1、20052005- -2012018 8 年全国高中数年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题与答案学联赛江苏赛区初赛试题与答案 1 20052005 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题 一选择题选择题 (本题满分 36 分, 每小题 6 分) 1. 函数 ( )yf x 的图像按向量 (,2) 4 a 平移后, 得到的图像的解析式为 sin()2 4 yx . 那么 ( )yf x 的解析式为( ) A. sinyx B. cosyx C. sin2yx D. cos4yx 2. 如果二次方程 2* 0( ,)xpxqp qN的正根小于 3, 那么这样的二次方程有
2、( ) A. 5 个 B. 6 个 C. 7 个 D. 8 个 3. 设 0ab, 那么 2 1 () a b ab 的最小值是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 设四棱锥 PABCD 的底面不是平行四边形, 用平面 去截此 四棱锥, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 ( ) A. 不存在 B. 只有 1 个 C. 恰有 4 个 D. 有无数多个 5. 设数列 n a: 0121 2,16,1663 nnn aaaaa , nN*, 则 2005 a 被 64 除的余数为 ( ) A. 0 B. 2 C. 16 D. 48 6. 一条走廊宽 2 m, 长 8 m,
3、用 6 种颜色的 11 m 2 的整块地砖来铺设(每块地砖 都是单色的, 每种颜色的地砖都足够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 那么所有的不同 拼色方法有( ) A. 8 30个 B. 7 3025个 C. 7 3020个 D. 7 30 21个 二填空题填空题 (本题满分 36 分, 每小题 6 分) 7. 设向量 OA 绕点 O 逆时针旋转 2 得向量 OB, 且 2(7,9)OAOB, 则 向量 OB _ 奎屯 王新敞 新疆 8. 设无穷数列 n a 的各项都是正数, n S 是它的前 n 项之和, 对于任意正整数 n, n a与 2 的 等差中项等于 n S 与 2 的等比中项,
4、则该数列的通项公式为_ 奎屯 王新敞 新疆 9. 函数 xxxy( |2cos|cos|R) 的最小值是 _ 奎屯 王新敞 新疆 10. 在长方体 1111 ABCDABC D 中, 1 2,1ABAAAD, 点 E、F、G 分别是棱 1 AA、 11 C D 与 BC 的中点, 那么四面体 1 BEFG 的体积是 _ 奎屯 王新敞 新疆 11. 由三个数字 1、2、3 组成的 5 位数中, 1、2、3 都至少出现 1 次, 这样的 5 位数 C1 B1 D1 A1 A B C D P 20052005- -2012018 8 年全国高中数年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题与答案学联赛江苏赛区
5、初赛试题与答案 2 共有 _ 奎屯 王新敞 新疆 12. 已知平面上两个点集 22 ( , )| |1|2(),Mx yxyxyx yR, ( , )| |1|1,Nx yxayx yR. 若 MN , 则 a 的取值范围是_ 奎屯 王新敞 新疆 三解答题解答题 (第一题、第二题各 15 分；第三题、第四题各 24 分) 13. 已知点 M 是 ABC 的中线 AD 上的一点, 直线 BM 交边 AC 于点 N, 且 AB 是 NBC 的外接圆的切线, 设 BC BN , 试求 BM MN (用 表示) 奎屯 王新敞 新疆 14. 求所有使得下列命题成立的正整数 (2)n n: 对于任意实数
6、12 , n x xx, 当 1 0 n i i x 时, 总有 1 1 0 n ii i x x ( 其中 11n xx ) 奎屯 王新敞 新疆 M A B C N D 20052005- -2012018 8 年全国高中数年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题与答案学联赛江苏赛区初赛试题与答案 3 15. 设椭圆的方程为 22 22 1 (0) xy ab ab , 线段 PQ 是过左焦点 F 且不与 x 轴垂直的 焦点弦 奎屯 王新敞 新疆 若在左准线上存在点 R, 使 PQR 为正三角形, 求椭圆的离心率 e 的取值范围, 并用 e 表示直线 PQ 的斜率 奎屯 王新敞 新疆 16. (1
