1、 1 武威市武威市 2020 年初中毕业、高中招生考试年初中毕业、高中招生考试 数学试卷数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 个小题个小题,每小题每小题 3 分分,共共 30 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1.下列实数是无理数的是（ ） A. -2 B. 1 6 C. 9 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】 根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）判断即可 【详解】解：-2 是负整数， 1 6 是分数，9=3 是整数，都是有理数. 11开方开不尽，是无理数. 故选:D. 【点睛】此题主
2、要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，2 等；开方开不尽的数；以 及像 0.1010010001，等有这样规律的数 2.若70，则的补角的度数是（ ） A. 130 B. 110 C. 30 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】 直接根据补角的定义即可得 【详解】70 的补角的度数是18018070110 故选：B 【点睛】本题考查了补角的定义，熟记定义是解题关键 3.若一个正方形的面积是 12，则它的边长是（ ） A. 2 3 B. 3 C. 3 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】 根据正方形的面积公式即可求解 【详解】解：由题意知：正方形的面积等于边长 边长
3、，设边长为 a， 故 a =12， 2 a=2 3，又边长大于 0 边长 a=2 3 故选：A. 【点睛】本题考查了正方形的面积公式，开平方运算等，属于基础题 4.下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 俯视图是指从上面往下看，主视图是指从前面往后面看，根据定义逐一分析即可求解 【详解】解：选项 A：俯视图是圆，主视图是三角形，故选项 A 错误； 选项 B：俯视图是圆，主视图是长方形，故选项 B 错误； 选项 C：俯视图是正方形，主视图是正方形，故选项 C 正确； 选项 D：俯视图是三角形，主视图是长方形，故选项 D 错误 故答
4、案为：C 【点睛】本题考查了视图，主视图是指从前面往后面看，俯视图是指从上面往下看，左视图是指从左边往 右边看，熟练三视图的概念即可求解. 5.下列各式中计算结果为 6 x的是（ ） A. 24 xx B. 82 xx C. 24 xx D. 122 xx 【答案】C 【解析】 【分析】 根据合并同类项，同底数幂的乘法、除法，即可解答 【详解】解：A. 24 xx，不是同类项，不能合并，不符合题意； B 82 xx，不是同类项，不能合并，不符合题意； C 24 xx=x6,符合题意； D. 122 xx =x10,不符合题意； 故选:C. 【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法、除法，解
5、决本题的关键是熟记合并同类项，同底数幂 的乘法、除法的法则 6.生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近 0618，可以增加视觉美感，若图中b为 2 米，则a约为（ ） 3 A. 124 米 B. 138 米 C. 142 米 D. 162 米 【答案】A 【解析】 【分析】 根据 a:b0.618，且 b=2 即可求解 【详解】解：由题意可知，a:b0.618，代入 b=2， a20.618=1.2361.24 故答案为：A 【点睛】本题考查了黄金分割比的定义，根据题中所给信息即可求解，本题属于基础题 7.已知1x 是一元二次方程 22 (
6、2)40mxxm的一个根，则m的值为（ ） A. -1 或 2 B. -1 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】 首先把 x=1 代入 22 (2)40mxxm，解方程可得 m1=2，m2=-1，再结合一元二次方程定义可得 m 的 值 【详解】解：把 x=1 代入 22 (2)40mxxm得： 2 m2+4m =0， 2 mm20， 解得：m1=2，m2=1 22 (2)40mxxm是一元二次方程， m2 0 ， m2， 1m， 故选：B 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解和定义，关键是注意方程二次项的系数不等于 0 8.如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实
