1、立体几何中的体积问题立体几何中的体积问题 题型一：锥体、柱体的表面积与体积 典例典例 1 1、已知圆锥的母线长是已知圆锥的母线长是 1010，侧面展开图是半圆，则该圆锥的侧，侧面展开图是半圆，则该圆锥的侧面积为面积为 _._. 典例典例 2 2、 如图， 在三棱柱的侧棱如图， 在三棱柱的侧棱 1 A A和和 1 B B上各有一动点上各有一动点P，Q且满足且满足 1 APBQ， 过， 过P， Q，C三点的截面把棱柱分成两部分，则四棱锥三点的截面把棱柱分成两部分，则四棱锥CABQP与三棱柱与三棱柱 111 ABCABC的的 体积比为体积比为_._. 题型二：与球有关的体积问题 典例典例 1 1、在
2、九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑在九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑. .已知在鳖已知在鳖 臑臑MABC中中MA 平面平面ABC，2MAABBC，则该鳖臑的外接球与内切球的，则该鳖臑的外接球与内切球的 表面积之和为（表面积之和为（ ） A A 124 2 B B 123 2 C C 244 2 D D 248 2 . 典例典例 2 2、已知三棱锥已知三棱锥SABC，SA平面平面 ABCABC， 6 ABC ，3SA，1BC ，直线，直线 SBSB 和平和平面面 ABCABC 所成的角大小为所成的角大小为 3 . .若三棱锥若三棱锥SABC的四个顶点都在同一
3、球面上，则的四个顶点都在同一球面上，则 该球的表面积为该球的表面积为_._. 典例典例 3 3、已知三棱锥已知三棱锥DABC的外接球的表面积为的外接球的表面积为128，4,4 2ABBCAC， 则三棱锥则三棱锥DABC体积的最大值为（体积的最大值为（ ） A A 27 32 B B10 8 6 3 C C16 6 3 D D 32 216 6 3 题型三：求体积题型三：求体积 典例典例 1 1、如图，三棱柱如图，三棱柱 ABCABCA A1 1B B1 1C C1 1各条棱长均为各条棱长均为 4 4，且，且 AAAA1 1平面平面 ABCABC，D D 为为 AAAA1 1的中点，的中点， M
4、 M，N N 分别在线段分别在线段 BBBB1 1和线段和线段 CCCC1 1上，且上，且 B B1 1M M3BM3BM，CNCN3C3C1 1N N， （1 1）证明：平面）证明：平面 DMNDMN平面平面 BBBB1 1C C1 1C C； （2 2）求三棱锥）求三棱锥 B B1 1DMNDMN 的体积的体积 题型四：点面距离题型四：点面距离 典例典例 1 1、棱长为棱长为 2 2 的正方体的正方体 1111 ABCDABC D中，中，M M 是是 1 AA的中点，的中点，N N 是是 1 CC的中点，则 的中点，则 1 B到平面到平面 MNBMNB 的距离为（的距离为（ ） A A 2
5、 6 3 B B 6 3 C C6 D D2 6 典例典例 2 2、在四棱锥在四棱锥PABCD中，平中，平面面PAD 平面平面ABCD，2PAPD，四边形，四边形 ABCD是边长为是边长为 2 2 的菱形，的菱形，60DAB，E是是AD的中点的中点. . （）求证：）求证：BE 平面平面PAD； （）求点）求点E到平面到平面PAB的距离的距离. . 跟踪训练跟踪训练 1 1、如图，用小刀切一块长方体橡皮的一个角，在棱如图，用小刀切一块长方体橡皮的一个角，在棱AD、 1 AA、AB 上的截点分别是上的截点分别是 E E、F F、G G，则截面，则截面EFG（ ） A A一定是等边三角形一定是等边
6、三角形 B B一定是一定是钝角三角形钝角三角形 C C一定是锐角三角形一定是锐角三角形 D D一定是直角三角一定是直角三角形形 2 2、已知直三棱柱已知直三棱柱 111 ABCABC的各顶点都在同一球面上，若的各顶点都在同一球面上，若1ABAC， 1 2AA ， 120BAC，则此球的表面积等于，则此球的表面积等于_._. 3 3、已知矩形已知矩形ABCD，1AB ，3BC ，将，将ADC沿对角线沿对角线AC进行翻折，得到三进行翻折，得到三 棱锥棱锥DABC，则在翻折的过程中，有下列结论正确的有，则在翻折的过程中，有下列结论正确的有_._. 三棱锥三棱锥DABC的体积的最大值为的体积的最大值为
