1、不等式不等式的的性质和一元二次不等式性质和一元二次不等式 题型一：不等式性质 典例典例 1 1、 已知已知a，b，c满足满足abc， 且， 且0ac， 则下列选项中不能恒成立的是 （， 则下列选项中不能恒成立的是 （ ） A A ab cc B B0 bc a C C0 ca ac D D 22 ba cc 答案：答案： D 解析：解析： 由a，b，c满足a bc ，且 0ac ，可得 a0c，而 b 与 0 的大小关系不 确定，即可判断出结论 【详解】abc，且0ac， a0c，而 b 与 0 的大小关系不确定 ,0,0 bcab c a ac c ac 均正确，而 2 b c 与 2 a
2、c 的大小关系不确定 故选：D 【点睛】 本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 典例典例 2 2、若若0ab, ,则下列不等式恒成立的是则下列不等式恒成立的是（ ） A A 11 ab B Bab C C 22 ab D D 33 ab 答案：答案： D 解析：解析： 0ab 设 1,1ab 代入可知 , ,A B C均不正确 对于D，根据幂函数的性质即可判断正确 故选 D 题型二：一元二次不等式 典例典例 1 1、不等式不等式 11 0 23 xx 的解集为（的解集为（ ） A A 11 | 32 xx B B 1 | 2 x x C C 1 | 3 x x D
3、D 11 | 32 x xx 或 答案：答案： A 解析：解析： 利用一元二次不等式的解法即可得出 11 0 23 xx 11 0 23 xx 解得： 11 32 x，即不等式 11 0 23 xx 的解集为 11 | 32 xx 故选：A 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题，易错点是忘记把二次项系数 化“+ 典例典例 2 2、一元二次不等式一元二次不等式 2 320 xx的解集是的解集是_ 答案答案： |1x x 或 2x 解析解析： 2 320 xx ，( 1)(2)0 xx ， 解得1x或2x ，故不等式 2 320 xx的解集是 |1x x或2x 典例典例 3 3、若若
4、01a，则不等式，则不等式 2 1 ()10 xax a 的解集是的解集是_._. 答案：答案： 1 a a ， 解析：解析： 通过 a 的范围判断两个因式的根的大小，利用二次不等式的解法得到结果即可 【详解】 原不等式可化为（xa） （x 1 a ）0 的解集， 又01a，a 1 x a 即不等式的解集为： 1 a a ， 故答案为： 1 a a ， 【点睛】本题考查二次不等式的解法，考查转化思想以及计算能力 题型三、分式不等式 典例典例 1 1、不等式不等式 1 0 2 x x 的解集为的解集为_._. 答案：答案： ( 2, 1 解析解析： 把分式不等式转化为整式不等式，然后求解。 原不
5、等式可化为 (1)(2)0 20 xx x ，21x 。原不等式解集为( 2, 1 。 故答案为：( 2, 1 。 【点睛】本题考查分式不等式的求解，解分式不等式一般要把不等式一边化为 0，另一 边只有一个分式，然后把分式不等式转化为整式不等式求解，同时要注意分母不为 0， 否则会出错。 典例典例 2 2、不等式不等式 2 1 x 的解集是的解集是_ 答答案：案： (,0)(2,) 解析：解析： 由 2 1 x 可得 2 0 x x ,结合分式不等式的求法即可求解 【详解】 由 2 1, x 可得 2 0, x x ， 整理可得， 2 0, x x ，解可得，(,0)(2,)x 故答案为：(,
6、0)(2,) 【点睛】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础试题 典例典例 3 3、不等式不等式 1 2 32 x x 的解集是的解集是_._. 答案：答案： 2 1 3 xx 解析：解析： 由分式不等式解法即可求解. 【详解】 由 1 2 32 x x ，可得 1 20 32 x x 55 0 32 x x 55 055320 32 x xx x 解得 2 1 3 x， 所以不等式的解集为 2 1 3 xx 故答案为： 2 1 3 xx 【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，属于基础题 题型三：求参数范围 典例典例 1 1、若关于若关于x的不等式的不等式 2 0 xxa的解为一切实数，则实
