1、会计学1压杆稳定压杆稳定Y工程实例工程实例第1页/共58页1 1、平衡的稳定性、平衡的稳定性（1 1）刚体的平衡稳定性）刚体的平衡稳定性稳定平衡稳定平衡 不稳定平衡不稳定平衡随遇平衡随遇平衡稳定与不稳定平衡之间的临界状态稳定与不稳定平衡之间的临界状态第2页/共58页（2 2）弹性体的平衡稳定性）弹性体的平衡稳定性是否是稳定的平衡与外界的干扰无关，而是由构件是否是稳定的平衡与外界的干扰无关，而是由构件本身的性质所决定的，就象人对感冒的免疫力一样。本身的性质所决定的，就象人对感冒的免疫力一样。P1P2第3页/共58页临界载荷临界载荷 crF压杆的压力逐渐增加压杆的压力逐渐增加,使压杆的平衡由稳定的
2、平衡状使压杆的平衡由稳定的平衡状态向不稳定平衡状态的转折点态向不稳定平衡状态的转折点,称为临界载荷。称为临界载荷。crF压杆保持稳定（直线）平衡压杆保持稳定（直线）平衡状态状态的最大压力。的最大压力。压杆保持不稳定（曲线）平衡状态的最小压力。压杆保持不稳定（曲线）平衡状态的最小压力。F=1=1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6，7 7，8 8，9 9临界载荷临界载荷 相当于强度问题的危险应力相当于强度问题的危险应力 crF0crFF 稳定平衡稳定平衡不稳定平衡不稳定平衡第4页/共58页1 1、两端铰支的细长压杆的临界力、两端铰支的细长压杆的临界力二、细长压杆的临界力二、细长压杆的临界力F
3、yxM)(第5页/共58页p若则压杆的弯曲变形为：则压杆的弯曲变形为：FyxMdxydEI)(22EIFydxyd22EIFk 2002222 ykyykdxyd二阶齐次二阶齐次线性线性微分方程微分方程FyxM)(第6页/共58页通解：通解：kxbkxaycossina、b、k为待定常数。为待定常数。边界条件为：边界条件为：1）x=0，y=0b=0kxaysin2）x=l，y=00sinkla0222ykdxyd第7页/共58页若若a=0 0，则，则 0y与假设微弯不符与假设微弯不符0sinkl),2,1,0(nlnknkl0sinkla),2,1(2222nlnEIFkEIFk 222lnk
4、kxaysin=第8页/共58页使压杆保持不稳定平衡状态的最小压力。使压杆保持不稳定平衡状态的最小压力。22lEIFcr222lEInFlxnakxaxysinsin)(挠曲线为半个正弦曲线。挠曲线为半个正弦曲线。1nlxaxysin)(),2,1,0(nlnk0n当当 时，时，杆件不受力，杆件也不会，杆件不受力，杆件也不会保持不稳保持不稳定的平衡状态定的平衡状态0F第9页/共58页2 2、其它约束条件下细长压杆的临界力、其它约束条件下细长压杆的临界力类比法类比法22)2(lEIFcr22lEIFcrlxaxysin)(两端铰支的压杆两端铰支的压杆第10页/共58页BC 段段,曲线左凸曲线左凸
5、,0101CA 段段,曲线右凸曲线右凸,0)1(EIMCC0CM22)7.0(lEIFcr第11页/共58页00DCMM22)5.0(lEIFcr第12页/共58页22)(lEIFcr第13页/共58页各种约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式各种约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式第14页/共58页1 1、问题的提出、问题的提出三、中、小长度（柔度）杆的临界应力三、中、小长度（柔度）杆的临界应力第15页/共58页2 2、临界应力与柔度、临界应力与柔度AFcrcrAlEI22)(222)(lEi22)(ilEil柔度或长细比柔度或长细比AIi 惯性半径惯性半径22Ecr细长压杆临界应力的
6、细长压杆临界应力的临界力临界力使压杆保持直线平衡状态的最大压力。使压杆保持直线平衡状态的最大压力。22)(lEIFcr第16页/共58页32123hbhbhAIiyy32123bbhhbAIizz446424dddAIAIiiizyzy（1 1）圆形）圆形（2 2）空心圆）空心圆4464222244dDdDdDAIiiiyzy（3 3）矩形）矩形第17页/共58页p22crE欧拉公式可用欧拉公式可用3 3、欧拉公式的适用范围、欧拉公式的适用范围pcrPpE21令p2Ep欧拉公式成立欧拉公式成立22crE22)(lEIFcr（1 1）大柔度杆）大柔度杆细长杆细长杆,200,200MPaGPaEp