7、) 若 (n n N*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 2005, 求 n 的 最小值, 并说明理由 奎屯 王新敞 新疆 (2) 若 (n n N*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 2002 2005 , 求 n 的 最小值, 并说明理由 奎屯 王新敞 新疆 R Q F P o y x 20052005- -2012018 8 年全国高中数年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题与答案学联赛江苏赛区初赛试题与答案 4 20062006 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 一、选择题(本题满分 36 分，每小题 6 分) 本题共有 6 小题，每题均给出
8、 A、B、C、D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的请将正确答案 的代表字母填在题的括号内，每小题选对得 6 分；不选、选错或选出的字母超过一个（不论是否写在括 号内） ，一律得 0 分 1已知数列an的通项公式 an 2 n24n5，则an的最大项是 （ ） Aa1 Ba2 Ca3 Da4 2函数 y3 |log3x|的图象是 （ ） A B C D 3已知抛物线 y22px，O 是坐标原点，F 是焦点，P 是抛物线上的点，使得POF 是直角三角形，则 这样的 P 点共有 （ ） A0 个 B2 个 C4 个 D6 个 4设 f(x)是定义在 R 上单调递减的奇函数，若 x1x20，x2x3
9、0，x3x10，则（ ） Af(x1)f(x2)f(x3)0 Bf(x1)f(x2)f(x3)0 Cf(x1)f(x2)f(x3)0 Df(x1)f(x2)f(x3) 5过空间一定点 P 的直线中，与长方体 ABCDA1B1C1D1的 12 条棱所在直线所成等角的直线共有 （ ） A0 条 B1 条 C4 条 D无数多条 6在ABC 中，tanA1 2，cosB 3 10 10 若的最长边为 1，则最短边的长为 （ ） A4 5 5 B3 5 5 C2 5 5 D 5 5 二、填空题（本题满分 54 分，每小题 9 分） 本小题共有 6 小题，要求直接将答案写在横线上 7集合 Ax|x3n，n
10、N，0n10 ，By|y5m，mN，0n6则集合 AB 的所有元素 之和为_ 8设 cos2 2 3 ，则 cos4sin4 的值是_ 9(x3x2)3的展开式中，x5的系数为_ 10已知 y0， 3xy0， x3y30， 则 x2y2的最大值是_ x O y x O y x O y x O y 20052005- -2012018 8 年全国高中数年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题与答案学联赛江苏赛区初赛试题与答案 5 11等比数列an的首项为 a1=2020，公比 q1 2，设 f(n)表示这个数列的前 n 项的积，则当 n _时，f(n)有最大值 12 长方体 ABCDA1B1C1D1中
11、， 已知 AB14， AD13， 则对角线 AC1的取值范围是_ 三、解答题（本题满分 60 分，第 13 题，第 14 题各 12 分，第 15 题 16 分，第 16 题 20 分） 13设集合 Ax|log1 2(3x)2 ，Bx| 2a xa1 ，若 AB，求实数 a 的取值范围 14椭圆x 2 9 y2 41 的有焦点为 F，P1，P2，P24 为 24 个依逆时针顺序排列在椭圆上的点，其中 P1 是椭圆的右顶点，并且P1FP2P2FP3P3FP4P24FP1，若这 24 个点到右准线的距离 的倒数和为 S，求 S 的值 20052005- -2012018 8 年全国高中数年全国高
12、中数学联赛江苏赛区初赛试题与答案学联赛江苏赛区初赛试题与答案 6 15ABC 中，ABAC，AD、AE 分别是 BC 边上的高和中线，且BADEAC证明是直角 16设 p 是质数，且 p271 的不同正因数的个数不超过 10 个，求 p A B C D E 20052005- -2012018 8 年全国高中数年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题与答案学联赛江苏赛区初赛试题与答案 7 20072007 年全国高中数学联赛江苏赛区年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷初赛试卷 一一、选择题（本题满分选择题（本题满分 3636 分，每小题分，每小题 6 6 分）分） 1. 已知函数 2 sinyx，则
