1、第二章方程第二章方程(组组)与不等式与不等式(组组)第一节一次方程第一节一次方程(组组)真题演练命题点一次方程组的应用1.(2018河南)九章算术中记载:“今有共买羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三.问人数、羊价各几何?”其大意是:今有人合伙买羊,若每人出5钱,还差45钱;若每人出7钱,还差3钱.问合伙人数、羊价各是多少?设合伙人数为 x,羊价为y钱,根据题意,可列方程组为(A)A.B.C.D.54573yxyx54573yxyx54573yxyx54573yxyx2.(2019河南)学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品.已知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元;购买5个A奖品和4
2、个B奖品共需210元.(1)求A,B两种奖品的单价;(2)学校准备购买A,B两种奖品共30个,且A奖品的数量不少于B奖品数量的.请设计出最省钱的购买方案,并说明理由.13(2)设购买A奖品a个,则购买B奖品(30-a)个,设共需w元,根据(1),得w=30a+15(30-a)=15a+450.150,当a取最小值时,w有最小值.由a(30-a),解得a7.5.13而a为正整数,当a=8时,w取得最小值,此时30-8=22.答:当购买A奖品8个,B奖品22个时最省钱.解析解析(1)设A奖品的单价为x元,B奖品的单价为y元,根据题意,得解得答:A奖品的单价为30元,B奖品的单价为15元.32120
3、,54210,xyxy30,15.xy考点一方程的相关概念及等式的性质1.含有未知数的 等式 叫做方程;使方程左右两边的值相等的 未知数 的值叫做方程的解;求方程的解的过程叫做解方程;只含有一个未知数的方程的解也叫做方程的 根 .2.等式的基本性质等式的基本性质基本性质1:等式两边同时加上(或减去)同一个数(或式子),所得结果仍是等式.基本性质2:等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为零的数),所得结果仍是等式.注意:等式的基本性质是解方程的依据.考点二一元一次方程及其解法1.一元一次方程一元一次方程:只含有 一 个未知数(元),并且未知数的次数都是 1 ,等号两边都是整式,这样的方程叫做一
4、元一次方程.任何一个一元一次方程都可以化成ax+b=0(a,b是常数,且a0)的形式.温馨提示温馨提示 形如ax+b=0(其中a,b为常数,且a0)的方程为一元一次方程,判断时应抓住以下两点:(1)原方程必是整式方程;(2)化成一般形式后只含有一个未知数,且未知数的次数为1.2.一元一次方程的解题步骤一元一次方程的解题步骤 具体做法去分母方程中未知数的系数有分母时,方程两边都乘各分母的 最小公倍数 (注意不要漏乘不含分母的项)去括号方程中有括号时,先去括号(若括号外的符号是负号,则要注意变号)移项把含有未知数的项都移到方程的一边,其他项都移到方程的另一边(记住移项要 改变符号 )合并同类项把方
5、程化成ax=b(a0)的形式系数化为1方程两边都除以未知数的 系数 ,得到方程的解考点三二元一次方程(组)及其解法1.二元一次方程二元一次方程:含有 两 个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.2.二元一次方程组二元一次方程组:把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组.3.二元一次方程的解二元一次方程的解:使二元一次方程两边的值 相等 的两个未知数的值叫做二元一次方程的解.4.二元一次方程组的解二元一次方程组的解:一般地,二元一次方程组的两个方程的 公共解 叫做二元一次方程组的解.5.二元一次方程组的解法二元一次方程组的解法解二元一次方程组的
6、基本思想是 消元 ,即将二元一次方程组转化为一元一次方程来求解.(1)代入 消元法:将一个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来,并代入另一个方程中,消去一个未知数,化二元一次方程组为一元一次方程.(2)加减 消元法:两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等(或通过适当变形后可以使同一个未知数的系数相反或相等)时,把这两个方程的两边分别相加或相减,消去这个未知数,化二元一次方程组为一元一次方程.温馨提示温馨提示 一般地,当二元一次方程组中的一个方程的某个未知数的系数是1或-1时,选择代入消元法较简单.当二元一次方程组中两个方程的某个未知数的系数的绝对值相等或成倍数关系时,选
7、择加减消元法较简单.考点四*三元一次方程组1.三元一次方程组三元一次方程组:一个方程组中含有三个未知数,每个方程中含未知数的项的次数都是1,并且一共有三个方程,像这样的方程组叫做三元一次方程组.2.解三元一次方程组的基本思路解三元一次方程组的基本思路三元一次方程组二元一次方程组 一元一次方程考点五一次方程(组)的应用1.列方程列方程(组组)解应用题的一般步骤解应用题的一般步骤审:审清题意,分清题中的已知量、未知量;设:设关键未知数;列:找出适当等量关系,列方程(组);解:解方程(组);验:检验所解答案是否正确或是否符合题意;答:规范作答,注意单位名称.2.几种常见的应用题型几种常见的应用题型常