7、 1 3 ； 三棱锥三棱锥DABC的外接球体积不变；的外接球体积不变； 三棱锥三棱锥DABC的体积最大值时，二面角的体积最大值时，二面角DACB的大小是的大小是 6060； 异面直线异面直线AB与与CD所成角的最大值为所成角的最大值为 90.90. 4 4、已知正三棱柱已知正三棱柱 111 ABCABC的所有棱长都为的所有棱长都为 3 3，D是是 11 BC的中点，的中点，E是线段是线段 1 AD上上 的动点的动点. .若三棱锥若三棱锥EABC的四个顶点都在球的四个顶点都在球O的球面上， 则球的球面上， 则球O表面积的取值范围为表面积的取值范围为 （ ） A A 21 8 , 2 B B 27
8、3 16 , 16 C C 273 ,21 16 D D16 ,21 5 5、设三棱锥设三棱锥PABC的每个顶点都在球的每个顶点都在球O的球面上，的球面上，PAB是面积为是面积为3的等边三角的等边三角 形，形，45ACB，则当三棱锥，则当三棱锥PABC的体积最大时，球的体积最大时，球O的表面积为的表面积为_._. 6 6、菱形菱形ABCD的边长为的边长为 2 2，现将，现将 ACD沿对角线 沿对角线AC折起使折起使 ACDACB平面平面 ， 求此时所成空间四面体体积的最大值（求此时所成空间四面体体积的最大值（ ） A.A.16 3 27 B.B. 5 3 9 C.1C.1 D.D. 3 4 7
9、 7、在直三棱柱在直三棱柱 111 ABCABC中，中，90BAC且且 1 4BB ，设其外接球的球心为，设其外接球的球心为 O O，已，已 知三棱锥知三棱锥 O O- -ABCABC 的体积为的体积为 2 2，则球，则球 O O 的表面积的最小值是的表面积的最小值是_。 8 8、如图正方体如图正方体 1111 ABCDABC D的棱长为的棱长为1，E、F、G，分别为，分别为BC、 1 CC、 、 1 BB的的 中点中点. .则则下列命题：下列命题：直线直线 1 AG与平面与平面AEF平行；平行；直线直线 1 DD与直线与直线AF垂直；垂直；平平 面面AEF截正方体所得的截面面积为截正方体所得
10、的截面面积为 9 8 ；点点C与点与点G到平面到平面AEF的距离相等；的距离相等；平平 面面AEF截正方体所得两个几何体的体积比为截正方体所得两个几何体的体积比为 7 17 . .其中正确命题的序号为其中正确命题的序号为_._. 9 9、 如图， 在四棱锥如图， 在四棱锥PABCD中， 底面中， 底面ABCD为菱形，为菱形，2AB , , 0 60BAD， 面， 面PAD 面面ABCD, ,PAD为等边三角形，为等边三角形，O为为AD的中点的中点 (1)(1)求证：求证：AD 平面平面POB； (2)(2)若若E是是PC的中点，求三棱锥的中点，求三棱锥PEDB的体积的体积 1010、已知正四棱
11、锥已知正四棱锥PABCD的全面积为的全面积为 2 2，记正四棱锥的高为，记正四棱锥的高为 h h （1 1）用）用 h h 表示底面边长，表示底面边长，并求正四棱锥体积并求正四棱锥体积 V V 的最大值；的最大值； （2 2）当）当 V V 取最大值时，求异面直线取最大值时，求异面直线 ABAB 和和 PDPD 所成角的所成角的正切值正切值 . 1111、 如图， 在棱长为如图， 在棱长为 1 1 的正方体的正方体 1111 ABCDABC D中， 点中， 点M在在 1 AD上移动上移动， 点， 点N在在BD 上移动，上移动， 1 02DMDNaa，连接，连接MN. . （1 1）证明：对任）
12、证明：对任意意0, 2a，总有，总有/MN平面平面 11 DCC D； （2 2）当）当M为为 1 AD中点时，求三棱锥中点时，求三棱锥CMND的体积的体积 12、如图，如图，AB是圆柱的直径且是圆柱的直径且 2AB ，PA是圆柱的母线且是圆柱的母线且2PA，点点C是圆柱底是圆柱底 面圆周上的点面圆周上的点. . （1 1）求三棱锥）求三棱锥PABC体积的最大值；体积的最大值； （2 2）当二面角）当二面角PBCA的大小为的大小为 3 时，求点时，求点C到平面到平面PAB的距离；的距离； （3 3）若）若1AC ，D是是PB的中点，点的中点，点E在线段在线段PA上，求上，求CEED的最小值的最小值. . 1 13 3、 如图， 四棱锥如图， 四棱锥SABCD中， 底面中， 底面ABCD为正方形，为正方形，SA面面ABCD，3AB ，4SA. . （1 1）求异面直线）求异面直线SC与与AD所成角；所成角； （2 2）求点）求点B到平面到平面SCD的距离的距离. .
