1、 - 1 - 函数的综合应用函数的综合应用 课前热身课前热身 1已知y关于x的函数图象如图所示，则当0y 时，自变量x的取值范围是（ ） A0 x B11x 或2x C1x D1x或12x 2在平面直角坐标系中，函数1yx 的图象经过（ ） A一、二、三象限 B二、三、四象限 C一、三、四象限 D一、二、四象限 3.点(13)P ，在反比例函数 k y x （0k ）的图象上，则k的值是（ ） A 1 3 B3 C 1 3 D3 4、如图为二次函数 2 y a x b x c 的图象，给出下列说法： 0ab； 方程 2 0a x b xc的根为 12 13xx ，； 0abc； 当1x 时，
2、y随x值的增大而增大；当0y 时，13x 其中，正确的说法有 （请写出所有正确说法的序号） 【参考答案】【参考答案】 1. B 2. D 3. B 4. 考点聚焦考点聚焦 知识点知识点 一次函数与反比例函数的综合应用； 一次函数与二次函数的综合应用； 二次函数与图象信息 1 O y x 1 2 - 2 - 类有关的实际应用问题 大纲要求大纲要求 灵活运用函数解决实际问题 考查重点及常考题型考查重点及常考题型 利用函数解决实际问题，常出现在解答题中 备考兵法备考兵法 1.1.四种常见函数的图象和性质总结 图象 特殊点 性质 一 次 函 数 与 x 轴交点 与 y 轴交点（0，b） (1)当 k0
3、 时，y 随 x 的增大而增大；(2)当 k0 时，y 随 x 的增大而增大， 且直线 经过第一、三象限； (2)当 k0 时，双曲 线经过第一、三象限， 在每个象限内， y 随 x 的 增大而减小； (2) 当 k0 时，抛物线开 口向上，并向上无限延 伸；对称轴是直线 x=- , y 最小值= 。 (2)当 a0 时，向右平行移动|h|个单 位；h0 向上移动|k|个单位；k0 向下移动|k|个单位；也可 以看顶点的坐标的移动, 顶点从（0，0）移到（h,k)，由此容易确定平移的方向和单位。 2.2.中考中的函数综合题，聊了灵活考查相关的基础知识外，还特别注重考查分析转化能力、 数形结合思
4、想的运用能力以及探究能力此类综合题，不仅综合了函数及其图象一章的 基本知识，还涉及方程（组） 、不等式（组）及几何的许多知识点，是中考命题的热点善 于根据数形结合的特点，将函数问题、几何问题转化为方程（或不等式）问题，往往是解题 的关键 考点链接考点链接 1点 A o yx , 0 在函数cbxaxy 2 的图像上.则有 . 2. 求函数bkxy与x轴的交点横坐标，即令 ，解方程 ； 与 y 轴的交点纵坐标，即令 ，求 y 值 3. 求一次函数0knkxy的图像l与二次函数0 2 acbxaxy的图像的交 点，解方程组 . 4二次函数cbxaxy 2 通过配方可得 2 2 4 () 24 ba
5、cb ya x aa ， 当0a时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当 x 时，y有最 （“大”或“小”）值是 ； 当0a时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当 x 时，y有最 （ “大”或“小” ）值是 5. 每件商品的利润 P = ；商品的总利润 Q = . 典例精析典例精析 例例 1 1（重庆市江津区）（重庆市江津区）如图，反比例函数 x y 2 的图像与一次函数bkxy的图像交于点 A(，2)，点 B(2, n )，一次函数图像与 y 轴的交点为 C。 - 5 - （1）求一次函数解析式； （2）求 C 点的坐标； （3）求AOC 的面积。 解析： （1
6、）确定一次函数的的关系式的关键是求出点 A、点 B 的坐标，分别把 A（m，2） ，B （-2，n）代入反比例函数的关系式易求出 m=1、n=-1，由待定系数法确定出一次函数关系 式为1yx的值； （2）令关系式1yx中的 x 为 0 求出 y=1，所以 C（0，1） ； （3）AOC 的面积等于 1 2 OC1= 1 2 . 解：由题意：把 A（m，2） ，B（-2，n）代入 2 y x 中得 1 1 m n A（1，2） B（-2，-1） 将 A.B 代入ykxb中得 2 21 kb kb 1 1 k b 一次函数解析式为：1yx （2）C（0，1） - 6 - （3） 11 1 1 22
7、 AOC S 例例 2 2（内蒙古包头）（内蒙古包头）某商场试销一种成本为每件 60 元的服装，规定试销期间销售单价不低 于成本单价，且获利不得高于 45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合 一次函数ykxb，且65x时，55y ；75x时，45y （1）求一次函数ykxb的表达式； （2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定 为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？ （3）若该商场获得利润不低于 500 元，试确定销售单价x的范围 解析： （1）利用待定系数法确定出一次函数ykxb的表达式； （2）利润W=每件的利润销售件数，得
