1、 1 许昌市三校联考高二下期第一次考试 数学（理科） 考试时间： 120分钟 分值： 150分 本试题卷分第 I卷（选择题）和 第 II卷（非选择题）两部分，考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试题卷上答题无效 .考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回 . 第 I卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60分 .在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求） 1. 命题“对任意 xR? ，都有 2 0x? ”的否定为（ ） A 存在 0xR? ，使得 20 0x? . B对任意 xR? ，都有 2 0x? . C存在 0xR? ，使得 20 0x? . D不存在 xR? ，
2、使得 2 0x? . 2. 椭圆 22194xyk? 的离心率为 45 ，则 k 的值为（ ） A 21? B 21 C 1925? 或 21 D 1925 或 21 3. 如图，在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 中 , 12, 1AB BC AA? ? ?， 则 1AC 与平面 1 1 1 1ABCD 所成角的正弦值为（ ） A 223 B 23 C 24 D 13 4. 已知命题 : ( ) ( 0 1 )xp f x a a a? ? ?且是单调增函数；命题 5: ( , )44qx ? ， sin cosxx? ，则下列命题为真命题的是（ ） A pq? B ()pq
3、? C ( ) ( )pq? ? ? D ()pq? 5.“ ( 1)( 1) 0ma? ? ?”是“ log 0am? ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6. 设 ABC? 的内角 A,B,C的对边分别为 ,abc.若 32 , 2 3 , c o s 2a c A? ? ?，且 bc? ，则 b （ ） A 3 B 22 C 2 D 3 7. 已知数列 ?na 满足 *312 l n l nl n l n 3 ()3 6 9 3 2naaaa n nNn? ? ? ? ?，则 10a? （ ） 2 A 30e B 1003e C 1103e
4、 D 40e 8. 若实数 ,xy满足条件 2| | 11yxyx? ?，则 3z x y? 的最大值为（ ） A 9 B 11 C 12 D 16 9. 在 ABC? 中，若 s i n ( ) 1 2 c o s ( ) s i n ( )A B B C A C? ? ? ? ?，则 ABC? 的形状一定是 （ ） A等边三角形 B不含 60 的等腰三角形 C钝角三角形 D直角三角形 10.已知斜率为 3的直线 l 与双曲线 22: 1 ( 0 , 0 )xyC a bab? ? ? ?交于 A,B两点 ，若点 (6,2)P 是 AB的中点，则双曲线 C的离心率为（ ） A 2 B 3 C
5、 2 D 22 11.已知正项等比数列 ?na 满足： 7 6 52a a a? ，若存在两项 ,mnaa，使得 14mna a a? ， 则 14mn? 的 最小值为（ ） A 32 B 53 C 256 D不存在 12.如图， 12,FF是双曲线 22 1 ( 0 , 0 )xyC a bab? ? ? ?： 的左、右两个焦 点， 若直线 yx? 与双曲线 C交于 P,Q两点，且四边形 12PFQF 为矩 形，则双曲线的离心率为（ ） A 2+2 B 26? C 2+ 2 D 2+ 6 第 II卷 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13.已知点 ( 2 , 5 ,1
6、 ) , ( 2 , 2 , 4 ) , (1 , 4 ,1 )A B C? ? ?，则向量 AB 与 AC 的夹角为 . 14.若关于 x 的不等式 2260ax x a? ? ?的解集为 (1, )m ，则实数 m? . 15.在等比数列 ?na 中， 1 3 28 2 , 8 1,nna a a a ? ? ? ?且数列 ?na 的前 n项和 121nS ? ， 则等比数列 ?na 的项数 n . 16.椭圆 22143xy?的左焦点为 F , 直线 xm? 与椭圆相交于点 A,B，当 FAB? 的周长 3 最大时， FAB? 的面积是 . 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算
7、步骤） 17.（ 10 分） ABC? 的面积是 30，内角 A,B,C所对边长分别为 ,abc， 12cos 13A? . （ 1）求 ABAC? ; （ 2）若 1cb?，求 a 的值 . 18.（ 12 分）已知 : , c o s 2 s i n 2 ; :p x R x x m q? ? ? ? ?函数 2221()3 x mxy ? 在 2, )? 上 单调递减，若 pq? 为真命题， pq? 为假命题，求实数 m 的取值范围 . 19.（ 12 分）在公比为正数的等比数列 ?na 中，3 1 21 6 2,2 7 9a a a? ? ? ?，数列 ?nb 的前 n 项和 2=nS
8、n. （ 1）求数列 ?na 和 ?nb 的 通项公式； （ 2）求数列 ? ?nnab 的前 n项和 nT . 20.（ 12 分）如图， 12FF， 分别是椭圆 22: 1( 0 )xyC a bab? ? ? ?的左、右焦点， A是椭 4 圆 C 的顶点， B是直线 2AF 与椭圆 C的另一个交点， 1260FAF?. （ 1）求椭圆 C的离心 率； （ 2）已知 1AFB? 面积为 403 ，求 ,ab的值 . 21.（ 12 分）如图，矩形 ABCD 和梯形 BEFC所在平面互相垂直， / ,BE CF 9 0 , 3 , 2B C F C E F A D E F? ? ? ? ?