7、数的解为一切实数，则实数a的取值范围是的取值范围是 _._. 答案：答案： 1 4 a 解析：解析： 关于x的不等式 2 0 xxa 的解为一切实数，从而方程 2 0 xxa 的判别 式 1 40a ，由此能求出实数a的取值范围 【详解】 解：关于x的不等式 2 0 xxa的解为一切实数， 方程 2 0 xxa的判别式1 40a ，解得 1 4 a 实数a的取值范围是 1 , 4 【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查根的判别式等基础知识，考查运算求解 能力，考查函数与方程思想，是基础题 典例典例 2 2、已知关于已知关于x的不等式的不等式 2 230axxa在在 0,2上有解，则实数上有
8、解，则实数a的取值范围是的取值范围是 （ ） A.A. 3 , 3 B.B. 4 , 7 C.C. 3 3 ,+ D.D. 4 , 7 答案答案 ： A 解析：解析： 将不等式化为 3 2 a ax x ，讨论 0a 、 0a 和 0a 时，分别求出不等式成立 时a的取值范围即可 0,2x时，不等式可化为 3 2 a ax x ； 当0a时，不等式为02，满足题意； 当0a时，不等式化为 32 x xa ，则 23 22 3x ax ，当且仅当 3x 时取等号， 所以 3 3 a ，即 3 0 3 a； 当0a 时， 32 x xa 恒成立； 综上所述，实数a的取值范围是 3 (,) 3 答案
9、选 A 【点睛】本题考查不等式与对应的函数的关系问题，含参不等式分类讨论是求解时常用 方法 典例典例 3 3、若关于若关于 x x 的不等式的不等式 2 (2)2(2)40axax的解集是的解集是 R,R,则实数则实数 a a 的取值范的取值范 围是围是_._. 答案：答案： ( 2,2 解析：解析： 对 x 2的系数分类讨论：当 a2 时，直接得出；当 a2 时，根据二次函数的图 象性质，得到关于 a 的不等式组，解出即可 【详解】 当 a2 时，不等式化为40 对于任意实数 x 都成立，因此 a2 满足题意； 当 a2 时，要使关于 x 的不等式（a2）x 2+2（a2）x40 的解集为
10、R， 则 2 20 421620 a aa ，化为 2 220 a aa ， 解得2a2.2.故答案为（2，2 【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，考查二次函数的图象与性质、分类讨论的基 础知识与基本技能方法，属于基础题 跟踪训练跟踪训练 1 1、关于关于x的不等式的不等式 2 420 xx的解集为的解集为_ 答案：答案： ( 6,7) 解析：解析： 先将不等式转化为二次项系数大于零的不等式，再采用十字相乘法进行求解即 可 【详解】 22 4204207606,7xxxxxxx 故答案为：( 6,7) 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，在二次项系数大于 0 的前提下遵循“大于取 两边，小
11、于取中间”原则，属于基础题 2 2、下列结论正确的是（下列结论正确的是（ ） A.A.若若acbc，则，则ab B.B.若若 22 ab，则，则ab C.C.若若ab, ,0c，则，则acbc D.D.若若a b，则，则ab 答案：答案： D 解析：解析： 对于 A 项，考查的是不等式的性质，当c大于零时才行，所以 A 不对，对于 B 项，结论应该为 ab ，故 B 项是错的，对于 C 项，应该是不等式的两边同时加上一 个数，不等号的方向不变，故 C 错，对于 D 项涉及到的是不等式的乘方运算性质，只有 D 对，故选 D考点：不等式的性质 3 3、若若ab c、 、是任意实数，则是任意实数，则
12、 （ ） A A若若ab，则，则acbc B B若若 ab cc ，则，则ab C C若若 33 ab 且 且0ab，则，则 11 ab D D若若 22 ab且且0ab，则，则 11 ab 答案：答案： C 解析：解析： A. 如果 0c ，ac bc 显然不成立；B. 0c ，命题错误；C.利用作差法比较 即得大小；D.举反例判断得解. 【详解】 A.如果0c，acbc显然不成立，所以该命题是假命题； B.如果0c，则ab，所以该命题是假命题； C.因为 33 ab，所以a b，因为0ab，所以 11 0 ba abab ，所以 11 ab ，所以该 命题是真命题； D.如果 2,1ab