13、答： （A）有最小正周期2 （B）有最小正周期 （C）有最小正周期 2 （D）无最小周期 2. 关于x的不等式 22 200xaxa任意两个解的差不超过9，则a的最大值与最小值 的和是 答： （A） 2 （B） 1 （C） 0 （D） 1 3. 已知向量a、b，设AB a2b，5BC a6b，7CD a2b，则一定共线的 三点是 答： （A） A、B、D （B） A、B、C （C） B、C、D （D） A、C、D 4. 设、为平面，m、n为直线，则m的一个充分条件是 答： （A），n，mn （B）m， （C），m （D）n，n，m 5. 若m、 2 210 1010nx xaaa，其中1234
14、567 i a ， ， ， ， ， ，012i ， ，并且 636mn，则实数对( , )m n表示平面上不同点的个数为 答： （A）60个 （B）70个 （C）90个 （D）120个 6. 已知( )122007122007f xxxxxxx （xR）， 且 2 (32)(1),f aaf a 则 a 的值有 答： （A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）无数个 二二、填空题（本题满分填空题（本题满分 5454 分，每小题分，每小题 9 9 分）分） 7. 设 n S为等差数列 n a的前n项和，若 5 10S ， 10 5S ，则公差为 . 8. 设( )log () a f xxb(0
15、a 且1)a 的图象经过点(21)，它的反函数的图象经过点 (2 8)，则ab等于 . 20052005- -2012018 8 年全国高中数年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题与答案学联赛江苏赛区初赛试题与答案 8 9. 已知函数( )yf x的图象如图，则满足 2 2 2 21 ()(lg(620)0 21 xx ffxx xx 的 x的取值范围为 . 10. 圆锥曲线 22 621030xyxyxy的离心率是 . 11. 在ABC中，已知tan3B ， 2 2 sin 3 C ，3 6AC ，则ABC的面积为 12. 设命题P: 2 aa，命题Q: 对任何xR，都有 2 410xax .
16、命题P与Q中 有且仅有一个成立，则实数a的取值范围是 . 三三、解答题解答题（本题满（本题满分分 60 分，共分，共 4 小题，每题各小题，每题各 15 分分） 13. 设不等式组 0 0 xy xy ， 表示的平面区域为D. 区域D内的动点P到直线0xy 和直线0xy的距离之积为2. 记点P的轨迹为曲线C. 过点(2 2 0)F，的直线l与 曲线C交于A、B两点. 若以线段AB为直径的圆与y轴相切，求直线l的斜率. 14. 如图，斜三棱柱 111 ABCABC中，面 11 AACC是菱形， 1 60ACC，侧面 11 ABB A 11 AACC， 1 1ABABAC. 求证： （1） 1 A
17、A 1 BC； （2）求点 1 A到平面ABC的距离. B1 B A1 C1 A C 20052005- -2012018 8 年全国高中数年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题与答案学联赛江苏赛区初赛试题与答案 9 15. 已知数列 n a中， 1 1a ， 3 3 nn aa ， 2 2 nn aa . 求 2007 a. 16. 已知平面上10个圆，任意两个都相交. 是否存在直线l，与每个圆都有公共点？证明 你的结论. 20052005- -2012018 8 年全国高中数年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题与答案学联赛江苏赛区初赛试题与答案 10 20082008 年全国高中数学联赛江苏赛区
18、初赛试题年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题 （时间时间：20082008 年年 4 4 月月 2020 日上午日上午 8 8：00001010：0000） 一、选择题（本题满分一、选择题（本题满分 30 分，每小题分，每小题 6 分）分） 1. 如果实数 m，n，x，y 满足anm 22 ，byx 22 ，其中 a，b 为常数，那么 mx+ny 的最大值为 A. 2 ba B. ab C. 2 22 ba D. 2 22 ba 2. 设)(xfy 为指数函数 x ay . 在 P(1,1)，Q(1,2)，M(2,3)， 4 1 , 2 1 N四点中，函数)(xfy 与其 反函数)( 1 xfy
