1、 安徽省定远重点中学安徽省定远重点中学2018-2019学年高二上学期期末考试学年高二上学期期末考试 数学（理）试题（解析版）数学（理）试题（解析版） 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 命题“若 x，y都是偶数，则 + 也是偶数”的否命题是( ) A. 若 x，y 都是偶数，则 + 不是偶数 B. 若 x，y都不是偶数，则 + 不是偶数 C. 若 x，y都不是偶数，则 + 是偶数 D. 若 x，y 不都是偶数，则 + 不是偶数 【答案】D 【解析】解：因为原命题是“若 x，y 都是偶数，则 + 也是偶数”， 所以原命题的否命题为：“若 x，y不都是偶数，则 + 不是偶
2、数”， 故选：D 根据否命题是将原命题的条件结论都否来解答 本题考察原命题的否命题，这里要与命题的否定区别开来，是一个易错点.而且要注意 “都是”的否定为“不都是”，选择填空中常考察 2. 设 x、y 是两个实数，命题“x、y 中至少有一个数大于 1”成立的充分不必要条件 是( ) A. + = 2 B. + 2 C. 2+ 2 2 D. 1 【答案】B 【解析】 解： 若 1 1 时有 + 2但反之不成立， 例如当 = 3， = 10满足 + 2 但不满足 1 1 所以 1 1 是 + 2的充分不必要条件 所以 + 2是 x、y 中至少有一个数大于 1成立的充分不必要条件 故选：B 先求出
3、1 1 的必要不充分条件；利用逆否命题的真假一致，求出命题“x、y 中至少有 一个数大于 1”成立的充分不必要条件 本题考查逆否命题的真假是相同的，注意要说明一个命题不成立，常通过举反例 3. 已知 p：| 1| 2，q： ，若 ，同时为假命题，则满足条件的 x 的集 合为( ) A. *| 1或 3， + B. *| 1 3, + C. *| 3， + D. *| 1 3, + 第 2 页，共 13 页 【答案】D 【解析】解：对于命题 p：| 1| 2，解得 3或 1 q： ， ，同时为假命题， 真 p假 1 0)上一点 A 关于原点的对称点为 B，F为其右焦点，若 ，设 = ，且 , 1
4、2, 4-，则该椭圆离心率的取值范围为( ) A. , 2 2 ,1- B. , 2 2 , 6 3 - C. , 6 3 ,1) D. , 2 2 , 3 2 - 【答案】B 【解析】解： 和 A 关于原点对称 也在椭圆上 设左焦点为 根据椭圆定义：| + | = 2 又 | = | | + | = 2 O是 的斜边中点， | = 2 又| = 2sin | = 2cos 代入2sin + 2cos = 2 = 1 sin + cos 即 = 1 sin:cos = 1 2(sin(: 4) , 12, 4 -， 3 + /4 2 3 2 sin( + 4) 1 2 2 6 3 故选：B 设
5、左焦点为，根据椭圆定义：| + | = 2，根据 B 和 A关于原点对称可知 | = |， 推知| + | = 2， 又根据 O是 的斜边中点可知| = 2， 在 中用和 c 分别表示出|和|代入| + | = 2中即可表示出 即离 心率 e，进而根据的范围确定 e的范围 本题主要考查了椭圆的性质.要特别利用好椭圆的定义 5. 光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射.已知光线从椭圆的一个焦 点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被 双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出； 如图， 椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1( 0)与双曲线： 2 2
6、2 2 = 1( 0, 0)有公共焦点，现一光线从它们的左焦 点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过2( )次反射后回到左焦点 所经过的路径长为( ) A. ( + ) B. 2( + ) C. ( ) D. 2( ) 【答案】D 【解析】解：因为光线被曲线反射，等效于被 曲线在反射点处的切线反射.已知光线从椭圆 的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的 另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被 双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦 点发出 所以，光线从左焦点出发经过椭圆反射要回到另一个焦点，光线从双曲线的左焦点出发 被双曲线反射后，反射光线的反向延长线过另一个焦点 如图，1= 2 2
