1、 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，请将每个小题所给四个选项中唯一正确选项的代号填涂在答小题，请将每个小题所给四个选项中唯一正确选项的代号填涂在答 题卡相应的位置上）题卡相应的位置上） 1.下列各数中，比2小的数是（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】 根据大于 0 的数是正数，而负数小于 0，排除 A、D，而-1-2，排除 B，而-3-2，从而可得答案 【详解】根据正负数的定义，可知-20，-23，故 A、D 错误； 而-2-1，B 错误； -31 时，n 是正数；当原数的绝对 值1 时，n 是负数 【详解】解：92700=9.27
2、 104 故选 B 【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为10na形式，其中110a，n 为整数表示时关键要确定 a 的值及 n 的值 3.下列运算正确的是（ ） A. 2 22() B. 222 ()xyxy C. 235 D. 22 ( 3 )9aa 【答案】D 【解析】 【分析】 根据算术平方根的性质，完全平方公式，合并同类二次根式法则，积的乘方的运算法则依次判断即可得到 答案. 【详解】A、 2 ( 2)2 ，故该选项错误； B、 222 ()2xyxxyy，故该选项错误； C、23中两个二次根式不是同类二次根式，不能合并，故该选项错误； D、 22 ( 3 )9
3、aa，故该选项正确； 故选：D. 【点睛】此题考查算术平方根性质，完全平方公式，合并同类二次根式法则，积的乘方的运算法则，熟 练掌握各知识点是解题的关键. 4.如图是由 4 个相同的小正方体组成的一个水平放置的立体图形，其箭头所指方向为主视方向，其俯视图是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中 【详解】解：从上面往下看，上面看到两个正方形，下面看到一个正方形，右齐 故选：C 【点睛】本题考查的是简单组合体的三视图，掌握物体的三视图是解题的关键 5.从长度分别为1cm、3cm、5cm、6cm四条线段中随
4、机取出三条，则能够组成三角形的概率为（ ） A. 1 4 B. 1 3 C. 1 2 D. 3 4 【答案】A 【解析】 【分析】 试验发生包含的基本事件可以列举出共 4 种，而满足条件的事件是可以构成三角形的事件，可以列举出共 1 种，根据概率公式得到结果 【详解】解：试验发生包含的基本事件为（1cm，3cm，5cm） ； （1cm，3cm，6cm） ； （1cm，5cm，6cm） ； （3cm，5cm，6cm） ，共 4 种； 而满足条件的事件是可以构成三角形的事件为（3cm，5cm，6cm） ，共 1 种； 以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 1 4 ， 故选：A 【点睛】本题主要考
5、查三角形成立的条件，解题的关键是正确数出组成三角形的个数，要做到不重不漏， 6.已知AOB，作AOB 的平分线OM，在射线OM上截取线段OC，分别以 O、C 为圆心，大于 1 2 OC 的长为半径画弧， 两弧相交于 E， F 画直线EF， 分别交OA于 D， 交OB于 G 那么，ODG一定是 （ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意知 EF 垂直平分 OC，由此证明 OMDONG，即可得到 OD=OG 得到答案. 【详解】如图，连接 CD、CG， 分别以 O、C 为圆心，大于 1 2 OC的长为半径画弧，两弧相交于
6、 E，F EF 垂直平分 OC， 设 EF 交 OC 于点 N， ONE=ONF=90 ， OM 平分AOB， NOD=NOG， 又ON=ON， OMDONG， OD=OG， ODG 是等腰三角形， 故选：C. 【点睛】此题考查基本作图能力：角平分线的做法及线段垂直平分线的做法，还考查了全等三角形的判定 定理及性质定理，由此解答问题，根据题意得到 EF 垂直平分 OC 是解题的关键. 7.已知正比例函数 1 y的图象与反比例函数 2 y的图象相交于点( 2,4)A ，下列说法正确的是（ ） A. 正比例函数 1 y的解析式是 1 2yx B. 两个函数图象的另一交点坐标为4, 2 C. 正比例
