1、学习线性代数的具体要求、重点和难点学习线性代数的具体要求、重点和难点1 1、行列式、行列式(1)1)掌握掌握n n阶行列式的概念；阶行列式的概念；(2)(2)会运用行列式性质降阶和三角化并能综合运用，熟练会运用行列式性质降阶和三角化并能综合运用，熟练地计算数字行列式，并初步掌握计算字母行列式；地计算数字行列式，并初步掌握计算字母行列式；(3)(3)掌握克莱姆法则，并会用它们来解线性方程组。掌握克莱姆法则，并会用它们来解线性方程组。重点是行列式的性质与计算。难点是重点是行列式的性质与计算。难点是n n阶字阶字母行列式的计算。母行列式的计算。2、矩、矩 阵阵(1)熟练掌握矩阵的代数运算及性质；熟练
2、掌握矩阵的代数运算及性质；(2)掌握可逆矩阵的概念及其判别条件；掌握可逆矩阵的概念及其判别条件；(3)掌握矩阵乘积行列式与秩的定理；掌握矩阵乘积行列式与秩的定理；(4)掌握初等矩阵的概掌握初等矩阵的概念及念及其与初等变换的关系，初等其与初等变换的关系，初等矩阵与可逆矩阵的关系及其用初等变换求逆矩阵的理矩阵与可逆矩阵的关系及其用初等变换求逆矩阵的理论与方法。论与方法。重点是矩阵的乘积运算及求逆矩阵。重点是矩阵的乘积运算及求逆矩阵。学习线性代数的具体要求、重点和难点学习线性代数的具体要求、重点和难点3、n维向量维向量及其线性相关性及其线性相关性学习线性代数的具体要求、重点和难点学习线性代数的具体要
3、求、重点和难点（1）理解）理解n维向量的概念及运算规则，清楚了解向量组的线维向量的概念及运算规则，清楚了解向量组的线性相关性的定义，会判断向量组的线性相关性，准确理解向性相关性的定义，会判断向量组的线性相关性，准确理解向量组的极大线性无关向量组和向量组的秩的概念，会求向量量组的极大线性无关向量组和向量组的秩的概念，会求向量组的最大线性无关向量组和向量组的秩；组的最大线性无关向量组和向量组的秩；（2）掌握齐次线性方程组有非零解的充要条件，非齐次线）掌握齐次线性方程组有非零解的充要条件，非齐次线性方程组有解的充要条件，理解齐次线性方程组的基础解系性方程组有解的充要条件，理解齐次线性方程组的基础解系
4、的概念，正确理解并掌握线性代数方程组解的性质及解的结的概念，正确理解并掌握线性代数方程组解的性质及解的结构，能够利用初等变换方法求出线性代数方程组的通解。构，能够利用初等变换方法求出线性代数方程组的通解。学习线性代数的具体要求、重点和难点学习线性代数的具体要求、重点和难点（3）理解向量空间的定义，理解向量空间的基、维数的）理解向量空间的定义，理解向量空间的基、维数的概念，掌握内积的概念。概念，掌握内积的概念。重点是利用初等变换方法求出线性代数方程重点是利用初等变换方法求出线性代数方程组的通解。难点是判断向量组的线性相关性和如组的通解。难点是判断向量组的线性相关性和如何求向量组的极大线性无关向量
5、组和向量组的秩。何求向量组的极大线性无关向量组和向量组的秩。4、线性方程组、线性方程组(1)(1)切实理解消去法和矩阵的初等变换的关系，熟悉高斯消切实理解消去法和矩阵的初等变换的关系，熟悉高斯消去法；去法；(2)(2)理解和掌握矩阵的秩，会用初等变换及行列式来求秩；理解和掌握矩阵的秩，会用初等变换及行列式来求秩；(3)(3)牢固掌握线性方程组有解的判别定理；牢固掌握线性方程组有解的判别定理；(4)(4)正确理解和掌握齐次及非齐次线性方程组解的结构；正确理解和掌握齐次及非齐次线性方程组解的结构；重点是矩阵的初等变换、线性方程组的解法重点是矩阵的初等变换、线性方程组的解法及有解判定法。及有解判定法
6、。学习线性代数的具体要求、重点和难点学习线性代数的具体要求、重点和难点4、对称矩阵与二次型、对称矩阵与二次型(1)(1)掌握二次型的概念及二次型与对称矩阵之间的一一对应关系；掌握二次型的概念及二次型与对称矩阵之间的一一对应关系；(2)(2)掌握二次型经非退化线性变换后仍为二次型；掌握二次型经非退化线性变换后仍为二次型；(3)(3)理解二次型的标准形及掌握化二次型为标准形的方法；理解二次型的标准形及掌握化二次型为标准形的方法；(4)(4)理解实数域上二次型的标准形（规范形）唯一性及意义；理解实数域上二次型的标准形（规范形）唯一性及意义；(5)(5)掌握正定二次型的概念，并掌握其判别法；掌握正定二