13、，则 11 ab ，所以该命题是假命题. 故选：C 【点睛】 本题主要考查不等式的基本性质的应用，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知 识的理解掌握水平. 4 4、已知关于已知关于x的一元二次不等式的一元二次不等式 2 20axbx的解集为的解集为 , 21, ，则，则 a b _ 答案：答案： 0 解析：解析： 根据不等式与对应的方程之间的关系,结合根与系数的关系,求出 , a b的值,即可 计算 a b的值 解：关于x的不等式 2 20axbx的解集为 , 21, , 关于x的方程 2 20axbx=0 的两个实数根为2和1. 由根与系数的关系,得： 2 11 2 2 12 b a a
14、 , 解得 1 1 a b 1 10a b 故答案为：0 【点睛】 本题考查一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的根的关系， 用不等式的解求参 数是解题的关键. 5 5、若不等式若不等式 2 0axbxc的解集是的解集是 23xx ，则不等式，则不等式 2 0cxbxa的解集为的解集为 （ ） A A 11 32 ， B B 1 1 3 2 ， C C 11 23 ， D D 11 23 ， 答案：答案： A 解析：解析： 由题可得 2,3 为 2 0axbxc 的两根,利用韦达定理算出 , ,a b c 的关系式,再将 , ,a b c 换成同一参数再求 2 0cxbxa 的根即可. 【
15、详解】 因为不等式 2 0axbxc的解集是 23xx , 故0a且 2,3 为 2 0axbxc的两根. 根据韦达定理有 235 2 36 b a c a ,故 5 6 ba ca ,故 2 0cxbxa可写成 2 650axaxa,因为0a所以 2 6510(21)(31)0 xxxx 解得 1 3 x 或 1 2 x ,即x 11 32 ， 故选：A. 【点睛】二次不等式的解集的端点值为二次函数的零点,注意二次函数开口方向影响不 等式的取值在区间内还是区间外. 6 6、若关于若关于 x x 的不等式的不等式 2 (2)2(2)40axax的解集是的解集是 R,R,则实数则实数 a a 的
16、取值范围是的取值范围是 _._. 答案：答案： ( 2,2 解析：解析： 对 x 2的系数分类讨论：当 a2 时，直接得出；当 a2 时，根据二次函数的图 象性质，得到关于 a 的不等式组，解出即可 【详解】 当 a2 时，不等式化为40 对于任意实数 x 都成立，因此 a2 满足题意； 当 a2 时，要使关于 x 的不等式（a2）x 2+2（a2）x40 的解集为 R， 则 2 20 421620 a aa ， 化为 2 220 a aa ，解得2a2.2.故答案为（2，2 【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，考查二次函数的图象与性质、分类讨论的基 础知识与基本技能方法，属于基础题 7 7
17、、若关于若关于 x x 的不等式的不等式 x x 2 2- -mx+4 mx+40 0 在在 x1x1，33上有解，则实数上有解，则实数 m m 的取值范围为（的取值范围为（ ） A A,5 B B,5 C C,4 D D, 44, 答案：答案： A 解析：解析： 由题意可得 mx+ 4 x在 x1，3上能成立设 f（x）=x+ 4 x，求出函数 f（x） 在 x1，3上的最大值，可得 m 的范围 【详解】 解：关于 x 的不等式 x 2-mx+40 在 x1，3上有解， 即 mx+ 4 x 在 x1，3上能成立 设 f（x）=x+ 4 x ，则 f（x）在（0，2上单调递减，在2，+）上单调
18、递增， 故当 x=2 时，f（x）取得最小值 4， 又 f（1）=5，f（3）= 13 3 ，故当 x=1 时，函数 f（x）取得最大值 则实数 m5，故选：A 【点睛】本题考查了含有参数的一元二次不等式在某一闭区间上有解的应用问题，考查 构造法以及转化思想的应用是基本知识的考查，属于中档题 8 8、函数函数 2 1f xmxmx，对于一切实数，对于一切实数 ,0 x f x 恒成立，则恒成立，则m的取值范围是的取值范围是 （ ） A A4,0 B B , 4 C C4,0 D D , 40 答案：答案： C 解析：解析： 对m分两种情况讨论，结合二次函数的图象分析得解. 【详解】 当=0m时
