1、第 1 页，共 17 页 2020 中考复习二次函数中的最值问题（中考复习二次函数中的最值问题（2） 姓名：_班级：_考号：_ 一、选择题 1. 关于二次函数 = 32 6，下列叙述正确的是 ( ) A. 当 = 3时，y 有最大值6 B. 当 = 3时，y有最小值6 C. 当 = 0时，y有最大值6 D. 当 = 0时，y 有最小值6 2. 已知二次函数 = ( 1)2+ ( 0)有最大值1 2，则 a，b 的大小比较为( ) A. B. C. = D. 不能确定 3. 已知一个三角形的面积 S与底边 x的关系是 = 2 2 + 6，要使 S 有最小值，则 x 的值为( ) A. 1 B.
2、2 C. 1 D. 5 4. 有 x人结伴去旅游共需支出 y元，若 之间满足关系式 = 22 20 + 1050， 则当人数 x 为( )时，总支出最少。 A. 2 人 B. 5 人 C. 10人 D. 15 人 5. 已知拋物线 = 1 3 2 + 2，当1 5时，y的最大值是( ) A. 2 B. 2 3 C. 5 3 D. 7 3 6. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于(1,12)和(6,2)两点，点 P 是线段 AB 上 一动点(不与 A，B 重合)，过 P 点分别作 x轴和 y 轴的垂线 PC，PD交反比例函数 图象于点 M，N，则四边形 PMON面积的最大值是( ) A. 12
3、.5 B. 12.25 C. 14 D. 12 7. 如图，点 C是线段 AB 上的一动点， = 1，分别以 AC 和 CB为一边作正方形， 用 S 表示这两个正方形的面积之和， 下列判断正确的是( ) 第 2 页，共 17 页 A. 当 C是 AB的中点时，S 最小 B. 当 C 是 AB 的中点时，S 最大 C. 当 C 是 AB 的三等分点时，S 最小 D. 当 C是 AB的三等分点时，S 最大 8. 已知二次函数 = ( )2(为常数)，当自变量 x的值满足2 5时，与其对 应的函数值 y的最大值为1，则 h 的值为( ) A. 3 或 6 B. 1 或 6 C. 1或 3 D. 4
4、或 6 9. 如图，抛物线 = 2+ 2 + 2交 y轴于点 A，与 x轴 的一个交点在 2 和 3之间，顶点为.下列说法：其中正 确判断的序号是( ) 抛物线与直线 = 3有且只有一个交点； 若点(2,1)， (1,2)， (2,3)在该函数图象上， 则1 2 3； 将该抛物线先向左，再向下均平移 2 个单位，所得抛 物线解析式为 = ( + 1)2+ 1； 在 x轴上找一点 D，使 + 的和最小，则最小值为 26 A. B. C. D. 10. 如图是函数 = 2 2 3(0 4)的图象，直线/轴且过 点(0,)，将该函数在直线 l上方的图象沿直线 l向下翻折，在直 线 l下方的图象保持不
5、变， 得到一个新图象 若新图象对应的函数 的最大值与最小值之差不大于 5，则 m的取值范围是( ) A. 1 B. 0 C. 0 1 D. 1或 0 二、填空题 11. 已知 + = 8，则 xy 的最大值是_ 12. 二次函数 = 2 2 + 3在0, 上有最大值 3，最小值 2，则实数 m的取值范围 是_ 13. 已知二次函数 = 2 8 + 10，当3 6时，此函数的最小值是 _；最大值是_ 14. 若抛物线 = ( + 2) 2:;4有最低点，则 =_ 第 3 页，共 17 页 15. 二次函数 = ( 1)2+ 5当 且 0)的图象经过点(23,1)，射线 AB与反比例函数 图象交于
