1、小学四年级奥数教程小学四年级奥数教程第一讲第一讲 高斯求和高斯求和高斯的故事高斯的故事 德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人。大约德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人。大约10岁时，老师在岁时，老师在算术课上出了一道难题：算术课上出了一道难题：“把把1到到100的整数写下来，然后把它们加的整数写下来，然后把它们加起来！起来！”每当有考试时他们班有如下的习惯：第一个做完的就把石每当有考试时他们班有如下的习惯：第一个做完的就把石板（当时通常用于写字）面朝下地放在老师的桌子上，第二个做完板（当时通常用于写字）面朝下地放在老师的桌子上，第二个做完的就把石板摆在第一张石板上，就这样一个个落起来。这道难题当的
2、就把石板摆在第一张石板上，就这样一个个落起来。这道难题当然难不倒学过算术级数的人，但对于刚学算术不久的孩子来说，难然难不倒学过算术级数的人，但对于刚学算术不久的孩子来说，难度较大。老师心想：终于可以休息一下了！但他错了，因为还不到度较大。老师心想：终于可以休息一下了！但他错了，因为还不到几秒钟，高斯已经把石板放在讲桌上了。同时说道：几秒钟，高斯已经把石板放在讲桌上了。同时说道：“答案在这答案在这儿儿”。而其他学生还在埋头苦干，把数字一个个加起来，有的额头。而其他学生还在埋头苦干，把数字一个个加起来，有的额头都出汗了。但高斯却静静地坐着，对老师投来的怀疑眼光毫不在意。都出汗了。但高斯却静静地坐着
3、，对老师投来的怀疑眼光毫不在意。考完后，老师一张张地检查着石板，大部分都做错了，当然也免不考完后，老师一张张地检查着石板，大部分都做错了，当然也免不了吃一顿鞭打。最后，高斯的石板被翻了过来，只见上面只有一个了吃一顿鞭打。最后，高斯的石板被翻了过来，只见上面只有一个数字：数字：5050。这正是正确的答案。老师吃了一惊！。这正是正确的答案。老师吃了一惊！1 11001002 299993 398984949525250505151。1 1100100正好可以分成这样的正好可以分成这样的5050对数，每对数的对数，每对数的和都相等。于是，高斯把这道题巧算为：和都相等。于是，高斯把这道题巧算为：（1+
4、1001+100）1001002 250505050。高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于单快捷，并且广泛地适用于“等差数列等差数列”的求和问的求和问题。题。若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。例如：例如：（1 1）1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，10
5、0100；（2 2）1 1，3 3，5 5，7 7，9 9，9999；（3 3）8 8，1515，2222，2929，3636，7171。其中（其中（1 1）是首项为）是首项为1 1，末项为，末项为100100，公差为，公差为1 1的等差数列；的等差数列；（2 2）是首项为）是首项为1 1，末项为，末项为9999，公差为，公差为2 2的等差数列；（的等差数列；（3 3）是）是首项为首项为8 8，末项为，末项为7171，公差为，公差为7 7的等差数列。的等差数列。由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项（首项+末项）末项）项数项数2 2。根
6、据等差数列的求和公式，可以变形得到如下的数量关根据等差数列的求和公式，可以变形得到如下的数量关系：项数系：项数=（末项（末项-首项）首项）公差公差+1+1 末项末项=首项首项+公差公差（项数（项数-1-1）首项首项=末项末项-公差公差（项数（项数-1-1）例例1 1：1 12 23 34 45 5 19192020？2 24 46 68 8 48485050？分析：观察上面两道题，不难发现它们都是等差数列。第分析：观察上面两道题，不难发现它们都是等差数列。第题的首项是题的首项是1 1，末项是，末项是2020，共有，共有2020个数。而第题的首项是个数。而第题的首项是2 2，末，末项是项是505
7、0，共有，共有2525个数。由等差数列求和公式可得：个数。由等差数列求和公式可得：1 12 23 34 45 5 19192020 （1 12020）20202 2 212120202 2 210210 2 24 46 68 8 48485050 （2 25050）25252 2 525225252 2 650650 注意：注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。加数是否构成等差数列。练一练：练一练：计算计算1 12 23 34 45 5 49495050的和的和 解：原式解：原式（1 15050）50502
8、2 515150502 2 12751275 计算计算1 13 35 57 7 97979999的和的和 解：原式解：原式（1 19999）50502 2 10010050502 2 25002500 第一行放了第一行放了1 1颗糖，第二行放了颗糖，第二行放了2 2颗糖，第三行放了颗糖，第三行放了3 3颗糖，依颗糖，依此类推，第四十行放了此类推，第四十行放了4040颗糖，第一颗糖，第一四十行一共放了四十行一共放了多少颗多少颗糖？糖？1 12 23 34 45 5 4040 （1 14040）40402 2 414140402 2 820820（颗）（颗）例例2 2：求求5 58 8111114
