1、教 案教学基本信息课题再探概率问题学科数学学段： 第三学段年级初三教材书名：数学（九年级上）出版社：人民教育出版社 出版日期：2019 年 6 月姓名单位设计者钭斐玲中国人民大学附属中学朝阳学校实施者钭斐玲中国人民大学附属中学朝阳学校指导者万书河北京市朝阳区教育研究中心课件制作者钭斐玲中国人民大学附属中学朝阳学校教学目标及教学重点、难点教学目标：1. 能够识别必然事件、不可能事件、随机事件，知道必然事件、不可能事件都是确定性事件；2. 能够在具体问题中通过直接列举、列表或画树状图求随机事件的概率；3. 能够比较频率和概率，会用频率估计概率的方法求概率，发展数据分析核心素养；4. 积累基本概念、
2、基本方法的运用经验，培养分析问题、解决问题的能力教学重点：事件及概率的理解，求概率的方法，用频率估计概率教学难点：正确求随机事件的概率，理解频率和概率的关系教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图引入电视机前的同学们，大家好！我是中国人民大学附属中学朝阳学校的钭斐玲老师今天我将带领同学们再探概率问题概率来源于生活，正是在生活中观察到许多随机现象，才发展出了概率你一定常听到甚至说到，“今天*堵车吗？”“可能吧！”“肯定堵！”对吧？而对概率的研究反过来也可以帮助人们更深入准确地理解生活要能够用概率知识解决相关问题，就需要同学们把握好基本概念、掌握好基本方法相信同学们通过这节课的复习，一定能
3、握通过熟悉的日常引入课题住这两把解决问题的钥匙在正式开始本节复习课之前，先看一下概率在课标中的要求：1能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，了解事件的概率；2知道通过大量的重复试验，可以用频率来估计概率简单进行一下梳理，我们能发现这部分包含两个概念，事件和概率；包含两个工具，也就是表格和树状图；包含一个原理，也就是用频率估计概率在近几年的中考题中考查的也是这几方面的内容接下来我们将针对这几方面，从知识概要、关键内容、典型例题三个角度进行复习通过对课程标准的解读，明确概率复习的重点知识概要概率中共有两个核心概念：事件和概率，其中事件包括确定性事
4、件和随机事件，确定性事件包括必然事件和不可能事件必然事件是一定发生，不可能事件是一定不发生，随机事件是可能发生也可能不发生随机事件的可能性大小能够用 0-1 之间（包括 0和 1）的数值来刻画，这个数值就是概率当随机事件对应的试验中所有可能出现的结果个数有限，并且它们出现的可能性相同时，随机事件的概率可以通过直接列举或列表、画树状图来求通过列出试验可能的所有结果，找出该随机事件包含的结果，然后求它们的比值得到的就是概率当然，也可以进行大量重复试验，当该随机事件发生的频率稳定在某个固定数附近时，可以估计该随机事件发生的概率等于这个固定数将概率中的基本概念、基本方法顺序化、结构化地呈现出来，一方面
5、快速回忆相关 知识，同时从整体认识概率，还能够引导学生关 注知识间的联系，以更好地理解和 掌握关键内容关键一 基本概念事件包括确定性事件和随机事件，确定性事件包括必然事件和不可能事件必然事件、不可能事件、随机事件的发生情况不同概率是刻画随机事件发生的可能性大小的数值如果在一次试验中，有 n 种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，其中事件A 包含其中的 m 种结果，那么事件 A 发生的概率为：P(A) m 可n以知道，0P(A)1特别地，当 A 为必然事件时， P(A)1；当 A为不可能事件时， P(A)0事件发生的可能性越大，它的概率越接近 1；反之，事件发生的可能性越小，它的概率越接近 0
6、若 P(A)1，事件 A 不一定是必然事件；若 P(A)0，事件 A 不一定是不可能事件关键二 用列举法求概率用列举法求概率的根据是 P( A) = m ，其中 m 是该随机事件包n对概率的教学重点进行详细 解读通过对基本概 念进行比较，加深对概念的理解含的结果数，n 是所有可能出现的结果总数因而用列举法求概率有两个前提：所有可能出现的结果有限；这些结果出现的可能性相同用列举法求概率的过程主要包括五个步骤：判断一次试验需要经过几步操作；明确每一步操作可能出现的情况；列出所有可能出现的结果（它们出现的可能性相同）；找出该随机事件包含的结果；求出这个随机事件的概率用列举法求概率的常用工具是表格和树