6、另一点(1,)，射线 AC与 y轴交于点 C， = 75， 轴，垂足 为 D (1)求 k的值； (2)求直线 AC的解析式； (3)如图 2，M是线段 AC 上方反比例函数图象上一动点，过 M 作直线 轴，与 AC 相交于点 N，连接 CM，求 面积的最大值 第 5 页，共 17 页 21. 如图， 是一块锐角三角形余料，边 = 120，高 = 80，要把它 加工成一矩形零件，使矩形一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB，AC上。 (1)设 = ，矩形 PQMN 的面积为 S，求 S关于 x 的函数表达式，并指出 x的取 值范围； (2) 为何值时，矩形 PQMN面积最大？最大值是多少？
7、 22. 如图，已知抛物线 = 2+ + 与一直线相交于(1,0)，(2,3)两点，与 y 轴 交于点 N，其顶点为 D (1)求抛物线及直线 AC的表达式 (2)若抛物线的对称轴与直线 AC 相交于点 B，E 为直线 AC 上的任意一点，过点 E 作/交抛物线于点 F，以 B，D，E，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？ 若能，求点 E 的坐标；若不能，请说明理由 (3)若 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点，求 的面积的最大值 第 6 页，共 17 页 23. 如图，二次函数 = 2+ + 的图象经过 A，B，C 三点，顶点为 D，已知点 B 的坐标是(1,0)， = = 3 (
8、1)求这个二次函数的表达式； (2)若 E 是线段 AD 上的一个动点( 与 A、D 不重合)，过点 E 作平行于 y轴的直线 交抛物线于点 F，求线段 EF 长度的最大值； (3)将(1)中的函数图象平移后，表达式变为 = 2+ 2 + 1，若这个函数在 2 1时的最大值为 3，求 m的值 第 7 页，共 17 页 答案和解析答案和解析 1. D 解： = 32 6， 抛物线开口向上，对称轴为 = 0，顶点坐标为(0,6)， 当 = 0时，y有最小值6； D正确， 2. B 解： = ( 1)2+ 有最大值1 2， 抛物线开口向下 0， = 1 2， 3. A 解： = 2 2 + 6 =
9、( 1)2+ 5， 当 = 1时，S有最小值 5 4. B 解：由题意，旅游的支出与人数的多少有关系， = 22 20 + 1050， = 2( 5)2+ 1000， 当 = 5时，y值最小，最小为 1000 5. C 解：抛物线 = 1 3 2 + 2的对称轴为 y轴，且抛物线的开口向下， 第 8 页，共 17 页 当1 5时，y随 x的增大而减小， 当 = 1时，函数 y有最大值， 当 = 1时，最大= 1 3 12+ 2 = 5 3 6. A 解：设反比例函数的解析式为 = ， 将(1,12)代入 = 得， = 12， 反比例函数解析式为 = 12 ， = = 6， 设一次函数解析式为
10、= + ， 将(1,12)，(6,2)代入 = + 中，得： + = 12 6 + = 2，解得： = 2 = 14 , 一次函数得解析式为 = 2 + 14， 设(,2 + 14)， 矩形= = 22+ 14， 四边形= 矩形 COM， = 22+ 14 6 6， = 22+ 14 12， = 2( 7 2) 2 + 25 2 ， 当 = 7 2时，四边形 PMON 面积的最大是 25 2 ， 7. A 解：设 = ，则 = 1 ， 根据题意，得 = 2+ (1 )2= 2( 1 2) 2 + 1 2(0 1)， 所以当 = 1 2时，S取得最小值，此时，C是 AB的中点 第 9 页，共 1
11、7 页 8. B 解：当 5时，有(5 )2= 1，解得3= 4(舍去)，4= 6.综上，h 的值为 1或 6 9. C 解：抛物线的顶点(1,3)，则抛物线与直线 = 3有且只有一个交点，正确，符合题 意； 抛物线 x轴的一个交点在 2和 3之间， 则抛物线与 x轴的另外一个交点坐标在 = 0或 = 1之间， 则点N是抛物线的顶点为最大， 点P在x轴上方， 点M在x轴的下放， 故1 3 0且2+ 4 = 2， 解2+ 4 = 2得1= 3，2= 2， 又 + 2 0，即 2， = 2， 15. D 解：二次函数 = ( 1)2+ 5的大致图象如下： 第 11 页，共 17 页 当 0 1时，