7、次型的概念，并掌握其判别法；(6)(6)深刻理解矩阵的相似、特征值、特征向量的概念，并掌握求矩深刻理解矩阵的相似、特征值、特征向量的概念，并掌握求矩阵特征多项式、特征值、特征向量的理论步骤和方法以及可对角阵特征多项式、特征值、特征向量的理论步骤和方法以及可对角化的条件。化的条件。学习线性代数的具体要求、重点和难点学习线性代数的具体要求、重点和难点重点是化二次型为标准形和正定二次型的性质。重点是化二次型为标准形和正定二次型的性质。难点是惯性定理及正交法。难点是惯性定理及正交法。学习线性代数的具体要求、重点和难点学习线性代数的具体要求、重点和难点线性代数的学习方法线性代数的学习方法1、攻克、攻克“
8、抽象化抽象化”堡垒堡垒2、占领、占领“一般性一般性”阵地阵地3、增强论证能力、增强论证能力4、掌握全局和局部的关系、掌握全局和局部的关系第一章第一章 行行 列列 式式1.1行列式及其性质行列式及其性质1.3克莱姆法则克莱姆法则1.2行列式的计算行列式的计算 教学目的教学目的:重重 点点:难难 点点：学时数学时数：通过本章的学习通过本章的学习,要求学生准确理解行列式的要求学生准确理解行列式的概念及其性质概念及其性质,并能熟练地运用克莱姆法则解并能熟练地运用克莱姆法则解 线性方程组线性方程组.行列式性质的运用、克莱姆法则的运用。行列式性质的运用、克莱姆法则的运用。高阶行列式及字母行列式的计算。高阶
9、行列式及字母行列式的计算。4-6学时学时第一章第一章 行行 列列 式式一、一、2 2、3 3阶行列式的定义：阶行列式的定义：引进符号：引进符号：并称之为二阶行列式。其中并称之为二阶行列式。其中1221221122211211aaaaaaaa元素)2,1;2,1(jiaij1.1 1.1 行列式及其性质行列式及其性质列标行标，ji第一章第一章 行行 列列 式式同理，符号：同理，符号：122133113223312213312312133221332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa称为三阶行列式。称为三阶行列式。第一章第一章 行行 列
10、列 式式二、二、2 2、3 3阶行列式与线性方程组的关系阶行列式与线性方程组的关系 设有两个未知数的线性方程组：设有两个未知数的线性方程组：其变量的系数可以构成一个其变量的系数可以构成一个2 2阶行列式，称为该阶行列式，称为该线性方程组的系数行列式，记为线性方程组的系数行列式，记为D D22221211212111bxaxabxaxa(1.1)第一章第一章 行行 列列 式式即：即：22211211aaaaD 又记：又记：22111122221211,babaDababD利用消元法解利用消元法解(1.1)得：得：DDaaaaabbaxDDaaaabaabx22112221121121121211
11、222112122211第一章第一章 行行 列列 式式第五章 二 次 型施密特（Schmidt）正交化过程:第三章 n维向量及其线性相关性概念及其性质,并能熟练地运用克莱姆法则解第五章 二 次 型对方程组的系数矩阵作行的初等变换第三章 n维向量及其线性相关性第四章 线性方程组若矩阵A可逆,且AB=E,则必有BA=E.第三章 n维向量及其线性相关性又因为AX=B，两边同乘以A-1得:第五章 二 次 型（3）新旧向量组是等价的.由于二次型的矩阵是实对称矩阵,实对称矩阵必可对角化称A为系数矩阵，为增广矩阵。三、三、n n阶行列式的定义阶行列式的定义nnnnnnaaaaaaaaa21222211121
12、1列的算式列的算式行行排成排成个数个数设有设有定义定义nnnjnianij)2,1,2,1(2)det(ijnaDn或阶行列式，记为称为排为行，纵排位列。称为行列式的元素，横数ija的余子式为：元素ijaijijnMnaD阶行列式，记为构成的素（位置不变）所在的行和列，剩下元中去掉在1的代数余子式为：元素ijaijjiijMA)1(第一章第一章 行行 列列 式式nnnnnnaaaaaaaaa212222111211阶行列式的值为定义nnnnnnnaaaaa,12,111211)1(nnnnaaaaa22221111)1(nnnnaaaaa21122112)1(1111)1(iniiiManii
13、iAa11111121211211112)1()1()1(nnnnMaMaMaD即1121211111nnnAaAaAaD或第一章第一章 行行 列列 式式njjjnnnAaAaAaAaDn11111121211111之之和和，即即相相应应的的代代数数余余子子式式乘乘积积第第一一行行的的每每个个元元素素与与其其阶阶行行列列式式的的值值等等于于它它的的定定理理证明：用数归纳法证明：用数归纳法（1）n=2时，显然成立时，显然成立（2）设）设n=k-1时命题成立，现证时命题成立，现证n=k时，命题也成立。时，命题也成立。(*)1(11211111111iikiikiiinMaMaAaD其中其中Mi1是
