1、 ?（ ?） 三兄弟十分纳闷， 但苦于无法， 只得按锡克先生的办法试一试： 大儿子得 匹马的 是 匹马， 二儿子得 匹马 的 是匹马， 小儿子得 匹马的 是匹马令兄弟三人惊奇的是： ， 正好分完自己家的 匹马， 剩 下的自然是锡克先生的那匹马了 实验操作题 题型特点 实验操作题是指通过具体动手操作对某种现象获得感性认 识， 再利用数学知识进行思考、 探索和解决的一类问题， 这类问 题具有较强实践性与思维性， 能够有效考查学生的实践能力、 创 新意识和直觉思维能力、 发散思维能力等综合素质 实验操作题就其操作过程的形式而言， 有折叠与剪拼、 平移 与旋转等多种变换操作在操作中观察、 探索、 发现
2、， 手脑并用是 这类题的基本特征， 让学生在动手做的过程中体验数学结论与 规律的发现过程， 亲自体验问题情境， 研究问题情趣， 感悟数学 奥妙是这类问题存在的空间 命题趋势 实验操作题能更好地促进学生对数学的理解， 帮助他们提 高用数学的语言、 符号进行表达交流的能力学生经历“ 数学化” 和“ 再创造” 的过程， 能不断提高自己的创新意识和综合能力， 近 年来备受中考命题者的青睐 【 例】（ 甘肃兰州） 如图（） ， 矩形纸片犃 犅 犆 犇， 把它 沿对角线犅 犇向上折叠 （ ） 在图（） 中用实线画出折叠后得到的图形； （ 要求尺规作 图， 保留作图痕迹， 不写作法） （ ） 折叠后重合部分
3、是什么图形？说明理由 【 命题意图分析】实际问题中通过动手操作， 实验得出结论， 可以培养创新意识， 提高学生的自主学习能力本题通过翻折变换 （ 折叠问题） 得出全等形， 最终判断出犅 犇 犉是等腰三角形 【 解答】（ ） 做法参考： 方法： 作犅 犇 犌犅 犇 犆， 在射线犇 犌上截取犇 犈犇 犆， 连 结犅 犈； 方法： 作犇 犅犎犇 犅 犆， 在射线犅犎上截取犅 犈犅 犆， 连结犇 犈； 方法： 作犅 犇 犌犅 犇 犆， 过点犅作犅犎犇 犌， 垂足为犈； 方法： 作犇 犅 犎犇 犅 犆， 过点犇作犇 犌犅 犎， 垂足为犈； 方法： 分别以犇、 犅为圆心，犇 犆、犅 犆的长为半径画弧， 两
4、弧 交于点犈， 连结犇 犈、 犅 犈（ 做法合理均可得分） 犇 犈 犅为所求做的图形 （） 等腰三角形 证明：犅 犇 犈是犅 犇 犆沿犅 犇折叠而成的， 犅 犇 犈犅 犇 犆 犉 犇 犅犆 犇 犅 四边形犃 犅 犆 犇是矩形， 犃 犅犆 犇 犃 犅 犇犅 犇 犆 犉 犇 犅犃 犅 犇 犅 犇 犉是等腰三角形 【 方法点拨】（） 根据折叠的性质， 可以作犅 犇 犉 犅 犇 犆，犈 犅 犇犆 犅 犇， 则可求得折叠后的图形 （ ） 由折叠的性质， 易得犉 犇 犅犆 犇 犅， 又由四边形犃 犅 犆 犇是矩形， 可得犃 犅犆 犇， 即可证得犉 犇 犅犉 犅 犇， 即可证得 犉 犅 犇是等腰三角形 【
