1、第第2222讲圆的有关概念与性质讲圆的有关概念与性质第六单元第六单元内容索引考点梳理整合考点梳理整合安徽真题体验安徽真题体验考法互动研析考法互动研析数学文化探索数学文化探索安徽真题体验安徽真题体验1.(2020安徽,9,4)已知点A,B,C在O上.则下列命题为真命题的是()A.若半径OB平分弦AC.则四边形OABC是平行四边形B.若四边形OABC是平行四边形.则ABC=120C.若ABC=120.则弦AC平分半径OBD.若弦AC平分半径OB.则半径OB平分弦AC命题点1垂径定理及其推论答案 B解析 A.半径OB平分弦AC,OBAC,AB=BC,不能判断四边形OABC是平行四边形,假命题;B.四
2、边形OABC是平行四边形,且OA=OC,四边形OABC是菱形,OA=AB=OB,OABC,OAB是等边三角形,OAB=60,ABC=120,真命题;C.ABC=120,AOC=120,不能判断出弦AC平分半径OB,假命题;D.只有当弦AC垂直平分半径OB时,半径OB平分弦AC,所以是假命题,故选B.2.提示:见第19讲第6题.命题点2圆周角定理及其推论3.(2020安徽,20,10分)如图,AB是半圆O的直径,C,D是半圆O上不同于A,B的两点,AD=BC,AC与BD相交于点F.BE是半圆O所在圆的切线,与AC的延长线相交于点E.(1)求证:CBA DAB;(2)若BE=BF,求证:AC平分D
3、AB.证明(1)AB是半圆O的直径,ACB=ADB=90.RtCBA RtDAB(HL).(2)BE=BF,由(1)知BCEF,E=BFE.BE是半圆O所在圆的切线,ABE=90,E+BAE=90.由(1)知D=90,DAF+AFD=90.AFD=BFE,AFD=E,DAF=90-AFD,BAF=90-E,DAF=BAF,AC平分DAB.4.(2019安徽,13,5分)如图,ABC内接于O,CAB=30,CBA=45,CDAB于点D,若O的半径为2,则CD的长为.解析 连接CO,OB,则O=2A=60,OC=OB,BOC是等边三角形,O的半径为2,BC=2,CDAB,CBA=45,5.(201
4、7安徽,20,10分)如图,在四边形ABCD中,AD=BC,B=D,AD不平行于BC,过点C作CEAD交ABC的外接圆O于点E,连接AE.(1)求证:四边形AECD为平行四边形;(2)连接CO,求证:CO平分BCE.证明(1)由圆周角定理得,B=E.又B=D,E=D.CEAD,D+ECD=180.E+ECD=180.AECD.四边形AECD为平行四边形.(2)如图,作OMBC于点M,ONCE于点N,四边形AECD为平行四边形,AD=CE.又AD=BC,CE=CB.OM=ON.又OMBC,ONCE,CO平分BCE.6.(2016安徽,10,4分)如图,在RtABC中,ABBC,AB=6,BC=4
5、.P是ABC内部的一个动点,且满足PAB=PBC.则线段CP长的最小值为()答案 B解析 ABC=90,ABP+PBC=90,PAB=PBC,BAP+ABP=90,APB=90,OP=OA=OB(直角三角形斜边中线等于斜边一半),点P在以AB为直径的O上,连接OC交O于点P,此时PC最小,在RtBCO中,OBC=90,BC=4,OB=3,PC=OC-OP=5-3=2.PC最小值为2.命题点3圆内接四边形7.(2012安徽,13,5分)如图,点A,B,C,D在O上,O点在D的内部,四边形OABC为平行四边形,则OAD+OCD=_.答案 60解析 法一:连接DO并延长,四边形OABC为平行四边形,
6、B=AOC,AOC=2ADC,B=2ADC,四边形ABCD是O的内接四边形,B+ADC=180,3ADC=180,ADC=60,B=AOC=120,1=OAD+ADO,2=OCD+CDO,OAD+OCD=(1+2)-(ADO+CDO)=AOC-ADC=120-60=60.法二:连接OB,四边形OABC为平行四边形,AB=OC=OB=OA=BC,OAB和OBC都为等边三角形,OAB=OCB=60,ABCD为圆的内接四边形,DAB+DCB=180,OAD+OCD=180-60-60=60命题点4圆的性质8.(2015安徽,20,10分)在O中,直径AB=6,BC是弦,ABC=30,点P在BC上,点
7、Q在O上,且OPPQ.(1)如图1,当PQAB时,求PQ的长度;(2)如图2,当点P在BC上移动时,求PQ长的最大值.考点梳理整合考点梳理整合 K考点清单考点清单考点一圆的有关概念和性质(低频考点)1.圆的定义在同一平面内,一条线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的封闭图形叫做圆,固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径.2.圆的有关概念 弧圆上任意两点间的部分叫做弧.大于半圆的弧叫优弧,小于半圆的弧叫劣弧 弦连接圆上任意两点的线段叫做弦 直径经过圆心的弦叫直径.直径等于半径的2倍弦心距 圆心到弦的距离叫做弦心距半圆圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每条弧都叫做半圆
8、同心圆 圆心相同,半径不等的两个圆叫做同心圆等圆能够重合的两个圆叫做等圆等弧在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧3.圆的性质(10年1考)(1)圆的对称性:圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,任意一条直径所在的直线都是它的对称轴,圆心是它的对称中心.(2)圆的确定:不在同一直线上的三个点确定一个圆.经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心叫做三角形的外心,这个三角形叫做圆的内接三角形,三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等.考点二垂径分弦(高频考点)定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 如果一条直线:垂直