7、， 1+ + 1= 2 2 + + 1= 2 2 所以光线经过2( )次反射后回到左焦点所经过的路径长为2( ) 故选：D 根据题意，可知光线从左焦点出发经过椭圆反射要回到另一个焦点，光线从双曲线的左 焦点出发被双曲线反射后，反射光线的反向延长线过另一个焦点，从而可计算光线经过 2( )次反射后回到左焦点所经过的路径长 本题以新定义为素材，考查椭圆、双曲线的定义，考查学生对新定义的理解，理解新定 义是关键 第 4 页，共 13 页 6. 已知P为抛物线2= 4上的任意一点， 记点P到y轴的距离为d， 对于给定点(4,5)， 则| + 的最小值为( ) A. 34 B. 34 1 C. 34 2
8、 D. 34 4 【答案】B 【解析】 解： 抛物线2= 4的焦点(1,0)， 准线l： = 1 如图所示，过点 P 作 交 y轴于点 M，垂足为 N， 则| = |， = | 1， | + | 1 = (4 1)2+ 52 1 = 34 1 故选：B 抛物线2= 4的焦点(1,0)， 准线 l： = 1.如图所示， 过点 P作 交 y轴于点M， 垂足为N， 则| = |， | + | 1.即可得出 本题考查了抛物线的定义及其标准方程、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算 能力，属于中档题 7. 已知正方体 的棱长为 a， 设 = ， = ， = ，则等于( ) A. 30 B. 60 C
9、. 90 D. 120 【答案】D 【解析】解：正方体 的棱长为 a， 设 = ， = ， = ， = ， 是的补角， = = ， = 60， = 120 故选：D 由 = ， 得到是的补角， 由 = = ， 得 = 60， 由此能求出. 本题考查两向量的夹角的求法， 考查空间中线线、 线面、 面面间的位置关系等基础知识， 考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题 8. 如图，在空间直角坐标系中，正方体 1111的 棱长为 1，1 = 1 411，则 等于( ) A. (0, 1 4,1) B. ( 1 4,0，1) C. (0, 1 4,1) D. (1 4,0，1) 【答案】C 【解析
10、】解：正方体1111的棱长为 1，1 = 1 411， (1,1，0)，(1, 3 4,1)， = (1,3 4,1) (1,1，0) = (0, 1 4,1) 故选：C 利用正方体1111的棱长为 1，1 = 1 411，可得点 B，E 的坐标，进而得到 向量 本题考查了正方体的性质、空间直角坐标系、向量的坐标运算，属于基础题 9. 如图所示，平行六面体 1111中，以顶点 A为端点 的三条棱，两两夹角都为60，且 = 2， = 1，1= 3， M、N 分别为1、11的中点，则 MN 与 AC 所成角的余弦值 为( ) A. 13 14 B. 91 14 C. 91 28 D. 78 12
11、【答案】B 【解析】解：如图所示，平行六面体 1111中， 以顶点 A 为端点的三条棱，两两夹角都为60， 且 = 2， = 1，1= 3，M、N 分别为1、11的中点， /1/1， 1是 MN 与 AC 所成角(或所成角的补角)， = 2+ 2 2 cos = 4 + 1 2 2 1 cos120= 7， 1= 2+ 1 2 2 1 cos120= 1 + 9 2 1 3 cos120= 13， 1= 2+ 1 2 2 1 cos60= 4 + 9 2 2 3 cos60= 7， cos1= 2:1 2;12 21 = 7:13;7 2713 = 91 14 故 MN 与 AC 所成角的余弦
12、值为 91 14 故选：B 第 6 页，共 13 页 由/1/1，得到1是 MN 与 AC 所成角(或所成角的补角)，由此利用余弦 定理能求出 MN 与 AC 所成角的余弦值 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查余弦定理等基础知识，考查运算求解能 力，考查数形结合思想，是中档题 10. 已知曲线 C的方程为 = ln，则 C上点 = 1处的切线的倾斜角为( ) A. 6 B. 4 C. 3 4 D. 5 4 【答案】B 【解析】解： () = = ln + 1 (1) = 1 C上点 = 1处的切线斜率为 1 设倾斜角为则 tan = 1 0 = 4 故选：B 利用导数的几何意义：在切点
