1、 三轮冲刺：三角形综合（一） 1已知ABC是等腰三角形，CACB，0ACB90，点M在边AC上，点N在边BC 上（点M，N不与所在线段端点重合），BNAM，连接AN，BM，射线AGBC，延长BM交 射线AC于点D，点E在直线AN上，且AEDE （1）如图，当ACB90时，请直接写出BCM与ACN的关系： ；BD与DE 的位置关系： （2）当ACB，其他条件不变时，BDE的度数是多少？（用含 的代数式表示） （3）若ABC是等边三角形，AB3，N是BC边上的三等分点，直线ED与直线BC交 于点F，求线段CF的长 2在ABC和DBE中，CACB，EBED，点D在AC上 （1）如图 1，若ABCDB
2、E60，求证：ECBA； （2）如图 2，设BC与DE交于点F当ABCDBE45时，求证：CEAB； （3）在（2）的条件下，若 tanDEC时，求的值 3如图，在ABC中，ABAC，BAC45，BDAC于点D，AEBC于E交BD于F （1）求证：AFBC； （2）如图 1，连结DE，问ED是否为AEC的平分线？请说明理由 （3）如图 2，Q为AB的中点，连结QD交AF于R，用等式表示AR与CE的数量关系，并 给出证明 4如图 1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交y轴、x轴于点A（0，a），点B（b，0）， 且a、b满足a24a+4+0 （1）求a，b的值； （2）以AB为边作 RtABC，
3、点C在直线AB的右侧且ACB45，求点C的坐标； （3）若（2）的点C在第四象限（如图 2），AC与x交于点D，BC与y轴交于点E，连接 DE，过点C作CFBC交x轴于点F 求证CFBC； 直接写出点C到DE的距离 5如图，平面直角坐标系中，A（0，a）、B（b+1，0），且a、b满足a210a+25 0 （1）求A、B两点的坐标； （2）过点O的直线l上有一点C，连接AC、BC，ACB90，如图 2，当点C在第二象 眼时，BC交y轴于点E，延长AC交x轴于点D，设OD的长为m，AE的长为d，用含m的 式子表示d； （3）在（2）的条件下，如图 3，当点C在第一象限时，过点B作BFBC交OC于
4、点F， 连接AF，若OFCF，AC2，求BC的长 6如图 1，在平面直角坐标系中，A（5，0），B（0，5），C（2，0），连接AB （1）点C关于AB的对称点C1的坐标为 ； （2）如图 2，D为第一象限内一点，CDBC于点C，ADAB于点A，求点D坐标； （3）E为x轴负半轴上一动点，连接BE，在x轴下方作EFBE于点E，并且EFBE， 连接FC，直接写出当CF最短时点E的坐标 7已知，直线AB分别交x、y轴于A（a，0）、B（0，b）两点，并满足+|a8|0， 若点C、D、E分别在线段AB、OA、OB上，且ADAC，BEBC （1）求线段AB的长； （2）如图 1，若点C为AB的中点，连
5、结CD、CE、DE，试判断CDE的形状并说明理由； （3）如图 2，过点D作DFCD交CE的延长线于点F，若点F（m，m），请求出此时C 点的坐标 8已知在平面直角坐标系中A（0，a），且满足a24a+40，P（3，3），且PAPB （1）如图 1，求B的坐标； （2）如图 2，若A点运动到A1位置，B点运动到B1位置，保持PA1PB1，求OB1OA1的 值； （3）若Q是线段AB上一点，C为AQ中点，作PRPQ，PRPQ，连BR，判定线段BR与 PC的关系，并加以证明 9如图，等腰ABC中，BABC，AO3CO6动点F在BA上以每分钟 5 个单位长度的速 度从B点出发向A点移动，过F作FEB
6、C交AC边于E点，连结FO、EO设F点移动的 时间为t （1）求A、B两点的坐标； （2）计算：当EFO面积最大时，t的值； （3）在（2）的条件下，边BC上是否还存在一个点D，使得EFDFEO？若存在，请 直接写出D点的坐标；若不存在，试说明理由 10如图 1，在平面直角坐标系xOy中，A（a，0），B（0，b），C（a，0），且 （1）求证：ABC90 （2）ABO的平分线交x轴于点D，求D点的坐标 （3）如图 2，在线段AB上有两动点M、N满足MON45，求证：BM2+AN2MN2 参考答案 1解：（1）BCMACN，BDDE，理由如下： 如图 1： CACB，BNAM， CBBNCAA
7、M 即CNCM， 在BCM和ACN中， BCMACN（SAS） MBCNAC， EAED， EADEDA， AGBC， GACACB90，ADBDBC， ADBNAC， ADB+EDANAC+EAD， ADB+EDA1809090， BDE90， BDDE 故答案为：BCMACN，BDDE； （2）如图 2 中，当点E在AN的延长线上时， 同（1）得：BCMACN（SAS） CBMCAN， AGBC， CBMADBCAN，ACBCAD， EAED， EADEDA， CAN+CADBDE+ADB， BDEACB 如图 3 中，当点E在NA的延长线上时， 则1+2180EDA180EADCAN+D
