1、数学与工程应用精品jing低通低通高通高通带通带通带阻带阻fcH(f)fQ(f)fcH(f)给理想滤波器一个脉冲激励，在给理想滤波器一个脉冲激励，在t=0时刻单位脉冲输时刻单位脉冲输入滤波器之前，滤波器就已经有响应了。故物理不入滤波器之前，滤波器就已经有响应了。故物理不可实现。可实现。0fA0ffc1fc2A00.707A0dBQ=W0/BMkkNkkknxbknya00当a0=1 是：MkkMkkknxbknyany01当ak,bk 为权系数，又称为滤波器系数。(1)(2)Mkkknxbny00001)(nnnkknnxnx)()()()(nhn 当输入被延迟后，输出同样延迟，即)()(mn
2、hmn若输入的单位取样信号乘以一个常数，那么输出也会同样乘以该常数，即)()()()(mnhmxmnmx一般地，输入信号可以表示为一系列延迟的单位取样序列的加权和，即mmnmxnx)()(nmmnmxny)()(作进一步的变换，令k=n-m，即0)()(kknxkhnynmmnmnkmnxbmnxmhknxkhny000)()()()()(因此其系统函数如下：NmNmzNhzhhzmhzH01)()1()0()()()()()1()()0()()()(1zXzNhzXzhzXhzXzHzYN 优点：1.系统只在原点处存在极点，这使得FIR滤波器具有稳定性。2.FIR滤波器具有线性相位，可以保证
3、系统的相移和频率成正比，达到无失真的传输。缺点：1.滤波器的输入是采样值，具有量化噪声和混叠误差。2.滤波器系数自身的量化误差，将改变滤波器的最终特性，副作用包括滤波器阻带内的低衰减及通带内的纹波。001nknxbjnyanyMkkNjjNiipzizCzH1若|Pi|无穷大时，h(n)-0，系统稳定。若|Pi|1,当n-无穷大时，h(n)-无穷大，系统不稳定。IIR滤波器与FIR滤波器比较，具有相位特性差的特点，但是因为运算量小，所以也被广泛的采用。数据的统计描述和分析数据的统计描述和分析1、表示位置的统计量平均值和中位数 平平均均值值（或均值，数学期望）：niiXnX11 中中位位数数：将
4、数据由小到大排序后位于中间位置的那个数值.2、表示变异程度的统计量标准差、方差和极差 标标准准差差：2112)(11niiXXns 它是各个数据与均值偏离程度的度量.方方差差：标准差的平方.极极差差：样本中最大值与最小值之差.一、统计量一、统计量 3.表示分布形状的统计量偏度和峰度偏偏度度：niiXXsg1331)(1 峰峰度度：niiXXsg1442)(1 偏度反映分布的对称性，g1 0 称为右偏态，此时数据位于均值右边的比位于左边的多；g1 0 称为左偏态，情况相反；而 g1接近 0则可认为分布是对称的.峰度是分布形状的另一种度量，正态分布的峰度为 3，若 g2比 3大很多，表示分布有沉重
5、的尾巴，说明样本中含有较多远离均值的数据，因而峰度可用作衡量偏离正态分布的尺度之一.4.k阶阶原原点点矩矩：nikikXnV11 k 阶阶中中心心矩矩：nikikXXnU1)(1二、分布函数的近似求法二、分布函数的近似求法1、整理资料整理资料：把样本值 x1，x2，xn进行分组，先将它们依大小次序排列，得*2*1nxxx.在包含,*1nxx的区间a，b内插入一些等分点：,21bxxxan注意要使每一个区间,(1iixx（i=1，2，n-1）内都有样本观测值 xi（i=1，2，n-1）落入其中.2、求求出出各各组组的的频频数数和和频频率率：统计出样本观测值在每个区间,(1iixx中出现的次数in
6、，它就是这区间或这组的频数.计算频率nnfii.3、作作频频率率直直方方图图：在直角坐标系的横轴上，标出21,nxxx各点，分别以,(1iixx为底边，作高为iixf的矩形，1,2,1,1nixxxiii,即得频率直方图.三、几个在统计中常用的概率分布三、几个在统计中常用的概率分布-4-2024600.050.10.150.20.250.30.350.41正态分布正态分布),(2smN密度函数：222)(21)(smspxexp分布函数：dyexFyx222)(21)(smsp其中m为均值，2s为方差，x.标准正态分布：N（0，1）密度函数2221)(xexpjdyexyx2221)(Fp，分
7、布函数0510152000.020.040.060.080.10.120.140.162、2分分布布2（n）若随机变量 X1，X2，Xn相互独立，都服从标准正态分布 N（0，1），则随机变量 Y=22221nXXX服从自由度为 n 的2分布，记为 Y2（n）.Y 的均值为 n，方差为 2n.3、t 分分布布 t（n）若 XN（0，1），Y2（n），且相互独立，则随机变量 nYXT 服从自由度为 n 的 t 分布，记为 Tt（n）.t 分布 t（20）的密度函数曲线和 N（0，1）的曲线形状相似.理论上 n时，Tt（n）N（0，1）.-6-4-2024600.050.10.150.20.250.