7、函数 1 y与反比例函数 2 y都随 x增大而增大 D. 当2x或02x 时， 21 yy 【答案】D 【解析】 【分析】 根据两个函数图像的交点，可以分别求得两个函数的解析式 1= 2yx和 2 8 =-y x ，可判断 A 错误；两个函数 的两个交点关于原点对称，可判断 B 错误，再根据正比例函数与反比例函数图像的性质，可判断 C 错误， D 正确，即可选出答案 【详解】 解： 根据正比例函数 1 y的图象与反比例函数 2 y的图象相交于点( 2,4)A ， 即可设 11 =yk x， 2 2= k y x ， 将( 2,4)A 分别代入，求得 1 2k ， 2 8k ， 即正比例函数 1
8、= 2yx，反比例函数 2 8 =-y x ，故 A 错误； 另一个交点与( 2,4)A 关于原点对称，即24，故 B 错误； 正比例函数 1= 2yx随 x 的增大而减小，而反比例函数 2 8 =-y x 在第二、四象限的每一个象限内 y 均随 x 的 增大而增大，故 C 错误； 根据图像性质，当2x或02x时，反比例函数 2 8 =-y x 均在正比例函数 1= 2yx的下方，故 D 正确 故选 D 【点睛】本题目考查正比例函数与反比例函数，是中考的重要考点，熟练掌握两种函数的性质是顺利解题 的关键 8.如图，PA、PB为O 的切线，切点分别为 A、B，PO交AB于点 C，PO的延长线交O
9、 于点 D下 列结论不一定成立的是（ ） A. BPA为等腰三角形 B. AB与PD相互垂直平分 C. 点 A、B 都在以PO为直径的圆上 D. PC为BPA的边AB上的中线 【答案】B 【解析】 【分析】 连接 OB， OC， 令 M 为 OP 中点， 连接 MA， MB， 证明 Rt OPBRt OPA， 可得 BP=AP， OPB=OPA， BOC=AOC， 可推出BPA为等腰三角形， 可判断 A； 根据 OBP 与 OAP 为直角三角形， OP 为斜边， 可得 PM=OM=BM=AM，可判断 C；证明 OBCOAC，可得 PCAB，根据 BPA 为等腰三角形，可 判断 D；无法证明AB
10、与PD相互垂直平分，即可得出答案 【详解】解：连接 OB，OC，令 M 为 OP 中点，连接 MA，MB， B，C 为切点， OBP=OAP=90 ， OA=OB，OP=OP， Rt OPBRt OPA， BP=AP，OPB=OPA，BOC=AOC， BPA为等腰三角形，故 A 正确； OBP 与 OAP 为直角三角形，OP 为斜边， PM=OM=BM=AM 点 A、B 都在以PO为直径的圆上，故 C 正确； BOC=AOC，OB=OA，OC=OC， OBCOAC， OCB=OCA=90 ， PCAB， BPA 为等腰三角形， PC为BPA的边AB上的中线，故 D 正确； 无法证明AB与PD相
11、互垂直平分， 故选：B 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，圆的性质，掌握知识点灵活运 用是解题关键 9.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点 A 在 x 轴的正半轴上，矩形的另一个顶点 D 在 y 轴的正半轴上，矩形的边,ABa BCbDAOx则点 C 到 x 轴的距离等于（ ） A. cossinaxbx+ B. coscosaxbx+ C. sincosaxbx+ D. sinsinaxbx+ 【答案】A 【解析】 【分析】 作 CEy 轴于 E解直角三角形求出 OD，DE 即可解决问题 【详解】作 CEy 轴于 E Rt OAD 中， AOD
12、=90 ，AD=BC=b，OAD=x， OD=sinOADsinADbx， 四边形 ABCD 是矩形， ADC=90 ， CDE+ADO=90 ， 又OAD+ADO=90 ， CDE=OAD= x， 在 Rt CDE 中， CD=AB=a，CDE= x， DE= cosCDEcosCDax， 点 C 到x轴的距离=EO=DE+OD= cossinaxbx+， 故选：A 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质，正确作出辅助线是解题的关键 10.已知二次函数 2 yaxbxc图象的对称轴为1x ，其图象如图所示，现有下列结论：0abc ； 20ba；0a bc ；(),(1)abn an
