1、1.电场强度、电通及电场线电场强度、电通及电场线 库仑定律：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力（即库仑力）库仑定律：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力（即库仑力）正比于它们的电量正比于它们的电量q1和和q2的乘积而与两点电荷之间的距离的乘积而与两点电荷之间的距离R的平方的平方成反比，且两电荷同号时为斥力，异号时为吸力，库仑力的方向沿成反比，且两电荷同号时为斥力，异号时为吸力，库仑力的方向沿两点电荷的连线方向。如图所示，点电荷两点电荷的连线方向。如图所示，点电荷q1作用于作用于q2的库仑力可表的库仑力可表示为：示为：12312021122120212144reFrqqrqqF/m)(1036
2、1m)/F(10854187817.89120 xyzo1r12r2r1q2q1P2P12r是从是从q1指向指向q2的距离矢量，即的距离矢量，即zyxzzyyxxeeerr)()()(1212121212r121212rre12r是距离矢量是距离矢量上的单位矢量上的单位矢量1221FF2023-7-141电场是一种特殊形式的物质，电场的存在形式表现为对电荷的作用电场是一种特殊形式的物质，电场的存在形式表现为对电荷的作用力，因此为了描述电场的强弱，定义电场对某点单位力，因此为了描述电场的强弱，定义电场对某点单位正正电荷的作用电荷的作用力称为该点的电场强度力称为该点的电场强度，以以E 表示表示。)
3、V/m(qFE 式中式中q 为试验电荷的电量为试验电荷的电量，q 的体积应足够小，且为了使实验的体积应足够小，且为了使实验电荷的引入不致影响原来的场的分布，实验电荷的电量也应该足电荷的引入不致影响原来的场的分布，实验电荷的电量也应该足够小。够小。F 为电荷为电荷q 受到的作用力。受到的作用力。2023-7-1420d lE电场线电场线的矢的矢量方程量方程用电场线围用电场线围成成电场管电场管带电平行板带电平行板 负电荷负电荷 正电荷正电荷 几种典型的电场线分布几种典型的电场线分布由此可见，电场线的疏密程度可以显示电场强度的大小。由此可见，电场线的疏密程度可以显示电场强度的大小。为了形象地描述电场
4、强度的分布特性，法拉第提出为了形象地描述电场强度的分布特性，法拉第提出电场线电场线，曲线上各点的切线方向表示该点的电场强度的方向曲线上各点的切线方向表示该点的电场强度的方向 电场强度通过任一曲面的通量称为电通电场强度通过任一曲面的通量称为电通，以以 表示表示,即即 SSE d电场线是不能相交的，因为两条相交的曲线在交点处有两个切线方向，电场线是不能相交的，因为两条相交的曲线在交点处有两个切线方向，而电场线的切线方向与而电场线的切线方向与E的方向一致，而的方向一致，而E的方向不能有两个，故电场的方向不能有两个，故电场线不能相交。线不能相交。2023-7-1432.真空中静电场方程真空中静电场方程
5、 物理实验表明，真空中静电场的电场强度物理实验表明，真空中静电场的电场强度E 满足下列两个满足下列两个积分形式的方程积分形式的方程SSE 0d qllE 0d 式中式中0 为真空介电常数。为真空介电常数。左式称为高斯定律，它表明真空中静电场的电场强度通过任一左式称为高斯定律，它表明真空中静电场的电场强度通过任一封闭封闭曲面的电通等于该封闭曲面所包围的电量与真空介电常数曲面的电通等于该封闭曲面所包围的电量与真空介电常数之比。右式表明，真空中静电场的电场强度沿之比。右式表明，真空中静电场的电场强度沿任一任一条闭合曲线条闭合曲线的环量为零。的环量为零。F/m)(10361m)/F(108541878
6、17.891202023-7-144根据高斯定理：根据高斯定理：0 E上式表明，真空中静电场的电场强度在某上式表明，真空中静电场的电场强度在某点点的散度等于该点的电的散度等于该点的电荷体密度与真空介电常数之比荷体密度与真空介电常数之比。SVSVddEE0 EVVqdVVVVd1d0E0d0VV-E（高斯定律的微分形式）（高斯定律的微分形式）上式表明，真空中静电场的电场强度的旋度上式表明，真空中静电场的电场强度的旋度处处处处为零。由此可见，为零。由此可见，真空中静电场是真空中静电场是有散无旋场。有散无旋场。根据斯托克斯定理：根据斯托克斯定理：SlSElEdd0d llE0dSSE2023-7-1