8、30.350.44.F分布分布 F（n1，n2）若 X2（n1），Y2（n2），且相互独立，则随机变量 21nYnXF 服从自由度为（n1，n2）的 F 分布，记作 F F（n1，n2）.由 F 分布的定义可以得到 F 分布的一个重要性质：若 F F（n1，n2），则),(112nnFF00.511.522.5300.10.20.30.40.50.60.70.80.91返回返回F分布F（10，50）的密度函数曲线无论总体 X 的分布函数 F（x；k,21）的类型已知或未知，我们总是需要去估计某些未知参数或数字特征，这就是参数估计问题.即参数估计就是从样本（X1，X2，Xn）出发，构造一些统计量
9、(iX1，X2，Xn）（i=1，2，k）去估计总体 X 中的某些参数（或数字特征）i（i=1，2，k）.这样的统计量称为估计量估计量.1.点估计点估计：构造（X1，X2，Xn）的函数(iX1，X2，Xn）作为参数i的点估计量，称统计量i为总体 X 参数i的点估计量.2.区间估计区间估计：构造两个函数(1 i X1，X2，Xn）和(2i X1，X2，Xn）做成区间，把这（21,ii）作为参数i的区间估计.一、点估计的求法一、点估计的求法(一）矩估计法假设总体分布中共含有 k 个参数，它们往往是一些原点矩或一些原点矩的函数，例如，数学期望是一阶原点矩，方差是二阶原点矩与一阶原点矩平方之差等.因此，
10、要想估计总体的某些参数i（i=1，2，k），由于 k 个参数一定可以表为不超过 k 阶原点矩的函数，很自然就会想到用样本的 r阶原点矩去估计总体相应的 r 阶原点矩，用样本的一些原点矩的函数去估计总体的相应的一些原点矩的函数，再将 k 个参数反解出来，从而求出各个参数的估计值.这就是矩估计法，它是最简单的一种参数估计法.(二）极大似然估计法极极大大似似然然法法的想法是:若抽样的结果得到样本观测值 x1,x2,xn,则我们应当这样选取参数i的 值,使 这 组 样 本 观 测 值 出 现 的 可 能 性 最 大.即 构 造 似 然 函 数：)()()(),(),(2211221121nnnnkxX
11、PxXPxXPxXxXxXPL),(),(),(),(1111211kniiknkkxpxpxpxp使),(1kL达到最大，从而得到参数i的估计值i.此估计值叫极极大大似似然然估估计计值值.函数),(1kL称为似似然然函函数数.求极大似然估计值的问题，就是求似然函数),(1kL的最大值的问题，则 0iL ki,2,1即 0iLnL ki,2,1设总体 X 的分布中含有未知参数，若对于给定的概率1（10），存在两个统计量(1 X1，X2，Xn）和(2 X1，X2，Xn）,使得 1)(21P则称随机区间(),21为参数的置信水平为1的置置信信区区间间,1称为置置信信下下限限,2称为置置信信上上限限
12、.二、区间估计的求法二、区间估计的求法设样本（X1，X2，Xn）来自正态母体 X，已知方差2sDX，EX 在置信水平 1-下的置信区间为,2121nuXnuXss.1、已知、已知DX，求，求EX的置信区间的置信区间2 未知方差未知方差DX，求，求EX的置信区间的置信区间EX 在置信水平 1-下的置信区间为,2121nstXnstX.(一一)数学期望的置信区间数学期望的置信区间（二）方差的区间估计（二）方差的区间估计DX 在置信水平 1-下的置信区间为)1(,)1(2222212snsn.返回返回1.参数检验参数检验：如果观测的分布函数类型已知，这时构造出的 统计量依赖于总体的分布函数，这种检验