7、状图，也可以直接列举，只要做好这五条，就一定能顺利且正确地求出概率关键三 用频率估计概率从长期实践中，人们观察到，对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率也就是用频率估计概率它既是数学原理，也是求概率的方法我们学习过， 频率= 频数 ， 它是统计出的试验结果；总数概率=此事件包含的结果数是刻画该事件可能性大小的数所有可能出现的结果总数值因而频率具有随机性，概率具有确定性那么随机的频率怎么能估计确定的概率呢？这有两个前提：大量重复试验； 频率稳
8、定在某个固定数附近也就是说，频率除了随机性，还具有稳定性当然用频率估计概率，估计结果可能准确，也可能不准确在大量重复试验中，用频率估计概率估计准确的可能性比较大，但也不是说估计结果就一定分毫不差强调用定义 求概率的前提，同时将用列举法求 概率的过程程序 化，让学生在解决问题时有章可依比较频率和概 率，引导学生关注频率和概率的关 系，以促进学生对 “用频率估计概 率”的理解典型例题【例 1】指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件.（1） 在标准大气压下加热到 100时，水沸腾；（2） 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中；（3） 掷一次骰子，向上一面的点数是 6；（4）
9、在一个平面内画三角形，其内角和是 360；（5） 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯；（6） 射击运动员射击一次，命中靶心分析：题目要做的是判断（1）-（6）这六个事件是必然事件、不可能事件还是随机事件，也就是需要判断这件事的发生情况事件（1），根据物理知识，在标准大气压下水的沸点是 100，加热到 100时，水一定会沸腾，这是必然事件事件（2），根据生活经验，篮球队员可能投中篮也可能投不中，这是随机事件事件（3），掷一次骰子，骰子的各个面都可能向上，因而向上一面的点数是 6可能发生也可能不发生，是一个随机事件事件（4），在三角形中我们学习过，三角形的内角和是 180，那么任意画一个三角形，其内
10、角和是 360一定不会发生，这是不可能事件事件（5），交通灯通常有红、绿、黄三种颜色，经过有交通信号灯的路口，可能是红色、绿色或黄色中的任一种，遇到红灯是一个随机事件事件（6），射击运动员射击一次，有可能命中靶心，也有可能命不中靶识别事件的类型通过例 1，明确判断事件类型的标准是这件事的发生情况心，因而这是随机事件归纳如下：解：必然事件：（1）；不可能事件：（4）；随机事件：（2）（3）（5）（6）【例 2】在一个平面上画一组间距为 d=4cm 的平行线，将一根长度为 lcm 的针任意投掷在这个平面上有以下三个说法：当 l=3 时，这根针与任一直线都不相交是必然事件；当 l=4 时，这根针与某
11、一直线的一部分重合是不可能事件；当 l=5 时，这根针与某一直线相交是随机事件.其中正确的是：分析：这是由布丰投针实验演化出来的问题，要判断说法是否正确，本质上是要判断各个说法对应的事件属于哪种类型，也就是判断这些事件的发生情况说法当 l=3 时这根针的长度比两平行线间的距离短，投掷下来有可能与任一直线都不相交如图，但也有可能出现与某一直线相交的情形，因而这根针与任一直线都不相交可能发生也可能不发生，是随机事件，不是必然事件，说法错误；说法当 l=4 时这根针的长度与两平行线间的距离相等，但投掷下来也有可能与某一直线的一部分重合，如图虽然可能性较小，但这件事是可能发生的，这是随机事件，不是不可