9、1429293232的和的和 分析：这是一个公差为分析：这是一个公差为3 3、首项为、首项为5 5、末项为、末项为3232的等差数列。如果按等差数列求和的公式计算，还的等差数列。如果按等差数列求和的公式计算，还必须先找出项数。根据项数必须先找出项数。根据项数（末项首项）（末项首项）公公差差1 1，这个等差数列的项数是（，这个等差数列的项数是（32325 5）3 31 1 1010。解：（解：（32325 5）3 31 1 27273 31 1 9 91 1 10 10 5 58 81111141429293232 （5 53232）10102 2 373710102 2 185 185 练一练
10、：练一练：计算计算3 37 711 11 43434747的和的和解解：（：（47473)3)4 41 1 44444 41 1 11111 1 1212 3 37 711 11 43434747 (3(347)47)12122 2 505012122 2 6006002 2 300300练一练：练一练：计算计算5 5101015 15 90909595100100的和的和解解：（：（1001005)5)5 51 1 95955 51 1 19191 1 2020 5 5101015 15 90909595100100 (5(5100)100)20202 2 10510520202 2 210
11、021002 2 10501050练一练：练一练：美羊羊学做蛋糕，第一天做了美羊羊学做蛋糕，第一天做了5 5个蛋糕，以后每天都比前一个蛋糕，以后每天都比前一天多做天多做2 2个，最后一天做了个，最后一天做了2525个蛋糕，美羊羊这些天中一共个蛋糕，美羊羊这些天中一共做了多少个蛋糕？做了多少个蛋糕？（25255)5)2 21 1 20202 21 1 10101 1 1111 (5 (525)25)11112 2 303011112 2 3303302 2 165165例例3 3：有一列数按如下规律排列：有一列数按如下规律排列：1010、1717、2424、31 31 这列数中前这列数中前808
12、0个数的和是多少？个数的和是多少？分析：这是一个公差为分析：这是一个公差为7 7、首项为、首项为1010、项数为、项数为8080的等差的等差数列，末项未知。如果按等差数列求和的公式计算，还必须数列，末项未知。如果按等差数列求和的公式计算，还必须先找出末项。根据末项先找出末项。根据末项=首项首项+公差（项数公差（项数-1-1），这个等差），这个等差数列的末项是数列的末项是10107 7（80 801 1）563563。解：解：10 107 7（80801 1）10107 7 79 79 1010553 553 563 563 （1010563563）80802 2 57357380802 2 2
13、292022920练一练：练一练：有一列数按如下规有一列数按如下规律排列：律排列：5 5、9 9、1313、1717这列这列数中前数中前2424个数的和是多少？个数的和是多少？5 54 4（24241 1）5 54 4 23 23 5 592 92 97 97 （5 59797）24242 2 10210224242 2 12241224练一练：练一练：小明练习写毛笔字，第一天写小明练习写毛笔字，第一天写了了8 8个大字，以后每个大字，以后每一天都比前一天多写一天都比前一天多写3 3个，小明个，小明3030天一共写了多少天一共写了多少个个毛笔字？毛笔字？8 83 3（30301 1）8 83
14、3 29 29 8 887 87 95 95 （8 89595）30302 2 10310330302 2 15451545练一练：练一练：有一堆粗细均匀的圆木，最上面有有一堆粗细均匀的圆木，最上面有3333根，每一层根，每一层都比上一层多都比上一层多1 1根，一共堆了根，一共堆了1515层，这堆圆木一共层，这堆圆木一共有多少根有多少根？33 331 1（15151 1）33331 114 14 333314 14 47 47 （33334747）15152 2 808015152 2 600600例例4 4：（2 24 46 6 20122012）（）（1 13 35 5 20112011）
15、分析：这道题可以分别求出括号内两个数列的和，然后相减。仔细分析：这道题可以分别求出括号内两个数列的和，然后相减。仔细观察，不难发现，这两个数列的项数一样多。而且前面括号内第一观察，不难发现，这两个数列的项数一样多。而且前面括号内第一个数与后面括号内第一个数相减得个数与后面括号内第一个数相减得1 1，前面括号内第二个数与后面，前面括号内第二个数与后面括号内第二个数相减也得括号内第二个数相减也得11以此类推。以此类推。解法一：（解法一：（201220122 2）2 21 1 201020102 21 1 100510051 1 1006 1006 （2 24 46 6 20122012）（）（1
16、13 35 5 20112011）（2 220122012）100610062 2（1 120112011）100610062 2 20142014100610062 220122012100610062 2 101304210130421012036 1012036 10061006 解法二：解法二：（2 24 46 6 20122012）（）（1 13 35 5 20112011）（2 21 1）（4 43 3）（2012201220112011）1 110061006 10061006练一练：练一练：（7 79 91111 2525）（）（5 57 79 92323）解法一：（解法一：（