13、称为参数检验.参数检验的目的往往是对总体的参数及其有关性质作出明 确的判断.对总体X的分布律或分布参数作某种假设，根据抽取的样本观察值，运用数理统计的分析方法，检验这种假设是否正确，从而决定接受假设或拒绝假设.2.非参数检验非参数检验：如果所检验的假设并非是对某个参数作出明 确的判断，因而必须要求构造出的检验统计量的分布函数 不依赖于观测值的分布函数类型，这种检验叫非参数检验.如要求判断总体分布类型的检验就是非参数检验.假设检验的一般步骤是假设检验的一般步骤是：1 根据实际问题提出原假设 H0与备择假设 H1，即说明需要检验 的假设的具体内容；2 选择适当的统计量，并在原假设 H0成立的条件下
14、确定该统计量 的分布；3 按问题的具体要求，选取适当的显著性水平，并根据统计量 的分布查表，确定对应于的临界值.一般取 0.05,0.01 或 0.104 根据样本观测值计算统计量的观测值，并与临界值进行比较，从 而在检验水平条件下对拒绝或接受原假设 H0作出判断.（一）单个正态总体均值检验（一）单个正态总体均值检验一、参数检验一、参数检验设取出一容量为 n 的样本，得到均值X和标准差 s，现要对总体均值m是否等于某给定值0m进行检验.记00:mmH；01:mmH称 H0为原原假假设设，H1为备备择择假假设设，两者择其一：接受 H0；拒绝 H0，即接受 H1.用 u检检验验，检验的拒绝域为21
15、uzW 即 2121uzuzW或 用样本方差2s代替总体方差2s，这种检验叫 t检检验验.总体方差2s已知统计量 z=nXsm0总体方差2s未知统计量tnsX0mH0H1在显著水平下拒绝 H0，若0mm0mm21 uz)1(21ntt0mm0mm1uz)1(1ntt0mm0mm1uz)1(1ntt1、总总体体方方差差2s已已知知2总总体体方方差差2s未未知知（二）单个正态总体方差检验（二）单个正态总体方差检验设 X1，X2，Xn是来自正态总体),(2smN的样本，欲检验假设：2020:ssH 2021:ssH（或 202ss 或 202ss）这叫2检检验验.均值m已知统计量212202)(1m
16、sniiX均值m未知统计量212202)(1XXniisH0H1在显著水平下拒绝 H0，若202ss202ss)(222n或)(2212n)1(222n或)1(2212n202ss202ss)(212n)1(212n202ss202ss)(22n)1(22n（三）两个正态总体均值检验（三）两个正态总体均值检验构造统计量 222121nnYXzss.1、21s与与22s已已知知时时2、21s与与22s未未知知但但相相等等时时构造统计量212121222211)2()1()1(nnnnnnsnsnYXt，方差2221,ss已知统计量 z方差2221,ss未知但相等统计量tH0H1在显著水平下拒绝
17、H0，若21mm21mm21 uz)2(2121nntt21mm21mm1uz)2(211nntt21mm21mm1uz)2(211nntt（四）两个正态总体方差检验（四）两个正态总体方差检验设样本 X1，X2，Xn1与 Y1，Y2，Yn2分别来自正态总体),(211smN与),(222smN，检验假设：22210:ssH 22211:ssH（或2221ss或2221ss）均值21,mm已知统计量0F均值21,mm未知统计量FH0H1在显著水平下拒绝 H0，若2221ss2221ss),(21210nnFF或),(112210nnFF)1,1(2121nnFF或)1,1(11221nnFF22