12、能事件，说法错误；说法当 l=5 时这根针的长度比两平行线间的距离长，这根针很可能与某直线相交如图，但也可能出现与任一直线都不相交的情况，因而这是个随机事件，说法正确答案是【例 3】一个不透明的盒子中装有 3 个红球、2 个黄球和 1 个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球， 恰好是黄球的概率为（）A 1B 1C 1632分析：从题干的阅读过程中容易理解，要从中随机摸出一个小球共有 3 个红球、2 个黄球、1 个绿球这 6 种结果，它们除了颜色外无其他差别，就是说出现的可能性是相同的有 2 个黄球，因而“恰好是黄球”这个随机事件包含其中的 2 种结果，求得这个事件的概率是 2
13、 = 1 63答案是 B在直接列举求简单随机事件的概率过程中，要注意先判断是否在内涵更丰富 的情境下识别事 件的类型在例 2中运用“判断事件类型的标准”解决问题，积累基本概念的运用经验通过例 3 这个简单的概率问题复 习概率的定义，再次强调两个前提，明确求概率的程 序，同时积累基本概念、基本方法的运用经验所有可能出现的结果个数有限，是否它们出现的可能性相同，再求概率回顾刚刚的解题过程，“从中随机摸出一个小球”说明这是一步操作，就是在判断一次试验经过一步操作；“共有 3 个红球，2个黄球，1 个绿球”说明了所有可能的结果，“除了颜色外无其他差别”说明它们出现的可能性相同；其中黄球有 2 个，找出
14、了该随机事件包含的结果，最后用它们的比值求出了概率这样的程序是任何一个像例 3 这样求简单随机事件概率都需要经历的过程【例 4】不透明袋子中装有红、绿、黄小球各 1 个，除颜色外无其他差别随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个求两次摸到的球中一个红球、一个绿球的概率.分析：要求这个随机事件的概率需要用列举法共有 5 个步骤：判断一次试验需要经过几步操作； 明确每一步操作可能出现的情况； 列出所有可能出现的结果（它们出现的可能性相同）；找出该随机事件包含的结果； 求出这个随机事件的概率 仔细阅读题干，题干中说，应先摸出一个小球，（放回摇匀）再摸出一个小球，也就是说，需要经过两步操作可以用
15、列表法列举所有可能产生的结果其次明确每一步操作可能出现的情况题干中说“装有红、绿、黄”小球各 1 个，那么第 1 次摸球可能摸到红、绿、黄三种，放回后，第 2 次摸球也可能摸到红、绿、黄三种第三，列出所有可能出现的结果，如表格所示，共 9 种结果它们出现的可能性是否相同？题干中说，“除颜色外无其他差别”“随机摸出”“放回摇匀”“再随机摸出”，也就是说它们出现的可能性相同第四，找出该随机事件包含的结果从表格中能够看出，两次摸到的球中一个红球一个绿球包含的结果共有 2 种最后容易得到，该随机事件的概率P(一红一绿)= 2 9刚刚我们执行了完整的求概率程序，解决了例 4 这个较为复杂的概率问题【变式
16、 1】小明是这样解这个问题的从这个袋子中随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个小球，所有可能的结果包括：2 个红球、2 个绿球、2 个黄球、 1 个红球 1 个绿球、1 个红球 1 个黄球、1 个绿球 1 个黄球，共 6种 两次摸到的球中一个红球、一个绿球的结果共有 1 种，所以P(一红一绿)= 1 6小明的做法对吗？为什么？分析：小明的做法看起来很有道理，但应该注意的是小明列出的这 6 种结果出现的可能性并不相同，小明的做法不对还记得掷两枚均匀硬币的问题吗？这个问题是类似的请同学们引起重视小明错在没有检查结果出现的可能性是否相同，希望同学们在在更为复杂一 些的概率问题中，执行求概率的
17、程 序，掌握求概率的方法用定义求概率 的两个前提中，所有结果有限是学 生容易注意到的，通过变式 1，强调要注意另一个前 提：结果出现的可能性相同求概率时要吸取小明的教训，一定要关注到“可能性相同”这个前提【变式 2】不透明袋子中装有红、绿、黄小球各 1 个，除颜色外无其他差别随机摸出一个小球后，不放回，再随机摸出一个求两次摸到的球中一个红球、一个绿球的概率.分析：首先，判断一次试验需要经过几步操作题干说 “摸出一个小球”“再摸出一个”，能够确定仍要经过两步操作，可以采用列表法接下来明确每一步操作可能出现的情况“红、绿、黄小球各1 个”，也就是第一步取小球可能出现红球、绿球、黄球；“不放回”，就