17、25257 7）2 21 1 18182 21 1 9 91 1 10 10 （7 79 911112525）（）（5 57 79 92323）（7 72525）10102 2（5 52323）10102 2 323210102 2282810102 2 160160140 140 2020解法二：解法二：（7 79 911112525）（）（5 57 79 92323）（7 75 5）（9 97 7）（25252323）2 21010 2020练一练：练一练：1 12 23 34 45 56 67 78 89 9585859596060 分析：计算这道题，可以变减为加，整体推算。其中，减数均
18、分析：计算这道题，可以变减为加，整体推算。其中，减数均为为3 3的倍数，共有的倍数，共有60603 32020（个）（个）1 12 23 34 45 56 67 78 89 9585859596060 （1 16060）60602 2（3 36060）20202 22 2 616160602 2636320202 22 2 183018301260 1260 570570例例4 4：求所有加求所有加6 6以后被以后被1111整除的三位数的和。整除的三位数的和。分析：解决这道题，首先应弄清楚分析：解决这道题，首先应弄清楚“加加6 6以后被以后被1111整除的三位整除的三位数数”是哪些数。是哪些数
19、。“加加6 6以后被以后被1111整除的三位数整除的三位数”，换一个说法，也，换一个说法，也就是就是“被被1111除余除余5 5的三位数。的三位数。在这些数中最小的三位数是在这些数中最小的三位数是104104，最大的三位数是，最大的三位数是995995，而且，而且相邻两数都相差相邻两数都相差1111。即这些三位数依次是。即这些三位数依次是104104、115115、126126、995995。显然，它们成等差数列，所以可以利用等差数列求和的公式来求显然，它们成等差数列，所以可以利用等差数列求和的公式来求和。首项是和。首项是104104，末项是，末项是995995，公差是，公差是1111。解：项
20、数解：项数（995995104104）11111 1 89189111111 1 81811 1 8282 总和总和（104104995995）82822 2 1099109982822 2 4505945059 练一练：练一练：100100以内所有加以内所有加5 5后是后是6 6的倍数的数的和是多少？的倍数的数的和是多少？分析：分析：100100以内以内“加加5 5后是后是6 6的倍数的数的倍数的数”，换一个说法，也就是，换一个说法，也就是“被被6 6除余除余1 1的数。的数。在这些数中最小的是在这些数中最小的是1 1，最大的是，最大的是9191，而且相邻两数都相差，而且相邻两数都相差6 6
21、。即这些数依次是即这些数依次是1 1、7 7、1313、9191。显然，它们成等差数列，所以。显然，它们成等差数列，所以可以利用等差数列求和的公式来求和。首项是可以利用等差数列求和的公式来求和。首项是1 1，末项是，末项是9191，公差，公差是是6 6。解：项数解：项数（91911 1）6 61 1 90906 61 1 15151 1 1616 总和总和（1 19191）16162 2 929216162 2 736736练一练：练一练：在在14001400中，所有不是中，所有不是9 9的倍数的数的和是多少？的倍数的数的和是多少？分析：分析：14001400中，所有中，所有“不是不是9 9的
22、倍数的数的和的倍数的数的和”，可以先求出，可以先求出14001400各数的和，再去掉所有各数的和，再去掉所有9 9的倍数的数的和，就能得到所的倍数的数的和，就能得到所要求的结果。而在所有要求的结果。而在所有9 9的倍数的数中，最小的是的倍数的数中，最小的是9 9，最大的，最大的是是396396，相邻两数都相差相邻两数都相差9 9。即这些数依次是。即这些数依次是9 9、1818、2727、396396。显然，它们成等差数列。项数是（显然，它们成等差数列。项数是（3963969 9）9 91 14444 （1 12 23 3400400）（9 918182727396396）（1 1400400）
23、4004002 2（9 9396396）44442 2 4014014004002 240540544442 2 802008020089108910 7129071290练一练：练一练：求所有被求所有被7 7除余数是除余数是1 1的三位数的和的三位数的和是多少？是多少？分析：在分析：在被被7 7除余数是除余数是1 1的三位数中，最小的是的三位数中，最小的是106106，最大的是，最大的是995995，而且相邻两数都相差而且相邻两数都相差7 7。即这些数依次是。即这些数依次是106106、113113、120120、995995。显然，它们成等差数列，所以可以利用等差数列求和的公式来求显然，它们成等差数列，所以可以利用等差数列求和的公式来求和。首项是和。首项是106106，末项是，末项是995995，公差是，公差是7 7。解：项数解：项数（995995106106）7 71 1 8898897 71 1 1271271 1 128128 总和总和（106106955955）1281282 2 110111011281282 2 7046470464