14、是k-1阶行列式，则由归纳假设有：阶行列式，则由归纳假设有：*可以证明：可以证明：Dn按第一行展开与按第一列展开的结果相同。即按第一行展开与按第一列展开的结果相同。即第一章第一章 行行 列列 式式kjjijjjjikjjkkkkkiiikiiikkiMaMaaaaaaaaaaaaaaaaM2111)1(1112132,13,12,1,13,12,122322113121)()1()1()(第一章第一章 行行 列列 式式代入（代入（*）得：）得：kjjjkjjjjijikiikjjjijkikjjijikikjjijiinAaMaMaMaaMaMaaMaMaaMaD111211111111112
15、21111111122111111122111111111)1()()1()1()()1()()1(第一章第一章 行行 列列 式式四、行列式的性质四、行列式的性质设设nnnnnnTaaaaaaaaaDD212221212111的转置则则DDTnnnnnnaaaaaaaaaD212222111211性质性质1：行列式转置后，其值不变。行列式转置后，其值不变。性质1表明：行列式对行满足的性质对列同样满足，反之亦然。第一章第一章 行行 列列 式式性质性质 2：推论推论 ：行列式行列式D D中有两行（列）的对应元素完全相中有两行（列）的对应元素完全相同，则这个行列式的值为零。同，则这个行列式的值为零。
16、互换一个行列式的两行（或两列），行列式的值变号。jirrji两行可表示为：互换,jiccji两列可表示为：互换,第一章第一章 行行 列列 式式推论推论 1 1：若行列式有一行（列）的元素全为零，则若行列式有一行（列）的元素全为零，则这个行列式的值为零。这个行列式的值为零。性质性质 3：行列式中某一行（列）所有元素的公因子，行列式中某一行（列）所有元素的公因子，可以提到行列式符号外。可以提到行列式符号外。)(kckrkiii可表示为：行（列）乘以第推论推论 2：若行列式有两行（列）的元素对应成比例，若行列式有两行（列）的元素对应成比例，则行列式的值为零。则行列式的值为零。第一章第一章 行行 列列
17、 式式nnnnjnnnjnjabaaaabaaaabaaaD2122222211111211nnnjnnnjnjaaaaaaaaaaaa21222221111211nnnnnnnabaaabaaabaa21222221111211性质性质4 4：如果行列式的某一行（列）的元素都是两项之和，如果行列式的某一行（列）的元素都是两项之和，则可以把这个行列式化为两个行列式的和。这两个行列式的则可以把这个行列式化为两个行列式的和。这两个行列式的该行（列）的元素分别是原行列式中相应位置的两项的第该行（列）的元素分别是原行列式中相应位置的两项的第1 1项、第项、第2 2项，其它位置的元素不变。项，其它位置的
18、元素不变。第一章第一章 行行 列列 式式性质性质 5：若行列式某一行（列）的元素乘以同一个数后，若行列式某一行（列）的元素乘以同一个数后，加到另一行（列）相应元素上，则该行列式的值不变。加到另一行（列）相应元素上，则该行列式的值不变。jikrrijk行上，记为行加到第乘以第以jikccijk列上，记为列加到第乘以第以jikrrnnnnjnjjiniinaaaaaaaaaaaaD21212111211nnnnjnjjjninjijinaaaaaakaakaakaaaaa2121221111211第一章第一章 行行 列列 式式(1)掌握二次型的概念及二次型与对称矩阵之间的一一对应关系；二、齐次线性
19、方程组解的判定第四章 线性方程组第四章 线性方程组第二章 矩 阵例3:证明对任意矩阵 Amn，有AE=A,EA=A第四章 线性方程组第三章 n维向量及其线性相关性第二章 矩 阵第五章 二 次 型（1）n=2时，显然成立成立，则称向量组 是线性相关的.第四章 线性方程组第四章 线性方程组性质性质6：行列式的值等于它任意一行（列）的元素行列式的值等于它任意一行（列）的元素与它的代数余子式的乘积之和。与它的代数余子式的乘积之和。nnnnnnaaaaaaaaa212222111211)2,1(1njAaijniij)2,1(1niAaijnjij第一章第一章 行行 列列 式式性质性质7：行列式某一行（