13、bn；23cb正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由图像判断出 a0，c0，即可判断；根据 b=-2a 可判断；根据当 x=-1 时函数值小于 0 可判断； 根据当 x=1 时，y 有最大值，y=a+b+c，当 x=n 时，y=an2+bn+c 即可判断；当 x=3 时，函数值小于 0， y=9a+3b+c0，且 b=-2a，即 a= 2 b ，代入 9a+3b+c0 可判断 【详解】抛物线开口向下， a0， b=-2a， b0， 抛物线与 y 轴的交点在正半轴， c0， abc0，错误； 由图像可得当 x=-1 时，y=a-b+can2+bn+c， 即 a
14、+bn(an+b)，(n1)，正确； 当 x=3 时，函数值小于 0，y=9a+3b+c0， b=-2a，即 a= 2 b ， 代入 9a+3b+c0 得 9（ 2 b ）+3b+c0， 3 2 b +c0， -3b+2c0，即 2c 2 S乙， 乙的产量比甲的产量稳定， 故答案为：乙 【点睛】本题考查了方差和平均数，掌握方差和平均数的意义是解题关键 17.在平面直角坐标系中，O 为原点，点(6,0)A，点 B 在 y 轴的正半轴上，30ABO矩形CODE的 顶点 D，E，C 分别在,OA AB OB上，2OD将矩形CODE沿 x 轴向右平移，当矩形CODE与ABO 重叠部分的面积为6 3时，
15、则矩形CODE向右平移的距离为_ 【答案】2 【解析】 【分析】 先求出点 B 的坐标（0，6 3 ） ，得到直线 AB 的解析式为：36 3yx ，根据点 D 的坐标求出 OC 的长度，利用矩形CODE与ABO重叠部分的面积为6 3列出关系式求出2 3DG，再利用一次函数 关系式求出 OD =4，即可得到平移的距离. 【详解】(6,0)A， OA=6， 在 Rt AOB 中，30ABO， 6 3 tan30 OA OB ， B（0，6 3 ） ， 直线 AB 的解析式为：36 3yx ， 当 x=2 时，y=4 3， E（2，4 3） ，即 DE=4 3， 四边形 CODE 是矩形， OC=
16、DE=4 3， 设矩形CODE沿 x 轴向右平移后得到矩形CODE ，D E 交 AB 于点 G， D E OB， ADGAOB， AGD=AOB=30 ， EGE=AGD=30 ， 3GEEE , 平移后的矩形CODE与ABO重叠部分的面积为6 3， 五边形CODGE 的面积为6 3, 1 6 3 2 O D O CEE GE , 1 2 4 336 3 2 EEEE, 2EE , 矩形CODE向右平移的距离 DD =2EE ， 故答案为：2. 【点睛】此题考查了锐角三角函数，求一次函数的解析式，矩形的性质，图形平移的性质，是一道综合多 个知识点的综合题型，且较为基础的题型. 18.观察下列
17、结论： （1） 如图， 在正三角形ABC中， 点 M， N 是,AB BC上的点， 且AMBN， 则A N C M，60NOC； （2） 如图， 在正方形ABCD中， 点 M， N是,AB BC上的点， 且AMBN， 则A N D M，90NOD； （3）如图，在正五边形ABCDE中，点 M，N 是,AB BC上的点，且AMBN，则ANEM， 108NOE； 根据以上规律，在正 n 边形 1234n AA A AA中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点 M，N 是 1223 ,A A A A上的点，且 12 AMA N， 1 AN与 n A M相交于 O也会有类似的结论你的结论是 _ 【答案
18、】 1 AN n A M， (2) 180 n n NOA n 【解析】 【分析】 根据正多边形内角和定理结合全等三角形的判定和性质可得出（1） 、 （2） 、 （3）的结论，根据以上规律可得 出正 n 边形的结论 【详解】 （1）正三角形 ABC 中，点 M、N 是 AB、AC 边上的点，且 AM=BN， AB=AC，CAM=ABN= 2 18032 180 60 3 n n ， 在 ABN 和 CAM 中， ABAC ABNCAM BNAM ， ABNCAM（SAS） ， AN= CM，BAN=MCA， NOC=OAC+MCA =OAC+BAN =BAC=60 ， 故结论为：AN= CM，
