1、 - 1 - 下学期高二数学 5 月月考试题 09 时间 120分钟 满分 120分 第 I卷 一、选择题（ 本大题 共 14 小题 ， 每小题 3 分，共 42 分。 在 每 小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ） 1、 一个物体的运动方程为21 tts ?其中 的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A7米 /秒 B6米 /秒 C5米 /秒 D8米 /秒 2、 用三段论推理命题：“任何实数的平方大于 0，因为a是实数，所以2 0a?，你认为这个推理（ ） A大 前题错误 B小前题错误 C推理形式错误 D是正确的 3、已知函数xxxf 2cos)( ?，则)
2、(x的导函数?) xfA. xxx 2sin22cos ?B. xx sin2cos ?C. ?D. x2?4、 函数)(xfy?在一点的导数值为0是函数)(xfy?在这点取极值的（ ） A充分条件 B必要条件 C充要条件 D必要非充分条件 5、 观察按下列顺序排列的等式：9 0 1 1? ? ?，9 1 2 11? ? ?，9 2 3 21? ? ?，9 3 4 31，猜想第()nn ?N个等式应为（ ） A9( 1) 10 9n n n? ? ?B9( ) 10 9n n n? ? ? ?C9 ( 1) 10 1n n n? ?D1) ( 1) 10 10n n n? ? ? ? ?6、某
3、个命题与正整数有关，若当)( *Nkkn ?时该命题成立，那么可推得 当?n1?k时该命题也成立，现已知当5?时该命题不成立，那么可推得 ( ) (A)当6时，该命题不成立 (B)当6时，该命题成立 (C)当4时，该命题成立 (D)当4n时，该命题不成立 7、 用反证法证明命题： “ 三角形的内角中至少有一个不大于 60度 ” 时，反设正确的是（ ）。 A.假设三内角都不大于 60度； B.假设三内角都大于 60度； C.假设三内角至多有一个大于 60 度； D.假设三内角至多有两个大于 60 度。 8、 若()xf x e?，则x fxfx ? )1()21(lim 0=（ ） AeBe?C
4、2eD2e?9、 已知函数fx在 R 上可导，且2( ) 2 (2)f x x xf?，则(1)?与1)的大小 ( ) - 2 - A( 1) (1)ff?B( 1) (1)?C( 1) (1)?D不确定 10 、设函数 y=f(x) 的 图 象 如 图 所 示 ， 则 导 函 数 y=f ?(x) 可 能 为 （ ） 11、 已知 P， Q 为抛物线 x2 2y 上两点，点 P， Q 的横坐标分别为 4， 2，过 P， Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点 A，则点 A的纵坐标为 ( ) A 1 B 3 C 4 D 8 12、点 从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，OP、两点连
5、线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是 ( ) 13、 已知 的导函数为 ，且 ，则下面在 上恒成立的是（ ） 14、如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记 t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为? ? ? ? ?00S t S ?，则导函数? ?y S t?的图像大致为（ ） 二、 填空题（本大题共 6小题，每小题 4分，共 24 分） 15、若3 0( ) , ( ) 3f x x f x?， 则0x的值为 _； 16、 曲线3 3y x x? ? ?在点? ?1,3处的切线方程为 _. - 3 - 17、 已知函数mxexf x ? 2)
6、(（其中?718.2?e）在区间? ?0,1?上单调递减，则实数m的取值范围为 _. 18、直线ay?与函数xxf 3)( 3 ?的图像有相异的三个公共点，则 的取值范围是_ 19、 用数学归纳法证明不等式 1 12 14 ? 12n 112764 (n N*)成立，其初始值至少应取_ 20、类比 余弦定理，在?DEF 中有余弦定理： DFEEFDFEFDFDE ? cos2222. 拓展到空间，类比三角形的余弦定 理，写出斜三棱柱 ABC-111 CBA的 3个侧面面积之间的关系式（其中?为侧面为11AABB与11BBCC所成的二面角的平面角） _ 三、 解答题（本大题共 5小题，共 50
7、分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21、已知函数23 bxaxy ?，当x?时，有极大值3； （ 1）求,ab的值；（ 2）求函数 的极小值。 22、 （本题 12 分）已知数列 81123 2， 82325 2， ? ， 8 n(2n 1)2 (2n 1)2， ? ， Sn为该数列的前 n项和， （ 1）计算 S1,S2,S3,S4,（ 2）根据计算结果 ,猜想 Sn的表达式 ,并用数学归纳法进行证明 . 23、用长为 18 cm 的钢条围成一个长方 体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为 2： 1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ 24、 某同学在