7、际需要可以调节AE间的距离，若AE间的 距离调节到 60cm，菱形的边长 20ABcm，则DAB的度数是（ ） 4 A. 90 B. 100 C. 120 D. 150 【答案】C 【解析】 【分析】 如图 （见解析） ， 先根据菱形的性质可得,/ABBC AD BC，再根据全等的性质可得 1 20 3 ACAEcm， 然后根据等边三角形的判定与性质可得60B ，最后根据平行线的性质即可得 【详解】如图，连接 AC 四边形 ABCD 是菱形 20,/ABBCcm AD BC 如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，60AEcm 1 20 3 ACAEcm ABBCAC ABC是等边三角
8、形 60B /AD BC 18060180120DABB 故选：C 【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，理解题意，熟练掌 握菱形的性质是解题关键 9.如图，A是圆O上一点，BC是直径， 2AC ，4AB ，点D在圆O上且平分弧BC，则DC的长为 （ ） 5 A. 2 2 B. 5 C. 2 5 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】 由BC是圆 O 的直径，可得A=D=90 ，又D在圆O上且平分弧BC，则CBD=BCD=45 ，即 BCD 是等腰直角三角形.在 Rt ABC 中，根据勾股定理求出 BC 长，从而可求 DC 的长. 【详解】解：BC是圆
9、 O 的直径， A=D=90 . 又D在圆O上且平分弧BC， CBD=BCD=45 ，即 BCD 是等腰直角三角形. 在 Rt ABC 中，2AC ，4AB ，根据勾股定理，得 BC= 22 ACAB =2 5. BCD 是等腰直角三角形， CD= 2 BC = 10. 故选:D. 【点睛】此题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质和勾股定理此题难度不大，注意掌握数形结合 思想的应用 10.如图，正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，E是OD的中点，动点P从点E出发，沿着 EOBA的路径以每秒 1 个单位长度的速度运动到点A，在此过程中线段AP的长度y随着运动 时间x的函数关系如图所示，则A
10、B的长为（ ） A. 4 2 B. 4 C. 3 3 D. 2 2 【答案】A 6 【解析】 【分析】 如图（见解析） ，先根据函数图象可知 2 5AE ，再设正方形的边长为4a，从而可得 2 2OAODa ， 然后根据线段中点的定义可得 1 2 2 OEODa，最后在Rt AOE中，利用勾股定理可求出 a 的值，由 此即可得出答案 【详解】如图，连接 AE 由函数图象可知，2 5AE 设正方形 ABCD 的边长为4a，则4ABADa 四边形 ABCD 是正方形 1 ,90 2 OAODBD ACBDBAD 22 4 2BDABADa ， 2 2OAODa E是OD的中点 1 2 2 OEOD
11、a 则在Rt AOE，由勾股定理得： 22 10AEOAOEa 因此有102 5a 解得 2a 则 4 2AB 故选：A 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、函数图象等知识点，根据函数图象得出2 5AE 是解题 关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 个小题个小题,每小题每小题 3 分分,共共 24 分）分） 11.如果盈利 100 元记作+100 元，那么亏损 50 元记作_元 【答案】50 【解析】 【分析】 根据正数与负数的意义即可得 【详解】由正数与负数的意义得：亏损 50 元记作50元 7 故答案为：50 【点睛】本题考查了正数与负数的意义，掌握理解正数与负数的意义
12、是解题关键 12.分解因式： 2 aa_ 【答案】1a a 【解析】 【分析】 提取公因式a，即可得解. 【详解】 2 1aaa a 故答案为：1a a. 【点睛】此题主要考查对分解因式的理解，熟练掌握，即可解题. 13.暑假期间，亮视眼镜店开展学生配镜优惠活动，某款式眼镜的广告如图，请你为广告牌填上原价原价： _元 【答案】200 【解析】 【分析】 设原价为 x 元，根据八折优惠，现价为 160 元，即可得出关于 x 的一元一次方程，解之即可得出原价 【详解】解：设原价为 x 元. 根据题意，得 0.8x=160. 解得 x=200. 原价为 200 元. 故答案为：200. 【点睛】本题