8、AC， 2ADMCBDCAN， 1CADACB， BDE180 综上所述，BDE 或 180 （3）ABC是等边三角形， ACBCAB3， 如图 4 中，当BNBC时， 作AKBC于K ADBC， ， ADBC， AC3，DACACB60， ADC是直角三角形，则四边形ADCK是矩形， AKDC，AKNDCF90， AGBC， EADANK，EDADFC， AEDE， EADEDA， ANKDFC， 在AKN和DCF中， AKNDCF（AAS）， CFNKBKBN 如图 5 中，当CNBC时， 作AKBC于K，DHBC于H ADBC， 2， AD2BC6， 则ACD是直角三角形，ACKCDH，
9、 则CHAK， 同得：AKNDHF（AAS）， KNFH， CFCHFH4 综上所述，CF的长为或 4 2（1）证明：CACB，EBED，ABCDBE60， ABC和DBE都是等边三角形， ABBC，DBBE，A60 ABCDBE60， ABDCBE， ABDCBE（SAS） AECB； （2）证明：ABCDBE45，CACB，EBED， ABC和DBE都是等腰直角三角形， CAB45， ， ， ABCDBE， ABDCBE， ABDCBE， BADBCE45， ABC45， ABCBCE， CEAB； （3）解：过点D作DMCE于点M，过点D作DNAB交CB于点N， ACB90，BCE45，
10、 DCM45， MDCDCM45， DMMC， 设DMMCa， a， DNAB， DCN为等腰直角三角形， DNDC2a， tanDEC， ME2DM， CEa， ， CEDN， CEFDNF， 3证明：（1）ABAC，BAC45， ACBABC67.5， BAC45，BDAC， BACABD45， ADBD， AEBC， C+EAC90，C+CBD90， EACCBD，且ADBD，ADFBDC90， AFDBCD（AAS） AFBC； （2）ED为AEC的平分线， 理由如下：如图 1，过点D作DMBC于M，过点D作DNAE于N， AFDBCD， SAFDSBCD， AFDNBCDM， DND
11、M，且DMBC，DNAE， DE平分AEC； （3）ARCE， 理由如下：如图 2，连接BR，CR， ADBD，ADB90，点Q是AB是中点， AQBQAB，ABBD，QDAB， ARBR， ABAC，AEBC， BEECBC，BAECAE22.5， BRCR， ARCRBR， RACRCA22.5， ERC45，且AEBC， ERCECR45， RCECAR 4解：（1）， ， （a2）20， a20，2b+20， a2，b1； （2）由（1）知a2，b1， A（0，2），B（1，0）， OA2，OB1， ABC是直角三角形，且ACB45， 只有BAC90或ABC90， 、当BAC90时，如
12、图 1， ACBABC45， ABCB， 过点C作CGOA于G， CAG+ACG90， BAO+CAG90， BAOACG， 在AOB和BCP中， ， AOBCGA（AAS）， CGOA2，AGOB1， OGOAAG1， C（2，1）， 、当ABC90时，如图 2， 同的方法得，C（1，1）； 即：满足条件的点C（2，1）或（1，1） （3）如图 3，由（2）知点C（1，1）， 过点C作CLy轴于点L，则CL1BO， 在BOE和CLE中， ， BOECLE（AAS）， BECE， ABC90， BAO+BEA90， BOE90， CBF+BEA90， BAECBF， 在ABE和BCF中， ，
13、ABEBCF（ASA）， BECF， ； 点C到DE的距离为 1 如图 4，过点C作CKED于点K，过点C作CHDF于点H， 由知BECF， BEBC， CECF， ACB45，BCF90， ECDDCF， DCDC， CDECDF（SAS）， BAECBF， CKCH1 5解：（1）a210a+250， （a5）2+0， a50，b40， 解得，a5，b4， A（0，5），B（5，0）； （2）ACB90，AOB90， DAO+ADOCBD+ADO90， DAOCBD， 在ADO和BEO中， ， ADOBEO（ASA）， OEOD， AE5OE，即d5m； （3）过点O作OMAC于M，ONC
14、B交延长线于点N，过点B作BKCF于K，过点F作 FQAC于Q， AMOONB90， 四边形AOBC的内角和为 360，AOB90，ACB90， OAC+OBC180， OBC+OBN180， OAMOBN 在OAM和OBN中， ， OAMOBN（AAS） OMON， MCOBCO45， BFBC， CBF90， CFB45， BKF90，KFKC，KBFKBC45 KFKCKB， OFCF， OFBK， AOF+FOBFOB+KBO90， AOFOBK， 在AOF和OBK中， AOFOBK（SAS） AFOBKO90， AFC90，FAC45， AQCQ，AFQCFQ45， FQFBCQBC