13、处的导数值是切线的斜率；直线的斜率等于倾斜角的正切 值 本题考查导数的几何意义、直线的斜率等于倾斜角的正切值 11. 设函数() = cos(3 + )( 0).若() + ()是偶函数，则 = ( ) A. 3 B. 3 C. 6 D. 6 【答案】B 【解析】解：() + () = cos(3 + ) 3sin(3 + ) = 2sin(3 + + 5 6)， 因为() + ()为偶函数， 所以当 = 0时2sin(3 + + 5 6) = 2，则 + 5 6 = + 2， ， 所以 = 3， ， 又 0， 所以 = 3 故选：B 通过化简可得() + () = 2sin(3 + + 5
14、6)， 由() + ()为偶函数， 知当 = 0 时() + ()取得最值， 由此可得 + 5 6 = + 2， ， 根据的范围即可解得值 本题考查导数的运算、 函数的奇偶性及三角恒等变换， 考查学生对问题的理解解决能力， 属中档题 12. 函数 = sin(22+ )导数是( ) A. = cos(22+ ) B. = 2sin(22+ ) C. = (4 + 1)cos(22+ ) D. = 4cos(22+ ) 【答案】C 【解析】解：设 = sin， = 22+ ， 则 = cos， = 4 + 1， = (4 + 1)cos = (4 + 1)cos(22+ )， 故选：C 设()
15、= ()， = ()，则() = ()() 牢记复合函数的导数求解方法，在实际学习过程中能够熟练运用 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 已知函数() = 2sin3 + 9，则 0 lim (1:);(1) =_ 【答案】6cos3 + 9 【解析】解：() = (2sin3 + 9) = 6cos3 + 9 0 lim (1:);(1) = (1) = 6cos3 + 9 故答案为：6cos3+ 9 根据导数的定义，原式等于(1)，求出()后令 = 1计算 本题考查导数的定义，函数的导函数求解，属于基础题 14. 过点(8,1)的直线与双曲线2 42= 4相交于A，
16、 B两点， 且 P是线段AB的中点， 则直线 AB的方程为_ 【答案】2 15 = 0 【解析】解：设(1,1)，(2,2)，则1+ 2= 16，1+ 2= 2， 1 2 41 2 = 4，2 2 42 2 = 4， (1+ 2)(1 2) 4(1+ 2)(1 2) = 0， 16(1 2) 8(1 2) = 0， = 2， 直线的方程为 1 = 2( 8)，即2 15 = 0 故答案为：2 15 = 0 设出 A， B 的坐标， 代入双曲线方程， 两式相减， 根据中点的坐标可知1+ 2和1+ 2的 值，进而求得直线 AB 的斜率，根据点斜式求得直线的方程 本题考查直线与双曲线的位置关系的综合
17、应用，涉及弦长的中点问题，常用“点差法” 设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化 15. 沿直线 = 2发出的光线经抛物线2= 反射后，与 x 轴相交于点(2,0)，则抛 物线的准线方程为_ 第 8 页，共 13 页 【答案】 = 2 【解析】解：沿直线 = 2发出的光线经抛物线反射后的光线聚于抛物线的焦点， 抛物线的焦点是(2,0)， = 4 2 = 8， 抛物线的标准方程2= 8， 抛物线的准线方程为 = 2 故答案为： = 2 沿直线 = 2发出的光线经抛物线反射后的光线聚于抛物线的焦点，由此得抛物线的 焦点是(2,0)，从而能求出抛物线的准线方程 本题考查抛物线的
18、准线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意抛物线性质的 合理运用 16. 在正方体 1111中，M、N 分别为棱1和1的中点，则sin 的值为_ 【答案】45 9 【解析】解：设正方体棱长为 2，以 D为坐标原点，DA为 x轴，DC为 y轴，1为 z 轴建立空间直角坐标系， 则(0,2，0)，(2,0，1)，1(0,0，2)，(2,2，1) 可知 = (2,2,1)，1 = (2,2，1)， 1 = 2 2 2 2 1 1 = 1，| | = 3，|1 | = 3 cos = 1 | |1 | = 1 9 ( 2 ,) 由三角函数的平方关系得sin = 45 9 故答案为45 9 建立空
19、间直角坐标系，写出点的坐标，利用向量的坐标公式求出两个向量的坐标，利用 向量的数量积公式求出两个向量的夹角余弦， 利用三角函数的平方关系求出两个向量的 夹角正弦 本题考查向量的坐标的求法、利用向量的数量积公式求向量的夹角的余弦值、同角的三 角函数的平方关系! 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分） 17. 已知函数() = 3 3及 = ()上一点(1,2)，过点 P 作直线 l (1)求使直线 l和 = ()相切且以 P为切点的直线方程； (2)求使直线 l和 = ()相切且切点异于 P的直线方程 【答案】解：(1)由() = 3 3得，() = 32 3， 过点 P且以(1,2