5、误区警示】此题考查了矩形的性质、 等腰三角形的判定， 折叠的性质以及尺规作图， 要注意数形结合思想的应用折叠后 两图形完全重合， 所以是全等形 一、选择题 （ 第题） （ 湖北武汉） 如图， 矩形犃 犅 犆 犇中， 点犈在边犃 犅上， 将矩形犃 犅 犆 犇沿直线 犇 犈折叠， 点犃恰好落在边犅 犆的点犉 处若犃 犈，犅 犉， 则犆 犇的长是 （） （ 山东枣庄） 如图， 从边长为（犪 ） 的正方形纸片中 剪去一个边长为（ 犪 ） 的小正方形（犪 ） ， 剩余部分沿虚 线剪拼成一个矩形（ 不重叠无缝隙） ， 则矩形的面积为（） ?（ ?） 那么， 锡克先生“ 借马” 给三兄弟又是怎么回事呢？这是
6、因为 ， 如果将 匹马按遗嘱中的比数去 分， 只能分掉 匹中的 匹， 三兄弟分得的马匹数正好是 ， 还有匹没有分掉， 恰好是锡克先生的一匹数学家 锡克在分马中利用“ 一借一还” 的方法使得难以执行的遗嘱绝处逢生， 正是数学解题方法的妙用 （ 第题） （犪 犪） （犪 ） （犪 ） （犪 ） （ 贵州遵义） 把一张正方形纸片如图（）、 图（） 对折两 次后， 再如图（） 挖去一个三角形小孔， 则展开后的图形 是（） （ 第题） （ 山东泰安） 如图， 将矩形纸片犃 犅 犆 犇沿犈 犉折叠， 使点 犅与犆 犇的中点重合， 若犃 犅 ，犅 犆 ， 则犉 犆 犅 与犅 犇 犌 的面积之比为（） （ 第
7、题） （ 第题） （ 上海） 如图， 在 犃 犅 犆中，犆 ，犃 ，犅 犆 ， 点犇在犃 犆上， 将犃 犇 犅沿直线犅 犇翻折后， 将点犃落 在点犈处， 如果犃 犇犈 犇， 那么线段犇 犈的长为（） 槡 槡 槡 （ 四川资阳） 如图， 在犃 犅 犆中，犆 ， 将犃 犅 犆沿 直线犕犖翻折后， 顶点犆恰好落在犃 犅边上的点犇处， 已知 犕犖犃 犅，犕 犆，犖 犆槡 ， 则四边形犕犃 犅 犖的面积是 （） （ 第题） 槡 槡 槡 槡 （ 广东广州） 如图所示， 将矩形纸片先沿虚线犃 犅按箭 头方向向右 獉獉 对折， 接着对折后的纸片沿虚线犆 犇向下 獉獉 对折， 然 后剪下一个小三角形， 再将纸片
8、打开， 则打开后的展开图是 （） （ 第题） （ 山东枣庄） 如图， 边长为（犿 ） 的正方形纸片剪出一 个边长为犿的正方形之后， 剩余部分可剪拼成一个矩形（ 不 重叠无缝隙） ， 若拼成的矩形一边长为， 则另一边长是 （） （ 第题） 犿 犿 犿 犿 （ 山东菏泽） 如图所示， 已知在三角形纸片犃 犅 犆中，犅 犆 ，犃 犅 ，犅 犆 犃 在犃 犆上取一点犈， 以犅 犈为折痕， 使犃 犅的一部分与犅 犆重合， 点犃与犅 犆延长线上的点犇重 合， 则犇 犈的长度为（） （ 第题） 槡 槡 （ 江苏常州） 如图所示， 如果将矩形纸沿虚线对折 后， 沿虚线剪开， 剪出一个直角三角形， 展开后得到一
9、个等 腰三角形则展开后三角形的周长是（） （ 第 题） 槡 槡 ?（ ?） 圆形， 是一个看来简单， 实际上很奇妙的图形古代人最早是从太阳， 从阴历十五的月亮得到圆的概念的是什么 人作出第一个圆呢？十几万年前的古人作的石球已经相当圆了一万八千年前的山顶洞人曾经在兽牙、 砾石和石珠 上钻孔， 那些孔有的就很圆山顶洞人是用一种尖状石器转着钻孔的， 一面钻不透， 再从另一面钻石器的尖是圆心， 它的宽度的一半就是半径， 一圈圈地转就可以钻出一个圆形的孔以后到了陶器时代， 许多陶器都是圆的圆的陶器 是将泥土放在一个转盘上制成的当人们开始纺线， 又制出了圆形的石纺缍或陶纺缍 （ 陕西） 如下图， 把一个边