8、W W 2 (90)900 x ，根据二次函数的最值问题 确定单价为 90 元，最大利润为 900 元； （3） 令 W W= =500，即 2 5001807200 xx ， 解得 12 70110 xx， 因为6087x ， 故单价定为 70 元. 解： （1）根据题意得 6555 7545. kb kb ， 解得1120kb， 所求一次函数的表达式为120yx （2）(60) (120)Wxx 2 1807200 xx 2 (90)900 x ， 抛物线的开口向下，当90 x时，W随x的增大而增大， 而6087x ， 当87x时， 2 (8790)900891W 当销售单价定为 87 元
9、时，商场可获得最大利润，最大利润是 891 元 （3）由500W ，得 2 5001807200 xx ， 整理得， 2 18077000 xx，解得， 12 70110 xx， - 7 - 由图象可知，要使该商场获得利润不低于 500 元，销售单价应在 70 元到 110 元之间，而 6087x ，所以，销售单价x的范围是7087x 例例 3 3（山东烟台）（山东烟台） 某商场将进价为 2000 元的冰箱以 2400 元售出，平均每天能售出 8 台， 为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰 箱的售价每降低 50 元，平均每天就能多售出 4 台 （1）
10、假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间 的函数表达式； （不要求写自变量的取值范围） （2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利 4800 元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰 箱应降价多少元？ （3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？ 【解析】【解析】 （1）利润=单价销售件数，单价为（2400-2000-x） ，销售件数为(84) 50 x ； （2）令 y=4800，即 2 2 2 4 3 2 0 04 8 0 0 2 5 xx ，解方程得 12 1 0 02 0 0 xx，老百姓 要想得到实惠，所以取 2 0 0 x ；
11、（3）利用二次函数的最值解决. 解： （1）根据题意，得( 2 4 0 02 0 0 0 )84 5 0 x yx ， 即 2 2 2 4 3 2 0 0 2 5 yxx （2）由题意，得 2 2 2 4 3 2 0 04 8 0 0 2 5 xx 整理，得 23 0 02 0 0 0 0 0 x x 解这个方程，得 12 1 0 02 0 0 xx， 要使百姓得到实惠，取2 0 0 x所以，每台冰箱应降价 200 元 （3）对于 2 2 2 4 3 2 0 0 2 5 yxx ， 当 24 150 2 2 25 x 时， 150 ( 2400 2000 150) 8 4 250 20 500
12、0 50 y 最大值 - 8 - 所以，每台冰箱的售价降价 150 元时，商场的利润最大，最大利润是 5000 元 迎考精炼迎考精炼 一、选择一、选择题题 1.（四川四川凉山州）凉山州）若0ab，则正比例函数yax与反比例函数 b y x 在同一坐标系中的 大致图象可能是（ ） 2 （黑龙江佳木斯）（黑龙江佳木斯）若关于的一元一次方程 2 210nxx 无实数根，则一次函数 (1)ynxn的图像不经过（ ） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 二、填空题 1 （湖北十堰湖北十堰） 已知函数1xy的图象与x轴、y轴分别交于点C.B，与双曲线 x k y 交 于点A.D,
13、 若AB+CD= BC，则k的值为 2 （内蒙古内蒙古包头）包头）如图，已知一次函数1yx的图象与反比例函数 k y x 的图象在第一 象限相交于点A，与x轴相交于点CABx，轴于点B，AOB的面积为 1，则AC的 长为 （保留根号） 3 （青海）（青海）如图，函数yx与 4 y x 的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直于y轴，垂 足为C，则ABC的面积为 y O x A C B y x O C y x O A y x O D y x O B - 9 - 三、解答题三、解答题 1.（河南）（河南）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0） 、C（8，0） 、 D（8，8