9、于弦;经过圆心;平分弦;平分弦所对的优弧;平分弦所对的劣弧.具备其中任意两个条件,那么就可得到其他三个结论.提示:具备条件时,应平分不是直径弦考点三圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系(低频考点)1.圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角.2.定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.推论:(1)在同圆或等圆中,如果两个圆心角以及这两个圆心角所对的弧、所对的弦、所对的弦的弦心距中,有一组量相等,那么其余的各组量也都相等.(2)弧的度数等于它所对的圆心角的度数.考点四圆周角定理及其推论(高频考点)圆周角 顶点在圆上、两边分别和圆相交的角叫做圆周角 定理同圆或等圆中
10、,同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半推论1.在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧相等2.半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90的圆周角所对的弧是半圆,所对的弦是直径 考点五圆的内接四边形(低频考点)1.如果一个多边形的每一个顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做这个圆的内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆.2.圆内接四边形的性质:圆的内接四边形的对角互补.考法互动研析考法互动研析考法1垂径定理及其推论例1(2019安徽合肥庐阳二模)如图,AC是O的直径,弦BDAC于点E,连接BC,过点O作OFBC于点F,若BD=12 cm,AE=4 cm,则OF的长度是
11、()答案 A 方法总结 在圆中,弦的一半、过该弦端点的半径和该弦的弦心距构成了以半径为斜边的直角三角形,这种密切关系是解决圆中有关弦、弦心距和半径的计算问题的关键.对应练1(2020广东广州)往直径为52 cm的圆柱形容器内装入一些水以后,截面如图所示,若水面宽AB=48 cm,则水的最大深度为()A.8 cmB.10 cmC.16 cmD.20 cm答案 C 对应练2(2020浙江湖州)如图,已知AB是半圆O的直径,弦CDAB,CD=8,AB=10,则CD与AB之间的距离是_.答案 3 考法2圆周角定理及其推论例2(2020江苏扬州)如图,由边长为1的小正方形构成的网格中,点A,B,C都在格
12、点上,以AB为直径的圆经过点C,D,则sinADC的值为()答案 A 方法总结 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆心角相等;一条弧所对的圆周角是其所对的圆心角的一半;有直径时,一般添加辅助线得到直径所对的圆周角,构造直角三角形解决问题.对应练3(2020吉林长春)如图,AB是O的直径,点C,D在O上,BDC=20,则AOC的大小为()A.40B.140C.160D.170答案 B 对应练4(2020海南)如图,已知AB是O的直径,CD是弦,若BCD=36,则ABD等于()A.54B.56C.64D.66答案 A 考法3圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系例3(2019安徽一模)已知O的直径CD为2
13、,弧AC所对圆心角的度数为80,点B是弧AC的中点,点P在直径CD上移动,则BP+AP的最小值为()A.1B.2答案 D解析 如图,过点B作关于CD的对称点B,连接AB交CD于点P,延长AO交O于点E,连接BE,连接OB.方法总结 圆周角定理成立的前提条件是“在同圆或等圆中”,缺少这一前提条件定理不成立.对应练5(2020四川眉山)如图,四边形ABCD的外接圆为O,BC=CD,DAC=35,ACD=45,则ADB的度数为()A.55B.60C.65D.70答案 C 对应练6(2020湖北武汉)如图,在半径为3的O中,AB是直径,AC是弦,D是 的中点,AC与BD交于点E.若E是BD的中点,则A
14、C的长是()答案 D 考法4圆内接四边形例4(2020黑龙江牡丹江)如图,四边形ABCD内接于O,连接BD.若 ,BDC=50,则ADC的度数是()A.125B.130C.135D.140答案 B解析 连接OA,OB,OC,BDC=50,BOC=2BDC=100.ADC=180-ABC=130.方法总结 在圆中计算角度时,一般都是利用圆周角的性质进行转化.另外,“直径所对的圆周角是直角”“圆内接四边形对角互补”也是圆中求角的度数时常用的基本知识.对应练7(2020浙江湖州)如图,已知四边形ABCD内接于O,ABC=70,则ADC的度数是()A.70B.110C.130D.140答案 B 对应练
15、8(2020湖南张家界)如图,四边形ABCD为O的内接四边形,已知BCD为120,则BOD的度数为()A.100B.110C.120D.130答案 C 数学文化探索数学文化探索S数学文化数学文化九章算术是算经十书中最重要的一部,成书于公元一世纪左右,九章算术内容十分丰富,全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就.同时,九章算术在数学上还有其独到的成就,不仅最早提到分数问题,也首先记录了盈不足等问题,方程章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则.它是一本综合性的历史著作,是当时世界上最简练有效的应用数学,它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系.G关联中考关联中考九章算术作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著,与古希腊的几何原本并称现代数学的两大源泉.在九章算术中记载有一问题“今有圆材埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”小辉同学根据原文题意,画出圆材截面图如图所示,已知:锯口深为1寸,锯道AB=1尺(1尺=10寸),则该圆材的直径为_寸.答案 26解析 设O的半径为r寸.在RtADO中,AD=5,OD=r-1,OA=r,则有r2=52+(r-1)2,解得r=13,O的直径为26寸.