12、当 = 时 y取最小值，即2 = ( 1)2+ 5， 解得： = 2 当 = 时 y 取最大值，即2 = ( 1)2+ 5， 解得： = 2或 = 2(均不合题意，舍去)； 当 0 1 时，当 = 时 y取最小值，即2 = ( 1)2+ 5， 解得： = 2 当 = 1时 y 取最大值，即2 = (1 1)2+ 5， 解得： = 5 2， 或 = 时 y 取最小值， = 1时 y取最大值， 2 = ( 1)2+ 5， = 5 2， = 11 8 ， 0， 此种情形不合题意， 所以 + = 2 + 5 2 = 1 2 16. 3；2 解：设窗框的长为 xm，则窗框的宽为1 3(12 2)， 所以
13、，窗框的面积= 1 3(12 2) = 2 3( 3) 2 + 6， = 2 3 0， 当 = 3时，窗框的面积最大，透过窗户的光线最多， 此时1 3(12 2) = 1 3(12 2 3) = 2， 故窗框的长应为 3m，宽应为 2m 17. 3 解：如图，连接 PM、PN， 由二次函数的性质， = ， = ， 是等边三角形， = = 60， 和 是等边三角形， = 2， 点 M，N的纵坐标之和为2 3 2 = 3， 即两个二次函数的最大值之和等于 3 第 12 页，共 17 页 18. 解：(1)当售价为 2800 元时，销售价降低 100 元，平均每天就能售出 16部 所以：这种手机平均
14、每天的销售利润为：16 (2800 2500) = 4800(元)； (2)根据题意，得 = (2900 2500 )(8 + 4 50 )， 即 = 2 25 2 + 24 + 3200； (3)对于 = 2 25 2 + 24 + 3200， 当 = 24 2(; 2 25) = 150时， 最大值= (2900 2500 150)(8 + 4 150 50 ) = 5000(元) 2900 150 = 2750(元) 所以，每台手机降价 2750元时，商场每天销售这种手机的利润最大，最大利润是 5000 元 19. 解：(1) 在点 C的运动过程中存在 与 相似的情况，此时 ， = 90
15、， = ， 又 = ， ， 2= ， = 2， = 4， = 25， = 25 5 ； 阴影部分面积1+ 2的大小变化情况为先减小后增大，存在最小值为 3，理由是： (0,2)，(4,0)， 轴于点 D ， = = 1 2，设 = ，则 = 2， = 4 2， = 2 = (4;2) 2 = 2+ 2， 1+ 2= = 4 (2+ 2) = 2 2 + 4 = ( 1)2+ 3， 当 = 1时，1+ 2有最小值为 3； 第 13 页，共 17 页 (2) (0,2)，(4,0)， = 1 2 + 2， 设(, 1 2 + 2)， 分三种情况： 当点 C在第二象限时不存在1= 2， 当点 C在第
16、一象限时，1= 1 2 2 = ， 2= 1 2 (4 )( 1 2 + 2) = 1 4 2 2 + 4， 当1= 2时， = 1 4 2 2 + 4， 解得：1= 25 + 6(不合，舍去)2= 6 25 点坐标为(6 25,5 1)； 同理，当 C在第四象限时， = 1 4 2 2 + 4， 解得：1= 25 + 6，2= 6 25(不合，舍去) 点坐标为(6 + 25,5 1)， 综上所述，当1= 2时点 C的坐标为：1(6 25,5 1)， 2(6 + 25,5 1). 20. 解：(1)把(23,1)代入 = ，可得 = 23 1 = 23， 反比例函数解析式为 = 23 ； (2