20、列）的元素与另一行（列）：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子的乘积子和为零。对应元素的代数余子的乘积子和为零。nkjkikAa1jninjijiAaAaAa2211nkkjkiAa1njnijiiAaAaAa22j1100第一章第一章 行行 列列 式式例例1：计算下三角行列式：计算下三角行列式nnnnaaaaaaD21222111000的值。的值。1.2 1.2 行列式的计算行列式的计算一、应用举例一、应用举例第一章第一章 行行 列列 式式解：按第一行展开得：解：按第一行展开得：nnnnaaaaaaaD3233322211000nnaaa2211第一章第一章 行行 列列
21、式式例例2：计算：计算abbbabaabababbbaD 的值。的值。第一章第一章 行行 列列 式式解：第解：第2行加上第行加上第1行的行的-1倍、第倍、第4行加上第行加上第3行的行的-1倍得：倍得：0000034)1(abababaababbbarr011111)(2,bbaaababa第三行提出第二行提出3)(abaabbbabaababbbaDrr00012)1(0)()1(32ababaaabbaba第二行展011100)(2)1(32bbaaabrr11)(2baaab第二行展第一章第一章 行行 列列 式式例例3：计算：计算1543251432541325431254321D的值的值
22、第一章第一章 行行 列列 式式解：从第二列起，以后各列乘解：从第二列起，以后各列乘1加到第一列上得：加到第一列上得：154315514315541315543115543215D第一章第一章 行行 列列 式式154315143154131543115432115411100311000210000105432115第一章第一章 行行 列列 式式411103110021000115360!415)4)(3)(2)(1(15第一章第一章 行行 列列 式式第三章 n维向量及其线性相关性反过来:如果 r(A)=r(B)=r,则:消法变换:以数k乘矩阵的某一行(列)上各元素加到（3）新旧向量组是等价的.
23、(4)理解实数域上二次型的标准形（规范形）唯一性及意义；才能用克莱姆法则求解，且：第五章 二 次 型（8）若向量组中含有零向量，则此向量组一定线性相关。第一章 行 列 式第四章 线性方程组第四章 线性方程组r(AB)=r(A)，其中B为满秩矩阵.通过本章的学习,要求学生准确理解行列式的对方程组的增广矩阵作行的初等变换第三章 n维向量及其线性相关性例例4：计算：计算107825513713913152D的值。的值。第一章第一章 行行 列列 式式NoImage2433261634261725131第一列展10171816131）（第一列展243326016342607139117251302423
24、21)2()3(2rrrrrrD10170181601725131131222rrrr2080解：第一章第一章 行行 列列 式式例例5：证明证明n阶行列式阶行列式:)(100000000000010000011112321xfaxaxaxaaaaaxxxxnnnnnnn第一章第一章 行行 列列 式式证证:等式左边第等式左边第n列乘列乘x加到第加到第n-1列列,(所得结果的所得结果的)第第n-1列乘列乘x加到第加到第n-2列列,第第2列乘列乘x加到第加到第1列得列得:第一章第一章 行行 列列 式式1212321100000000000001000001axaxaxaaaaxxxnnn左左1212
25、3221321100000000000001000001axaxaxaxaxaxaaaxxxnnn第一章第一章 行行 列列 式式)()()()()(100000000000100000101221xfxfxfxfxfnnn1001)(11xfnn）（按第一列展按第一列展)()1()1)(11xfxfnnnn第一章第一章 行行 列列 式式例例6 6 证明证明范德蒙行列式范德蒙行列式(n n22),(1111111312112232221321jinijnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxV第一章第一章 行行 列列 式式结论成立。时，）（,112112212xxxxVn归纳证明用数学归纳法