13、考查了一元一次方程的应用，解题的关键是明确“现价=原价 折扣”，本题属于基础题，难度 不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程是关键 14.要使分式 2 1 x x 有意义，则 x 应满足条件_ 【答案】x1 【解析】 【分析】 当分式的分母不为零时，分式有意义，即 x10 【详解】当 x10 时，分式有意义，x1 故答案为：x1 8 【点睛】本题考查分式有意义的条件；熟练掌握分式分母不为零时，分式有意义是解题的关键 15.在一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，小明在袋中放入 3 个黑球（每个球除 颜色外其余都与红球相同） ，摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放
14、回袋中，通过大量重复摸球 试验后发现，摸到红球的频率稳定在 0.85 左右，则袋中红球约有_个 【答案】17 【解析】 【分析】 根据口袋中有 3 个黑球，利用小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可 【详解】解：通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在 0.85 左右，口袋中有 3 个黑球， 假设有 x 个红球， 3 x x 0.85， 解得：x17， 经检验 x17 是分式方程的解， 口袋中有红球约有 17 个 故答案为：17 【点睛】此题主要考查了用样本估计总体，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等 是解决问题的关键 16.如图，在平面直角坐标系中，O
15、AB的顶点A，B的坐标分别为(3, 3)，(4,0)，把OAB沿x轴向 右平移得到CDE，如果点D的坐标为(6, 3)，则点E的坐标为_ 【答案】(7,0) 【解析】 【分析】 根据 B 点横坐标与 A 点横坐标之差和 E 点横坐标与 D 点横坐标之差相等即可求解 【详解】解：由题意知：A、B 两点之间的横坐标差为：4 3 1 ， 由平移性质可知：E、D 两点横坐标之差与 B、A 两点横坐标之差相等， 设 E 点横坐标为 a， 则 a-6=1，a=7， E 点坐标为(7,0) 故答案为：(7,0) 【点睛】本题考查了图形的平移规律，平移前后对应点的线段长度不发生变化，熟练掌握平移的性质是解 9
16、 决此题的关键. 17.若一个扇形的圆心角为60，面积为 2 6 cm ，则这个扇形的弧长为_ cm（结果保留） 【答案】 3 【解析】 【分析】 先利用扇形的面积公式求出扇形的半径，再利用弧长公式即可得 【详解】设扇形的半径为rcm 则 2 60 3606 r 解得1()rcm或1()rcm （不符题意，舍去） 则这个扇形的弧长为 601 () 1803 cm 故答案为： 3 【点睛】本题考查了扇形的面积公式、弧长公式，熟记公式是解题关键 18.已知 2 (4)5yxx，当分别取 1，2，3，2020 时，所对应y值的总和是_ 【答案】2032 【解析】 【分析】 先化简二次根式求出 y 的
17、表达式，再将 x 的取值依次代入，然后求和即可得 【详解】 2 (4)545yxxxx 当4x 时，4592yxxx 当4x 时，451yxx 则所求的总和为(92 1)(92 2)(92 3) 1 11 7 5 3 1 2017 2032 故答案为：2032 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值、绝对值运算等知识点，掌握二次根式的化简方法是解题关键 三、解答题（一） ：本大题共三、解答题（一） ：本大题共 5 个小题个小题,共共 26 分分 19.计算： 0 (23)(23)tan60(2 3) 【答案】3 【解析】 10 【分析】 先计算平方差公式、特殊角的正切函数值、零指数幂，再计算实数
18、的混合运算即可 【详解】原式 22 2( 3)31 433 1 3 【点睛】本题考查了平方差公式、特殊角的正切函数值、零指数幂等知识点，熟记各运算法则是解题关键 20.解不等式组： 351 2(21) 34 xx xx ，并把它的解集在数轴上表示出来 【答案】-2x3，解集在数轴上表示见解析. 【解析】 【分析】 先求出两个不等式的解集，再求其公共解 【详解】解： 351 2(21) 34 xx xx 解不等式，得 x3. 解不等式，得 x-2. 所以原不等式组解集为-2x3. 在数轴上表示如下： 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解求不等式组解集的 口诀
19、：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解） 21.如图，在ABC中，D是BC边上一点，且BD BA （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） 作ABC的角平分线交AD于点E ； 作线段DC的垂直平分线交DC于点F （2）连接EF，直接写出线段EF和AC的数量关系及位置关系 11 【答案】 （1）作图见解析，作图见解析； （2） 1 / /,. 2 EFAC EFAC 【解析】 【分析】 （1）根据角平分线的作图方法直接作图即可；根据垂直平分线的作图方法直接作图即可； （2）根据等腰三角形的性质与垂直平分线的定义证明EF是DAC的中位线，根据中位线的性质可得答 案 【详解】解：