17、)作 于 H，如图 1， 把(1,)代入反比例函数解析式 = 23 ，可得 = 23； 第 14 页，共 17 页 点坐标为(1,23)， = 23 1， = 23 1， 为等腰直角三角形， = 45， = 75， = = 30， = 23，设 = ，则 = 2， 由勾股定理可得 = 2， = 4， 点坐标为(0,1)， 设直线 AC解析式为 = + ， 把(23,1)，(0,1)代入可得 23 + = 1 = 1 ，解得 = 3 3 = 1 ， 直线 AC 解析式为 = 3 3 1； (3)设 M点坐标为(, 23 )(0 0 80 0, 0 80； (2) = 3 2 2 + 120， =
18、 3 2 ( 2 80 + 402 402 )， = 3 2( 40) 2 + 2400， 当 = 40时，最大= 24002， 此时， = 40在0 80范围内， 当 = 40时，矩形 PQMN面积最大，最大值是24002 22. 解：(1)由抛物线 = 2+ + 过点(1,0)及(2,3)，得1 + = 0, 4 + 2 + = 3, 解得 = 2, = 3, 故抛物线的表达式为 = 2+ 2 + 3 设直线 AC的表达式为 = + ( 0)， 由直线 AC过点(1,0)及(2,3)，得 + = 0, 2 + = 3, 解得 = 1, = 1, 故直线 AC的表达式为 = + 1 (2)
19、= 2+ 2 + 3 = ( 1)2+ 4， (1,4) 当 = 1时， = + 1 = 2， (1,2) 点 E 在直线 AC 上， 设(, + 1) 当点 E在线段 AC上时，点 F 在点 E 上方，则(, + 3) 点 F 在抛物线上， + 3 = 2+ 2 + 3， 解得 = 0或 = 1(点 E与点 B重合，舍去)， (0,1) 第 16 页，共 17 页 当点 E在线段(或)延长线上时，点 F 在点 E 下方，则(, 1) 在抛物线上， 1 = 2+ 2 + 3， 解得 = 1;17 2 或 = 1:17 2 ， (1;17 2 , 3;17 2 )或(1:17 2 , 3:17
20、2 ) 综上， 满足条件的点E的坐标为(0,1)或(1;17 2 , 3;17 2 )或(1:17 2 , 3:17 2 ).(3)方法1： 如图， 过点 P作 轴交 AC于点 Q，交 x 轴于点 H，过点 C作 轴于点 G 设(, + 1)，则(,2+ 2 + 3)， = (2+ 2 + 3) ( + 1) = 2+ + 2 又 = + = 1 2 = 1 2( 2 + + 2) 3 = 3 2( 1 2) 2 + 27 8 ， 的面积的最大值为27 8 方法 2：如图，过点 P 作 轴交 AC 于点 Q，交 x 轴于点 H，过点 C 作 轴于 点 G 设(, + 1)，则(,2+ 2 +
21、3) 又 = + 梯形 = 1 2( + 1)( 2 + 2 + 3) + 1 2( 2 + 2 + 3 + 3)(2 ) 1 2 3 3 = 3 2 2 + 3 2 + 3 = 3 2( 1 2) 2 + 27 8 ， 的面积的最大值为27 8 23. 解：(1)当 = 0时， = 2+ + = ，则(0,)， = = 3， (,0)，( 1 3,0)， = ( + 1 3)( ) = 2 + 2 3 + 1 3 2， 1 3 2 = ，解得 = 0(舍去)或 = 3， 代入二次函数 = 2+ + 解析式中， = 2 2 + 3； (2) 抛物线 = 2 2 + 3 = ( + 1)2+ 4
22、， 第 17 页，共 17 页 顶点 D的坐标为(1,4) 设直线 AD的解析式为 = + ， (3,0)，(1,4)， 3 + = 0 + = 4 ， 解得： = 2 = 0， 直线 AD 的解析式为 = 2 + 6 点 E 的横坐标为 m， (,2 + 6)，(,2 2 + 3)， = 2 2 + 3 (2 + 6) = 2 4 3 = ( + 2)2+ 1， 当 = 2时，EF 最大值为 1 (3) = 2+ 2 + 1的图象由 = 2 2 + 3平移得到， 表达式可设为 = 2+ 2 + 1，对称轴是直线 = ； 若 1，则 = 1时函数值最大， 把 = 1， = 3代入 = 2+ 2 + 1， 解得 = 1.5 综上所述， = 1.5或2