26、对n阶也成立。阶成立，现证对）假设对（nn 12第一章第一章 行行 列列 式式nirxrnnnnnnnniixxxxxxxxxxxxV3,2)(11312112232221321111111)()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxnnnnnnnn第一章第一章 行行 列列 式式)()()()()()(1213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxnnnnnnnn第一列展22322321131212,1111)()(1nnnnnnnjxxjxxxxxxxxxxxx
27、jj列提出第n-1阶范德阶范德蒙行列式蒙行列式第一章第一章 行行 列列 式式nijjinijjinnxxxxxxxxxxV1211312)()()()(第一章第一章 行行 列列 式式*定理：设 ，则该方程组的任意类似的，负定二次型的判别(1)R(A)=n时，齐次线性方程组（4.表示 M 在D中的行标和列标。行列式性质的运用、克莱姆法则的运用。第三章 n维向量及其线性相关性其基础解系为：(1,0,0)T,所以得证。列矩阵（m维列向量），即n=1时：第三章 n维向量及其线性相关性也可写成向量的形式为：熟练掌握线性方程组的解的判定;二、2、3阶行列式与线性方程组的关系矩阵A经过有限次初等变换化为矩阵
28、B，则称A与B等价.即正交变换不改变向量的长度。第四章 线性方程组例例7 7：利用范德蒙行列式计算：利用范德蒙行列式计算:11111111121)()2()1()()2()1(nnnnnnnnnnaaaanaaaanaaaa解：解：次），交换行依次换到第一行（共将第nn1次），交换行依次换到第二行（共然后将新矩阵的第11nn次共交换了2)1(nn第一章第一章 行行 列列 式式原式原式=111112)1()()1()1()()1()1()1(11111)1(nnnnnnnnnnnnanaaananaaananaaanijnnjaia02)1()()()1(!2)!1(!)1(2)1(nnnn第一
29、章第一章 行行 列列 式式例例8：计算下列：计算下列n阶行列式阶行列式:xaaaxaaax第一章第一章 行行 列列 式式解解:从第二列起从第二列起,以后各列加到第一列得以后各列加到第一列得:xaaxaaanx111)1(原式原式=axaaxaanx00001)1(1)()1(naxanxxaanxaxanxaaanx)1()1()1(第一章第一章 行行 列列 式式例例9 9 计算计算nnnnnaaaaaaaaaD111212121解：解：（加边法）（加边法）第一章第一章 行行 列列 式式）（1212121211010101nnnnnnaaaaaaaaaaaaD)1(2113,21-100101
30、01001111nnnirraaai）（第一章第一章 行行 列列 式式）（第一列全加到列起，从第二12111000010000101nnniiaaaa niia11第一章第一章 行行 列列 式式*二、拉普拉斯定理二、拉普拉斯定理1、行列式、行列式D的的k阶子式阶子式M：任选任选D中中k行行k列，位于其交叉点元素按原来顺序列，位于其交叉点元素按原来顺序排列成的一个排列成的一个k阶行列式叫做阶行列式叫做D的一个的一个k阶子式阶子式,记为记为MnnnnnnaaaaaaaaaD212222111211设第一章第一章 行行 列列 式式3、M的代数余子式的代数余子式A：在在 N 之前冠以一个符号，符号由下
31、式决定之前冠以一个符号，符号由下式决定)()(21121)1(kkjjjiii其中其中),(21,21kkjjjiii表示表示 M 在在D中的行标和列标。中的行标和列标。2、M的余子式的余子式N：划去划去k k行、行、k k列后，余下的元素按原来顺序排成列后，余下的元素按原来顺序排成的一个的一个n-kn-k阶行列式阶行列式,记为记为N N第一章第一章 行行 列列 式式如：如：44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD33312321aaaaMD的一个二阶子式：44421412aaaaNM的余子式为：NAM)31()32()1(的代数余子式
32、为：第一章第一章 行行 列列 式式定理定理1（拉普拉斯定理）（拉普拉斯定理）在在n n阶行列式阶行列式D D中，任意中，任意取定取定k k行行(列列)后，由这后，由这k k行行(列列)元素所组成的元素所组成的一切一切k k阶子式阶子式与它的代数余与它的代数余子式的乘积之和等于行列式子式的乘积之和等于行列式D D的值。的值。第一章第一章 行行 列列 式式 例例1 1 计算计算 1111021220121101010120102D 解：解：按按1，2行展开，不为零的二阶子式为行展开，不为零的二阶子式为 1121111221MM第一章第一章 行行 列列 式式111102122012110101012