20、 （1）如图，BE即为所求作的ABC的角平分线， 过F的垂线是所求作的线段DC的垂直平分线 （2）如图，连接EF， ,BABD BE平分,ABC ,AEDE 由作图可知：,DFCF EF是DAC的中位线， 1 / /, 2 EFAC EFAC 【点睛】本题考查的是角平分线与垂直平分线的尺规作图，同时考查了三角形的中位线的性质，掌握以上 知识是解题的关键 22.图是甘肃省博物馆的镇馆之宝铜奔马，又称“马踏飞燕”，于 1969 年 10 月出土于武威市的雷台汉 墓，1983 年 10 月被国家旅游局确定为中国旅游标志，在很多旅游城市的广场上都有“马踏飞燕”雕塑，某学 12 习小组把测量本城市广场的
21、“马踏飞燕”雕塑（图）最高点离地面的高度作为一次课题活动，同学们制定了 测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表： 课题 测量“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度 测量示意图 如图，雕塑的最高点B到地面的高度为 BA，在测点C用仪器测得点B的仰角为 ，前进一段距离到达测点E，再用该仪 器测得点B的仰角为， 且点A，B，C， D，E，F均在同一竖直平面内，点A， C，E在同一条直线上 测量数据 的度数 的度数 CE的长度 仪器CD（EF）的 高度 31o 42 5 米 1.5米 请你根据上表中的测量数据， 帮助该小组求出“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度 （结果保留一位小数） （参 考数据：si
22、n310.52，cos310.86，tan310.60，sin420.67，cos420.74，tan420.90 ） 【答案】10.5m 【解析】 【分析】 如图，延长DF交AB于G，设,BGx 利用锐角三角函数表示FG，再表示DG，再利用锐角三角函数 列方程求解x，从而可得答案 【详解】解：如图，延长DF交AB于G， 由题意得：90 ,BGDBAC 5,1.5,DFCEDCAGEF 设,BGx 由tantan42, BG FG 13 9 , 10 x FG 10 , 9 x FG 10 5, 9 x DG 由tantan31, BG DG 3 , 10 5 5 9 x x 5 15, 3
23、x 9,x 经检验：9x符合题意， 9 1.5 10.5BABGAG “马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度为10.5 .m 【点睛】本题考查的是解直角三角形所的应用，掌握锐角三角函数的应用是解题的关键 23.2019 年甘肃在国际知名旅游指南孤独星球亚洲最佳旅游地排名第一，截至 2020 年 1 月，甘肃省已 有五家国家 5A 级旅游景区，分别为 A：嘉峪关文物景区；B：平凉崆峒山风景名胜区；C：天水麦积山景 区；D：敦煌鸣沙月牙泉景区：E：张掖七彩舟霞景区，张帆同学与父母计划在暑假期间从中选择部分景区 游玩 （1）张帆一家选择 E：张掖七彩丹霞景区的概率是多少？ （2）若张帆一家选择了 E：张
24、掖七彩丹霞景区，他们再从A，B，C，D四个景区中任选两个景区去旅游， 求选A，D两个景区的概率（要求画树状图或列表求概率） 【答案】(1) 1 5 ；(2) 1 6 【解析】 【分析】 (1) 张帆一家共有 5 种可能的选择方式，由此即可出选择景区 E 的概率为 1 5 ； 14 (2) 画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，找出选到 A，D 两个景区的结果数，然后根据概率公式计算 【详解】解：(1)由题意可知：张帆一家共有 5 种可能的选择方式， 故选择张掖七彩丹霞景区的概率为 1 5 ， 故答案为 1 5 (2)由题意知，画出树状图如下： 共有 12 种等可能的结果数，其中选到 A，C
25、 两个景区的结果数为 2， 所以选到 A，C 两个景区概率= 21 = 126 故答案为： 1 6 【点睛】本题考查了列表法与树状图法求事件的概率，利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n，再 从中选出符合事件 A 的结果数 m，然后利用概率公式计()=A m P n ，即可求出事件 A 的概率 四、解答题（二） ：本大题共四、解答题（二） ：本大题共 5 个小题个小题,共共 40 分分 24.习近平总书记于 2019 年 8 月在兰州考察时说“黄河之滨也很美”，兰州是古丝绸之路商贸重镇，也是黄河 唯一穿城而过的省会城市，被称为“黄河之都”，近年来，在市政府的积极治理下，兰州的空气质量得到