19、 的图像的公共点只可能是点 A. P B. Q C. M D. N 3. 在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差 数列，每一纵列成等比 数列，那么zyx的值为 答： A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 如果 111 CBA的三个内角的余弦值分别是 222 CBA的三个内角的正弦值，那么 A. 111 CBA与 222 CBA都是锐角三角形 B. 111 CBA是锐角三角形， 222 CBA是钝角三角形 C. 111 CBA是钝角三角形， 222 CBA是锐角三角形 D. 111 CBA与 222 CBA都是钝角三角形 5. 设 a，b 是夹角为 30 的异面直线，则满足
20、条件“a，b，且”的平面， A. 不存在 B. 有且只有一对 C. 有且只有两对 D. 有无数对 二、填空题（本题满分二、填空题（本题满分 50 分，每小题分，每小题 10 分）分） 6. 设 集 合 22 2 xxBxxxA和， 其 中 符 号 x表 示 不 大 于 x 的 最 大 整 数 ， 则 AB _. 7. 同时投掷三颗骰子，于少有一颗骰子掷出 6 点的概率是P _(结果要求写成既约分数）. 8. 已知点 O 在ABC内部，022OCOBOA.OCBABC与的面积之比为_. 9. 与圆04 22 xyx外切，且与 y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程为_. 10. 在ABC中，若 tanA
21、tanB=tanAtanC+tanctanB，则 2 22 c ba =_. 三、解答三、解答题（本题满分题（本题满分 70 分，各小题分别为分，各小题分别为 15 分、分、15 分、分、20 分、分、20 分）分） 11. 已知函数cbxxxf 2 2)(在1x时有最大值 1，nm0，并且nmx,时，)(xf的取值 范围为 mn 1 , 1 . 试求 m，n 的值. 1 2 0.5 1 x y z 20052005- -2012018 8 年全国高中数年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题与答案学联赛江苏赛区初赛试题与答案 11 12. A、B 为双曲线1 94 22 yx 上的两个动点，满足0
22、OBOA。 （）求证： 22 11 OBOA 为定值； （）动点 P 在线段 AB 上，满足0ABOP，求证：点 P 在定圆上. 13. 如图，平面 M、N 相交于直线 l. A、D 为 l 上两点，射线 DB 在平面 M 内，射线 DC 在平面 N 内. 已 知BDC，BDA，CDA，且， 都是锐角. 求二面角NlM的平面角 的余弦值（用，的三角函数值表示）. M B DA N C 20052005- -2012018 8 年全国高中数年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题与答案学联赛江苏赛区初赛试题与答案 12 1 14. 4. 能否将下列数组中的数填入 33 的方格表，每个小方格中填一个数，
23、使得每行、每列、两条对角 线上的 3 个数的乘积都相等？若能，请给出一种填法；若不能，请给予证明. （）2,4,6,8,12,18,24,36,48； （）2,4,6,8,12,18,24,36,72. 20052005- -2012018 8 年全国高中数年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题与答案学联赛江苏赛区初赛试题与答案 13 20092009 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛年全国高中数学联赛江苏赛区初赛 (2009 年 5 月 3 日 8001000) 一、填空题(每小题 7 分，共 70 分) 1已知 sincos1，则 cos()_ 2已知等差数列an的前 11 项的和为 55，去掉
24、一项 ak后，余下 10 项的算术平均值为 4若 a1 5，则 k_ 3设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率 e _ 4已知3 x1 9 x1 1 33 1x，则实数 x_ 5如图，在四面体 ABCD 中，P、Q 分别为棱 BC 与 CD 上的点，且 BP2PC，CQ 2QDR 为棱 AD 的中点，则点 A、B 到平面 PQR 的距离的比值为_ 6设 f(x)log3x 4x，则满足 f(x)0 的 x 的取值范围是_ 7右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽 10cm、体积为 3000cm 3的长方体， 长和高未定净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高