7、45 已知静电场的电场强度的散度及旋度以后，根据亥姆霍兹定已知静电场的电场强度的散度及旋度以后，根据亥姆霍兹定理，电场强度理，电场强度E 应为应为 AEVVVV d)(41)(d)(41)(|rr|rErA|rr|rEr式中式中xPzyr0Vd)(rrrr2023-7-146d)(41)(0VV|rr|rr0)(rA将前述结果代入，求得将前述结果代入，求得E因此因此 标量函数标量函数 称为称为电位电位。因此，上式表明真空中静电场在某。因此，上式表明真空中静电场在某点的电场强度等于该点电位梯度的点的电场强度等于该点电位梯度的负负值。值。E按照国家标准，电位以小写希腊字母按照国家标准，电位以小写希
8、腊字母 表示，上式应写为表示，上式应写为 在实践中，常取大地表面作为参考点，或以无限远处作为参考点，在实践中，常取大地表面作为参考点，或以无限远处作为参考点，因为在有限区域内，电位值与观察距离成反比，故无限远处电位为零。因为在有限区域内，电位值与观察距离成反比，故无限远处电位为零。静电场中某点的电位，其物理意义是单位正电荷在电场力的作用静电场中某点的电位，其物理意义是单位正电荷在电场力的作用下，自该点沿任一条路径移至无限远处过程中电场力所做的功。下，自该点沿任一条路径移至无限远处过程中电场力所做的功。2023-7-147 若电荷分布在一个有限的表面上，或者分布在一个有限的若电荷分布在一个有限的
9、表面上，或者分布在一个有限的线段内，那么可以类推获知此时电位及电场强度与电荷的线段内，那么可以类推获知此时电位及电场强度与电荷的面密面密度度 S 及及线密度线密度l 的关系分别为的关系分别为SSS 0d|)(41)(|rrrrSSS 30d|)(41)(|rrrrrrEll d)(41)(0|rr|rrllll 30d|)(41)(|rrrrrrE将电位表达式代入，求得电场强度与电荷密度的关系为将电位表达式代入，求得电场强度与电荷密度的关系为VVd4)()(30rrrrrrE2023-7-148（1 1）对于某些特殊分布的静电场，可以直接利用高斯定律求对于某些特殊分布的静电场，可以直接利用高斯
10、定律求解电场强度。此时，必须能够找到一个曲面，在这个曲面上各解电场强度。此时，必须能够找到一个曲面，在这个曲面上各点的电场强度的分布特性已知。高斯定律中的电量点的电场强度的分布特性已知。高斯定律中的电量 q 应理解应理解为封闭面为封闭面 S 所包围的全部正负电荷的总和。所包围的全部正负电荷的总和。静电场特性的进一步认识：静电场特性的进一步认识：（2 2）静电场的电场线是不可能闭合的静电场的电场线是不可能闭合的 ，而且也不可能相交。，而且也不可能相交。（3 3）任意两点之间电场强度任意两点之间电场强度 E 的的线积分与路径无关。真空中线积分与路径无关。真空中的静电场和重力场一样，它是一种保守场。
11、的静电场和重力场一样，它是一种保守场。（4）计算静电场的三种方法：计算静电场的三种方法：已知电荷分布的情况下，可以利已知电荷分布的情况下，可以利用高斯定律计算电场强度；或者可以通过电位求出电场强度；用高斯定律计算电场强度；或者可以通过电位求出电场强度；或者直接根据电荷分布计算电场强度。或者直接根据电荷分布计算电场强度。2023-7-149例例1 计算点电荷的电场强度。计算点电荷的电场强度。点电荷点电荷就是指体积为就是指体积为零零，但具有一定电量的电荷。由于点电荷，但具有一定电量的电荷。由于点电荷的结构具有的结构具有球对称球对称特点，因此若点电荷位于球坐标的原点，它产生特点，因此若点电荷位于球坐
12、标的原点，它产生的电场强度一定与球坐标的方位角的电场强度一定与球坐标的方位角及及无关。无关。Sq 0dSE上式左端积分为上式左端积分为 SSSErEdSdS 2n 4 deESE得得204rqEr204eErq或或qrneE 取球坐标系，令点电荷位于坐标原点，它产生的电场线呈辐射状，取球坐标系，令点电荷位于坐标原点，它产生的电场线呈辐射状，与方位角与方位角 及及 无关，以点电荷为中心；作一半径为无关，以点电荷为中心；作一半径为r r的球面（即为的球面（即为高斯面高斯面），则球面上各点的电场强度大小相等，若为正点电荷，则球面），则球面上各点的电场强度大小相等，若为正点电荷，则球面上各点的电场强度
