点使得点G到点到点P,B,C,D的的距离都相等距离都相等.预测演练巩固提升1.在直三棱柱在直三棱柱ABC-A1B1C1中中,BCA=90,M,N分别是分别是A1B1,A1C1的中点的中点,BC=CA=CC1,则则BM与与AN所成角的余弦值所成角的余弦值为为()
15、C解析解析:如图如图,以点以点C1为坐标原点为坐标原点,C1B1,C1A1,C1C所在的直线分别所在的直线分别为为x轴、轴、y轴、轴、z轴轴,建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系,不妨设不妨设BC=CA=CC1=1,可知点可知点2.已知两平面的法向量分别为已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面则两平面所成二面角的大小所成二面角的大小为为_.45或或135两平面所成二面角为两平面所成二面角为45 或或135.3.在底面是菱形的四棱锥在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中中,ABC=60,PA=PC=1,PB=PD=,点点E为线段为线段PD上一点上一点,且且PE=2E
16、D,则点则点P到到平面平面ACE的距离的距离为为_.解析解析:连接连接AC,BD交于点交于点O,连接连接OP,以以OB,OC,OP所在直线分所在直线分别为别为x轴、轴、y轴、轴、z轴轴,建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系,设设AB=2a,4.(2020全国全国,理理18)如图如图,D为圆锥的顶点为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆是圆锥底面的圆心心,AE为底面直径为底面直径,AE=AD.ABC是底面的内接正三角形是底面的内接正三角形,P为为DO上一点上一点,PO=DO.(1)证明证明PA平面平面PBC;(2)求二面角求二面角B-PC-E的余弦值的余弦值.(1)证明证明:设设DO=a,由题设可由题设
17、可得得 因此因此PA2+PB2=AB2,从而从而PAPB.又又PA2+PC2=AC2,故故PAPC.所以所以PA平面平面PBC.5.如图如图,ADBC且且AD=2BC,ADCD,EGAD且且EG=AD,CDFG且且CD=2FG,DG平面平面ABCD,DA=DC=DG=2.(1)若若M为为CF的中点的中点,N为为EG的中点的中点,求证求证:MN平面平面CDE;(2)求二面角求二面角E-BC-F的正弦值的正弦值;(3)若点若点P在线段在线段DG上上,且直线且直线BP与与平面平面ADGE所成的角为所成的角为60,求求线段线段DP的长的长.(3)设线段设线段DP的长为的长为h(h0,2),则点则点P的坐标为的坐标为(0,0,h),