33、0102D011121212111NM 的余子式0)1(1311111NAM 的代数余子式011012021022NM 的余子式0)1(2531122NAM 的代数余子式由拉普拉斯定理由拉普拉斯定理0221.1AMAMD第一章第一章 行行 列列 式式*行列式乘法行列式乘法Th1.3 设设nnnnnnnnnnnnbbbbbbbbbDaaaaaaaaaD21222211121122122221112111,第一章第一章 行行 列列 式式则则nkkjikijnnnnnnbaccccccccccCDD121222211121121,第一章第一章 行行 列列 式式1.3 1.3 克莱姆法则克莱姆法则设设
34、n个未知数、个未知数、n个方程的线性方程组为：个方程的线性方程组为：nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111（I）第一章第一章 行行 列列 式式记系数行列式为记系数行列式为nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211另外记另外记),.2,1(,1,1,121,221,22111,111,111njaabaaaabaaaabaaDnnjnnjnnnjjnjjj第一章第一章 行行 列列 式式DDxDDxDDxnn,2211证明：证明：分别用分别用njjjAAA,21乘方程组（乘方程组（I）的第）的第1、第、第2、第第n个方程
35、，然后个方程，然后相加得：相加得：）有唯一解，且则方程组（的系数行列式的值方程组定理（克莱姆法则）若0)(D第一章第一章 行行 列列 式式）（njnjjnnjnnjnjnjnjnjjjjjnjnjjAbAbAbxAaAaAaxAaAaAaxAaAaAa22112211221111221111)()()(据性质据性质6，7有：有：DDxDxDjjjj（j=1，2，,n）因因(I)(I)的解必是的解必是(II)(II)的解，而的解，而(II)(II)仅有唯一解仅有唯一解x xj j=D=Dj j/D,/D,将其唯一解代入将其唯一解代入(I)(I)验证也是验证也是(I)(I)的解。所的解。所以原方程
36、有唯一解。以原方程有唯一解。第一章第一章 行行 列列 式式例例 1：用克莱姆法则解下列线性方程组用克莱姆法则解下列线性方程组067452296385243214324214321xxxxxxxxxxxxxx解解:方程组的系数行列式为方程组的系数行列式为6741212060311512D1277021206031135702712772121357第一章第一章 行行 列列 式式8167402125603915181D27,27108432DDD，由克莱姆法则由克莱姆法则1,1,4,344332211DDxDDxDDxDDx第一章第一章 行行 列列 式式例例2：问线性方程组：问线性方程组23222
37、123213211dxcxbxadcxbxaxxxx其中其中 满足什么条件时，才可以用克莱姆法满足什么条件时，才可以用克莱姆法求解？并解之。求解？并解之。cba,第一章第一章 行行 列列 式式解：解：222111cbacbaDcbacab11)(accabbacab2200111accabbacab22)()(bcacab第一章第一章 行行 列列 式式 才能用克莱姆法则求解，且：才能用克莱姆法则求解，且：)()(111)()(11122232222bdabaddbadbaDaddcaccdacdaD,cbaD时，即当2221111cbdcbdD)()(bcdcdb第一章第一章 行行 列列 式式
38、则则)()()()()()(332211bcacdbdaDDxbcbadadcDDxacabdcdbDDx第一章第一章 行行 列列 式式第二章第二章 矩矩 阵阵2.1 2.2 2.3 2.4 第二章第二章 矩矩 阵阵教学目的教学目的：通过对本章的学习，要求学生掌握矩阵的通过对本章的学习，要求学生掌握矩阵的概念及一系列的运算，为以后各章打下坚概念及一系列的运算，为以后各章打下坚实的基础。实的基础。教学重点教学重点：矩阵概念及矩阵的初等变换。矩阵概念及矩阵的初等变换。难难 点点：有关定理的证明（可不重点要求）有关定理的证明（可不重点要求）第二章第二章 矩矩 阵阵2.1 2.1 矩阵的概念矩阵的概念