20、)为切点的直线的斜率(1) = 0， 所求直线方程为 = 2 (2)设过(1,2)的直线 l与 = ()切于另一点(0,0)， 则(0) = 30 2 3 又直线过(0,0)，(1,2)， 故其斜率可表示为0;(;2) 0;1 = 0 3;30:2 0;1 ， 又0 3;30:2 0;1 = 30 2 3， 即0 3 30+ 2 = 3(0 2 1) (0 1)， 解得0= 1(舍)或0= 1 2， 故所求直线的斜率为 = 3 (1 4 1) = 9 4， (2) = 9 4( 1)， 即9 + 4 1 = 0 【解析】(1)由已知可得斜率函数为() = 32 3，进而求出所过点切线的斜率，代
21、 入点斜式公式即可 (2)设另一切点为(0,0)，求出该点切线方程，再由条件计算 本题较为简单，主要考查的是直线的点斜式方程的求解，掌握好这一方法即可 18. 已知 p：函数() = 2 2 + 4在,2,+)上单调递增；q：关于 x的不等式 2+ 4( 2) + 4 0的解集为.若 为真命题， 为假命题，求 m 的取 值范围 【答案】解：若命题 p为真，因为函数()的对称轴为 = ，则 2； 若命题 q为真，当 = 0时原不等式为8 + 4 0，该不等式的解集不为 R，即这种情 况不存在； 当 0时，则有= 16( 2)2 16 0 ，解得1 4； 若 为真命题， 为假命题，则 p，q一真一
22、假； 故 1 或 4 2 或1 2 解得 1或2 0)，1，2分别为椭 圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线2交椭圆于 另一点 B (1)若1 = 90，求椭圆的离心率； 第 10 页，共 13 页 (2)若椭圆的焦距为 2，且2 = 22 ，求椭圆的方程 【答案】 解： (1)若1 = 90， 则 2为等腰直角三角形.则| = |2|， 即 = = 2+ 2= 2， 椭圆的离心率 = = 2 2 ； (2)由题知2 = 2， = 1，则(0,)，2(1,0)，设(,)， 由 2 = 22 ，即(1,) = 2( 1,)， 2 = 2;2 0).若抛物线 C：2= 2上 的点到直线1和直线
23、2的距离之和的最小值为 2 ()求抛物线 C的方程； ()若以抛物线上任意一点 M为切点的直线 l与直线2交于点 N，试问在 x轴上是 否存在定点 Q，使 Q 点在以 MN 为直径的圆上，若存在，求出点 Q的坐标，若不 存在，请说明理由 【答案】解：()由题意可知，2为抛物线的准线，抛物线的焦点坐标为( 2 ,0)， 由抛物线的定义可知抛物线上的点到直线2的距离等于其到焦点 F 的距离， 抛物线上的点到直线1和直线2的距离之和的最小值为焦点 F到直线2的距离， = 丨2:6丨 32:42 = 2，解得： = 2， 抛物线的方程为：2= 4， ()设(0,0)，由题意可知，直线 l的斜率存在且不
24、等于 0，设为直线的斜率为 k， 则直线方程为： 0= ( 0)，代入抛物线线方程，整理得：2 4 + 40 0 2 = 0， = 16 4(40 0 2) = 0，求得 = 2 0， 直线 l的方程为： 0= 2 0 ( 0)，令 = 1，又由0 2 = 40，可知(1, 0 2;4 20 )， 设(1,0)， = (0 1,0 )， = (1 1, 0 2;4 20 )， 由题意可知 = 0， (0 1)(1 1) + 0 0 2;4 20 = 0， 把0 2 = 40，代入上式，可得：(1 1)0+ 1 2 + 1 2 = 0， 对任意的0等式恒成立，1 1 = 0 1 2 + 1 2
25、= 0， 1= 1，即在 x轴上存在点到(1,0)在以 MN 为直径的圆上 【解析】()由椭圆的定义可知，抛物线的焦点( 2 ,0)，根据抛物线上的点到直线1和直 线2的距离之和的最小值为焦点 F到直线2的距离，根据点到直线的距离公式，即可求 得 p的值，求得抛物线方程； ()设直线(0,0)， 0= ( 0)，代入抛物线方程，由与抛物线相切，= 0， 求得 = 2 0，代入求得 N 点坐标，求得向量 和 ， = 0，根据向量数量积 的坐标运算， (1 1)0+ 1 2 + 1 2 = 0， 即可求得1= 1， 即在 x轴上存在点到(1,0) 在以 MN为直径的圆上 本题考查抛物线的方程及性质，考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的定义，向量数 量积的坐标运算的综合应用，考查转化思想，属于中档题