19、NOC=60； （2）正方形 ABCD 中，点 M、N 是 AB、BC 边上的点，且 AM=BN， AB=AD，DAM=ABN= 2 18042 180 90 4 n n ， 同理可证：Rt ABNRt DAM， AN= DM，BAN=ADM， NOD=OAD+ADM =OAD+BAN =BAC=90 ， 故结论为：AN= DM，NOD=90； （3）正五边形 ABCDE 中，点 M、N 是 AB、BC 边上的点，且 AM=BN， AB=AE，EAM=ABN= 2 18052 180 108 5 n n ， 同理可证得：Rt ABNRt EAM， AN= EM，BAN=AEM， NOE=OAE
20、+AEM =OAE+BAN =BAE=108 ， 故结论：AN= EM，NOE=108； 正三角形的内角度数为：60 ， 正方形的内角度数为：90 ， 正五边形的内角度数为：108 ， 以上所求的角恰好等于正 n 边形的内角 2 180n n ， 在正 n 边形 1234n A A A AA中，点 M，N 是 1223 ,A A A A上的点，且 12 AMA N， 1 AN与 n A M相交于 O， 结论为： 1 AN n A M， (2) 180 n n NOA n 故答案为： 1 AN n A M， (2) 180 n n NOA n 【点睛】 本题考查了正 n 边形的内角和定理以及全等
21、三角形的判定和性质， 解题的关键是发现 1 AN与 n A M 的夹角与正n边形的内角相等 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，每个题目都要求在答题卡的相应位置写出计算、解答或证明小题，每个题目都要求在答题卡的相应位置写出计算、解答或证明 的主要步骤）的主要步骤） 19.计算：2cos45(2020)|22 | 【答案】3 【解析】 【分析】 根据特殊角的三角函数值，零指数幂运算及去绝对值法则进行计算即可 【详解】解：2cos45(2020)|22 | 2 2 2 +1+2 2 = 2+1+22 =3 【点睛】本题考查零次幂的性质、特殊角的三角函数值，绝对值性质实数的运算，熟练
22、掌握计算法则是正 确计算的前提 20.化简： 2 2 2 1 11 aa a aa 【答案】 1 2 a a 【解析】 【分析】 先计算括号内异分母分式的减法，再将除法转化为乘法，继而约分即可得. 【详解】解：原式= 22 (1)111) 12 ( aaa aaaa = (1)(1 1 1) 2 aa aa = 1 2 a a . 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，熟记分式混合运算的顺序和各类运算法则是解题的关键 21.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边角形ADE，连接BE、CE （1）求证：BAECDE； （2）求AEB的度数 【答案】(1)见解析；(2)15 【解析】 【分析】 (1
23、) 利 用 正 方 形 的 性 质 得 到 AB=CD ， BAD=CDA ，利 用 等 边 三角 形 的 性 质 得 到 AE=DE ， EAD=EDA=60 即可证明； (2)由 AB=AD=AE，得到 ABE 为等腰三角形，进而得到ABE=AEB，且BAE=90 +60 =150 ，再利 用三角形内角和定理即可求解 【详解】解：(1)证明：四边形 ABCD 是正方形， AB=CD，且BAD=CDA=90 ， ADE 是等边三角形， AE=DE，且EAD=EDA=60 ， BAE=BAD+EAD=150 ，CDE=CDA+EDA=150 ， BAE=CDE， 在 BAE 和 CDE 中:
24、ABCD BAECDE AEDE ， ()BAECDE SAS (2)AB=AD，且 AD=AE， ABE 为等腰三角形， ABE=AEB， 又BAE=150 ， 由三角形内角和定理可知： AEB=(180 -150 ) 2=15 故答案为：15 【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，第二问中能得出 ABE 是等腰三角 形且BAE=150 是解题关键 22.为加强安全教育，某校开展了“防溺水”安全知识竞赛，想了解七年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情 况现从七年级学生中随机抽取 50 名学生进行竞赛，并将他们的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分 析部分信息如下： a