7、100pA3钢（钢（Q235钢）：钢）：pcrp第18页/共58页临界应力的经验公式临界应力的经验公式?pscrpbacr a、b 材料常数，量纲与应力相同材料常数，量纲与应力相同scrsbacr（2 2）中柔度杆）中柔度杆应力：应力：basbass2令s柔度：柔度：psscrp直线经验公式直线经验公式抛物线经验公式抛物线经验公式2crbabacr第19页/共58页（3 3）小柔度杆小柔度杆中柔度杆中柔度杆sppsbacr)(crbaAAFcr应力：应力：scr S6.6123512.13042ssMPaMPabMPaas柔度柔度：scrAAFcr小柔度杆属于强度问题，不会失稳小柔度杆属于强度
8、问题，不会失稳A3钢（钢（Q235钢）：钢）：第20页/共58页大柔度杆（大柔度杆（柔度杆柔度杆柔度杆柔度杆临界应力总图临界应力总图 临界应力随柔度变化的曲线临界应力随柔度变化的曲线第21页/共58页例题：例题：有一千斤顶有一千斤顶,材料为材料为A3钢钢.螺纹内径螺纹内径d=5.2cm，最大高度，最大高度l=50cm,求：求：临界载荷临界载荷 。已知：已知：A3 钢钢crFGPaEMPaMPaps200,200235，il柔度柔度:774/502dAIi 解解:惯性半径惯性半径4d2100p2Ep6.61basspsMPabMPaa12.1304第22页/共58页AFcrcrAba)(KN46
9、226410)7712.1304(dil774/502dMPabMPaa12.1304ps第23页/共58页PL已知：已知：两端固定两端固定的圆截面杆，的圆截面杆，d=50mm，问：问：杆多长时，才能使用欧拉公式？杆多长时，才能使用欧拉公式？100p解：解：p欧拉公式成立欧拉公式成立1004dlilmmdl25005.04501004100两端固定：两端固定：5.0第24页/共58页1 1、压杆的稳定条件、压杆的稳定条件stnFFcrstFwnn st稳定安全系数稳定安全系数stF稳定许用压力稳定许用压力stncrstst稳定许用应力稳定许用应力F实际工作压力实际工作压力AF四、压杆的稳定条件
10、四、压杆的稳定条件第25页/共58页压杆的稳定性条件压杆的稳定性条件crcrFFnAFstn稳定安全系数稳定安全系数stncrststnFFcrstFFFnstcrcrstnstcrnFFnstcrnn第26页/共58页例题：例题：两端为球铰的压杆，当其横截面为图示各种不同形状时。两端为球铰的压杆，当其横截面为图示各种不同形状时。试问：试问：杆会在哪个平面内先失稳？即失稳时，杆的横截面绕哪杆会在哪个平面内先失稳？即失稳时，杆的横截面绕哪 根轴转动？根轴转动？第27页/共58页答：答：判断杆在哪个方向先失稳，就要看杆在哪个方向的柔判断杆在哪个方向先失稳，就要看杆在哪个方向的柔 度大，柔度越大，说
11、明杆在此方向越软，越容易失稳。度大，柔度越大，说明杆在此方向越软，越容易失稳。对于两端为球铰的压杆，从各个方向看对于两端为球铰的压杆，从各个方向看常数常数常数常数Al1IAlAIlil越越容容易易失失稳稳越越大大越越小小I（1 1）圆形）圆形11zyzyIIII11zyzy各个方向失稳的几率相同各个方向失稳的几率相同第28页/共58页（2 2）矩形）矩形minIIIIyzy杆失稳时，横截面绕杆失稳时，横截面绕 y 轴转动？轴转动？杆的挠曲线在杆的挠曲线在 x z 平面内失稳？平面内失稳？（3 3）工字型）工字型minIIIIzzy杆失稳时，横截面绕杆失稳时，横截面绕 z 轴转动？杆的挠曲线在轴
12、转动？杆的挠曲线在 x y 平面内失稳？平面内失稳？yyIAlilzzIAlil第29页/共58页49123minm1017.410121050I2min2)(LEIPcr48minm1089.3zII2min2)(LEIPcr例例题：题：求下列细长压杆的临界力。求下列细长压杆的临界力。图图(a)解：解：图图(a)图图(b)kN14.67)5.07.0(20017.422kN8.76)5.02(200389.0227.0GPaEmL2005.0，2IAlAIlily图图(b)第30页/共58页 MPas235MPap200解解:6.61100spstcrnFFn第31页/共58页（1 1）若）
13、若挠曲线在挠曲线在xy平面内失稳平面内失稳横截面绕横截面绕 z 轴转动轴转动bhbh12/3AIizz32hzzzil8.132323.21h1z第32页/共58页AIiyybhhb12/3（2 2）若）若挠曲线在挠曲线在 xz 平面内失稳平面内失稳横截面横截面绕绕 y 轴转动轴转动32byyyil6.99323.25.0b5.0yyz所以压杆在所以压杆在 xy 平面内首先失稳平面内首先失稳横截面绕横截面绕 z 轴转动轴转动8.132z第33页/共58页（3）临界压力）临界压力AFcrcrbhEz22KN26979.1150269FFncr8.1stn所以压杆的稳定性是不安全的所以压杆的稳定性