39、一、矩阵的定义一、矩阵的定义mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211称为称为mn矩阵矩阵.nmijanmijaA)(定义定义1 由由 个数个数 （i=1,2,m;j=1,2,n)所排成数表所排成数表:记为记为:nmijAaA),(第二章第二章 矩矩 阵阵几种常见的特殊矩阵几种常见的特殊矩阵:2.行矩阵（行矩阵（n维行向量），即维行向量），即m=1时：时：)(11211naaaA1.零矩阵零矩阵 0mn0000000000第二章第二章 矩矩 阵阵3.列矩阵（列矩阵（m维列向量），即维列向量），即n=1时：时：nnnnnnaaaaaaaaaA21222211121112111maa
40、aA4.n阶方阵，即阶方阵，即m=n时时第二章第二章 矩矩 阵阵5.对角矩阵对角矩阵(也是也是n阶方阵阶方阵)nnaaa0000002211nnaaadiag2211jijiijnij,0,1,)(100010001特别地：特别地：叫做单位矩阵，记为叫做单位矩阵，记为E第二章第二章 矩矩 阵阵6.n阶数量矩阵阶数量矩阵kE0,000000kkkkkE第二章第二章 矩矩 阵阵7.上三角矩阵上三角矩阵nnnnaaaaaaA00022211211nnnnaaaaaaA212221110008.下三角矩阵下三角矩阵9.同型矩阵：指行数与列数相同的两个矩阵同型矩阵：指行数与列数相同的两个矩阵第二章第二章
41、 矩矩 阵阵2.2 2.2 矩阵的运算矩阵的运算矩阵的相等矩阵的相等设设 nmijnmijbBaA)(,)(若若)2,1;,2,1(,njmibaijij则称则称A与与B相等。记为相等。记为 A=B第二章第二章 矩矩 阵阵一一、矩阵的线性运算、矩阵的线性运算定义定义1 nmijijbaBA)(即加法运算律：加法运算律：AACBACBAABBA0)()(1、矩阵的加法、矩阵的加法 我们把设nmijnmijbBaA)(,)(BABABA的和，记为与的矩阵称为对应元素相加，所得到与第二章第二章 矩矩 阵阵负矩阵负矩阵得到的新矩阵的全部元素改变符号后矩阵mnijaA)(mnijaAA)(,即记为的负矩
42、阵，称为矩阵）（Aamnij矩阵的减法矩阵的减法mnijijbaBABA)()(0)(AA显然第二章第二章 矩矩 阵阵2、数与矩阵的乘法（数乘法）、数与矩阵的乘法（数乘法）RkkaAkkAnmij,)(其运算律为：其运算律为：0,1,1)()()()(AAAAAAAkllAklAkAAlkkBkABAk，即或的乘积，记为与矩阵称为数）所得的矩阵（的每个元素，乘以矩阵为常数，用设定义AkkAAkkaAkkaAmnijmnij,)(2第二章第二章 矩矩 阵阵XBXABA求且设矩阵例,32,012401,3110251BXA32解：)2(31BAX）（012401311025231630449312
43、1034343第二章第二章 矩矩 阵阵二、矩阵的乘法二、矩阵的乘法nsijsmijbBaA)(,)(3设定义nmijcABCnmBA)(列矩阵行的乘积是一个与则其中：其中：),2,1;,2,1(12211njmibabababackjskiksjisjijiij第二章第二章 矩矩 阵阵例例2：设：设432014311201,51024321BA求求AB第二章第二章 矩矩 阵阵344243201431120151024321AB解：解：3232241616241719)(AB第二章第二章 矩矩 阵阵注意注意:矩阵乘法与数的乘法的区别矩阵乘法与数的乘法的区别BAAB 即可交换，则称特别地，如果BA
44、BAAB,0,0,0ABBA有可能即1.矩阵乘法不满足交换律，矩阵乘法不满足交换律，2.两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵，两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵，3.当当CBAACAB未必能推出，且,0第二章第二章 矩矩 阵阵矩阵乘法运算律：矩阵乘法运算律：)()()()()()()(kBABkAABkACABCBABCACCBACABBCA（右分配律）（右分配律）（左分配律）（左分配律）第二章第二章 矩矩 阵阵则则pmijijbaBA)()(nmijCBA)()(再设其中其中:)()()()()(22112211222111pjipjijipjipjiiipjipipjiijiiijcbcbcbcac
