1、 - 1 - 下学期高二数学 3 月月考试题 07 满分 150分时间 120分钟 第 卷 (选择题 共 60分 ) 一、选择题 (本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1设曲线1*()ny x n N?在点（ 1， 1）处的切线与 x轴的交点的横坐标为nx,则12 nx x? ? ?的值为 ( ) A 1nB 11n?C 1nn?D 1 【答案】 B 2函数ln ( 0)y x x?的图像与直线12y a?相切，则a等于 ( ) A 2ln2 B 2 1? C ln D ln2 1? 【答案】 D 3定积分ln20 ex
2、dx?的值为 ( ) A 1 B 1 Ce1?D2e【答案 】 B 4已知()fx为 R上的可导函数，且,xR?均有()f x f?（ x），则有 ( ) A2013 2013( 2013 ) ( 0) , ( 2013 ) ( 0)e f f f e f? ? ?B?C2013 2013( ) ( 0) , ( ) ( 0)e f f f e f? ?D20132013 , ( 2013 ) ( 0)f e f?【答案】 A 5若? ? ? ?,f x g x满足( ) ( )f x g x?，则?fx与gx满足 ( ) A ? ? ? ?x g x?B ? ? ? ?f x ?为常数 C
3、f=0 D ?为常数 【答案】 B 6用边长为 6分米的正方形铁皮做一个无盖的水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90?，再焊接而成（如图）。设水箱底面边长为x分米，则 ( ) - 2 - A水箱容积最大为8立方分米 B水箱容积最大为64立方分米 C当x在? ?0,3时，水箱容积()Vx随x增大而增大 D当 在,时， 水箱容积 随 增大而减小 【答案】 C 7若函数32 1 2 1 2 1 2( ) 1 , ( ) ( ) ( ) 0f x x x m x x x R x x f x f x? ? ? ? ? ? ? ?对 任 意 满 足，则实数 m的取值范围是 ( ) A1(
4、, )3?B1( )3?C1( , 3?D1 )3?【答案】 D 8如图 ,阴影部分面积为 ( ) A ( ) ( )ba f x g x dx?B ( ) ( ) ( ) ( ) cbacg x f x dx f x g x dx? ? ?C( ) ( )f x g g x f? ?D ( ) ( )ba g x f dx?【答案】 B 9设( ) lnf x x x?，若0( ) 2fx?，则0x?( ) A 2eB eC ln22D ln2 【答案】 B 10已知2( )=2 (1)+f x xf x，则(0)=( ) A -4 B -2 C 0 D 2 【答案】 A 11给出定义：若函
5、数)(xf在 D上可导，即)(xf?存在，且导函数)(xf?在 D 上也可导，则- 3 - 称?（ x）在 D上存在二阶导函数，记)()( ? xfxf，若0)( ? xf在 D上恒成立 ，则称?（ x）在 D上为凸函数，以下四个函数在（ 0，?2）上不是凸函数的是 ( ) A ?（ x） =sinx+cosx B ?（ x） =lnx-2x C ?（ x） = -x3+2x-1 D ?（ x） =xex 【答案】 D 12如图曲线2xy?和直线41,1,0 ? yxx所围成的图形（阴影部分 )的面积为 ( ) A B C D 【答案】 D 第 卷 (非选择题 共 90分 ) 二、填空题 (本
6、大题共 4个小题，每小题 5分，共 20分，把正确答案填在题中横线上 ) 13定积分1 20 4 x dx?的值 = 。 【答 案】233?14 ； 【答案】 15等比数列na中，1 20121, 4aa?，函数12( ) ( )( )f x x x a x a? ? ?2012()xa?，则函数 f（ x）在点(0,0)处的切线方程为 【答案】20122yx?16函数 f (x)=x?ex的导函数 f ?(x)= ；已知函数?fx在区间? ?0,3内的图象如图所示，记? ? ? ? ? ? ? ?1 2 3 1 , 2 , 2 1k f k f k f f? ? ? ?，则1 2 3k k
7、k、 、之间的大小关系为 。（请用“ ”连接）。 - 4 - 【答案】 (1+x)ex ， 1 3 2k k k?三、解答题 (本大题共 6个小题，共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ) 17某唱片公司要发行一张名为 春风再美也比不上你的笑的唱片，包含新花好月圆、荷塘月色等 10 首创新经典歌曲。该公司计划用x（百万元）请李子恒老师进行创作，经调研知：该唱片的总利润y（百万元）与2)3( xx?成正比的关系，当2?x时32?y.又有? ?txx ,0)3(2 ?，其中t是常数，且? ?2,0?t. (）设? ?y f x?，求其表达式，定义域（用t表示）； (）求总利润 的最大