10、长为的正方形经过三次对 折后沿图（ ） 中平行于犕犖的虚线剪下， 得图（） ， 它展开后 得到的图形的面积为 ， 则犃犖的长为 （） （ 第 题） 二、填空题 （ 四川达州） 将矩形纸片犃 犅 犆 犇， 按如图所示的方式折 叠， 点犃、 点犆恰好落在对角线犅 犇上， 得到菱形犅 犈 犇 犉若 犅 犆 ， 则犃 犅的长为 （ 第 题） （ 江苏南京） 如图， 将 的犃 犗 犅按图摆放在一把刻 度尺上， 顶点犗与尺下沿的端点重合，犗 犃与尺下沿重合， 犗 犅与尺上沿的交点犅在尺上的读数为 ， 若按相同的方 式将 的犃 犗 犆放置在该尺上， 则犗 犆与尺上沿的交点犆 在尺上的读数约为 （ 结果精确到
11、 ， 参考数据： ， ， ） （ 第 题） （ 福建福州） 如图， 将一张正方形纸片剪成四个小正方 形， 得到个小正方形， 称为第一次操作； 然后， 将其中的一 个正方形再剪成四个小正方形， 共得到个小正方形， 称为 第二次操作； 再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形， 共得到 个小正方形， 称为第三次操作； ， 根据以上操 作， 若要得到 个小正方形， 则需要操作的次数是 （ 第 题） （ 第 题） （ 山西模拟） 如图， 把一张长方形的纸片按如图所示的 方式折叠， 犈犕、犉犕为折痕， 折叠后的点犆落在犕 犅 上或 犕 犅 的延长线上， 那么犈犕 犉的度数是 三、解答题 （ 山西） 实践与
12、操作： 如图（） 是以正方形两顶点为圆 心， 边长为半径， 画两段相等的圆弧而成的轴对称图形， 图 （ ） 是以图（） 为基本图案经过图形变换拼成的一个中心对 称图形 （ ） 请你仿照图（） ， 用两段相等圆弧（ 小于或等于半圆） ， 在 图（ ） 中重新设计一个不同的轴对称图形 （ ） 以你在图（） 中所画的图形为基本图案， 经过图形变换在 图（ ） 中拼成一个中心对称图形 （） （） （） （） （ 第 题） （ 四川巴中） （） 如图（） ， 在每个小方格都是边长为 个单位长度的正方形方格纸中有犗 犃 犅， 请将犗 犃 犅绕点 犗顺时针旋转 ， 画出旋转后的犗 犃 犅 ； （ ） 折纸：
13、 有一张矩形纸片犃 犅 犆 犇（ 如图（） ） ， 要将点犇沿某 条直线翻折 ， 恰好落在犅 犆边上的点犇 处， 请在图中 作出该直线 （） （） （ 第 题） （ 湖南怀化） 如图（） ， 四边形犃 犅 犆 犇是边长为槡 的 正方形， 长方形犃 犈 犉 犌的宽犃 犈 ， 长犈 犉 槡 将长方 形犃 犈 犉 犌绕点犃顺时针旋转 得到长方形犃犕犖犎（ 如图 （ ） ） ， 这时犅 犇与犕犖相交于点犗 （ ） 求犇 犗犕的度数 ； ?（ ?） 年前的半坡人（ 在西安） 会建造圆形的房子， 面积有十多平方米古代人还发现圆的木头滚着走比较省劲 后来他们在搬运重物的时候， 就把几段圆木垫在大树、 大石头