25、分别长 20cm、20cm、 60cm若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水_ cm 3 8设点 O 是ABC 的外心，AB13，AC12，则BCAO_ 9设数列an满足：an1an2an12(n1，2，)，a2009 2，则此数列 的前 2009 项的和为_ BC D A P Q R 20052005- -2012018 8 年全国高中数年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题与答案学联赛江苏赛区初赛试题与答案 14 10设 a 是整数，0b1若 a 22b(ab)，则 b_ 二、解答题(本大题共 4 小题，每小题 20 分，共 80 分) 11 在直角坐标系 xOy 中， 直线 x2y4
26、0 与椭圆x 2 9 y 2 41 交于 A， B 两点， F 是椭圆的左焦点 求 以 O，F，A，B 为顶点的四边形的面积 12如图，设 D、E 是ABC 的边 AB 上的两点，已知ACDBCE， AC14，AD7，AB28，CE12求 BC E B C D A 20052005- -2012018 8 年全国高中数年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题与答案学联赛江苏赛区初赛试题与答案 15 13若不等式 x yk 2xy对于任意正实数 x，y 成立，求 k 的取值范围 14 写出三个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与 10 的和都是完全平方数，请予以验 证； 是否存在四个不同的自然数，
27、 使得其中任意两个数的乘积与 10 的和都是完全平方数？请证明你 的结论 20052005- -2012018 8 年全国高中数年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题与答案学联赛江苏赛区初赛试题与答案 16 20201010 年年全国全国高中数学联赛高中数学联赛江苏赛区初赛试题江苏赛区初赛试题 一一、填空题（本题满分、填空题（本题满分 7070 分，每小题分，每小题 7 7 分）分） 1方程91 35 xx 的实数解为 2函数sincosyxx(xR R)的单调减区间是 . 3在ABC中，已知4AB AC，12AB BC，则AB . 4函数 2 21f xxx在区间0,2上的最大值是 ，最小值是
28、5在直角坐标系xOy中，已知圆心在原点O、半径为R的圆与ABC的边有公共点， 其中4,0A、6,8B 、2,4C ，则R的取值范围为 6设函数 f x的定义域为 R R，若1f x与1f x都是关于x的奇函数，则函 数 yf x在区间0,100上至少有 个零点. 7从正方体的12条棱和12条面对角线中选出n条，使得其中任意 两条线段所在的直线都是异面直线，则n的最大值为 8圆环形手镯上等距地镶嵌着4颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种其中 镀2金2银的概率是 9在三棱锥ABCD中，已知ACBCBD，ACDADCBCDBDC ，且 10 cos 10 已知棱AB的长为6 2，则此棱锥的体积为
29、10设复数列 n x满足1 n xa，0，且 1 1 n n n a x x x 若对任意nN N * * 都有 3nn xx ， 则a的值是 （第 7 题） 20052005- -2012018 8 年全国高中数年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题与答案学联赛江苏赛区初赛试题与答案 17 二、二、解答题（本题满分解答题（本题满分 8080 分，每小题分，每小题 2020 分）分） 11直角坐标系xOy中，设A、B、M是椭圆 2 2 :1 4 x Cy上的三点若 34 55 OMOAOB，证 明：线段AB的中点在椭圆 2 2 21 2 x y上 12已知整数列 n a满足 3 1a ， 7 4a
30、 ，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列 (1) 求数列 n a的通项公式； (2) 求出所有的正整数m，使得 1212mmmmmm aaaa aa 20052005- -2012018 8 年全国高中数年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题与答案学联赛江苏赛区初赛试题与答案 18 13如图，圆内接五边形ABCDE中，AD是外接圆的直径， BEAD，垂足H. 过点H作平行于CE的直线，与直线AC、 DC分别交于点F、G 证明： (1) 点A、B、F、H共圆； (2) 四边形BFCG是矩形 14求所有正整数x，y，使得 2 3xy与 2 3yx都是完全平方数 A B C D E F H G