14、）.抛物线y=ax 2+bx 过A、C两点. (1)直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的解析式； (2)动点P从点A出发沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD 向终点D运动速度均为每秒 1 个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PEAB交AC于点 E 过点E作EFAD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长? 连接EQ在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得CEQ是等腰三角形? 请直接写出相应的t值. 2.( (贵州贵州安顺安顺) )已知一次函数(0)ykxb k和反比例函数 2 k y x 的图象交于点 A(1，1) （1） 求两个函数的解析式； （2） 若点 B
15、 是x轴上一点，且AOB 是直角三角形，求 B 点的坐标。 3 （重庆綦江）（重庆綦江）如图，一次函数ykxb(0)k 的图象与反比例函数(0) m ym x 的图 象相交于 A.B 两点 （1）根据图象，分别写出点 A.B 的坐标； （2）求出这两个函数的解析式 O A C B x y - 10 - 4.（辽宁锦州）某商场购进一批单价为 50 元的商品，规定销售时单价不低于进价，每件的 利润不超过40%.其中销售量y(件)与所售单价x(元)的关系可以近似的看作如图所表示的一 次函数. (1)求 y 与 x 之间的函数关系式，并求出 x 的取值范围； (2)设该公司获得的总利润(总利润=总销售
16、额-总成本)为 w 元，求 w 与 x 之间的函数关 系式.当销售单价为何值时，所获利润最大？最大利润是多少？ 5 （安徽）（安徽）已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示 （1）请说明图中、两段函数图象的实际意义 （2）写出批发该种水果的资金金额 w（元）与批发量 m（kg）之间的函数关系式；在下 图的坐标系中画出该函数图象； 指出金额在什么范围内， 以同样的资金可以批发到较多 数量的该种水果 O 60 20 4 批发单价（元） 5 批发量（kg） （1） 1 B A O x y 1 - 11 - （3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（2）
17、所示，该经销商拟每日售出 60kg 以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销 商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大 6.（山东山东威海威海）一次函数yaxb的图象分别与x轴、y轴交于点,M N，与反比例函数 k y x 的图象相交于点,A B过点A分别作ACx轴，AEy轴，垂足分别为,C E； 过点B分别作BFx轴，BDy轴， 垂足分别为FD， ，AC与BD交于点K， 连接CD （1）若点A B，在反比例函数 k y x 的图象的同一分支上，如图 1，试证明： AEDKCFBK SS 四边形四边形 ； ANBM （2）若点A B，分别在反比例函数 k y x 的图象的不同分支上
18、，如图 2，则AN与 BM还相等吗？试证明你的结论 7. （ 山 东山 东 泰 安 ）泰 安 ） 如 图 ， OAB 是 边 长 为 2 的 等 边 三 角 形 ， 过 点 A 的 直 线 金额 w（元） O 批发量 m（kg） 300 200 100 20 40 60 O 6 2 40 日最高销量（kg） 80 零售价（元） （2） 4 8 （6，80） （7，40） O C F M D E N K y x 11 ()A xy， 22 ()B xy， （图 1） O C D K F E N y x 11 ()A xy， 33 ()B xy， M （图 2） - 12 - 。轴交于点与Exmx
19、y 3 3 （1） 求点 E 的坐标； （2） 求过 A.O、E 三点的抛物线解析式； （3） 若点 P 是（2）中求出的抛物线 AE 段上一动点（不与 A.E 重合） ，设四边形 OAPE 的面 积为 S，求 S 的最大值。 8 （湖北黄石湖北黄石）为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家 决定对购买彩电的农户实行政府补贴规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商 场销售彩电台数y（台）与补贴款额x（元）之间大致满足如图所示的一次函数关系随 着补贴款额x的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益Z（元）会相应降低且Z 与x之间也大致满足如图所示的一次函数关系
