1、理科数学 二、利用导数解不等式及参数的取值范围高频考点高频考点探究突破探究突破预测演练预测演练巩固提升巩固提升高频考点探究突破命题热点命题热点 一一利用导数证明不等式利用导数证明不等式【思考】【思考】如何利用导数证明不等式如何利用导数证明不等式?例例1(2020全国全国,理理21)已知函数已知函数f(x)=sin2xsin 2x.(1)讨论讨论f(x)在区间在区间(0,)内的单调性内的单调性;(1)解解:f(x)=2sin xsin 3x.(2)证明证明:因为因为f(0)=f()=0,由由(1)知知,=|sin3xsin32xsin32nx|=|sin x|sin2xsin32xsin32n-
2、1xsin 2nx|sin22nx|=|sin x|f(x)f(2x)f(2n-1x)|sin22nx|f(x)f(2x)f(2n-1x)|,题后反思题后反思利用导数证明不等式利用导数证明不等式,主要是构造函数主要是构造函数,通过导数通过导数判断函数的单调性判断函数的单调性,由函数的单调性证明不等式成立由函数的单调性证明不等式成立,或通过或通过求函数的最值求函数的最值,当该函数的最大值或最小值使不等式成立时当该函数的最大值或最小值使不等式成立时,则不等式恒成立则不等式恒成立,从而可将不等式的证明转化为求函数的最从而可将不等式的证明转化为求函数的最值值.对点训练对点训练1(2020天津天津,20
3、)已知函数已知函数f(x)=x3+kln x(kR),f(x)为为f(x)的导函数的导函数.(1)当当k=6时时,求曲线求曲线y=f(x)在点在点(1,f(1)处的切线方程处的切线方程;求函数求函数g(x)=f(x)-f(x)+的的单调区间和极值单调区间和极值;(2)当当k-3时时,求证求证:对任意的对任意的x1,x21,+),且且x1x2,有有(1)解解:当当k=6时时,f(x)=x3+6ln x,可得可得f(1)=1,f(1)=9,所以曲线所以曲线y=f(x)在点在点(1,f(1)处的切线方程处的切线方程为为y-1=9(x-1),即即y=9x-8.当当x变化时变化时,g(x),g(x)的变
4、化情况如下表的变化情况如下表:所以所以,函数函数g(x)的单调递减区间为的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为单调递增区间为(1,+);g(x)的极小值为的极小值为g(1)=1,无极大值无极大值.由由可得可得(x1-x2)f(x1)+f(x2)-2f(x1)-f(x2)0.所以所以,当当k-3时时,对任意的对任意的x1,x21,+),且且x1x2,命题热点命题热点 二二利用导数解与不等式恒成立有关的问题利用导数解与不等式恒成立有关的问题【思考】【思考】求解不等式的恒成立问题和有解问题、无解问求解不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题的基本方法有哪些题的基本方法有哪些?例例2(2020广西来
5、宾广西来宾5月模拟月模拟)已知函数已知函数f(x)=ln x-m(x-1).(1)若若m=3,求函数求函数f(x)的极值的极值;(2)当当x1,+)时时,ex+ef(x)e,求实数求实数m的取值范围的取值范围.(2)依题意依题意,得得ex+eln x-m(x-1)e,即即ex-1+ln x-m(x-1)1,所以所以F(x)在区间在区间1,+)上单调递增上单调递增,F(1)=0,当当x1,+)时时,F(x)0,所以所以F(x)在区间在区间1,+)上单调递增上单调递增,且且F(1)=2-m=g(1).当当m2时时,x1,+),g(x)0,g(x)在区间在区间1,+)上单调递上单调递增增,g(x)g
6、(1)=1,满足条件满足条件;当当m2时时,g(1)=2-m0.所以所以 x0(1,ln m+1),使得使得g(x0)=0,当当x(1,x0)时时,g(x)0,所以所以g(x)在区间在区间(1,x0)上单调递减上单调递减,当当x(1,x0)时时,都有都有g(x)g(x)恒成立的处理方法一般是构造恒成立的处理方法一般是构造F(x)=f(x)-g(x),F(x)min0;或分离参数或分离参数,将不等式等价变形为将不等式等价变形为ah(x)或或a1时时,存在存在x0(0,+),使使f(x0)=0,则则f(x)在区间在区间0,x0)内单内单调递减调递减,在区间在区间(x0,+)内单调递增内单调递增,则