26、极大 改善，“兰州蓝”成为兰州市民引以为豪的城市名片，下图是根据兰州市环境保护局公布的 2013-2019 年各年 的全年空气质量优良天数绘制的折线统计图 请结合统计图解答下列问题： （1）2019 年比 2013 年的全年空气质量优良天数增加了 天； （2）这七年的全年空气质量优良天数的中位数是 天； （3）求这七年的全年空气质量优良天数的平均天数； 15 （4） 兰州市“十三五”质量发展规划中指出：2020 年，确保兰州市全年空气质量优良天数比率达 80%以 上，试计算 2020 年（共 366 天）兰州市空气质量优良天数至少需要多少天才能达标 【答案】(1)26;（2）254； （3）2
27、61； （4）293. 【解析】 【分析】 （1）用 2019 年全年空气质量优良天数减去 2013 年全年空气质量优良天数即可； （2）把这七年的全年空气质量优良天数按照从小到大排列，根据中位数的定义解答； （3）根据平均数的求解方法列式计算即可得解 （4）用 366 乘以 80%，即可解答 【详解】 解：（1） 由折线图可知 2019 年全年空气质量优良天数为 296， 2013 年全年空气质量优良天数为 270， 296-270=26， 故 2019 年比 2013 年的全年空气质量优良天数增加了 26 天； 故答案为：26. (2)这七年的全年空气质量优良天数按照从小到大排列如下：21
28、3，233，250，254，270，296，313， 所以中位数是 254； 故答案为：254； （3）这七年的全年空气质量优良天数的平均数= 270313250254233213296 7 261 天； （4）36680%=292.8 293(天). 所以 2020 年（共 366 天）兰州市空气质量优良天数至少需要 293 天才能达标. 【点睛】本题考查了折线统计图，要理解中位数的定义，以及算术平均数的求解方法，能够根据计算的数 据进行综合分析，熟练掌握对统计图的分析和平均数的计算是解题的关键 25.通过课本上对函数的学习，我们积累了一定的经验，下表是一个函数的自变量x与函数值y的部分对应
29、 值，请你借鉴以往学习函数的经验，探究下列问题： x 0 1 2 3 4 5 y 6 3 2 1.5 1.2 1 （1）当x 时， 1.5y ； （2）根据表中数值描点( , ) x y，并画出函数图象； （3）观察画出图象，写出这个函数的一条性质： 16 【答案】 （1）3； （2）见解析； （3）函数图像与x轴无限接近，但没有交点 【解析】 【分析】 （1）观察列表即可得出答案； （2）依照表格中的数据描出各个点，然后利用光滑的曲线连接各点即可； （3）观察函数图像，写出一条符合函数图像的性质即可 【详解】解： （1）通过观察表格发现：当3x 时， 1.5y ， 故答案为：3； （2）如下
30、图： （3）观察第（2）问中的图像可以得出一个结论：函数图像与x轴无限接近，但没有交点； 【点睛】本题考查的是函数图象，主要让学生通过描点画出函数图象，从图象中读取相关的信息 26.如图，圆O是ABC的外接圆，其切线AE与直径BD的延长线相交于点E，且AE AB （1）求ACB的度数； （2）若2DE ，求圆O的半径 17 【答案】 （1）ACB的度数为60； （2）圆 O 的半径为 2 【解析】 【分析】 （1）如图（见解析） ，设Ex ，先根据等腰三角形的性质得出ABEEx ，再根据圆的性质可得 OAOB，从而可得OABABOx，然后根据圆的切线的性质可得OAAE，又根据三角形的内 角和定
31、理可求出 x 的值，从而可得AOB的度数，最后根据圆周角定理即可得； （2）如图（见解析） ，设圆 O 的半径为r，先根据圆周角定理得出90BAD，再根据直角三角形的性质 可得3ABr，从而可得3AEr，然后在Rt AOE中，利用勾股定理求解即可得 【详解】 （1）如图，连接 OA 设Ex AEABQ ABEEx OAOB OABABOx，1801802AOBOABABOx AE 是圆 O 的切线 OAAE，即90OAE 90BAEOABOAEx 在ABE中，由三角形的内角和定理得：180ABEEBAE 即90180 xxx 解得30 x 18021802 30120AOBx 则由圆周角定理得
32、： 11 12060 22 ACBAOB 故ACB的度数为60； （2）如图，连接 AD 设圆 O 的半径为r，则,2OAODr BDr 2DE 2OEODDEr BD 是圆 O 的直径 18 90BAD 由（1）可知，30ABD 则在RtABD中， 22 1 ,3 2 ADBDr ABBDADr 3AEr 在Rt AOE中，由勾股定理得： 222 OAAEOE，即 222 ( 3 )(2)rrr 解得2r =或 2 3 r （不符题意，舍去） 则圆 O 的半径为 2 【点睛】本题考查了圆周角定理、圆的切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，较难的是题 （2） ，通过作辅助线，利用圆周