8、见题型重要的关系式打折销售问题销售单价=标价 折数 ;销售额=销售单价 销量;利润=售价-成本;利润率=100%储蓄利息问题利息=本金利率期数;本息和=本金+利息=本金(1+利率期数)工程问题工作量=工作效率工作时间利润成本行程问题相遇问题:全路程=甲走的路程+乙走的路程.追及问题:a.同地不同时出发:前者走的路程=追者走的路程;b.同时不同地出发:前者走的路程+两地间的距离=追者走的路程.水中航行问题:顺水船速=静水船速+水速;逆水船速=静水船速-水速数字问题两位数 表达式:10a+b三位数 表达式:100a+10b+c探究点一一元一次方程的解法例例1解方程:-=1.32x 213x思路导引
9、思路导引 去分母去括号移项合并同类项系数化为1解析解析去分母得3(x-3)-2(2x+1)=6,去括号得3x-9-4x-2=6,移项、合并同类项得-x=17,系数化为1得x=-17.1-1 (2020驻马店期中)方程x-3=5的解是(C)A.x=2 B.x=3 C.x=8 D.x=51-2小明在解方程=-1去分母时,方程右边的-1没有乘3,因而求得的解为x=2,则原方程的解为(C)A.x=2 B.x=-1C.x=0 D.x=-2213x3xa解析解析根据题意,可知当2x-1=x+a-1时,x=2,则3=2+a-1,解得a=2,代入原方程,得=-1,213x23x 去分母,得2x-1=x+2-3
10、,移项、合并同类项,得x=0.故选C.1-3若1与-互为相反数,则(3x+2)2 019的值为 -1 .12x解析解析根据题意,得1-=0,解得x=-1,将x=-1代入(3x+2)2 019,得(-3+2)2 019=-1.12x方法技巧方法技巧解一元一次方程的一般步骤是“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”.在解答此类问题时,可根据方程的特点灵活选择解方程的方法,同时还要注意:在去分母时,不可忽略了分数线的括号作用,也不能漏乘常数项;在去括号时,不可出现符号错误与漏乘括号内的项的问题;在移项时要变号.探究点二二元一次方程(组)的解法例例2解方程组:353,1.23xyxy思路导引思
11、路导引 代入消元法转化变形代入求值解析解析 由,得3x=6+2y,把代入,得6+2y-5y=3,解得y=1,把y=1代入,得3x=6+21,解得x=,原方程组的解为 353,1,23xyxy838,31.xy2-1 (2020南阳宛城期中)已知方程组则x与y之间的关系是(B)A.x+y=1 B.x+y=-1C.x+y=7 D.x+y=-74,3,xmym 解析解析 把代入,得x+y-3=-4,则x+y=-1,故选B.4,3,xmym 2-2如果方程的解满足方程x+y+a=0,那么a的值是(B)A.-5 B.5 C.-3 D.35,25xyxy解析解析由代入消元法,得则x+y=-5,由x+y+a
12、=0,得-5+a=0,解得a=5,故选B.0,5,xy 2-3 (2020湖南长沙模拟)已知是方程2x+ay=5的解,则a=1 .2,1xy解析解析把代入方程2x+ay=5,得4+a=5,解得a=1.2,1xy方法技巧方法技巧代入消元法和加减消元法是解方程组最基本的方法,其目标就是“消元”.通过消元,使未知数的数量减少,最后转化为一元方程,进而使问题得以解决.探究点三一次方程(组)的应用例例3某旅行社计划在暑假期间面向学生推出“林州红旗渠一日游”的活动,收费标准如下表:人数m0m100100200收费标准(元/人)908575甲、乙两所学校计划组织本校学生自愿参加此项活动.已知甲校报名参加的学
13、生人数多于100,乙校报名参加的学生人数少于100.经核算,若两校分别组团,则共需花费20 800元;若两校联合组团,则共需花费18 000元.(1)两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200吗?为什么?(2)两所学校报名参加旅游的学生各有多少人?思路导引思路导引(1)先用两校联合组团的费用除以各段不同的收费标准,再结合实际情况进行判断即可.(2)分情况列方程组讨论求解即可.解析解析(1)超过200.理由如下:设两所学校报名参加旅游的人数之和为a(a100).若a200,则a=18 00075=240,符合题意;若100a200,则a=18 00085=211,不符合题意.答:两所学校报名参
14、加旅游的学生人数之和超过200.1317y100)人,则当100200时,得解得不符合题意,舍去.答:甲校报名参加旅游的学生有160人,乙校报名参加旅游的学生有80人.160,80,xy240,759020 800,xyxy153,32186,3xy(2)设甲校报名参加旅游的学生有x(x100)人,乙校报名参加旅游的学生有y(03-1 (2020三门峡一模)我国民间流传这样一道数学题:“只闻隔壁人分银,不知多少银和人,每人7两少7两,每人半斤多半斤,试问各位善算者,多少人分多少银(1斤等于10两)?”其大意是:听见隔壁一些人在分银两,不知道有多少两银子和多少人,若每人7两,则少7两,若每人半斤