8、值及相应的x的值 . 【答案】 （）? ? 23,k x x?当2x?时，32. 8yk? ? ?2324 8y x x定义域：? ? ?0,23x tx ?60 21tx t? ? ? ?(）? ?-24 -2 0x x?02xx? ? ?或讨论：若62 21tt? ?，即12t?时 ()fx在02)（ ，单调递增，在( , )上单调递减 . 所以? ? 322max ? fy若62 tt? ?，即01t?时 0)(/ ?xf，所以 在0)（ ，上为增函数。 ? ?32ma x 1286412 6 ? ? t tt tfy综上述：当21 ?t时，? ? 322max ? fy；当10 ?t时
9、 ，? ?32max 12864? t ty18某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为 3元，并且每件产品需向总公司交 元（ ）的管理费，预计当每件产品的售价为 元（ ）时，一年的销售量为 万件 - 5 - (）求分公司一年的利润 （万元）与每件产品的售价 的函数关系式； (）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润 最大，并求出 的最大值 【答案】（）分公司一年的利润 （万元）与售价 的函数关系式为： (） 令 得 或 （不合题意，舍去） ， 在 两侧 的值由正变负 所以（ 1）当 即 时， (2）当 即 时， ， 所以 答：若 ，则当每件售价为 9元时，分公司一年的利润 最大，最大
10、值（万元）；若 ，则当每件售价为 元时，分公司一年的利润 最大，最大- 6 - 值 （万元） 19统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量 y（升）关于行驶速度 x（千米 /小时）的函数解析式可以表示为： y=88031280001 2 ? xx(0x 120).已知甲、乙两地相距 100千米。 (）当汽车以 40千米 /小时的速度匀速行驶时，从甲地 到乙地要耗油多少升？ (）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 【答案】 (1)当 x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了5.240100?小时 , 要耗油 ()(5.175.284080340128000 1
11、3 升） ?. 答：当汽车以 40 千米 /小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油 17.5升 . (2)当速度为 x千米 /小时，汽车从甲地到乙地行驶了,100小时x设耗油量为 h(x)升，衣题意得 h(x)=(88031280001 3 ? xx)1200(41580012801 2 xxxx ?, h (x)=2332 640 80800640 xxxx ?(0 x 120 令 h (x)=0，得 x=80. 当 x (0,80)时， h (x) 0,h(x)是减函数 ; 当 x (80,120)时， h (x) 0,h(x)是增函数 . 当 x=80时， h(x)取到极小值 h(80)
12、=11.25. 因为 h(x)在 (0,120)上只有一个极值，所以它是最小值 . 答：当汽车以 80 千米 /小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为 11.25升 . 20已知函数 f（ x） =x3 3ax（ a R） (1）当 a=l时，求 f（ x）的极小值； (2）若直线 x+y+m=0对任意的 m R都不是曲线 y=f（ x）的切线，求 a的取值范围； (3）设 g（ x） =|f（ x） |， x l， 1，求 g（ x）的最大值 F（ a）的解析式 【 答案】（ 1）当 a=1 时? ? 233x x? ?，令?fx?=0，得 x=0或 x=1 当? ?0,1?时0
13、? ?，当? ? ? ?,0 1,? ? ?时? 0? ?fx在?,1上单调递减，在? ? ? ?, 1,? ?上单调递增， 的极小值为1f=-2 (2）? ? 2x x a?3a?要使直线x y m?=0对任意的mR?总不是曲线y?()fx的切线，当且仅当 -1-3a, - 7 - 13a? (3）因? ? ? ? 3 3g x f x x ax? ? ?在 -1,1上为偶函数 ,故只求在 0,1上最大值， 当0a?时，?fx?0?， 在? ?,1上单调递增且? ?00f ?, ? ? ? ? ? ?g x f x f x?，? ? ? ?1 1 3F a f a? ? ? 当0a?时 ?
