1、27.2.3 切线（2）1.掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算 与证明.（重点）2.了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念.3.学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想.（难点）学习目标情境引入同学们玩过空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球的旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？P1.切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长AO切线是直线，不能度量.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量2.切线长与切线的区别在哪里？切线长定理概念学习思考：PA为O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B OB是O
2、的一条半径吗？PB是O的切线吗？（利用图形轴对称性解释）PA、PB有何关系？APO和BPO有何关系？O.PABPO切线长定理:过圆外一点引所画的圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分则两条切线的夹角.PA、PB分别切O于A、BPA=PBOPA=OPB几何语言:切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.注意知识要点O.PAB已知，如图PA、PB是O的两条切线，A、B为切点.求证：PA=PB，APO=BPO.做一做证明：PA切O于点A，OAPA.同理可得OBPB.OA=OB，OP=OP，RtOAPRtOBP，PA=PB，APO=BPO.1.PA、PB是O的两条切线，A、B为切
3、点，直线OP交O于点D、E，交AB于C.（1）写出图中所有的垂直关系；OAPA，OB PB，AB OP.（3）写出图中所有的全等三角形；AOP BOP，AOC BOC，ACP BCP.（4）写出图中所有的等腰三角形.ABP AOB（2）写出图中与OAC相等的角；OAC=OBC=APC=BPC.P练一练P 2.PA、PB是O的两条切线，A,B是切点，OA=3.（1）若AP=4,则OP=;（2）若BPA=60,则OP=.56 3.如图，PA、PB是O的两条切线，点A、B是切点，在弧AB上任取一点C，过点C作O的切线，分别交PA、PB于点D、E.已知PA=7，P=40.则 DOE=.PDE的周长是
4、；14OPABCED70解析：连接OA、OB、OC、OD和OE.PA、PB是O的两条切线，点A、B是切点，PA=PB=7.PAO=PBO=90.AOB=360-PAO-PBO-P=140.又DC、DA是O的两条切线，点C、A是切点，DC=DA.同理可得CE=CB.SPDE=PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PA+PB=14.OPABCED121212OA=OC，OD=OD，AODCOD，DOC=DOA=AOC.同理可得COE=COB.DOE=DOC+COE=（AOC+COB）=70.切线长问题辅助线添加方法：（1）分别连接圆心和切点；（2）连接两切点；（3）连接圆心和圆外一点.方法归纳
5、问题1 一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，使截出的圆与三角形各边都相切呢？ABCABC三角形的内切圆、内心互动探究问题2 如何作圆，使它和已知三角形的各边都相切？已知：ABC.求作：和ABC的各边都相切的圆.ABCOMND作法：1.作B和C的平分线BM和CN，交点为O.2.过点O作ODBC.垂足为D.3.以O为圆心，OD为半径作圆O.O就是所求的圆.1.与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆.2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.4.三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点.BACIDEF三角形的内心到三角形的三边的距离相等.O
6、是ABC的内切圆，点O是ABC的内心，ABC是O的外切三角形.知识要点名称确定方法图形性质外心：三角形外接圆的圆心内心：三角形内切圆的圆心三角形三边中垂线的交点1.OA=OB=OC2.外心不一定在三角形的内部三角形三条角平分线的交点1.到三边的距离相等；2.OA、OB、OC分别平分BAC、ABC、ACB3.内心在三角形内部ABOABCO填一填例1 ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的长.想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？ACBEDFO解:设AF=xcm，则AE=xcm.CE=CD=AC-AE
7、=9-x(cm)，BF=BD=AB-AF=13-x(cm).由 BD+CD=BC，可得(13-x)+(9-x)=14，AF=4(cm)，BD=9(cm)，CE=5(cm).方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.解得 x=4.20 4110 1.如图，PA、PB是O的两条切线，切点分别是A、B，如果AP=4,APB=40 ,则APO=,PB=.P第1题2.如图，已知点O是ABC 的内心，且ABC=60,ACB=80,则BOC=.第2题练练 习习3.如图，PA、PB是O的两条切线，切点为A、B,P=50，点C是O上异于A、B的点，则ACB=.65 或115
8、 P第3题4.ABC的内切圆O与三边分别切于D、E、F三点，如图，已知AF=3,BD+CE=12,则ABC的周长是 .第4题30拓展提升：直角三角形的两直角边分别是3cm,4cm,试问：（1）它的外接圆半径是 cm;内切圆半径是 cm？（2）若移动点O的位置，使O保持与ABC的边AC、BC都相切，求O的半径r的取值范围.ABCEDFO51解：如图所示，设与BC、AC相切的最大圆与BC、AC的切点分别为B、D,连接OB、OD,则四边形BODC为正方形.ABODCOBBC3，半径r的取值范围为0r3.切线长切 线 长定理作 用图形的轴对称性原 理提供了证线段和角相等的新方法辅助线 分别连接圆心和切点；连接两切点；连接圆心和圆外一点.三角形内切圆运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.有关概念内心概念及性质应 用小结小结