18、21ss2221ss),(2110nnFF)1,1(211nnFF2221ss2221ss),(11210nnFF)1,1(1121nnFF21122212110)(1)(1niiniiYnXnFmm，2221ssF（设2221ss）（一）（一）皮尔逊皮尔逊2拟合检验法拟合检验法二、非参数检验二、非参数检验（二）概率纸检验法（二）概率纸检验法 概率纸是一种判断总体分布的简便工具.使用它们，可以很快地判断总体分布的类型.概率纸的种类很多.如果一个总体的分布 F（X）是正态的，则（x，F（x）点在正态概率纸上应呈一条直线.设 X1，X2，Xn是从正态总体中抽得的样本观测值，将它们按大小排列后，记作
19、 X（1）X（2）X（n）.则当 n 较大时，样本的经验分布函数 Fn（x）和理论分布 F（x）很接近.因此，如果用（x，F（x）画图，则必应近似为一条直线.返回返回拟拟 合合2.2.拟合的基本原理拟合的基本原理1.拟合问题引例拟合问题引例曲曲 线线 拟拟 合合 问问 题题 的的 提提 法法已知一组（二维）数据，即平面上已知一组（二维）数据，即平面上 n个点个点（xi,yi)i=1,n,寻求一个函数（曲线）寻求一个函数（曲线）y=f(x),使使 f(x)在某种准则下与所在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。+xyy=f(x)(xi,yi)i i
20、 为点为点（xi,yi)与与曲线曲线 y=f(x)的距离的距离曲线拟合问题最常用的解法曲线拟合问题最常用的解法线性最小二乘法的基本思路线性最小二乘法的基本思路第一步:先选定一组函数先选定一组函数 r1(x),r2(x),rm(x),mn,令令 f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+amrm(x)（1）其中其中 a1,a2,am 为待定系数。为待定系数。第二步:确定确定a1,a2,am 的准则（最小二乘准则）：的准则（最小二乘准则）：使使n个点个点（xi,yi)与与曲线曲线 y=f(x)的距离的距离 i 的平方和最小的平方和最小。记记)2()()(),(211211221iiknimkkin
21、iniiimyxrayxfaaaJ 问题归结为，求问题归结为，求 a1,a2,am 使使 J(a1,a2,am)最小。最小。线性最小二乘法的求解：预备知识线性最小二乘法的求解：预备知识超定方程组超定方程组：方程个数大于未知量个数的方程组：方程个数大于未知量个数的方程组)(221111212111mnyarararyarararnmnmnnmm即即 Ra=ynmnmnnmyyyaaarrrrrrR112111211,其中其中超定方程一般是不存在解的矛盾方程组。超定方程一般是不存在解的矛盾方程组。如果有向量如果有向量a使得使得 达到最小，达到最小，则称则称a为上述为上述超定方程的最小二乘解超定方程
22、的最小二乘解。212211)(imniimiiyararar线性最小二乘法的求解线性最小二乘法的求解定理：定理：当当R RT TR R可逆时，超定方程组（可逆时，超定方程组（3 3）存在最小二乘解，）存在最小二乘解，且即为方程组且即为方程组 R RT TRa=RRa=RT Ty -y -正则（正规）方程组正则（正规）方程组的解：的解：a=(Ra=(RT TR)R)-1-1R RT Ty y所以，曲线拟合的最小二乘法要解决的问题，实际上就是求以所以，曲线拟合的最小二乘法要解决的问题，实际上就是求以下超定方程组的最小二乘解的问题。下超定方程组的最小二乘解的问题。nmnmnmyyyaaaxrxrxrxrR111111,)()()()(其中其中Ra=y （3）