14、是不安全的.kNlEIFzzcr269)(22123bhIzpz8.1321z第34页/共58页例题例题:简易起重机构如图，最大起重量简易起重机构如图，最大起重量P=40kN，压杆，压杆BD 为为20号号 槽钢，材料为槽钢，材料为Q235钢，钢，试试:校核校核BD 杆的稳定性杆的稳定性。解解:(1)(1)求求BD 杆的杆的内力内力NB 取取 AC 为研究对象，受力分析如图所示。为研究对象，受力分析如图所示。,12.1304cr100p6.61s,200GPaE 5stn第35页/共58页PNmBA2)30sin1.5(00压）(7.1065.05.140230sin5.120kNPNB（2 2
15、）计算柔度）计算柔度mlBD732.13325.130cos5.108.821009.2732.112yBDyilcmiiy09.2min中柔度杆中柔度杆第36页/共58页（3 3）计算临界力）计算临界力kNAFMPacrcrycr693108.32103.2113.2118.8212.130412.1304438.821009.2732.112yBDyil中柔度杆中柔度杆55.67.106693stBcrcrnNFFFn（4 4）稳定性校核）稳定性校核满足稳定性要求满足稳定性要求第37页/共58页例题：例题：简易起重架由两圆钢杆组成，杆简易起重架由两圆钢杆组成，杆AB：，杆杆BC：,两杆材料
16、均为两杆材料均为Q235钢钢,规定的强度安全系数规定的强度安全系数 ，稳定，稳定 安全系数安全系数 ，试：试：确定起重机架的最大起重量确定起重机架的最大起重量 。mmd301mmd202MPas235。，60100sp2sn3stnmaxF,200GPaE 解解:（）受力分析（）受力分析ooNNNF45cos45sin212第38页/共58页)()(212压压拉拉FNFN（2 2）由杆）由杆BC的强度条件确定的强度条件确定 maxF4222222dFANssnssndF2422KN7.26（3 3）由杆）由杆AB的稳定条件确定的稳定条件确定 maxFstcrcrnFFNFn111第39页/共5
17、8页11il中柔度中柔度:8046.011d1cr1cr1AF1)(AbakNd47.151410)8012.1304(216psstcrnFFN11kN5.50347.151所以起重机架的最大起重量取决于杆所以起重机架的最大起重量取决于杆BC的强度的强度KNF7.26maxstcrcrnFFNFn111)(1压压FN 第40页/共58页1 1、合理选择材料、合理选择材料细长杆：细长杆：cr与与 E 成正比。成正比。普通钢与优质钢的普通钢与优质钢的 E 大致相同，大致相同，所以采用高强度的优质所以采用高强度的优质钢与普通钢没有区别。钢与普通钢没有区别。但钢材比铜、铝合金的但钢材比铜、铝合金的
18、E 高，高，所以要多用钢压杆。所以要多用钢压杆。中长杆：中长杆：cr与与a、b有关，有关，所以采用高强度的优质钢所以采用高强度的优质钢在一定程度上可提高临界应力。在一定程度上可提高临界应力。五、提高压杆稳定性的措施五、提高压杆稳定性的措施2 2、合理设计压杆柔度、合理设计压杆柔度（1 1）选用合理的截面形状）选用合理的截面形状il杆长和约束不变，提高惯性半径杆长和约束不变，提高惯性半径 i 的值的值22Ecr第41页/共58页例如：例如：面积相同时，空心圆截面比实心圆截面稳定性好。面积相同时，空心圆截面比实心圆截面稳定性好。ilAIi 第42页/共58页（2 2）合理安排压杆约束与选择杆长）合
19、理安排压杆约束与选择杆长il所以可减少杆长所以可减少杆长l，如增加支座；加固支座，减小，如增加支座；加固支座，减小。（2 2）当压杆在两个主惯性平面内的约束条件（）当压杆在两个主惯性平面内的约束条件（）不同，应选择）不同，应选择 的截面，而使的截面，而使 即压杆在两个方向上的抗即压杆在两个方向上的抗 失稳能力相等。失稳能力相等。zII yzyPLPL7.05.0IAlAIlil第43页/共58页例题：例题：图示立柱，图示立柱，L=6m，由两根，由两根10号槽钢组成，下端固定，号槽钢组成，下端固定，上端为球铰支座，上端为球铰支座，试问：试问：a=？时，立柱的临界压力最大，值为多少？时，立柱的临界