14、? ? ? ?23 3 3f x x a x a x a? ? ? ? ? ?i 当1a?，即1?时? ? ? ? ? ?g x f x f x? ?，?fx?在? ?0,1上单调递增，此时 ? ? ?1 3 1F a f a? ? ? ?ii 当01a?，即a时，? ? ? ?g x f x?在0,?上单调递减，在,1上单调递增 10 当? ?1 1 3 0fa? ?即1 13 a?时，? ? ? ? ? ?x f x f x? ? ?在0,上单调递增，在,1上单调递减，故? ? ? 2F a f a a a? ? ? 20当? ?1 1 3 0? ?即0 3时， (）当? ? ? ?1 1
15、 3f a f a? ? ?即14a?时， ? ? ? ?1 3F a f a? ? ?(） 当 即1143a时，? ? ? ? 2a f a a a? ? ?综上? ?11 3 , ( ),412 , ( 1 ),43 1 ,1 , ).aaF a a a aa? ? ? ? ? ?21已知函数xaaxxxf 3ln4)( ?（0?a） (）讨论)(xf的单调性； (）当1?a时，设axexg x 242)( ?，若存在 ,2 2,2?，使)()( 21 xgf ?， 求实数 的取值范围。e(为自然对数的底数，)71828.2 ?e【答案】（）222 )3(434)( x axaxxaaxx
16、f ?，0?x。 令)3(4)( 2 ? axaxxh- 8 - ? 当0?a时，34)( ? xxh,)(xf的减区间为43,0(，增区间为（), ?。 ? 当?时，)4)(1(4 ? aa所以当1?时，,0? ,0)( ?)f在区间),?上单调递减。 当10 ?a时，?，03,04 2121 ? aaxxax0)4)(1(21 ? a aax，0)4)(1(22 ? a aa当),0( 1xx?时，)(,0)( xfxh ?单调递减， 当),( 21 xx时，?单调递增， 当)( ,2 ?x时，)(,)( f单调递减， 所以当0?a时，)(xf的减区间为43,0(，增区间为（), ?。 当
17、1?时， 的减区间为),( ?。 当10 ?a时，)xf的减区间为)4)(1(2,0( a aa ?，),)(1( ? a aa增区间为,)4)(1(2( a aa ? )4)(1(2 aa ?。 (）由（）可知)(xf在221上的最大值为6232ln4)21( ? af， ,42)( ? xexg令0)( ?x，得.2ln?x)2ln,21?x时， ?，)(g单调递减， 2,2(ln?x时，)( ?，x单调递增， 所以)(xg在2,21上的最小值为ag 22ln44)2(ln ?， 由题意可知? 6232ln4 aa22ln44 ?，解得 4?a所以1 ?a22已知函数21nxyx?过点11, )9P，求函数在点 P处的切线方程 . - 9 - 【答案】由函数过点1(1, )9P，则11()9 2 1 n? ?，得2n?，即221xy x? ?， 由232 2 2 1 2 2 ( ) 2 1 2 1 2 1 ( 2 1 ) ( 2 1 )x x x x x xx x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?， 则在点 P处的切线斜率1 2| 27ky?， 可得切线的方程为12( 1)9 27yx