15、， BCAC 6解：（1）ACOAOC523， AOB90，OAOB， BAO45， 点C1是点C关于AB的对称点， AC1AC3，ACC145， CAC190， 点C1的坐标为（5，3）， 故答案为：（5，3）； （2）作DEx轴于E， BAO45，ADAB， DAE45， AEDE， CDBC，BOC90， OBCECD，又BOCCED90， BOCCED， ，即， 解得，AE2， OEOA+AE7， 则点D的坐标为（7，2）； （3）作FHx轴于H， 设OEx， BEEF，BOE90， OBEHEF， 在OBE和HEF中， ， OBEHEF（AAS） HFOEx，EHOB5， CH52x
16、3x， 由勾股定理得，CF， 当x1.5 时，CF最小， 此时点E的坐标为（1.5，0） 7解：（1）+|a8|0， b60，a80， a8，b6， A（8，0），B（0，6）， AB10 （2）如图 1，过点C作CGOA于G， C为AB的中点，ADAC，BEBC， ADACBEBC5， OE1，CG3，DG1，OD3， 即OEDG，ODCG， 又CGDEOD90， EODDGC（SAS）， EDDC，EDODCG， 又DCG+CDG90， EDO+CDG90 EDC90， CDE为等腰直角三角形 （3）ADAC，BEBC， BCEBEC，ACDADC， 又ABO+BAO90， BCE+ACD
17、（36090）135， FCD45， 又DFCD， CDF为等腰直角三角形， CDDF， 过点F作FMx轴于点M，过点C作CN轴x于点N，连接OF、OC， CNDFMD90，CDNDFM， FMDDNC（AAS）， FMDN，DMCN， F（m，m）， FMOM， 由CNMDOD+OMOD+FMOD+DNON， 即ONCN， SAOBOACN+OBON（OA+OB）ON24， ON， C（，） 8解：（1）a24a+40， （a2）20， a2， A（0，2）， OA2， 过P（3，3）点作PMOB于M，PNy轴于N，如图 1 所示： 则四边形PMON是正方形， ANPBMPMPN90，PNP
18、MONOM3， ANONOA321，APN+APMBPM+APM， APNBPM， 在PAN和PBM中， PANPBM（ASA）， PAPB，BMAN1， OBOM+BM3+14， B（4，0）； （2）由（1）得PAPB， 又APBA1PB190， APA1BPB1， PAO+PBO360AOBAPB3609090180，PBB1+PBO 180， PAOPBB1， 在PAA1和PBB1中， PAA1PBB1（ASA）， AA1BB1， OB1OA1OB+BB1（AA1OA）OB+OA4+26； （3）BR2PC，BRPC，理由如下： 延长PC到S，使PCCS，连接AS，如图 3 所示： 在
19、ACS和QCP中， ACSQCP（SAS）， ASPQPR，SQPC， ASPQ， SAP+APQ180， 又RPB+APQAPB+APR+APQ180， SAPRPB， 在ASP和PRB中， ASPPRB（SAS）， BRPS2PC，APSPBR， 又APS+BPS90， BPS+PBR90， BRPC 9解：（1）CO2， C（2，0） 又AO3OC6， A（0，6）， 可设BOx，且x0； 则：BC2（2+x）2，AB2AO2+OB236+x2； 又BCAB， （2+x）236+x2，故：x8， B（8，0）； （2）过F点作FKBC于K， 可设F点移动的时间为t，且 0t2， 则：BF
20、5t，TOFK3t； AT63t， 又FEBC， AFEABC， 而AOBC交EF于T，则：， ， 即：EF105t， 故：SEFOEFTO（105t）3t， 即：SEFO（t2）t， 当t1 时，EFO的面积达到最大值； （3）在（2）的基础上，E、F分别是AC、AB的中点， 若使D为BC的中点时， 又， FOED，EOFD，EFFE， EFDFEO（SSS）， C（2，0），B（8，0） D（3，0） 故：存在满足条件的D点，其坐标为（3，0） 10解：（1）4b+40， +（b2）20， 则a2，b2， OAOBOC， ABC90； （2）如图 1，过点D作DEAB于E， OAOB2， AB2， BD平分ABO， ODDE， 设ODx， SAOBOAOBSOBD+SABD， 222x+2x， 解得：x22， D（22，0）； （3）证明：如图 2，过点O作OEOM，并使OEOM，连接AE、NE， AOB90，MOE90， MOBAOE， 在MOB和EOA中， ， MOBEOA（SAS）， BMAE，OBMOAE， NAE90， AE2+AN2EN2， 在MON和EON中， ， MONEON（SAS）， MNNE， BM2+AN2MN2