33、角定理是解题关键 27.如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且 45MAN，把ADN绕点A顺时 针旋转90得到ABE （1）求证： AEM ANM （2）若3BM ，2DN ，求正方形ABCD边长 【答案】 （1）证明见解析； （2）正方形ABCD的边长为 6 【解析】 【分析】 （1）先根据旋转的性质可得,AEANBAEDAN ，再根据正方形的性质、角的和差可得 45MAE，然后根据三角形全等的判定定理即可得证； （2）设正方形ABCD的边长为 x，从而可得3,2CMxCNx，再根据旋转的性质可得 2BEDN， 从而可得5ME ， 然后根据三角形全等的性质可得5MNME， 最
34、后在Rt CMN中， 利用勾股定理即可得 【详解】 （1）由旋转的性质得：,AEANBAEDAN 19 四边形 ABCD 是正方形 90BAD，即90BANDAN 90BANBAE，即90EAN 45MAN 904545MAEEANMAN 在 AEM 和ANM中，45 AEAN MAEMAN AMAM ()ANMAS SEMA ； （2）设正方形ABCD的边长为 x，则BCCDx 3,2BMDN 3,2CMBCBMxCNCDDNx 由旋转的性质得：2BEDN 2 35MEBEBM 由（1）已证：AEMANM 5MNME 又四边形 ABCD 是正方形 90C 则在Rt CMN中， 222 CMC
35、NMN，即 222 (3)(2)5xx 解得6x或1x（不符题意，舍去） 故正方形ABCD的边长为 6 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，较 难的是题（2） ，熟练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题关键 28.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 2 2yaxbx交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且 28OAOCOB，点P是第三象限内抛物线上的一动点 （1）求此抛物线的表达式； （2）若/PCAB，求点P的坐标； （3）连接AC，求PAC面积最大值及此时点P的坐标 20 【答案】 （1） 2 7 2 2 yxx； （2） （ 7 2 ，2）
36、； （3）PAC面积的最大值是 8； 点P的坐标为 （2，5） 【解析】 【分析】 （1）由二次函数的性质，求出点 C 的坐标，然后得到点 A、点 B 的坐标，再求出解析式即可； （2）由/PCAB，则点 P 的纵坐标为2，代入解析式，即可求出点 P 的坐标； （3） 先求出直线 AC 的解析式， 过点 P 作 PDy 轴， 交 AC 于点 D， 则 1 2 PAC SPD OA ， 设点 P 为 （x， 2 7 2 2 xx） ，则点 D 为（x， 1 2 2 x） ，求出 PD 的长度，利用二次函数的性质，即可得到面积的最大 值，再求出点 P 的坐标即可 【详解】解： （1）在抛物线 2
37、2yaxbx中， 令0 x，则2y ， 点 C 的坐标为（0，2） ， OC=2， 28OAOCOB， 4OA， 1 2 OB ， 点 A 为（4，0） ，点 B 为（ 1 2 ，0） ， 则把点 A、B 代入解析式，得 16420 11 20 42 ab ab ，解得： 1 7 2 a b ， 2 7 2 2 yxx； （2）由题意，/PCAB，点 C 为（0，2） ， 点 P 的纵坐标为2 ， 21 令2y ，则 2 7 22 2 xx ， 解得： 1 7 2 x =-， 2 0 x ， 点 P 的坐标为（ 7 2 ，2） ； （3）设直线 AC 的解析式为y mxn ，则 把点 A、C
38、代入，得 40 2 mn n ，解得： 1 2 2 m n ， 直线 AC 的解析式为 1 2 2 yx ； 过点 P 作 PDy 轴，交 AC 于点 D，如图： 设点 P 为（x， 2 7 2 2 xx） ，则点 D 为（x， 1 2 2 x） ， 22 17 2(2)4 22 PDxxxxx ， OA=4， 22 11 (4 ) 428 22 APC SPD OAxxxx ， 2 2(2)8 APC Sx ， 当2x时， APC S取最大值 8； 22 77 2( 2)( 2)25 22 xx ， 点 P 的坐标为（2，5） 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，二次函数的性质，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二 次函数和一次函数的性质进行解题，注意利用数形结合的思想进行解题 22