18、是说第二步取不到所有的 3 种，而只能取剩下的两个在列表时要注意划去取不到的结果第三，列出所有可能出现的结果如表格所示，划去 3 种后一共有 6 种结果，那它们出现的可能性相同吗？从题干“无其他差别” “随机”“随机”看出，它们的可能性相同第四，找出该随机事件包含的结果看看所有的结果，能够找出两次摸到的球中一个红球一个绿球包含的结果共有 2 种最后得到该随机事件的概率是 P(一红一绿)= 2 = 1 63【例 5】经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左或向右转如果这三种可能性大小相同，求三辆汽车经过这个十字路口时，至少有两辆车继续直行的概率分析：结合生活经验，这三辆汽车经过这个十字路口时，
19、第一辆汽车通过后，第二辆汽车通过，最后第三辆汽车通过也就是说，需要经过三步操作列表法就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用画树状图法这是在判断一次试验需要经过几步操作“可能直行，也可能向左或向右转”，说明每一步都可能出现直、左、右这三种情况，这是在明确每一步操作可能出现的情况接下来通过树状图列出所有可能出现的结果“这三种可能性大小相同”，再结合生活经验，说明这些结果出现的可能性相同数一数，所有可能出现的结果共有 27 种数一数，至少有两辆车继续直行的结果共有 7 种这是在找出该随机事件包含的结果最后用它们的比值求出P(至少有两辆车继续直行)= 7 求27出这个随机事件的概率【例
20、6】下图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果试验中每一步 对这个试验的完 成都有影响，通过变式 2“不放回”，引导学生要关注 到每一步操作出 现的情况借助树状图，通过例 5 完成执行求概率程序的全过 程，积累基本方法的运用经验例 6 从图象中获取数据信息学生下面有三个推断：当投掷次数是500 时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308 ，所以“钉尖向上”的概率是0.616 ；随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618 ；若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000 时，“钉尖向上”的频率一定是0.6
21、20 其中合理的是（ ）A B C D分析：图中横轴信息表示的是投掷次数，纵轴信息表示的是“钉尖向上”的频率，从图象中能够看到的是随着横坐标值增大，纵坐标值逐渐稳定在 0.618 附近我们知道，在大量重复试验中，频率如果稳定在固定数附近，可以用频率估计概率因而我们估计模拟 “钉尖向上”的概率是 0.618推断投掷次数是500 时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308 ，说明对应频率是 0.616，这是一次统计结果，单次数据不能估计 “钉尖向上”的概率是 0.616，推断 1 不合理；推断随着实验次数的增加，说明是大量重复试验；同时“钉尖向上”的频率总在0.618 附近摆动，显示出一定的稳定性，
22、说明频率稳定在固定数 0.618 附近，能够估计“钉尖向上”的概率是 0.618，推断 2 合理；推断概率是确定的，根据图中的模拟实验，随着试验次数的增加频率稳定在 0.618 附近，可以估计概率是 0.618而频率是随机的，当投掷次数为 1000 时，频率可能是一个 0.618 附近的数，但不能确定一定是 0.620，推断 3 不合理解：B【例 7】小芸一家计划去城市旅行，需要做自由行的攻略，父母给她分配了一项任务：借助网络评价选取该城市的一家餐厅用餐小芸根据家人的喜好，选择了甲、乙、丙三家餐厅，对每家餐厅随机选取了 1000 条网络评价，统计如下：（说明：网上对于餐厅的综合评价从高到低，依