9、?. （ 1）求证： /AE 平面 DCF； （ 2）当 AB的长为何值时，二面角 A-EF-C的大小为 60 . 22.（ 12 分）已知椭圆 22: 1( 0 )yxC a bab? ? ? ?的上下两个焦点分别为 12FF， ,过点 1F 与 y 轴垂直的直线交椭圆 C于 M,N两点， 2MNF? 的面积为 3 ，椭圆 C的离心率 为 32 . （ 1）求椭圆 C的标准方程； （ 2）已知 O为坐标原点，直线 :l y kx m?与 y 轴交于点 P，与椭圆 C交于 A,B 两个不同的点，若存在实数 ? ，使得 4OA OB OP?,求 m的取值范围 . 5 许昌市三校联考高二下期第一次
10、考试 数学（理）试题答案 1 6 ACDDBC 7-12 BBDAAC 13、 60 14. 2 15. 5 16. 3 17.（ 1） 12co s , (0 , )13AA ? 5sin 13A? 由 1 sin 302S bc A? 得 bc=156 c o s 1 4 4AB AC bc A? ? ? 5分 （ 2）由 1156cbbc? ?，可得 1312cb? ?由余弦定理 2 2 2cos 2b c aA bc? 得： 5a? 或 5a? （舍去） a的值为 5 10分 18、由 21 2 5c o s 2 s i n 2 2 ( s i n ) +48x x x? ? ? ?
11、? 当 sin 1x? 时， cos 2 sin 2xx?取最小值 0. 若 P为 真命题，则 0m? 3分 若 q 为真命题，则 284m m? 6分 由题意知， pq， 中有且只有一个为真命题， 若 p 真 q 假，则 8m? ； 8分 若 p 假 q 真，则 0m? 10分 综上，实数 m 的取值范围为 ( ,0) (8, )? ? 12分 19.（ 1）设数列 ?na 的公比为 q 由2111162729a q aaq? ? ?，可得 13q? 或 3q? （舍去），则1 23a? 12 1 1( ) 2 ( )3 3 3nnna ? ? ? ? ? 2nSn? 当 2n? 时， 1
12、21n n nb S S n? ? ? ? 当 1n? 时， 1 1b? 也符合上式 21nbn? 6 综上， 12 ( )3 nna ? ?， 21nbn? 6分 （ 2） 由（ 1）知 12 ( 2 1) ( )3 nnna b n? ? ? ? 1 2 31 1 1 12 1 ( ) 3 ( ) 5 ( ) ( 2 1 ) ( )3 3 3 3 nnTn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 3 11 1 1 1 12 1 ( ) 3 ( ) ( 2 3 ) ( ) ( 2 1 ) ( )3 3 3 3 3nnnT n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
13、-得： 2 3 12 1 1 1 1 12 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( 2 1 ) ( )3 3 3 3 3 3nnnTn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1212 ( 2 2 ) ( )33 nn ? ? ? ? ? 12 ( 2 2 ) ( )3 nnTn? ? ? ? ?（ 12 分） 20.解：（ 1）由题意可知， 12AFF? 为等边三角形， 2ac? ， 所以 12e? . 4分 （ 2）解法 1： 2 2 2 24 , 3a c b c?， 直线 AB 的方程可为 3( )y x c? ? . 将其代入椭圆方程 2 2 23 4 12x y c?，得
14、 8 3 3( , )55B c c? . 所以 8 1 6| | 1 3 | 0 |55A B c c? ? ? ? ?. 由1 111 1 1 6 3| | | | s in2 2 5 2A F BS A F A B F A B a c? ? ? ? ? ? ? 223 =40 35 a ，解得 10, 5 3ab?. 12分 解法 2：设 |AB t? . 因为 2|AF a? ，所以 2|BF t a? . 由椭圆定义 12| | | | 2BF BF a?可知， 1| | 3BF a t?. 7 再由余弦定理 2 2 2( 3 ) 2 c o s 6 0a t a t a t? ?