25、七年级参赛学生成绩频数分布直方图 （数据分成五组：5060 x，6070 x，7080 x，8090 x， 90100 x）如图所示 b七年级参赛学生成绩在7080 x这一组的具体得分是：70，71，73，75，76，76，76，77，77，78 ， 79 c七年级参赛学生成绩的平均数、中位数、众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 七 76.9 m 80 d七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分为 79 分 根据以上信息，回答下列问题： （1）在这次测试中，七年级在 75 分以上（含 75 分）的有_人； （2）表中 m 的值为_； （3）在这次测试中，七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分排名年级第_名；
26、 （4）该校七年级学生有 500 人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数 76.9 分的人数 【答案】 （1）31； （2）77.5； （3）24； （4）270人 【解析】 【分析】 （1）根据条形图及成绩在 70 x80 这一组的数据可得； （2）根据中位数的定义求解可得； （3）七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分为 79 分在 70 x80 这一组的数据的最后 1 位，据此可得到答案； （4）用总人数乘以样本中七年级成绩超过平均数 76.9 分的人数所占比例可得 【详解】 （1）成绩在 70 x80 这一组的数据中，75 分以上（含 75 分）的有 8 人， 在这次测试中，七年
27、级 75 分以上（含 75 分）的有 15+8+8=31(人)， 故答案为：31； （2）七年级 50 人成绩的中位数是第 25、26 个数据的平均数，而第 25、26 个数据分别为 77、78， m= 7778 2 =77.5， 故答案为：77.5； （3）七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分为 79 分在 70 x80 这一组的数据的最后 1 位， 即 15+8+124(名) 在这次测试中，七年级参赛学生甲的竞赛成绩得分排名年级第 24 名， 故答案为：24； （4）估计七年级成绩超过平均数 76.9 分的人数为 500 4 158 270 50 (人) 【点睛】本题主要考查了频数分布直方图、中
28、位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所 需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用 23.某口罩生产厂生产的口罩 1 月份平均日产量为 20000，1 月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求 量大增，为满足市场需求，工厂决定从 2 月份起扩大产能，3 月份平均日产量达到 24200 个 （1）求口罩日产量的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计 4 月份平均日产量为多少？ 【答案】 （1）10%； （2）26620 个 【解析】 【分析】 （1）设口罩日产量的月平均增长率为 x，根据 1 月及 3 月的日产量，即可列出方程求解 （2）利用 4 月份平均日产量=3