13、方向与球面外法线方向一致。利用高斯定律上各点的电场强度方向与球面外法线方向一致。利用高斯定律2023-7-1410rVrrqVred)rE 202044(e方法二：也可通过电位计算点电荷产生的电场强度。当点电荷位于坐方法二：也可通过电位计算点电荷产生的电场强度。当点电荷位于坐标原点时，标原点时，。那么点电荷的电位为。那么点电荷的电位为r|rrrq04)(r方法三：若直接根据电场强度公式（方法三：若直接根据电场强度公式（2-2-14），同样求得电场强），同样求得电场强度度E为为 求得电场强度求得电场强度 E 为为 rrqrqeE2004142023-7-1411a.选取一个合适的坐标系选取一个合
14、适的坐标系，一般是使问题的边界面与某个坐标系的坐，一般是使问题的边界面与某个坐标系的坐标面重合或部分重合，以使问题在该坐标系中的数学表达式最简单；标面重合或部分重合，以使问题在该坐标系中的数学表达式最简单；2023-7-1412矢量积分计算的一般步骤：矢量积分计算的一般步骤：b.先定性分析后再定量计算，先定性分析后再定量计算，注意对称性的应用注意对称性的应用，并善于利用已有的，并善于利用已有的结果；结果；c.具体计算时，先从小电荷元具体计算时，先从小电荷元dq 入手，得出其场强元入手，得出其场强元 ，然后将场强元进行矢量分解，即分解为场强元的三个分量，则场强元然后将场强元进行矢量分解，即分解为
15、场强元的三个分量，则场强元的各分量都是标量，再对每个场强元的分量进行积分，得出场强的各的各分量都是标量，再对每个场强元的分量进行积分，得出场强的各分量后，最后再进行矢量的合成，便得到所求的电场强度。分量后，最后再进行矢量的合成，便得到所求的电场强度。RRqeE204dd场的叠加原理场的叠加原理：a.a.离散分布电荷：离散分布电荷：设有设有N个点电荷，他们在场点个点电荷，他们在场点P处所产生的电场强度处所产生的电场强度等于各点电荷分别在点等于各点电荷分别在点P产生的电场强度的矢量和，即产生的电场强度的矢量和，即NiiiiNiiiiNrrqRq130130214141rrREEEE若电荷连续的分布
16、在一个体积若电荷连续的分布在一个体积V内，可用电荷体密度内，可用电荷体密度 来描述；若电荷连续的分布在一个空间曲面来描述；若电荷连续的分布在一个空间曲面S上，可用电荷面密度上，可用电荷面密度 来描述；若电荷连续的分布在一条空间曲线来描述；若电荷连续的分布在一条空间曲线l上，可上，可用电荷线密度用电荷线密度 来描述。来描述。Vqzyxdd),(SqzyxSdd),(lqzyxldd),(对于连续分布的电荷，可把它分成许多可视为点电荷的电荷元，它对于连续分布的电荷，可把它分成许多可视为点电荷的电荷元，它所产生的场强元为所产生的场强元为RRqeE204dd应用场的叠加原理，可得连续分布电荷的电场强度
17、为应用场的叠加原理，可得连续分布电荷的电场强度为qRqRd41d41d3020rrrreEE2023-7-1413b.连续分布电荷：连续分布电荷：体分布：体分布：上式是由点电荷的电场所求得的计算连续分布电荷产生的电场的公上式是由点电荷的电场所求得的计算连续分布电荷产生的电场的公式，可称之为库仑场强公式。即点电荷的电场是基本场。则对应于式，可称之为库仑场强公式。即点电荷的电场是基本场。则对应于不同的连续分布的电荷，其电场强度可分别表示为：不同的连续分布的电荷，其电场强度可分别表示为：VRVRzyxzyxd),(41),(20eE面分布：面分布：SRSSRzyxzyxd),(41),(20eE线分
18、布：线分布：lRllRzyxzyxd),(41),(20eE当电荷元在电荷连续分布为体分布、面分布或线分布时，可分别表示当电荷元在电荷连续分布为体分布、面分布或线分布时，可分别表示成成 相应的积分是电荷分布所在的相应的积分是电荷分布所在的体积、空间曲面或曲线积分。体积、空间曲面或曲线积分。VqddSqddlqdd2023-7-1414xyzorRrq1qPP点电荷点电荷q在距离它为在距离它为R的某点（称为场点）处所产生的电场强度为的某点（称为场点）处所产生的电场强度为 303020444rrrrReEqRqRqRzyxzzyyxxeeerrR)()()(222)()()(zzyyxxRrrrr
19、rrReRR2023-7-1415解：采用圆柱坐标系，取圆环中心为原点，并使圆环的轴线与解：采用圆柱坐标系，取圆环中心为原点，并使圆环的轴线与z轴重合，如轴重合，如图所示，在圆环上任取一线电荷元，即图所示，在圆环上任取一线电荷元，即 ，它在场点，它在场点P处处所产生的场强元为所产生的场强元为dddalqllRRqeE204dd22aZR 由于电荷分布对称，场点由于电荷分布对称，场点P处处场强元的径向场强元的径向r分量分量dEr相互抵消，故只需计算相互抵消，故只需计算场强元的场强元的z分量。分量。d44dcosdd2322020azazRzRqEElz求整个带电圆环在求整个带电圆环在P点所产生的