15、? ? 可得， 85ta? . 由 21 1 8 3 2 3 4 0 32 5 2 5S A F B a a a? ? ? ? ? ?知， 10, 5ab?. 21.（ 1）证明：过 E作 EG CF于 G，连接 DG，则四边形 BCGE为矩形 . 又 ABCD为矩形 所以 AD 平行且等于 EG 四边形 ADGE为平行四边形 . AE DG AE? 平面 DCF， DG? 平面 DCF， AE平面 DCF. 4分 （ 2） 分别以直线 BE、 BC、 BA 所在的直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标 系，依题意可得： B（ 0， 0， 0）， C（ 0， 3 ， 0）， E（
16、3， 0， 0）， F（ 4， 3 ， 0）设 AB m ，则 A（ 0， 0， m ） . 可求得平面 CEF的法向量 1 (0,0,1)n ? . 平面 AEF的法向量 2 (3 , 3 , 9)n m m? 8分 由12 1c o s , c o s 6 0 2nn? ? ? ?得： 92m? . 当 AB 92 时，二面角 A EF C的大小为 60 12分 22.（ I）根据已知设椭圆 C 的焦距为 2c，当 y c时， 212 2= x -x = bMN a， 由题意 22 1 212 32 bcM N F F F M N c M N a? ? ?的 面 积 为 ，?（ 3分） 由
17、已知得 223 142c baa ? ? ? ?， ， ， 22 1.4yCx? ? ?椭 圆 的 标 准 方 程 为?（ 5分 ） （ II）若 m=0，则 P（ 0， 0），由椭圆的对称性得 AP PB O A O B? ， 即 0. m 0时，存在实数使得 4OA OB OP?成立 .?（ 7分） 若 m 0，由 4OA OB OP?，得 144OP OA OB?，因为 A， B， P共线， 所以 1+ 4，解得 3. 设 A（ 11x kx m?， ）， B（ 22x kx m?， ），由224 4 0y kx mxy? ? ? ?得 2 2 2( 4 ) 2 4 0k x m kx
18、m? ? ? ? ?， 8 由已知得 2 2 2 2= 4 4 ( 4 ) ( 4 )m k k m? ? ? ? 0，即 k2 m2+4 0 且12 22 4kmxx k? ?， 212 2 44mxx k ? ? .?（ 9分） 由 3AP PB? 得 x1=3x2，即 123xx? 21 2 1 23 4 0x x x x? ? ?（ ） ， 2 2 22 2 21 2 4 ( 4 ) 0( 4 ) 4k m mkk ?，即 2 2 2 2 40m k m k? ? ? ?.?（ 10 分） 当 2 1m? 时， 2 2 2 2 40m k m k? ? ? ?不成立， 2224 1mk m? ? ， 2240km? 2 224 401m mm? ? ，即 2224 01mmm? ?（ ） ， 142 m ，解得 21m? 或 1 m 2 综上所述， m的取值范围为 ? ?2 1 0 1 2m m m m? ? ? ? ? ? ?或 或.?（ 12分） -温馨提示： - 【 精品教案、课件、试题
