1、 1 十字相乘法进行因式分解 【学习目标】 （1）理解二次三项式的意义； （2）理解十字相乘法的根据； （3）能用十字相乘法分解二次三项式； （4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为 1 的二次三项式的十字相乘法 学习重点：理解十字相乘法的根据。 学习难点：能用十字相乘法分解二次三项式。 学习过程： 1二次三项式 多项式cbxax 2 ， 称为字母 x 的二次三项式， 其中 2 ax称为二次项， bx 为一次项， c 为常数项 例 如，32 2 xx和65 2 xx都是关于 x 的二次三项式 在多项式 22 86yxyx中，如果把 y 看作常数，就是关于 x 的二次三项式；如果把 x 看
2、作常数， 就是关于 y 的二次三项式 在多项式372 22 abba中，把 ab 看作一个整体，即3)(7)(2 2 abab，就是关于 ab 的二次 三项式 同样， 多项式12)(7)( 2 yxyx， 把 xy 看作一个整体， 就是关于 xy 的二次三项式 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法 2十字相乘法的依据和具体内容 利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(axb)(cxd)竖式乘法法则它的一般规律是： （1）对于二次项系数为 1 的二次三项式qpxx 2 ，如果能把常数项 q 分解成两个因数 a，b 的积， 并且 ab 为一次项系数 p，那么它就可以运用公式 )()( 2 b
3、xaxabxbax 分解因式这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项” 公式中的 x 可以表示单项式，也可以表 示多项式， 当常数项为正数时， 把它分解为两个同号因数的积， 因式的符号与一次项系数的符号相同； 2 当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符 号相同 （2）对于二次项系数不是 1 的二次三项式cbxax 2 (a，b，c 都是整数且 a0)来说，如果存在四 个整数 2121 ,ccaa，使aaa 21 ，ccc 21 ，且bcaca 1221 ， 那么cbxax 2 )()( 2211211221 2 21 cxacxaccxcacaxa
4、a它的特征是“拆两头，凑 中间” ，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是 1 的情况复杂，因此，一般要借助“画十 字交叉线”的办法来确定学习时要注意符号的规律为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二 次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解 为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数， 使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同用十字相乘法分解因式，还要注 意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由 十字相乘写出的因式漏写字母如：)
5、45)(2(865 22 xxyxyx 3因式分解一般要遵循的步骤 多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考 虑分组分解法对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行以上步骤可用口诀概 括如下： “首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试， 结果应是乘积式” 【典型例题】 例 1 把下列各式分解因式： （1）152 2 xx； （2） 22 65yxyx 例 2 把下列各式分解因式： （1）352 2 xx； （2）383 2 xx 例 3 把下列各式分解因式： （1）910 24 xx； 3 （2）)(2)(5)(7 23 yxyxyx； （3）120)8(22)8( 222 aaaa 例 4 分解因式：90)242)(32( 22 xxxx 例 5 分解因式653856 234 xxxx 例 6 分解因式6552 22 yxyxyx 例 7 分解因式：ca(ca)bc(bc)ab(ab) 例 8 已知126 24 xxx有一个因式是4 2 axx，求 a 值和这个多项式的其他因式 例 9 分解因式： 222 10235yabyba