20、场强时，应将点所产生的场强时，应将场场点坐标暂时视为常量，而只点坐标暂时视为常量，而只对对源源点坐标积分，但积分后场强仍是场点坐标的函数，这和数学中的累积点坐标积分，但积分后场强仍是场点坐标的函数，这和数学中的累积分类似，即分类似，即例例2-1 真空中有一电荷线密度为真空中有一电荷线密度为 的圆环形均匀带电线，其半径的圆环形均匀带电线，其半径为为a。试求圆环轴线上任意场点。试求圆环轴线上任意场点P处的电场强度。处的电场强度。l2323220202202d4azazazazEllzxyzoaEdrEdzEdRdzP,0,02023-7-1416zlazazeE232202由于带电圆环上的全部电荷
21、为由于带电圆环上的全部电荷为 ，所以场强还可以表示为，所以场强还可以表示为laq2zazqzeE232204例例2-2 真空中有一电荷面密度为真空中有一电荷面密度为 的无限大均匀带电平板，试求它在空间的无限大均匀带电平板，试求它在空间任一点处的电场强度。任一点处的电场强度。sordrPzzzEdEdrrsqssd2dd解：使带电平板与圆柱坐标系内解：使带电平板与圆柱坐标系内z=0 的平面相合。在带电平板上，取与观的平面相合。在带电平板上，取与观察点察点P相对的点为原点，并以该点为圆相对的点为原点，并以该点为圆心，以心，以 为半径作一圆环形面电荷元为半径作一圆环形面电荷元 r2023-7-141
22、7该电荷元只产生该电荷元只产生z方向的场强元，即方向的场强元，即232202024coszrrr zRzRqEEsddddz002200220z21222123srsszrzzrrdrzEzseE02ordrPzzzEdEd2023-7-1418例例2 计算电偶极子的电场强度。计算电偶极子的电场强度。由前述电位和电场强度的计算公式可见，由前述电位和电场强度的计算公式可见，无论电荷何种分布，电位及电场强度均与电无论电荷何种分布，电位及电场强度均与电量的一次方成正比。因此，可以利用叠加原量的一次方成正比。因此，可以利用叠加原理计算多种分布电荷产生的电位和电场强度。理计算多种分布电荷产生的电位和电场
23、强度。那么，电偶极子产生的电位应为那么，电偶极子产生的电位应为 rrrrqrqrq000444-q+qzylrr-r+O2l2lre,rP电偶极子电偶极子：相距为：相距为l等值异性的两个点电等值异性的两个点电荷，且荷，且l远小与观察点的距离，这样的电远小与观察点的距离，这样的电荷组合称为电偶极子。荷组合称为电偶极子。2023-7-1419coslrrcos2lrrcos2lrr2cos2cos2rlrlrrr-q+qzylrr-r+O2l2lre,rPrrrrqrqrq0004442023-7-1420式中式中l 的方向规定由负电荷指向正电荷。通常定的方向规定由负电荷指向正电荷。通常定义乘积义
24、乘积 q l 为电偶极子的为电偶极子的电矩电矩，以，以 p 表示，即表示，即lpq20204cos4rprrep那么电偶极子产生的电位为那么电偶极子产生的电位为 sin11rrrEreee30304sin2cosrprpreeE利用关系式利用关系式 ，求得电偶极子的电场强度为，求得电偶极子的电场强度为)(4cos42020rrqlrqel求得求得-q+qzylrr-r+O2l2lre,rP2023-7-1421 上述结果表明，电偶极子的电位与距离平方成反比，电场强度的上述结果表明，电偶极子的电位与距离平方成反比，电场强度的大小与距离的三次方成反比。而且两者均与方位角大小与距离的三次方成反比。而
25、且两者均与方位角 有关。这些特点有关。这些特点与点电荷显著不同。下图绘出了电偶极子的电场线和等位线的分布。与点电荷显著不同。下图绘出了电偶极子的电场线和等位线的分布。2023-7-1422例例3 设半径为设半径为a，电荷体密度为，电荷体密度为 的无限长圆柱带电体位于真空，的无限长圆柱带电体位于真空，计算该带电圆柱体内外的电场强度。计算该带电圆柱体内外的电场强度。xzyaLS1 选取圆柱坐标系，令选取圆柱坐标系，令 z 轴为圆柱的轴线。轴为圆柱的轴线。由于圆柱是无限长的，对于任一由于圆柱是无限长的，对于任一 z 值，上值，上下均匀无限长，因此场量与下均匀无限长，因此场量与 z 坐标无关。对坐标无