29、月份平均日产量 （1增长率）即可得出答案 【详解】解： （1）设口罩日产量的月平均增长率为 x，依据题意可得： 20000（1x）224200， 解得：x10.110%，x22.1（不合题意舍去） ， x10%， 答：口罩日产量的月平均增长率为 10%； （2）依据题意可得： 24200（110%）24200 1.126620（个） ， 答：按照这个增长率，预计 4 月份平均日产量为 26620 个 【点睛】本题考查了一元二次方程中增长率的知识增长前的量 （1年平均增长率） 年数增长后的量 24.如图，AB是O 的直径，AC是O 的切线，BC交O 于点 E （1）若 D 为AC的中点，证明：D
30、E是O 的切线； （2）若6CA，3.6CE ，求O 的半径OA的长 【答案】 （1）证明见解析； （2）O 的半径OA的长为 4 【解析】 【分析】 （1）连接 AE 和 OE，由直角三角形的性质和圆周角定理易得OED=90 ，可得 DE 是O 的切线； （2）在 Rt ACE 中求得 AE 的长，证得 Rt ABERt CAE，利用对应边成比例即可求解 【详解】 （1）连接 AE，OE， AB 是O 的直径， AEB=90 ， AC 是圆O 的切线， ACAB， 在直角 AEC 中， D 为 AC 的中点， DE=DC=DA， DEA=DAE， OE=OA， OEA=OAE， DAE+OA
31、E=90 ， DEA+OEA=DEO=90 ， OEDE， DE 是O 的切线； （2）AB 是O 的直径， AEB=AEC=90 ， 在 Rt ACE 中， CA=6， CE=3.6= 18 5 ， AE= 2 222 1824 6 55 ACCE ， B+EAB=90 ， CAE+EAB=90 ， B=CAE， Rt ABERt CAE， ABAE ACCE ，即 24 5 18 6 5 AB ， 8AB， O 的半径 OA= 1 4 2 AB 【点睛】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，掌握切线的判定定理、 相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键 25.问
32、题背景：如图 1，在四边形ABCD中，90BAD，90BCD，BABC，120ABC， 60MBN，MBN绕 B 点旋转，它的两边分别交AD、DC于 E、F探究图中线段AE，CF，EF 之间的数量关系小李同学探究此问题的方法是：延长FC到 G，使CGAE，连接BG，先证明 BCGBAE，再证明BFCBFE，可得出结论，他的结论就是_； 探究延伸 1： 如图 2， 在四边形ABCD中，90BAD，90BCD，BABC，2ABCMBN ， MBN绕 B 点旋转，它的两边分别交AD、DC于 E、F上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直 接写出“成立”或者“不成立”） ，不要说明理由 探究延伸2：
33、如图3， 在四边形ABCD中，BABC，180BADBCD，2ABCMBN ，MBN 绕 B 点旋转，它的两边分别交AD、DC于 E、F上述结论是否仍然成立？并说明理由 实际应用：如图 4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西30的 A 处舰艇乙在指挥中心南 偏东70的 B 处， 并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后， 舰艇甲向正东方向以 75 海里/小时的 速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50的方向以 100 海里/小时的速度前进，1.2 小时后，指挥中心观测到甲、 乙两舰艇分别到达 E、F 处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70，试求此时两舰艇之间的距离 【答案】E
34、F=AE+CF探究延伸 1：结论 EF=AE+CF 成立探究延伸 2：结论 EF=AE+CF 仍然成立实际 应用：210 海里 【解析】 【分析】 延长FC到 G，使CGAE，连接BG，先证明BCGBAE，可得 BG=BE，CBG=ABE，再证 明BGFBEF，可得 GF=EF，即可解题； 探究延伸 1：延长FC到 G，使CGAE，连接BG，先证明BCGBAE，可得 BG=BE， CBG=ABE，再证明BGFBEF，可得 GF=EF，即可解题； 探究延伸 2：延长FC到 G，使CGAE，连接BG，先证明BCGBAE，可得 BG=BE， CBG=ABE，再证明BGFBEF，可得 GF=EF，即可