19、，10 恒成立；当0m时，由题得 2 0 40 m mm ， 所以40m .综上：40m .故选：C 【点睛】本题主要考查二次不等式的恒成立问题，意在考查学生对该知识的理解掌握水 平. 9 9、解关于解关于x的不等式的不等式 2 22axxax aR. . 答案答案： 当0a时，不等式的解集为|1x x ； 当0a时，不等式的解集为 2 |x x a 或1x ； 当20a 时，不等式的解集为 2 |1xx a ； 当2a 时，不等式的解集为 1； 当2a时，不等式的解集为 2 | 1xx a . 试题分析：试题分析：将原不等式因式分解化为210axx，对参数a分 5 种情况讨论： 0a，0a，
20、20a ，2a ，2a，分别解不等式 【详解】 解：原不等式可化为 2 220axax，即210axx， 当0a时，原不等式化为10 x ，解得1x， 当0a时，原不等式化为 2 10 xx a ， 解得 2 x a 或1x， 当0a 时，原不等式化为 2 10 xx a . 当 2 1 a ，即2a时，解得 2 1x a ； 当 2 1 a ，即2a 时，解得1x满足题意； 当 2 1 a ，即20a 时，解得 2 1x a . 综上所述，当0a时，不等式的解集为|1x x ； 当0a时，不等式的解集为 2 |x x a 或1x ； 当20a 时，不等式的解集为 2 |1xx a ； 当2a
21、 时，不等式的解集为 1； 当2a时，不等式的解集为 2 | 1xx a . 【点睛】本题考查含参不等式的求解，求解时注意分类讨论思想的运用，对a分类时要 做到不重不漏的原则，同时最后记得把求得的结果进行综合表述. 1010、设集合设集合 2 |10Ax axax ，若，若 A A 为空集，则实数为空集，则实数a的取值范的取值范围是（围是（ ） A A( 4,0) B B( 4,0 C C 4,0) D D 4,0 答案：答案： D 解析：解析： 分 0,0aa 两种情况分类讨论， 0a 时符合题意， 0a 时只需满足 0 0 a 即可求解. 【详解】 当0a时，原不等式为10 ，A 为空集；
22、 当0a时，因为 A 为空集 所以 2 10axax 无解， 只需满足 2 0 40 a aa ，解得40a ， 综上实数a的取值范围是 4,0 .故选：D 【点睛】 本题主要考查了一元二次不等式的解为空集，分类讨论的思想，属于中档题. 1111、对一切对一切R， 2 1 3sincos 2 mm恒成立，则实数恒成立，则实数m的取值范围是（的取值范围是（ ） A A 1 1 , 3 2 B B 1 2 1 , 3 C C 1 1 , 2 3 D D 11 , 23 答案：答案： B 解析：解析： 先求得sin cos 的取值范围，根据恒成立问题的求解策略，将原不等式转化为 2 11 3 22
23、mm ，再解一元二次不等式求得m的取值范围. 解：对一切R， 2 1 3sincos 2 mm恒成立，转化为： 2 1 3sincos 2 m m 的 最大值，又R知 11 1 sincossin2, 22 2 ，sin cos的最大值为 1 2 ；所以 2 11 3 22 mm，解得 1 3 m 或 1 2 m .故选：B. 【点睛】本小题主要考查恒成立问题的求解策略，考查三角函数求最值的方法，考查一 元二次不等式的解法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 1212、记不等式记不等式 2 60 xx的解集为的解集为A，函数，函数 lgyxa的定义域为的定义域为B，若若AB， 则实数则实数a的取值范的取值范围为围为_._. 答案：答案： 3a 解析：解析： 解出集合A、B，再由 AB 可得出实数a的取值范围. 【详解】 解不等式 2 60 xx得32x ，则 3,2A ， 由0 xa，得xa，则,Ba. AB，所以，3a，因此，实数a的取值范围是, 3 ，故答案为：, 3 . 【点睛】 本题考查利用集合的包含关系求参数的取值范围， 同时也涉及了二次不等式的解法和对 数函数的定义域，考查计算能力，属于中等题.