26、关。对于任一于任一 z 为常数的平面，上下是对称的，因为常数的平面，上下是对称的，因此电场强度一定垂直于此电场强度一定垂直于z 轴，且与径向坐标轴，且与径向坐标 r 一致。再考虑到圆柱结构具有旋转对称的特一致。再考虑到圆柱结构具有旋转对称的特点，场强一定与角度点，场强一定与角度 无关。无关。取半径为取半径为 r，长度为，长度为 L 的圆柱面与其上下端面构成高斯面。应用的圆柱面与其上下端面构成高斯面。应用高斯定律高斯定律 Sq 0dSE2023-7-1423 因电场强度方向处处与圆柱侧面因电场强度方向处处与圆柱侧面S1的外法线方向一致，而与上的外法线方向一致，而与上下端面的外法线方向垂直，因此上
27、式左端的面积分为下端面的外法线方向垂直，因此上式左端的面积分为rLEdSEEdSddSSSS2111 SESE当当 r a 时，则电量时，则电量q 为为 ,求得电场强度为求得电场强度为 Laq2rraeE0222023-7-1424rlreE02 上式中上式中a2 可以认为是单位长度内的电量。那么，柱外电场可以认为是单位长度内的电量。那么，柱外电场可以看作为位于圆柱轴上线密度为可以看作为位于圆柱轴上线密度为 =a2 的线电荷产生的电场。的线电荷产生的电场。由此我们推出线密度为由此我们推出线密度为 的的无限长线电荷无限长线电荷的电场强度为的电场强度为ll 由此例可见，对于这种结构对称的无限长圆柱
28、体分布电荷，利由此例可见，对于这种结构对称的无限长圆柱体分布电荷，利用高斯定律计算其电场强度是十分简便的。若根据电荷分布直接积用高斯定律计算其电场强度是十分简便的。若根据电荷分布直接积分计算电位或电场强度，显然不易。分计算电位或电场强度，显然不易。2023-7-14253.电位与等位面电位与等位面 静电场中某点的电位，其物理意义是静电场中某点的电位，其物理意义是单位正单位正电荷在电荷在电场力电场力的作的作用下，自该点沿用下，自该点沿任一条任一条路径移至无限远处过程中电场力作的路径移至无限远处过程中电场力作的功功。应该注意，这里所说的电位实际上是该点与无限远处之间的电应该注意，这里所说的电位实际
29、上是该点与无限远处之间的电位差，或者说是以位差，或者说是以无限远无限远处作为处作为参考点参考点的电位。原则上，可以任取的电位。原则上，可以任取一点作为电位参考点。显然，电位的参考点不同，某点电位的值也一点作为电位参考点。显然，电位的参考点不同，某点电位的值也不同。但是任意两点之间的电位差与电位参考点无关，因此不同。但是任意两点之间的电位差与电位参考点无关，因此电位参电位参考点的选择不会影响电场强度的值考点的选择不会影响电场强度的值。当电荷分布在有限区域时，通。当电荷分布在有限区域时，通常选择无限远处作为电位参考点，因为此时无限远处的电位为零。常选择无限远处作为电位参考点，因为此时无限远处的电位
30、为零。qW电位的数学表示电位的数学表示式中式中q 为电荷的电量，为电荷的电量，W 为电场力将电荷为电场力将电荷 q 推到无限远处作的功。推到无限远处作的功。2023-7-1426 由于电场强度的方向为电位梯度的负方向，而梯度方向总是由于电场强度的方向为电位梯度的负方向，而梯度方向总是垂直于等位面，因此，垂直于等位面，因此，电场线与等位面一定处处保持垂直电场线与等位面一定处处保持垂直。若规。若规定相邻的等位面之间的电位差保持恒定，那么等位面密集处表明定相邻的等位面之间的电位差保持恒定，那么等位面密集处表明电位变化较快，因而场强较强。这样，等位面分布的疏密程度也电位变化较快，因而场强较强。这样，等
31、位面分布的疏密程度也可表示电场强度的强弱。可表示电场强度的强弱。电位相等的曲面称为电位相等的曲面称为等位面等位面，其方程为，其方程为Czyx),(电场线等位面式中常数式中常数 C 等于电位值。等于电位值。E2023-7-1427有极分子无极分子4.介质极化介质极化自由电荷自由电荷和和束缚电荷束缚电荷：导体导体中的电子通常称为中的电子通常称为自由电子自由电子，它们所携，它们所携带的电荷称为带的电荷称为自由电荷自由电荷。电介质电介质简称简称介质，介质，又叫又叫绝缘体。绝缘体。组成介质组成介质分子的原子核和其周围的电子云之间有很强的作用力，因而所有电分子的原子核和其周围的电子云之间有很强的作用力，因