31、 20052005- -2012018 8 年全国高中数年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题与答案学联赛江苏赛区初赛试题与答案 19 2011 年高中数学联赛江苏赛区试题年高中数学联赛江苏赛区试题 一、一、填空题（本题共填空题（本题共 10 小题，每小题小题，每小题 7 分，要求将答案直接写在横线上）分，要求将答案直接写在横线上） 1 复数 44 (1 i)(1 i) 2已知直线10xmy 是圆 22 :4450C xyxy的一条对称轴，则实数m . 2 3某班共有 30 名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率 是 （结果用最简分数表示） 3 4已知 1 cos4 5
32、 ，则 44 sincos 5 已知向量 a，b 满足 2, 3 aba b，则以向量2 ab与3 ab表示的有向线段为邻边的平行 四边形的面积为 6设数列an的前 n 项和为 Sn若Sn是首项及公比都为 2 的等比数列，则数列an3的前 n 项和等 于 7设函数 2 ( )2f xx若 f(a)f(b)，且 0ab，则 ab 的取值范围是 8设 f (m)为数列an中小于 m 的项的个数，其中 2, n an nN*，则 (2011)f f . 9 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为 4 的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角 形的斜边长是 10 已 知 m 是 正 整 数 ， 且 方 程
33、210100xmxm有 整 数 解 ， 则 m 所 有 可 能 的 值 是 二、解答题（本大题共解答题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 20 分，共分，共 80 分）分） 20052005- -2012018 8 年全国高中数年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题与答案学联赛江苏赛区初赛试题与答案 20 A B C P 11已知圆 22 1xy与抛物线 2 yxh有公共点，求实数 h 的取值范围 12 设 2 ()(,)f xxb x cbcR 若2x 时，( )0f x ， 且( )f x在区间2,3上的最大值为 1， 求 22 bc 的最大值和最小值 13如图，P 是ABC内一点 （1
34、）若 P 是ABC的内心，证明： 1 90 2 BPCBAC； （2）若 1 90 2 BPCBAC且 1 90 2 APCABC，证明：P 是ABC的内心 证明： （1） 111 180()180(180)90 222 BPCABCACBBACBAC 20052005- -2012018 8 年全国高中数年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题与答案学联赛江苏赛区初赛试题与答案 21 14已知是实数，且存在正整数 n0，使得 0 n为正有理数 证明：存在无穷多个正整数 n，使得n为有理数 www.zxsx.c 2012 高中数学联赛江苏赛区初赛试卷高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 一、填空题（一、填空
35、题（7070 分）分） 1、当 3,3x 时，函数 3 ( ) |3 |f xxx的最大值为_. 2、在ABC中，已知12,4,AC BCAC BA则AC _. 3、从集合3,4,5,6,7,8中随机选取 3 个不同的数，这 3 个数可以构成等差数列的概率为_. 4、已知a是实数，方程 2 (4)40xi xai的一个实根是b（i是虚部单位） ，则|abi的值为 _. 5、在平面直角坐标系xOy中，双曲线:C 22 1 124 xy 的右焦点为F，一条过原点O且倾斜角为锐 角的直线l与双曲线C交于,A B两点.若FAB的面积为8 3，则直线的斜率为_. 6、已知a是正实数， lga ka的取值
36、范围是_. 7、在四面体ABCD中，5ABACADDB,3BC ,4CD 该四面体的体积为 _. 8、 已知等差数列 n a和等比数列 n b满足： 1122 3,7,abab 3344 15,35,abab 则 nn ab_.（ * nN） 9、将27,37,47,48,55 71 75， ，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排 列有_种. 10、三角形的周长为31，三边, ,a b c均为整数，且abc，则满足条件的三元数组( , , )a b c的个 20052005- -2012018 8 年全国高中数年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题与答案学联赛江苏赛区初赛试