23、次为五星、四星、三星、二星、一星）小芸选择在（填“甲”“乙”或“丙”）餐厅用餐，通过频率和概率 的关系，结合用频率估计概率的前 提解决问题，加深对基本概念的理 解，同时也发展数据分析核心素养通过对题干信 息的分析和转化，选择用频率估计 概率的方法来比 较不同随机事件 可能性的大小，积累基本概念、方法的运用经验，培养分析问题、解决问题的能力能获得良好用餐体验（即评价不低于四星）的可能性最大分析：可以看到，餐厅有甲、乙、丙三家，评价可以分为一星、二星、三星、四星、五星表格中给出的是三家餐厅一至五星评价各自对应的频数，结合生活经验，一般来说这些评价是由用餐者根据自身用餐体验情况给出的能获得良好用餐体
24、验，相当于评价不低于四星，也就是五星和四星获得良好用餐体验的可能性相当于获得五星和四星评价的可能性这个问题就转化成了比较甲、乙、丙三家餐厅获得五星和四星评价的概率结合题干已知信息表格中的频数，根据用频率估计概率的原理，这些概率可以用餐厅获得五星和四星评价的频率来估计表格中数据显示，甲餐厅获得五星和四星评价的总频数是508+170， 计 算 相 应 频 率 ， 从 而 估 计P(甲获五星和四星评价)= 508+170 =0.678 ；1000乙餐厅获得五星和四星评价的总频数是 460+187，同样道理可以估计P(乙获五星和四星评价)= 460+187 =0.647 ；1000丙餐厅获得五星和四星
25、评价的总频数是 486+388，同样可以估计P(丙获五星和四星评价)= 486+388 =0.874 1000比较发现丙获五星和四星评价的概率最高小芸选择在丙餐厅用餐， 能获得良好用餐体验（即评价不低于四星）的可能性最大概念方法总结【归纳】判断一个事件属于哪种类型，其判定依据是该事件的发生类型：一定发生、一定不发生、可能发生可能不发生【归纳】m根据： P( A) =（古典概型）n前提：所有可能出现的结果有限；这些结果出现的可能性相同过程：判断一次试验需要经过几步操作；明确每一步操作可能出现的情况；列出所有可能出现的结果（它们出现的可能性相同）这实际上得到的是古典概型中的 n；找出该随机事件包含
26、的结果这实际上得到的是古典概型中的 m；求出这个随机事件的概率如果是一步操作，每一步操作可能出现的情况就与所有结果相同；如果是两步及以上的操作，要注意是否放回；【归纳】频率与概率的关系明确判断事件类型的标准概括总结依据 定义求概率的程 序和前提，简单认识古典概型比较归纳频率和概率的关系频率与概率的联系：在大量重复试验中，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率稳定在某个固定数附近时，可以用频率估计概率.频率与概率的区别：概率是确定的频率不确定，具有随机性，但随着试验次数的增加频率呈现出稳定性，这种稳定并不是“数值不变”，而是在一个固定数附近波动【归纳】根据试验的特点，求概率的问题通常考虑两种类型
27、：所有可能出现的结果有限，这些结果出现的可能性相同（如掷均匀硬币）；可以依据概率的定义（直接求、用列举法求），比如例 3-例 5其实这类问题也适用用频率估计概率，例如求三个除颜色不同其他均无差别的球中随机摸出一个球摸到绿球的概率，就可以进行大量重复试验统计摸到绿球的频率，当频率稳定在一个固定数附近时，可以认为这个固定数就是概率所有可能出现的结果有限，但这些结果出现的可能性不相同（如掷图钉）；例 6、例 7 涉及到的就是这样的问题，通常适合用频率估计概率总结概括求概 率问题的常见类 型和适用方法，简单比较各方法作业1在单词 mathematics（数学）中任意选择一个字母，求下列事件的概率：（1）字母为“h”；（2）字母为“a”；（3）字母为元音字母；（4）复习和运用基本概念字母为辅音字母2动物学家通过大量的调查估计：某种动物活到 20 岁的概率为0.8，活到 25 岁的概率为 0.5，活到 30 岁的概率为 0.3复习和使用基本方法（1）现年 20 岁的这种动物活到 25 岁的概率为多少？（2）现年 25 岁的这种动物活到 30 岁的概率为多少？引导学生将知3通过本节课的复习，在解决概率问题方面你受到了哪些启发？在今后学习数学和解决问题方面又受到哪些启发？识和方法延伸到整个数学学习和问题解决的过程中