32、而所有电子都是被束缚的，是不会自由运动的，这些电荷称为子都是被束缚的，是不会自由运动的，这些电荷称为束缚电荷束缚电荷。无极分子有极分子Ea介质的分子按有无固有偶极矩可分为介质的分子按有无固有偶极矩可分为有极分子有极分子和和无极分子无极分子。2023-7-1428介质的介质的极化极化：在电场作用下，介质中正、负束缚电荷朝相反的方：在电场作用下，介质中正、负束缚电荷朝相反的方向发生微小的位移，这种现象称为向发生微小的位移，这种现象称为极化极化。实际上，介质极化现象是逐渐形成的。当外加电场实际上，介质极化现象是逐渐形成的。当外加电场Ea 加到介质加到介质中以后，介质中出现的电偶极子产生二次电场中以后
33、，介质中出现的电偶极子产生二次电场Es，这种二次电场，这种二次电场 Es 又影响外加电场，从而导致介质极化发生改变，使二次电场又发生又影响外加电场，从而导致介质极化发生改变，使二次电场又发生变化。一直到合成电场产生的极化能够建立一个稳态的二次电场，变化。一直到合成电场产生的极化能够建立一个稳态的二次电场，极化状态达到动态平衡，其过程如下图所示。极化状态达到动态平衡，其过程如下图所示。介介 质质合成场合成场Ea+Es极极 化化二次场二次场Es外加场外加场Ea2023-7-1429 无极分子的极化称为无极分子的极化称为位移极化位移极化，有极分子的极化称为，有极分子的极化称为取向极化取向极化。无论哪
34、种极化，结果都是介质内部出现很多排列方向大致相同的电偶无论哪种极化，结果都是介质内部出现很多排列方向大致相同的电偶极子。这些电偶极子将产生电场。极子。这些电偶极子将产生电场。介质极化以后，介质中出现很多排列方向大致相同的电偶极子。介质极化以后，介质中出现很多排列方向大致相同的电偶极子。为了衡量这种极化程度，我们定义，单位体积中电矩的矢量和称为为了衡量这种极化程度，我们定义，单位体积中电矩的矢量和称为极化强度（电矩体密度），以极化强度（电矩体密度），以P 表示，即表示，即 VN1iipP式中式中 pi 为体积为体积 V 中第中第 i 个电偶极子的电矩，个电偶极子的电矩，N 为为V 中电偶极子中电
35、偶极子的数目。这里的数目。这里 V 应理解为物理无限小的体积。应理解为物理无限小的体积。实验结果表明，大多数介质在电场的作用下发生极化时，其实验结果表明，大多数介质在电场的作用下发生极化时，其极化强度极化强度 P 与介质中的合成电场强度与介质中的合成电场强度 E 成正比，即成正比，即EPe0式中式中e 称为介质的称为介质的电电极化率极化率，它是一个正实数。，它是一个正实数。2023-7-1430 由上可见，这类介质的极化强度与合成的电场强度的方向相同。由上可见，这类介质的极化强度与合成的电场强度的方向相同。极化强度的某一坐标分量仅决定于相应的电场强度的坐标分量。极化极化强度的某一坐标分量仅决定
36、于相应的电场强度的坐标分量。极化率与电场率与电场方向方向无关，这类介质称为无关，这类介质称为各向同性各向同性介质。介质。zyxzyxEEEPPP 33e32e31e23e22e21e13e12e11e0这就表明，介质的极化率与电场强度的方向有关，也就是极化特性与这就表明，介质的极化率与电场强度的方向有关，也就是极化特性与电场强度方向有关，因此，这类介质称为电场强度方向有关，因此，这类介质称为各向异性各向异性介质。介质。有些介质并不是这样，其极化强度的某一坐标分量不仅与电场强度有些介质并不是这样，其极化强度的某一坐标分量不仅与电场强度相应的坐标分量有关，而且与电场强度的其他分量也有关。这类介质的
37、相应的坐标分量有关，而且与电场强度的其他分量也有关。这类介质的极化强度极化强度 P 与电场强度与电场强度 E 的关系可用下列矩阵表示的关系可用下列矩阵表示 2023-7-1431 空间各点极化率相同的介质称为空间各点极化率相同的介质称为均匀均匀介质，否则，称为介质，否则，称为非均匀非均匀介介质。质。极化率与时间无关的介质称为极化率与时间无关的介质称为静止静止媒质，否则称为媒质，否则称为运动运动媒质。媒质。介质的均匀与非均匀性、线性与非线性、各向同性与各向异性、介质的均匀与非均匀性、线性与非线性、各向同性与各向异性、静止与运动分别代表完全不同的概念，不应混淆。静止与运动分别代表完全不同的概念，不