20、压力最大，值为多少？PL4141021cm6.25,cm3.198cm52.1,cm74.12yzIIzA41cm6.3963.19822zzII)2/(22011azAIIyy)2/52.1(74.126.2522a两根槽钢组合两根槽钢组合图图形形解解：对于单个对于单个10号槽钢，形心在号槽钢，形心在C1 点点第44页/共58页5.1061074.122106.39667.0267.0481AIiLz100pkN8.443)67.0(106.39610200)(289222lEIPcr求临界力：求临界力：大柔度杆，由欧拉公式求临界力。大柔度杆，由欧拉公式求临界力。)2/52.1(74.126
21、.25 26.396 2acm32.4ayIIzzyPL7.0第45页/共58页已知：已知：、两杆均为正方形截面的大柔度杆，两杆的截面两杆均为正方形截面的大柔度杆，两杆的截面 边长之比为边长之比为1：2；试问：试问：当当 P 逐渐增加时，哪根杆首先失稳？逐渐增加时，哪根杆首先失稳？第46页/共58页解：解：（1 1）受力分析）受力分析ooPNPN45cos45cos21）压压(2221PNN（2 2）判断哪根杆首先失稳？）判断哪根杆首先失稳？时时当当时时当当2211crcrPNPN杆失稳杆失稳杆失稳杆失稳两杆均为大柔度杆，临界力的计算可用欧拉公式两杆均为大柔度杆，临界力的计算可用欧拉公式xy第
22、47页/共58页24224224222222242242242211218.1916)231(12)2()(3.03)21(12)(lEalEalaElEIPlEalEalaElEIPcrcr2330cos230sin21lllllloo2121crcrPPNN杆先失稳杆先失稳第48页/共58页已知：已知：图示托架结构，梁图示托架结构，梁AB与圆杆与圆杆BC 材料相同。梁材料相同。梁AB为为16号工号工 字钢，立柱为圆钢管，其外径字钢，立柱为圆钢管，其外径D=80 mm，内径，内径d=76mm，L=6m，l=3 m，受均布载荷，受均布载荷q=4 KN/m 作用；钢管的稳定安作用；钢管的稳定安
23、全系数全系数nw=8；试：试：校核校核立柱的稳定性。立柱的稳定性。解解:(1)(1)求求BC 杆的杆的内力内力RB 取取 AB为研究对象。为研究对象。一次静不定问题一次静不定问题 变形协调方程变形协调方程BCBRBqBLfffBEILRfEIqLfBBRBqB3 834EAlRLBBC第49页/共58页（2 2）计算柔度）计算柔度（空心圆）空心圆）mllBC37.1081059.27313ilBC大柔度杆大柔度杆LL=6m，q=4 KN/m，l=3 mmmdDdDdDAIiiiyzy59.274464222244BCBRBqBLfffBEAlREILREIqLBB3834kNILAlIqLRB
24、9)3(83441130cmI 2422109.44mdDA第50页/共58页（3 3）计算临界力）计算临界力813.1192.100stBcrcrnRFFFn（4 4）稳定性校核）稳定性校核满足稳定性要求满足稳定性要求7.1081059.27313ilBC大柔度杆大柔度杆kN2.100)31(1072.4510200)(289222lEIFcr44444441072.4516464mmDdDdDIIIzy第51页/共58页x2)(2qxxRxMBkNILAlIqLRB9)3(8340)(qxRxMBmqRxB25.249mkNqRMB25.10225.225.22max26maxmax/8.
25、711014125.10mMNWMZ第52页/共58页例题：例题：由由5 根圆钢杆组成的根圆钢杆组成的桁桁架结构架结构，杆，杆的直径均为的直径均为d=4cm ，杆杆长长a=1m,5杆材料均为杆材料均为Q235钢钢,许用应力许用应力=160MPa，稳定，稳定 安全系数安全系数 ，试求：试求：此结构的许可载荷此结构的许可载荷 。MPas235。，60100sp3stnmaxP,200GPaE 解解:（）受力分析（）受力分析)(22045cos245sin45sin000压压PNNPNNNNNADABADAB第53页/共58页)(045cos2)(220拉拉压压PNNNPNNNNNBDBDADCDBCAB（2 2）由杆）由杆BD的强度条件确定的强度条件确定 maxF42dPANBDkNdP20142max第54页/共58页（3 3）由杆）由杆AB的稳定条件确定的稳定条件确定 maxFstcrABABcrABnPFNFn22pABdail10041大柔度杆大柔度杆计算临界力计算临界力kN260)11(6410200)(249222daEIFcrABstcrABABcrABnPFNFn22kNP123maxkNP123max第55页/共58页第56页/共58页作业：作业：10-210-2；10-610-6；10-1010-10；10-1310-13，10-1510-15第57页/共58页