8、一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。 （ 1） sin213 +cos217 -sin13 cos17 （ 2） sin215 +cos215 -sin15 cos15 （ 3） sin218 +cos212 -sin18 cos12 （ 4） sin2（ -18） +cos248 - sin2（ -18） cos248 （ 5） sin2（ -25） +cos255 - sin2（ -25） cos255 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数 根据（）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论。 - 4 - 25、 已知函数21( ) ln ( 0)
9、.f x ax x ax? ? ? ?（ I） 若()fx是定义域上的单调函数，求a的取值范围； （ II） 若 在定义域上有两个极值点1x、2，证明：12( ) ( ) 3 2 ln 2.f x f x? ? ?- 5 - 参考答案 一、选择题（ 本大题 共 14 小题 ， 每小题 3 分，共 42 分。 在 每 小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ） 二、 填空题（本大题共 6小题，每小题 4分，共 24 分） 15、 1 16、 2x-y+1=0 . 16、 m 2 .18、 -2a 2 . 19、 8 . 20、?cos2 1111111111 222 BBCCAABBBB
10、CCAABBCCAA SSSSS ?三、 解答题（本大题共 5小题，共 54 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 22(本小题 10分） .S1 89， S2 2425， S3 4849， S4 8081. 推测 Sn (2n 1)2 1(2n 1)2 (n N*)用数学归纳法证明如下： ? 5分 (1)当 n 1时， S1 (2 1)2 1(2 1)2 89，等式成立； (2)假设当 n k时，等式成立， 即 Sk (2k 1)2 1(2k 1)2 ，那么当 n k 1时， Sk 1 Sk 8(k 1)(2k 1)2(2k 3)2 (2k 1)2 1(2k 1)2 8(k 1)(2
11、k 1)2(2k 3)2 (2k 1)2 1(2k 3)2 8(k 1)(2k 1)2(2k 3)2 (2k 1)2(2k 3)2 (2k 3)2 8(k 1)(2k 1)2(2k 3)2 - 6 - (2k 1)2(2k 3)2 (2k 1)2(2k 1)2(2k 3)2 (2k 3)2 1(2k 3)2 2(k 1) 12 12(k 1) 12 . 也就是说，当 n k 1时，等式成立 根据 (1)和 (2)，可知对一切 n N*，等式均成立 .10分 23.(本小题 10分） 解 设长方体的宽为 x（ m），则长为 2x(cm)，高为 ? 230m)c(35.44 1218 xxxh.
12、? 3分 故长方体的体积为 ).230()mc(69)35.4(2)( 3322 xxxxxxV ?从而).1(181818)( 2 xxxxxV ? 6分 令 V（ x） 0，解得 x=0（舍去）或 x=1，因此 x=1. 当 0 x 1时， V（ x） 0；当 1 x3时， V（ x） 0， 故在 x=1处 V（ x）取得极大值，并且这个极大值就是 V（ x）的最大值。 从而最大体积 V V（ x） 9 12-6 13（ cm3），此时长方体的长为 2 cm，高为 1.5 cm .? 10分 答：当长方体的长为 2 cm时，宽为 1 cm，高为 1.5 cm时，体积最大，最大体积为 3 c
13、m3。 - 7 - 24.(本小题 10分） 25.解： (本小题 14分） （ ） f(x) lnx ax2 x， f?(x) 1 x 2ax 1 2ax2 x 1x ?2 分 法一：若 f(x)在 (0， ) 单调递 增，则( ) 0fx? ?在 (0， ) 上恒成立， 2 1 0ax x? ? ? ?由于2( ) 2 1x ax x? ? ? ?开口向上，所以上式不恒成立，矛盾。 ?4 分 若 f(x)在 (0， ) 单调递 减，则( )? ?在 (0， ) 上恒成立，22 1 0ax x? ? ? ?由于2) 1x ax x? ? ? ?开口向上，对称轴为1 04a?，故只须 1 8a
14、0?解得a 1 8 。 综上， a的取值范围是 1 8 ， ) ? 7 分 法二： 令 1 8a当 a 1 8 时， 0 ， f?(x)0 ， f(x)在 (0， ) 单调递减 4分 当 0 a 1 8 时， 0，方程 2ax2 x 1 0 有两个不相等的正根 x1， x2，不妨设 x1x2， 则当 x(0 ， x1)( x2， ) 时， f?(x) 0， 当 x( x1， x2)时， f?(x) 0，这时 f(x)不是单调函数 综上， a的取值范围是 1 8 ， ) ? 7分 （ ）由（ ）知，当且仅当 a (0， 1 8 )时， f(x)有极小值点 x1和极大值点 x2， 且 x1 x2
15、12a， x1x2 12a f(x1) f(x2) lnx1 ax21 x1 lnx2 ax22 x2 - 8 - (lnx1 lnx2) 1 2 (x1 1) 1 2 (x2 1) (x1 x2) ln(x1x2) 1 2 (x1 x2) 1 ln(2a) 14a 1 ? 10分 令 g(a) ln(2a) 14a 1， a (0， 1 8 ， 则当 a (0， 1 8 )时， g?(a) 1 a 14a2 4a 14a2 0， g(a)在 (0， 1 8 )单调递减， 所以 g(a) g( 1 8 ) 3 2ln2，即 f(x1) f(x2) 3 2ln2 ? 14分 -温馨提示： - 【 精品教案、课件、试题、素材、教学计划 】 可 到 百度 搜索“ 163 文库 ”，到网站下载！ 或直接访问： 【 163 文库】： 1， 上传优质课件 试题 教案 资料赚钱； 2， 便宜下载精品资料的好地方！