38、应混淆。因此，若极化率是一个因此，若极化率是一个正实常数正实常数，则适用于，则适用于线性均匀且各向同性线性均匀且各向同性的介质。若前述的介质。若前述矩阵矩阵的各个元素都是一个的各个元素都是一个正实常数正实常数，则适用于，则适用于线性均线性均匀各向异性匀各向异性的介质。的介质。极化率与电场强度的极化率与电场强度的大小无关大小无关的介质称为的介质称为线性线性介质，否则，称介质，否则，称为为非线性非线性介质。介质。2023-7-14322023-7-1433线性线性介质：介质：电极化率电极化率与与场强大小场强大小无关。无关。各向同性各向同性介质：介质：电极化率电极化率与与场强方向场强方向无关。无关。
39、均匀均匀介质：介质：电极化率电极化率与空间与空间位置位置无关。无关。静止静止介质：介质：电极化率电极化率与与时间时间无关。无关。对于均匀、线性、各向同性的介质对于均匀、线性、各向同性的介质e是一个与位置（坐标）、场是一个与位置（坐标）、场强的大小及其方向无关的常数，即强的大小及其方向无关的常数，即P与与E同方向且成正比。同方向且成正比。EPe0VVSd|)(41|d)(41)(0 0rrrPrrSrPr式中式中 为极化强度。为极化强度。)(rP2023-7-1434 可以证明这些极化电荷产生的电位为可以证明这些极化电荷产生的电位为 发生极化以后，介质分子中的正、负电荷分离，介质表面出现发生极化
40、以后，介质分子中的正、负电荷分离，介质表面出现面分布的面分布的束缚电荷束缚电荷。若介质内部是不均匀的，则极化产生的电偶极。若介质内部是不均匀的，则极化产生的电偶极子的分布也是不均匀的，在介质内部出现束缚电荷的体分布，因而子的分布也是不均匀的，在介质内部出现束缚电荷的体分布，因而出现体分布的束缚电荷。出现体分布的束缚电荷。这种因极化产生的面分布及体分布的束缚这种因极化产生的面分布及体分布的束缚电荷又称为电荷又称为极化电荷极化电荷。下面我们将要给出束缚电荷的面密度。下面我们将要给出束缚电荷的面密度 及体及体密度密度 与电极化强度与电极化强度P的关系。的关系。s 面电荷的电位公式及体电荷的电位公式如
41、下：面电荷的电位公式及体电荷的电位公式如下：d)(41)(0VV|rr|rrSSS 0d|)(41)(|rrrr2023-7-1435 比较可见，第一项代表比较可见，第一项代表面束缚电荷面束缚电荷产生的电位，第二项代表产生的电位，第二项代表体束体束缚电荷缚电荷产生的电位。由此求得束缚电荷的产生的电位。由此求得束缚电荷的面密度面密度及及体密度体密度为别为：为别为：(1)()(nerPrS(2)()(rPr注意注意：为介质表面的外法线方向上的单位矢量。为介质表面的外法线方向上的单位矢量。ne 对对(2)(2)式两端求体积分：式两端求体积分：)(qdVVr左边dVV)(-rP右边 利用高斯定理可得：
42、利用高斯定理可得：SrPrPddVSV)()(-Sq dSP 对对(1)(1)式两端求面积分：式两端求面积分：SSq dSP)(SSSqdS r左边SSnddSSrPerP)()(右边 由此可见，任一块介质内部由此可见，任一块介质内部体分布的束缚电荷与介质块的表体分布的束缚电荷与介质块的表面束缚电荷是等值异性的面束缚电荷是等值异性的。公式公式 与与 表明了束缚电荷面密度表明了束缚电荷面密度 、束缚电荷密度束缚电荷密度 与电极化强度与电极化强度 之间的关系，它们和式之间的关系，它们和式 共同表明了介质的极化规律。共同表明了介质的极化规律。n)()(erPrS)()(rPr)(rS)(r)(rPE
43、Pe02023-7-1436 5.介质中的静电场方程介质中的静电场方程 介质极化后产生束缚电荷，而束缚电荷又激发自己的电场，叠介质极化后产生束缚电荷，而束缚电荷又激发自己的电场，叠加在外电场上。因此，在普遍情况下，产生电场的电荷密度应包括加在外电场上。因此，在普遍情况下，产生电场的电荷密度应包括自由电荷密度自由电荷密度 和束缚电荷密度和束缚电荷密度 ，则高斯定律的微分形式为，则高斯定律的微分形式为0 E 将将 代入上式，得：代入上式，得：PPE0 上式表明矢量上式表明矢量 的散度仅决定于自由电荷密度的散度仅决定于自由电荷密度 。由此，。由此，可引入一个辅助矢量可引入一个辅助矢量D，称为，称为电
44、位移矢量电位移矢量或或电通密度矢量电通密度矢量，定义为：，定义为：PE 0PED0 则有：则有：D（高斯定律的微分形式）（高斯定律的微分形式）可见，介质中穿过任一闭合面的电位移的通量等于该闭合面包围的自可见，介质中穿过任一闭合面的电位移的通量等于该闭合面包围的自由电荷，而与束缚电荷无关。上式又称为介质中的高斯定律的积分形式。由电荷，而与束缚电荷无关。上式又称为介质中的高斯定律的积分形式。利用利用矢量恒等式矢量恒等式推出：推出：qS d SD（高斯定律的积分形式）（高斯定律的积分形式）2023-7-1437 介质中的高斯定律表明，从任意闭合面穿出的电位移通量（即介质中的高斯定律表明，从任意闭合面