20、 （1）在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？ （2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y和每台家电的收益Z与政府 补贴款额x之间的函数关系式； （3）要使该商场销售彩电的总收益w（元）最大，政府应将每台补贴款额x定为多少？并 求出总收益w的最大值 9.（内蒙古包头）（内蒙古包头）已知二次函数 2 y a x b x c （0a ）的图象经过点(1 0)A ，(2 0)B， (0 2)C，直线x m（2m）与x轴交于点D （1）求二次函数的解析式； 1200 800 0 400 y(台) x(元) z(元) x(元) 200 160 200 0 图 图 - 1
21、3 - （2）在直线x m（2m）上有一点E（点E在第四象限） ，使得E DB、 、为顶点的三角形与 以AOC、 、为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示） ； （3） 在 （2） 成立的条件下， 抛物线上是否存在一点F， 使得四边形A B E F为平行四边形？ 若存在，请求出m的值及四边形A B E F的面积；若不存在，请说明理由 10.( (四川四川成都成都) )已知一次函数2yx与反比例函数 k y x ，其中一次函数2yx的图 象经过点 P(k，5) (1)试确定反比例函数的表达式； (2)若点 Q 是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，求点 Q 的坐标 y x
22、O - 14 - 【参考答案】【参考答案】 一、选择一、选择题题 1.B 2. 二、填空题二、填空题 1. 3 4 2.2 2 3.4 三、解答三、解答题题 1.(1)点 A 的坐标为（4，8） 将 A(4,8)、C（8，0）两点坐标分别代入 y=ax 2+bx 8=16a+4b 得 0=64a+8b 解 得 a=- 1 2 ,b=4 抛物线的解析式为：y=- 1 2 x 2+4x （2）在 RtAPE 和 RtABC 中，tanPAE= PE AP = BC AB ,即 PE AP = 4 8 PE= 1 2 AP= 1 2 tPB=8-t 点的坐标为（4+ 1 2 t，8-t）. 点 G
23、的纵坐标为：- 1 2 （4+ 1 2 t） 2+4（4+1 2 t）=- 1 8 t 2+8. EG=- 1 8 t 2+8-(8-t) =- 1 8 t 2+t. - 1 8 0，当 t=4 时，线段 EG 最长为 2. 共有三个时刻. t1=16 3 ， t2= 40 13 ，t3= 8 5 25 2.（1）点 A（1，1）在反比例函数 x2 k y 的图象上, k=2反比例函数的解析式为： x 1 y - 15 - 一次函数的解析式为：bx2y 点 A（1，1）在一次函数bx2y的图象上 1b 一次函数的解析式为1x2y （2）点 A（1，1） AOB=45 o AOB 是直角三角形
24、点 B 只能在 x 轴正半轴上 当OB1A=90 o时，即 B 1AOB1. AOB1=45 o B 1A= OB1 B1（1，0） 当O A B2=90 o时，AOB 2=AB2O=45 o, B1 是 OB2中点, B2（2，0） 综上可知，B 点坐标为（1，0）或（2，0） 3.（1）解：由图象知，点A的坐标为( 61)， 点B的坐标为（3，2） （2）反比例函数 m y x 的图象经过点B， 2 3 m ，即6m 所求的反比例函数解析式为 6 y x 一次函数ykxb的图象经过A、B两点， 16 23 kb kb 解这个方程组，得 1 3 1 k b 所求的一次函数解析式为 1 1 3
25、 yx 4.解(1) 最高销售单价为 50(1+40%)=70(元). 根据题意，设 y 与 x 的函数关系式为 y=kx+b(k0). 函数图象经过点(60，400)和(70，300)， 解得 - 16 - y 与 x 之间的函数关系式为 y=-10 x+1000， x 的取值范围是 50 x70. (2)根据题意，w=(x-50)(-10 x+1000)， W=-10 x2+1500 x-50000,w=-10(x-75)2+6250. a=-10 ，抛物线开口向下. 又对称轴是 x=75，自变量 x 的取值范围是 50 x70 ， y 随 x 的增大而增大. 当 x=70 时，w 最大值
26、=-10(70-75)2+6250=6000(元). 当销售单价为 70 元时，所获得利润有最大值为 6000 元. 5.（1）解：图表示批发量不少于 20kg 且不多于 60kg 的该种水果， 可按 5 元/kg 批发；3 分 图表示批发量高于 60kg 的该种水果，可按 4 元/kg 批发 （2）解：由题意得： 2060 60 5 4 mm w mm （） ）（ ，函数图象如图所示 由图可知资金金额满足 240w300 时，以同样的资金可 批发到较多数量的该种水果 （3）解法一： 设当日零售价为x元，由图可得日最高销量32040wm 当m60 时，x6.5 由题意，销售利润为 2 (4)(