7、当则当x0,x0)时时,f(x)0,使得使得|g(x)-g(x0)|0成立成立?若存在若存在,求出求出x0的取值范围的取值范围;若不存在若不存在,请说明理由请说明理由.当当x(0,1)时时,g(x)0,则则(1,+)是是g(x)的单调递增区间的单调递增区间.所以所以x=1是是g(x)的唯一极值点的唯一极值点,且为极小值点且为极小值点,从而是最小值从而是最小值点点,故最小值为故最小值为g(1)=1.当当x(0,1)(1,+)时时,h(x)0,所以当所以当x(1,+)时时,h(x)单调递增单调递增.所以当所以当k=1时时,方程方程f(x)=g(x)在区间在区间(k,k+1)内存在唯一的根内存在唯一
8、的根.(3)由由(2)知方程知方程f(x)=g(x)在区间在区间(1,2)内存在唯一的根内存在唯一的根x0,且当且当x(0,x0)时时,f(x)g(x),可知可知0m(x)m(x0);则则m(x)m(x0).预测演练巩固提升1.设函数设函数f(x)=xex-a(x+ln x),若若f(x)0恒成立恒成立,则实数则实数a的取值的取值范围是范围是()A.0,eB.0,1C.(-,eD.e,+)A当当a0.则则x0是函数是函数f(x)的极小值点的极小值点,此时此时x=x0,函数函数f(x)取得最小值取得最小值,综上可得综上可得a0,e.2.(2020广西北海一模广西北海一模)已知函数已知函数f(x)
9、=x3-3x2+5,g(x)=m(x+1)(mR),若存在唯一的正整数若存在唯一的正整数x0,使得使得f(x0)g(x0),则实数则实数m的取的取值范围是值范围是()C解析解析:f(x)=x3-3x2+5,f(x)=3x2-6x=3x(x-2),当当0 x2时时,f(x)0,当当x2时时,f(x)0,f(x)在区间在区间(-,0)上单调递增上单调递增,在区间在区间(0,2)上单调递减上单调递减,在区在区间间(2,+)上单调递增上单调递增,当当x=2时时,f(x)取得极小值取得极小值f(2)=1,作出作出f(x)与与g(x)的函数图象的函数图象如图如图:当当m0时时,f(x)g(x)在区间在区间
10、(0,+)上恒成立上恒成立,不满足题意不满足题意;当当m0时时,易得满足易得满足f(x0)g(x0)的唯一正整数的唯一正整数x0=2.f(x1)g(x2),则实数则实数m的取值范围的取值范围是是_.4.已知函数已知函数f(x)=x3-x2+x.(1)求曲线求曲线y=f(x)的斜率为的斜率为1的切线方程的切线方程;(2)当当x-2,4时时,求证求证:x-6f(x)x;(3)设设F(x)=|f(x)-(x+a)|(aR),记记F(x)在区间在区间-2,4上的最大值上的最大值为为M(a).当当M(a)最小时最小时,求求a的值的值.(2)证明证明:令令g(x)=f(x)-x,x-2,4.g(x),g(
11、x)的情况如下的情况如下:所以所以g(x)的最小值为的最小值为-6,最大值为最大值为0.故故-6g(x)0,即即x-6f(x)x.(3)解解:由由(2)知知,当当a3;当当a-3时时,M(a)F(-2)=|g(-2)-a|=6+a3;当当a=-3时时,M(a)=3.综上综上,当当M(a)最小时最小时,a=-3.5.(2020山东山东,21)已知函数已知函数f(x)=aex-1-ln x+ln a.(1)当当a=e时时,求曲线求曲线y=f(x)在点在点(1,f(1)处的切线与两坐标轴围处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积成的三角形的面积;(2)若若f(x)1,求求a的取值范围的取值范围.(1)当当a=e时时,f(x)=ex-ln x+1,f(1)=e-1,曲线曲线y=f(x)在点在点(1,f(1)处处的切线方程为的切线方程为y-(e+1)=(e-1)(x-1),即即y=(e-1)x+2.