35、解题； 实际应用：连接 EF，延长 AE，BF 相交于点 C，然后与探究延伸 2 同理可得 EF=AE+CF，将 AE 和 CF 的 长代入即可 【详解】解：EF=AE+CF 理由：延长FC到 G，使CGAE，连接BG， 在 BCG 和 BAE 中， 90 BCBA BCGBAE CGAE ， BCGBAE（SAS） ， BG=BE，CBG=ABE， ABC=120 ，MBN=60 ， ABE+CBF=60 ， CBG+CBF=60 ， 即GBF=60 ， 在 BGF 和 BEF 中， BGBE GBFEBF BFBF ， BGFBEF（SAS） ， GF=EF， GF=CG+CF=AE+CF
36、， EF=AE+CF 探究延伸 1：结论 EF=AE+CF 成立 理由：延长FC到 G，使CGAE，连接BG， 在 BCG 和 BAE 中， 90 BCBA BCGBAE CGAE ， BCGBAE（SAS） ， BG=BE，CBG=ABE， ABC=2MBN， ABE+CBF= 1 2 ABC， CBG+CBF= 1 2 ABC， 即GBF= 1 2 ABC， 在 BGF 和 BEF 中， BGBE GBFEBF BFBF ， BGFBEF（SAS） ， GF=EF， GF=CG+CF=AE+CF， EF=AE+CF 探究延伸 2：结论 EF=AE+CF 仍然成立 理由：延长FC到 G，使C
37、GAE，连接BG， 180BADBCD，BCG+BCD=180 ， BCG=BAD 在 BCG 和 BAE 中， BCBA BCGBAE CGAE ， BCGBAE（SAS） ， BG=BE，CBG=ABE， ABC=2MBN， ABE+CBF= 1 2 ABC， CBG+CBF= 1 2 ABC， 即GBF= 1 2 ABC， 在 BGF 和 BEF 中， BGBE GBFEBF BFBF ， BGFBEF（SAS） ， GF=EF， GF=CG+CF=AE+CF， EF=AE+CF 实际应用：连接 EF，延长 AE，BF 相交于点 C， AOB=30 +90 +(90 -70 )=140
38、，EOF=70 ， EOF= 1 2 AOB OA=OB，OAC+OBC=(90 -30 )+(70 +50 )=180 ， 符合探索延伸中的条件 结论 EF= AE+CF 仍然成立 即 EF=75 1.2+100 1.2=210（海里） 答：此时两舰艇之间的距离为 210 海里 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质作辅助线构造全等三角形是解题的关键 26.已知直线 2ykx与抛物线 2 yxbxc（b， c 为常数，0b） 的一个交点为 ( 1,0)A ， 点( ,0 )M m 是 x 轴正半轴上的动点 （1）当直线2ykx与抛物线 2 yxbxc（b，c 为常数，0b）的另一个交点为该
39、抛物线的顶点 E 时，求 k，b，c 的值及抛物线顶点 E 的坐标； （2）在（1）的条件下，设该抛物线与 y 轴的交点为 C，若点 Q 在抛物线上，且点 Q 的横坐标为 b，当 1 2 EQMACE SS 时，求 m 的值； （3）点 D 在抛物线上，且点 D 的横坐标为 1 2 b，当 22AMDM 的最小值多 27 2 4 时，求 b 的值 【答案】 （1）-2，2，-3，1, 4； （2）3 或 7； （3）3 【解析】 【分析】 （1）由题意可知直线2ykx经过( 1,0)A ，因而把( 1,0)A 代入直线2ykx即可求出 k 的值，然 后把( 1,0)A 代入抛物线得出含 b 的
40、代数式表达 c，再根据直线2ykx与抛物线 2 yxbxc（b，c 为常数，0b）的另一个交点得出抛物线的顶点坐标 E 2 4 , 24 bcb ，并代入直线22yx ，解方程 即可求出 b 的值，代入即可求解； （2）由（1）可知直线的解析式是22yx ，抛物线的解析式为 2 23yxx，根据题意使0 x求 出 C 的坐标，使2xb求出 Q 的坐标，根据已知条件作图，延长 EQ 交 x 轴于点 B，因为点 D 在 y 轴上 且在直线22yx 上，所以令0 x时求出点 D 的坐标，看图可知 AO 是 ACE 以 CD 为底的高，设 E 到 y 轴的距离为 1 l，是 CED 以 CD 为底的高