15、,则多半斤,试问各位善算者,共有多少人在分多少两银子?设有x人,共分y两银子,根据题意,可列方程组为(D)A.B.C.D.7755xyyx7755xyyx7755yxyx7755xyyx3-2 (2020河南模拟)算法统宗中有如下问题:“哑子来买肉,难言钱数目,一斤少二十五,八两多十五,试问能算者,合与多少肉?”其大意是一个哑巴来买肉,说不出钱的数目,买一斤(16两)还差二十五文钱,买八两多十五文钱,问肉数和肉价各是多少?在该问题中,哑巴所带的钱能买到的肉最多为(B)A.10两 B.11两 C.12两 D.13两解析解析 设肉价为x文/两,哑巴所带的钱数为y,依题意,得解得=11.故选B.16
16、25,815,xyxy5,55,xyyx555方法技巧方法技巧1.解二元一次方程组的一般步骤为“审”“设”“列”“解”“验”“答”六步.2.列一次方程(组)解题的关键是读懂题意,根据题中给出的条件找出合适的等量关系,列出方程(组).设元时可灵活选择.随堂检测一、选择题一、选择题1.(2020南阳邓州期中)若单项式amb3与-2a2bn的和仍是单项式,则方程x-n=1的解为(D)A.x=-2 B.x=2 C.x=-6 D.x=6133m解析解析单项式amb3与-2a2bn的和仍是单项式,m=2,n=3,代入方程得x-3=1,去分母得2x-9=3,移项、合并同类项得2x=12,系数化为1得x=6.
17、故选D.13232.若方程kx+3y=5有一组解是则k的相反数是(B)A.1 B.-1 C.0 D.22,1,xy解析解析将x=2,y=1代入kx+3y=5,得2k+3=5,解得k=1,k的相反数为-1.故选B.3.下列各式:2x=1;x=y;-3-3=-6;x+3x;x-1=2x-3中,一元一次方程有(B)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析解析2x=1,x-1=2x-3符合一元一次方程的定义;x=y中含有两个未知数,属于二元一次方程;-3-3=-6不是方程;x+3x是代数式,不是方程.故选B.4.(2020南阳唐河一模)九章算术是中国古代的数学专著,它的出现标志着中国古代数学形成了完
18、整的体系.其中有这样一个问题:“今有二马、一牛价过一万,如半马之价;一马、二牛价不满一万,如半牛之价.问牛、马价各几何?”其大意为:“现有两匹马加一头牛的价钱超过一万,超过的部分正好是半匹马的价钱;一匹马加两头牛的价钱不到一万,不足的部分正好是半头牛的价钱.问一头牛、一匹马各多少钱?”设一匹马值x钱、一头牛值y钱,则符合题意的方程组为(A)A.B.C.D.210 0002210 0002xxyyxy210 0002210 0002xxyxxy210 0002210 0002xxyyxy210 0002210 0002xxyyxy二、填空题二、填空题5.(2020洛阳三模)已知x,y满足方程组则
19、x+y的值为 5 .612,328,xyxy解析解析 +得4x+4y=20,则x+y=5.612,328,xyxy6.已知代数式-3xm+nym与5x4y3n是同类项,则m=3 ,n=1 .解析解析由题意,得将代入,得3n+n=4,解得n=1,将n=1代入,得m=3.4,3,mnmn7.我国古代的数学名著九章算术中有下列问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺.问日织几何?”其意思为今有一女子善于织布,每日加倍增长,5日共织布5尺,问每日各织多少布?根据此问题中的已知条件,可设该女子第一天织布x尺,则x=.531解析解析根据题设,可得x+2x+4x+8x+16x=5,解得x=.531三、解答题
20、三、解答题8.解方程组 523,2.xyxy解析解析 +2得7x=7,解得x=1,将x=1代入得1+y=2,即y=1,原方程组的解为 523,2,xyxy1,1.xy9.(2020信阳模拟)随着“低碳生活,绿色出行”理念的普及,新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具.某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车并进行销售.据了解,2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元;3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元.(1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元;(2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车(两种型号的汽车均购买),请你帮助该公司设计购买方案.解析解析(1)设A型汽车每辆进价为x万元,B型汽车每辆进价为y万元,依题意,得解得答:A型汽车每辆进价为25万元,B型汽车每辆进价为10万元.(2)设购进A型汽车m辆,购进B型汽车n辆,依题意,得25m+10n=200,m=8-n.易知m,n均为正整数,2380,3295,xyxy25,10.xy25n为5的倍数,可能的结果有答:共有3种购买方案.方案一:购进A型汽车6辆,B型汽车5辆;方案二:购进A型汽车4辆,B型汽车10辆;方案三:购进A型汽车2辆,B型汽车15辆.116,5,mn224,10,mn332,15.mn