45、acacbacbacbaBCACCBA)(*选证证明证明:设设npijpmijpmijcCbBaA)(,)(,)(第二章第二章 矩矩 阵阵则则nmijijlkBCAC)(其中其中:pjipjijiijpjipjijiijcbcbcblcacacak21112211BCACCBAlkijijij)(nmijnmijlBCkAC)(,)(又设第二章第二章 矩矩 阵阵例例3:证明对任意矩阵证明对任意矩阵 Amn，有，有AE=A,EA=A证明证明:设设nnnmijEaA,)(，则，则AaaaaaaaaaaaaaaaaaaAEmnmmnnmnmmnn212222111211212222111211100
46、010001同理，设同理，设Emm,有有EA=A第二章第二章 矩矩 阵阵三、三、n阶方阵的幂余方阵的多项式阶方阵的幂余方阵的多项式AAAAAAAAkk121,运算律运算律:kllklklkAAAAA)(;注意注意:kkkBAAB)(的正整数次幂定义为：阶方阵，则为设矩阵定义AnA4第二章第二章 矩矩 阵阵则次多项式是一个若,)()(0111bxbxbxbxgmxgmmmmEbAbAbAbAgmmmm0111)(次多项式。的称为方阵mA第二章第二章 矩矩 阵阵BAABBABABAnBA成立的充要条件是阶方阵，则等式均为例2222)(,42222)(BABABA证明：（必要性）)()(2BABAB
47、A）（而22BABBAAABBAABABBA2则222)(BABBAABA（充分性）BAAB 如果2222)(BABABA则第二章第二章 矩矩 阵阵四、矩阵的转置四、矩阵的转置定义定义5 设设nmijaA)(,则其转置定义为则其转置定义为:)(,)(jiijmnijTaaaA运算律运算律:TTTTTTTTTTABABkAkABABAAA)(;)()(;)(定义定义6 为对称矩阵则称阶方阵，若为设AAAnAT为反对称矩阵，则称阶方阵，若为设AAAnAT第二章第二章 矩矩 阵阵为对称矩阵对称矩阵）为（为反对称矩阵，证明为对称矩阵，设例BAABBBA)2(;152为反对称矩阵，）（B1BBT即证明：
48、证明：22)()(BBBBBBBBTTTT）则（为对称矩阵说明2B为反对称矩阵，为对称矩阵，）（BA2BBAATT,即TTTBAABBAAB)()()(BAABBABABAABTTTT)(为对称矩阵说明BAAB第二章第二章 矩矩 阵阵五、方阵五、方阵A的行列式的行列式设设nnijaA)(,定义定义A的行列式为的行列式为:nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211|运算律运算律:|;|;|BABAAAAAnT第二章第二章 矩矩 阵阵2)(2ABATT2)(2,1,2,6ABABABATT计算均为四阶方阵，且设例24)(2ABATT）（解：解：24)(2ABATT）（2)(16ABA
49、T2216ABA128第二章第二章 矩矩 阵阵2.3 2.3 逆方阵逆方阵问题问题:当当Y=AX成立时成立时,在什么条件下可得到在什么条件下可得到X,如何求出如何求出X?一、逆矩阵的概念一、逆矩阵的概念 定义定义1 1 设设A A为一为一n n阶方阵，如果有阶方阵，如果有n n阶方阵阶方阵B B存在，存在，使得使得:AB=BA=E AB=BA=E 则称则称A A可逆，并称可逆，并称B B是是A A的逆方阵的逆方阵(简称简称A A的逆的逆)，记为，记为 1 AB第二章第二章 矩矩 阵阵由定义可得ABBABABA11,1互逆，即与的位置对称，故）由于（EE12它本身，即）单位矩阵的逆矩阵是（）怎么
50、求逆矩阵？（的，其逆矩阵有几个？）如果一个方阵是可逆（）什么样的方阵可逆？问题：（321第二章第二章 矩矩 阵阵二、逆矩阵的个数是唯一的二、逆矩阵的个数是唯一的(约定记为约定记为A-1)定理定理1:若方阵若方阵A是可逆的是可逆的,则有唯一的逆矩阵则有唯一的逆矩阵.证明证明:设设B,C均为均为A的逆矩阵，的逆矩阵，B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C所以，所以，A的逆是唯一的，记为的逆是唯一的，记为A-1ECAACEBAAB,即第二章第二章 矩矩 阵阵三、三、A可逆的充要条件可逆的充要条件:的伴随矩阵。称为阶方阵为元素组成的的代数余子式，以中元素的行列式是方阵，设方阵定义AAAAAAAAA