37、题与答案 22 数为_. 二、解答题（本题 80 分，每题 20 分） 11、在ABC中，角, ,A B C对应的边分别为, ,a b c，证明： （1）coscosbCcBa （2） 2 2sin coscos 2 C AB abc 12、已知, a b为实数，2a ，函数( ) |ln|(0) a f xxb x x .若 (1)1, (2)ln2 1 2 e fef . （1）求实数, a b； （2）求函数( )f x的单调区间； （3）若实数, c d满足,1cd cd，求证：( )( )f cf d 20052005- -2012018 8 年全国高中数年全国高中数学联赛江苏赛区初
38、赛试题与答案学联赛江苏赛区初赛试题与答案 23 13、如图，半径为1的圆O上有一定点M为圆O上的动点.在射线 OM上有一动点B,1,1ABOB.线段AB交圆O于另一点 C，D为线段的OB中点.求线段CD长的取值范围. 14、设是, , ,a b c d正整数，, a b是方程 2 ()0xdc xcd的两个根.证明：存在边长是整数且 面积为ab的直角三角形. 20052005- -2012018 8 年全国高中数年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题与答案学联赛江苏赛区初赛试题与答案 24 2013 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题 （5 月月 5 日日 8:0
39、0 至至 10:00） 一填空题：本大题共一填空题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 7 分，共分，共 70 分分 1设方程 22 210xmxm 的根大于2，且小于4，则实数m的范围是 2从 6 双不同号码的鞋中取出 4 只，至少配成一双的概率为 3设实数x，y满足 2 430xxy，则 22 xy的最大值与最小值之差是 4若存在正实数a，b满足(i)(i) nn abab（i是虚数单位， * nN） ，则n的最小值是 5若三角形ABC的三边AB，BC，AC成等差数列，则A的取值范围是 6若数列 n a满足 4 9a ， 11 (1)(3)0 nnnn aaaa （ * nN） ，则
40、满足条件的 1 a的所有可能值之积 是 7已知 2 ( )942013f xxx，则 60 30 ( )( ) n f nf n 8设x，02y，且满足 1 2sin cossincos 2 xyxy ，则xy的最大值为 9已知正四面体ABCD的棱长为 9，点P是面ABC上的一个动点，满足P到面DAB、DBC、DCA的 距离成等差数列，则P到面DCA距离的最大值是 10将小王和小孙现在的年龄按从左到右的顺序排列得到一个四位数，这个四位数为完全平方数，再过 31 年，将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个四位数，这个数仍为完全平方数，小王现在的年 龄是 二解答题：本大题共二解答题：本大题共 4
41、小题，每小题小题，每小题 20 分，共分，共 80 分分 20052005- -2012018 8 年全国高中数年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题与答案学联赛江苏赛区初赛试题与答案 25 11设k为实数，06k，椭圆 2 2 1 () :1 9 xk Ey 与椭圆 2 2 2: 1 9 x Ey交于点A和C， 1 E的左顶点 为B， 2 E的右顶点为D（如图） ，若四边形ABCD是正方形，求实数k 12如图，梯形ABCD中，B、D关于对角线AC对称的点分别是 B 、 D ，A、C关于对角线BD对 称的点分别是 A 、 C 证明：四边形A B C D 是梯形 13设实数a，b满足 1 01 2
42、ab 证明：2()coscosbaab 14正 100 边形的每个顶点染红、黄、蓝三色之一证明：必存在四个同色点，恰为某等腰梯形的顶点 20052005 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛年全国高中数学联赛江苏赛区初赛 试题参考答案及评分标准试题参考答案及评分标准 20052005- -2012018 8 年全国高中数年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题与答案学联赛江苏赛区初赛试题与答案 26 说明： 1. 评阅试卷时, 请依据本评分标准 奎屯 王新敞 新疆 选择题、填空题只设 6 分和 0 分两档 奎屯 王新敞 新疆 其他各题 的评阅, 请严格按照本评分标准规定的评分档次给分, 不要再增加其他中间档次 奎屯 王新敞 新疆 2. 如果考生的解答方法和本解答不同, 只要思路合理, 步骤正确, 在评卷时可参照