27、32040 )40 (6)4yxmx 当x6 时，160y 最大值 ，此时m80 即经销商应批发 80kg 该种水果，日零售价定为 6 元/kg， 当日可获得最大利润 160 元 解法二： 设日最高销售量为xkg（x60） 则由图日零售价p满足：32040 xp，于是 320 40 x p 销售利润 2 3201 (4)(80)160 4040 x yxx - 17 - 当x80 时，160y 最大值 ，此时p6 即经销商应批发 80kg 该种水果，日零售价定为 6 元/kg，当日可获得最大利润 160 元 6.（1）ACx轴，AEy轴， 四边形AEOC为矩形 BFx轴，BDy轴， 四边形BD
28、OF为矩形 ACx轴，BDy轴， 四边形AEDKDOCKCFBK，均为矩形 1111 OCxACyx yk， 11AEOC SOC ACx yk 矩形 2222 OFxFByx yk， 22BDOF SOF FBx yk 矩形 AEOCBDOF SS 矩形矩形 AEDKAEOCDOCK SSS 矩形矩形矩形 ， CFBKBDOFDOCK SSS 矩形矩形矩形 ， AEDKCFBK SS 矩形矩形 由（1）知 AEDKCFBK SS 矩形矩形 AK DKBK CK AKBK CKDK 90AKBCKD， AKBCKD CDKABK ABCD ACy轴， 四边形ACDN是平行四边形 - 18 -
29、ANCD 同理BMCD ANBM （2）AN与BM仍然相等 AEDKAEOCODKC SSS 矩形矩形矩形 ， BKCFBDOFODKC SSS 矩形矩形矩形 ， 又 AEOCBDOF SSk 矩形矩形 ， AEDKBKCF SS 矩形矩形 AK DKBK CK CKDK AKBK KK ， CDKABK CDKABK ABCD ACy轴， 四边形ANDC是平行四边形 ANCD 同理BMCD ANBM 7.解： （1）作 AFx 轴与 F OF=OAcos60=1，AF=OFtan60=3 点 A（1，3） 代入直线解析式，得31 3 3 m，m= 3 34 3 34 3 3 xy - 19
30、- 当 y=0 时，0 3 34 3 3 x 得 x=4， 点 E（4，0） （2） 设过 A.O、E 三点抛物线的解析式为cbxaxy 2 抛物线过原点 c=0 抛物线的解析式为xxy 3 34 3 3 2 （3）作 PGx 轴于 G，设)( 00 yxP， 2 )4( 2 ) 1)(3( 2 3 0000 yxxy SSSS PGEFGPAOG )353( 2 1 )33( 2 1 0 2 000 xxyx 8 325 ) 2 5 ( 2 3 2 0 x 当3 8 25 2 5 0 最大 时，Sx 8.解： （1）该商场销售家电的总收益为800 200160000（元） （2）依题意可设
31、- 20 - 1 800yk x， 2 200Zk x 有 1 4008001200k ， 2 200200160k ， 解得 12 1 1 5 kk ， 所以800yx， 1 200 5 Zx （3） 1 (800)200 5 WyZxx 2 1 (100)162000 5 x 政府应将每台补贴款额x定为 100 元，总收益有最大值 其最大值为162000元 9.解析：本题考查二次函数关系式求法、坐标系中有关线段的长度与点的坐标之间的关系， 探究三角形相似的条件和判定四边形为平行四边形的条件，涉及到一元二次方程的解法等 综合性较强，稍有疏忽就容易失分。 解：(1)根据题意，得 0 420 2
32、 abc abc c ，解得 1 3 2 a b c 2 3 2y xx 。 (2)当EDBAOC 时，得 AOCO EDBD 或 AOCO BDED 。 AO=1，CO=2，BD=m-2，当 AOCO EDBD 时，得 12 2EDm ， 2 2 m ED 。 点 E 在第四象限， 1 2 , 2 m E m ， 当 AOCO BDED 时， 得 12 2mED ， 2 4E Dm ， 点 E 在第四象限， 1 ,42Emm。 (3)假设抛物线上存在一点这 P，使得四边形 ABEF 为平行四边形，则 EF=AB=1，点 F 的横坐 标为 m-1,当点 1 E的坐标为 2 , 2 m m 时，
33、点 1 F的坐标为 2 1, 2 m m ， 点 1 F在抛物线的图象上， 22 13 12 2 m mm ， 2 2 1 11 40m m ， 2 720m m 7, 2 2 mm(舍去) - 21 - 1 53 , 24 F ， 3 3 1 4 4 A B E F S 。 当点 2 E的坐标为,4 2mm时，点 2 F的坐标为1 ,42mm ， 点 F2在抛物线的图象 上， 2 4 2131 2,mm m 2 7 1 00 ,m m 25 0m m 2m(舍去)，5m 1 4, 6 ,F 1 66 ABEF S 平行四边形 点拨：点拨： （2）中讨论EDB 与AOC 相似的条件时，题目中未用相似符号连接应按不同的 对应关系分情况讨论， 否则易漏解。 在由线段的长度求 E 点坐标时要注意点的坐标的符号。 （3）中在求是否存在点 E 问题，应先假设存在，列得关系式如果有解，并且符合题意就存 在；如果无解或解得的结果不符合题意，就不存在. 10.（1）一次函数 y=x+2 的图像经过点 P 5=k+2 k=3 反比例函数解析式为 y= x 3 (2)由 x y xy 3 2 ，解得 1 3 y x 或 1 3 y x 点 Q 在第三象限 Q(-3，-1)