45、穿出的电位移通量（即电通量）等于该面内的自由电荷量。电通量）等于该面内的自由电荷量。自由电荷是电位移矢量自由电荷是电位移矢量D的源的源。这样，在介质中用电位移矢量这样，在介质中用电位移矢量D进行计算，可不再考虑束缚电荷和进行计算，可不再考虑束缚电荷和极化强度，从而简化了计算。极化强度，从而简化了计算。在介质中可用电位移线（在介质中可用电位移线（D线）表示场中各点的大小和方向，线）表示场中各点的大小和方向，它从正自由电荷出发，而中止于负自由电荷。但介质中电场线的起它从正自由电荷出发，而中止于负自由电荷。但介质中电场线的起点和终点既可以是自由电荷，又可以是束缚电荷，故点和终点既可以是自由电荷，又可
46、以是束缚电荷，故D线和线和E线二者线二者是有区别的。是有区别的。介质中介质中微分形式的高斯定律表明，微分形式的高斯定律表明，某某点点电位移的散度等于该电位移的散度等于该点点自由自由电荷的体密度电荷的体密度。2023-7-1438 电位移也可用一系列曲线表示。曲线上某点的切线方向等于该电位移也可用一系列曲线表示。曲线上某点的切线方向等于该点电位移的方向，这些曲线称为点电位移的方向，这些曲线称为电位移线电位移线。若规定电位移线组成的。若规定电位移线组成的相邻的通量管中电位移的通量相等，那么电位移线的疏密程度即可相邻的通量管中电位移的通量相等，那么电位移线的疏密程度即可表示电位移的大小。值得注意的是
47、，表示电位移的大小。值得注意的是，电位移线起始于正的自由电荷，电位移线起始于正的自由电荷，而终止于负的自由电荷，与束缚电荷无关而终止于负的自由电荷，与束缚电荷无关。已知各向同性介质的极化强度已知各向同性介质的极化强度 ，求得，求得 EPe0EEEPED)1(e0e000令令 ，)1(e0式中式中 称为介质的介电常数。已知极化率称为介质的介电常数。已知极化率 e 为正实数，因此，一为正实数，因此，一切介质的介电常数均切介质的介电常数均大于大于真空的介电常数。真空的介电常数。ED则则2023-7-1439 实际中经常使用介电常数的相对值，这种相对值称为相对介电常实际中经常使用介电常数的相对值，这种
48、相对值称为相对介电常数，以数，以 r 表示，其定义为表示，其定义为11e0r可见，任何介质的相对介电常数总是可见，任何介质的相对介电常数总是大于大于1。下表给出了几种介质的。下表给出了几种介质的相对介电常数的近似值。相对介电常数的近似值。介介 质质介介 质质空空 气气1.0石石 英英3.3油油2.3云云 母母6.0纸纸1.34.0陶陶 瓷瓷5.36.5有机玻璃有机玻璃2.63.5纯纯 水水81石石 腊腊2.1树树 脂脂3.3聚乙烯聚乙烯2.3聚苯乙烯聚苯乙烯2.6rr2023-7-1440各向异性介质，由于电极化率具有九个分量，因此介电常数也具有九各向异性介质，由于电极化率具有九个分量，因此介
49、电常数也具有九个分量，则各向异性介质的电位移与电场强度的关系可以表示为个分量，则各向异性介质的电位移与电场强度的关系可以表示为zyxzyxEEEDDD 333231232221131211此式表明，各向异性介质中，电位移的方向与电场强度的方向不一此式表明，各向异性介质中，电位移的方向与电场强度的方向不一定相同，电位移某一分量可能与电场强度的各个（或者某些）分量定相同，电位移某一分量可能与电场强度的各个（或者某些）分量有关。电位移和电场强度的关系与外加电场的有关。电位移和电场强度的关系与外加电场的方向方向有关。此外，可有关。此外，可以推知均匀介质的介电常数与以推知均匀介质的介电常数与空间坐标空间
50、坐标无关。线性介质的介电常数无关。线性介质的介电常数与电场强度的与电场强度的大小大小无关。静止媒质的介电常数与无关。静止媒质的介电常数与时间时间无关。无关。2023-7-1441)1(0e0eEP 讨论束缚电荷与自由电荷的关系：讨论束缚电荷与自由电荷的关系：DEP 00DP rr1两边取散度可得：两边取散度可得：)1(1)1(rrrrrrDDDPDP )1(1 rrrrD 对于均匀介质，后项为零。因此，在均匀介质内且自由电荷对于均匀介质，后项为零。因此，在均匀介质内且自由电荷 的区域内，束缚电荷体密度的区域内，束缚电荷体密度 。在非均匀介质中，或者是在自由。在非均匀介质中，或者是在自由电荷存在
