1、圆锥曲线常用的二级结论圆锥曲线常用的二级结论 椭圆与双曲线对偶结论椭圆与双曲线对偶结论 椭圆双曲线 标准方程 22 22 10 xy ab ab 焦点 12 ,0 ,0FcFc 22 22 10,0 xy ab ab 焦点 12 ,0 ,0FcFc 焦半径 1020 ,PFaex PFaex e为离心率， 0 x为点P的横坐标. 1020 ,PFexa PFexa e为离心率， 0 x为点P的横坐标. 焦半径范围 acPFac P为椭圆上一点，F为焦点. PFac P为双曲线上一点，F为焦点. 通径 过焦点与长轴垂直的弦称为通径. 通径长为 2 2b a 过焦点与实轴垂直的弦称为通径. 通径长
2、为 2 2b a 如图，直线l过焦点 1 F与椭圆相交于,A B 两点.则 2 ABF的周长为4a. （即 22 4F AF BABa） 如图，直线l过焦点 1 F与双曲线相交于 ,A B两点.则 22 4F AF BABa. 焦点弦 倾斜角为的直线l过焦点F与椭圆相交 于,A B两点. 焦点弦长 2 2222 2 sin ab AB abb . 最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径. 倾斜角为的直线l过焦点F与双曲线相 交于,A B两点. 焦点弦长 2 2222 2 sin ab AB abb . AF与BF 数量关系 直线l过焦点F与椭圆相交于,A B两点， 则 2 112a AFBFb .
3、 直线l过焦点F与双曲线相交于,A B两点 ，则 2 112a AFBFb . 已知点P是椭圆上一点，O坐标原点， 则bPOa. 已知点P是双曲线上一点，O坐标原点， 则POa. 焦三角形 如图，P是椭圆上异于长轴端点的一点， 已知 12 FPF， 12 PFF， 21 PF F，则 （1） 1 2 2 tan 2 PF F Sb ； （2）离心率 sin sinsin e . 如图，P是双曲线上异于实轴端点的一点 ，已知 12 FPF， 12 PFF， 21 PF F，则 （1） 1 2 2 2 cot 2 tan 2 PF F b Sb ； （2）离心率 sin sinsin e . 垂径
4、定理 如图，已知直线l与椭圆相交于,A B两点 ，点M为AB的中点，O为原点，则 2 2 OMAB b kk a . 如图，已知直线l与双曲线相交于,A B两 点，点M为AB的中点，O为原点，则 2 2 OMAB b kk a . （注：直线（注：直线l与双曲线的渐近线相交于与双曲线的渐近线相交于 ,A B两点，其他条件不变，结论依然成立两点，其他条件不变，结论依然成立 ） 周角定理 如图，已知点,A B椭圆长轴端点（短轴端 点），P是椭圆上异于,A B的一点， 则 2 2 PAPB b k k a . 推广：如图，已知点,A B是椭圆上关于原 点对称的两点，P是椭圆上异于,A B的一 点，若
5、直线,PA PB的斜率存在且不为零 ， 2 2 PAPB b k k a 如图，已知点,A B双曲线实轴端点，P是 双曲线上异于,A B的一点， 则 2 2 PAPB b k k a . 推广：如图，已知点,A B是双曲线上关于 原点对称的两点，P是双曲线上异于,A B 的一点，若直线,PA PB的斜率存在且不 为零， 2 2 PAPB b k k a . 直线l过焦点,0F c与椭圆相交于,A B 两点，点 2 ,0 a P c ， 则APFBPF （即0 PAPB kk）. 直线l过焦点,0F c与双曲线相交于 ,A B两点，点 2 ,0 a P c ， 则APFBPF （即0 PAPB
6、kk）. 切线方程 已知点 00 ,P xy是椭圆上一点，则椭圆 在点P处的切线方程为 00 22 1 x xy y ab . 已知点 00 ,P xy是双曲线上一点，则双 曲线在点P处的切线方程为 00 22 1 x xy y ab . 双曲线的结论双曲线的结论 1过定点（定点在双曲线外且不在渐近线上）的直线与双曲线交点个数问题： 设斜率为k的直线l过定点0,0Ptt ，双曲线方程为 22 22 10,0 xy ab ab ，过点P与双曲 线相切时的斜率为 0 k. （1）当0 b k a 时，直线l与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的两支上； （2）当 b k a 时，直线l与双曲线只
7、有一个交点； （3）当 0 b kk a 时，直线l与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的同一支上； （4）当 0 kk时，直线l与双曲线只有一个交点； （5）当 0 kk时，直线l与双曲线没有交点. 2如图，,0F c是双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的焦点，过点F作FH垂直双曲线的其中一条 渐近线，垂足为H，O为原点，则,OHa FHb. 3点P是双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 上任意一点，则点P到双曲线的渐近线的距离之积为定值 22 22 a b ab . 4点P是双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 上任意一点，过点P作双曲线的渐近线的平行线
8、分别与渐 近线相交于,M N两点，O为原点，则平行四边形OMPN的面积为定值 2 ab . 欢迎关注微信公众号（QQ群）：高中数学解题研究群416652117 欢迎关注微信公众号（QQ群）：高中数学解题研究群416652117 抛物线的结论抛物线的结论 如图，抛物线方程为20ypx p，准线 2 p x 与x轴相交于点P，过焦点,0 2 p F 的直线l与 抛物线相交于 11 ,A x y， 22 ,B xy两点，O为原点，直线l的倾斜角为. 1 2 12 2 12 , 4 . p x x y yp 2焦半径： 1 2 p AFx， 2 2 p BFx， 12 ABxxp. 3焦点弦： 2 2 sin p AB . 4,AF BF的数量关系： 112 AFBFp ， 2 2 sin p AF BF . 5三角形AOB的面积 2 2sin AOB p S . 6以焦点弦AB为直径的圆与准线相切；以焦半径AF为直径的圆与y轴相切. 7直线,PA PB的斜率之和为零（0 PAPB kk），即APFBPF . 8点,A O N三点共线；点,B O M三点共线. 9如图，点,A B是抛物线20ypx p，O为原点，若 90AOB o，则直线 AB过定点2 ,0p. 欢迎关注微信公众号（QQ群）：高中数学解题研究群416652117