41、，因此可以求出 ACE S，根据 1 2 EQMACE SS 求出 EQM S ， 设点 E 和 Q 所在直线的解析式为y axc ，求出点 B 的坐标，设点 Q 和点 E 到 x 轴的距离分别为 23 ,l l， 2 l是 EMB 以 MB 为底的高， 3 l是 BQM 以 MB 为底的高，再根据 EQMEMBBQM SSS 求解，即可求 出 m 的值； （3）将点 D 的横坐标 1 2 b代入抛物线 2 yxbxc（b，c 为常数，0b） ，根据点 A 的坐标得到含 b 的代数式表达 c，求出点 D 的纵坐标为 3 24 b ，可知点 D 13 , 224 b b 在第四象限，且在直线xb
42、的 右侧，取点(0,1)N，过点 D 作直线 AN 的垂线，垂足为 G，DG 与 x 轴相交于点 M，过点 D 作 QHx 轴 于点 H，则点 H 1 ,0 2 b ，在 Rt MDH 中，可知45DMHMDH ，由题意可知点 ( ,0)M m， 用含 b 的代数式表示 m，因 27 2 22 4 AMDM，可得方程，求解即可得出答案 【详解】解： （1）直线2ykx经过( 1,0)A ， 把( 1,0)A 代入直线 2ykx，可得0 2k ，解得2k ； 抛物线 2 yxbxc（b，c 为常数，0b）经过 ( 1,0)A ， 把( 1,0)A 代入抛物线 2 yxbxc，可得1cb ， 当直
43、线 2ykx与抛物线 2 yxbxc（b，c 为常数，0b）的另一个交点为该抛物线的顶点 E， 顶点E的坐标为 2 4 , 24 bcb ，把E 2 4 , 24 bcb 代入直线22yx ， 可得 2 4 22 24 bcb ， 2 41 22 24 bbb ，解得2b， 0b，2b，2 13c ， 顶点E的坐标为1, 4 （2）由（1）可知直线的解析式是22yx ，抛物线的解析式为 2 23yxx， 抛物线与 y 轴的交点为 C， 令0 x，C 的坐标为 0, 3， 点 Q 在抛物线上，且点 Q 的横坐标为 b， 由（1）可知2b，2x， Q 的坐标为2, 3 延长 EQ 交 x 轴于点
44、B，如图 1 所示， D 在 y 轴上，且在直线 22yx 上， 当0 x时，点 D 的坐标为 0, 2， AO 是 ACE 以 CD 为底的高，设 E 到 y 轴的距离为 1 l，是 CED 以 CD 为底的高， 1 1111 1 11 11 2222 ACEACDCED SSSCDAOCDl ， 111 1 222 EQMACE SS 设点 E 和 Q 所在直线的解析式为y axc ， 把点 E1, 4和点 Q2, 3 代入，解得： 1 5 a c ，该直线的解析式为5yx， 令0y ，求得点 B 的坐标为5,0 设点 Q 和点 E 到 x 轴的距离分别为 23 ,l l， 2 l是 EM
45、B 以 MB 为底的高， 3 l是 BQM 以 MB 为底的高， 23 1111 54531 2222 EQMEMBBQM SSSMBlMBlmm ， 解得：3m或 7， （3）点 D 在抛物线 2 yxbxc（b，c 为常数，0b）上，且点 D 的横坐标为 1 2 b， 2 11 22 D ybb bc ， ( 1,0)A 在抛物线 2 yxbxc（b，c 为常数，0b）上， 2 10bc，即1cb ， 2 113 1= 2224 D b ybb bb ， 可知点 D 13 , 224 b b 在第四象限，且在直线xb的右侧 2 222 2 AMDMAMDM ， 可取点(0,1)N， 如图
46、2，过点 D 作直线 AN 的垂线，垂足为 G，DG 与 x 轴相交于点 M， 45GAM ，得 2 2 AMGM， 则此时点 M 满足题意，过点 D 作 QHx 轴于点 H，则点 H 1 ,0 2 b ， 在 Rt MDH 中，可知45DMHMDH ， ,2DDHMHMMH， 点 ( ,0)M m， 31 0 242 b bm ，解得： 1 24 b m ， 27 2 22 4 AMDM， 11127 ( 1)22 242 2 2 244 bb b ， 3b 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式、二次函数的性质、等腰三角形的性质、 三角形的面积公式等知识点，解题的关键是学会使用待定系数法求出抛物线的解析式