14、下面滚着走， 这样当然比扛着走省劲得多当然了， 因 为圆木不是固定在重物下面的， 走一段， 还得把后面滚出来的圆木滚到前面去， 垫在重物前面部分的下方大约在 年前， 美索不达米亚人， 做出了世界上第一个轮子 圆的木盘大约在 多年前， 人们将圆的木盘固定在 木架下， 这就成了最初的车子 （ ） 在图（） 中， 求犇、犖两点间的距离； （ ） 若把长方形犃犕犖犎绕点犃再顺时针旋转 得到长方 形犃 犚 犜 犣， 请问此时点犅在矩形犃 犚 犜 犣的内部、 外部、 还 是边上？并说明理由 （） （） （ 第 题） （ 湖南岳阳） （） 操作发现： 如图（） ，犇是等边犃 犅 犆 边犅 犃上一动点（ 点犇
15、与点犅不重合） ， 连结犇 犆， 以犇 犆为 边在犅 犆上方作等边犇 犆 犉， 连结犃 犉你能发现线段犃 犉与 犅 犇之间的数量关系吗？并证明你发现的结论 （ ） 类比猜想： 如图（） ， 当动点犇运动至等边犃 犅 犆边犅 犃 的延长线上时， 其他作法与（ ） 相同， 猜想犃 犉与犅 犇在 （ ） 中的结论是否仍然成立 （ ） 深入探究： 如图（） ， 当动点犇在等边犃 犅 犆边犅 犃上运动时 （ 点犇与点犅不重合） 连结犇 犆， 以犇 犆为边在犅 犆上 方、 下方分别作等边犇 犆 犉和等边犇 犆 犉 ， 连结 犃 犉、犅 犉 ， 探究犃 犉、犅 犉 与犃 犅有何数量关系， 并证明 你探究的结
16、论 如图（） ， 当动点犇在等边犃 犅 犆边犅 犃的延长线 上运动时， 其他作法与图（ ） 相同，中的结论是否 成立？若不成立， 是否有新的结论？并证明你得出 的结论 （） （） （） （） （ 第 题） （ 四川成都） 如图， 长方形纸片犃 犅 犆 犇中，犃 犅 ， 犃 犇 ， 按下列步骤进行裁剪和拼图： 第一步： 如图（ ） ， 在线段犃 犇上任意取一点犈， 沿犈 犅、犈 犆剪 下一个三角形纸片犈 犅 犆（ 余下部分不再使用） ； 第二步： 如图（ ） ， 沿三角形犈 犅 犆的中位线犌犎将纸片剪成 两部分， 并在线段犌犎上任意取一点犕， 线段犅 犆上任意取 一点犖， 沿犕犖将梯形纸片犌 犅
17、 犆 犎剪成两部分； 第三步： 如图（ ） ， 将犕犖左侧纸片绕点犌按顺时针方向旋 转 ， 使线段犌 犅与犌 犈重合， 将犕犖右侧纸片绕点犎按 逆时针方向旋转 ， 使线段犎 犆与犎犈重合， 拼成一个与 三角形纸片犈 犅 犆面积相等的四边形纸片 （ 注： 裁剪和拼图过程均无缝且不重叠） 求拼成的这个四边形纸片的周长的最小值与最大值 （ 第 题） （ 四川南充） 在 犘 犗 犙中，犗 犘犗 犙，犕是犘 犙 中点， 把一三角尺的直角顶点放在点犕处， 以犕为旋转中 心旋转三角尺， 三角尺的两直角边与犘 犗 犙的两直角边分 别交于点犃、 犅， （ ） 求证：犕犃犕 犅； （ ） 连结犃 犅， 探究： 在
18、旋转三角尺的过程中，犃 犗 犅 的周长 ?（ ?） 会作圆， 但不一定就懂得圆的性质古代埃及人就认为： 圆， 是神赐给人的神圣图形一直到两千多年前我国的墨子（ 约 公元前 前 年） 才给圆下了一个定义： “ 一中同长也”意思是说： 圆有一个圆心， 圆心到圆周的长都相等这个定义 比希腊数学家欧几里得（ 约公元前 前 年） 给圆下的定义要早 年圆周率， 也就是圆周与直径的比值， 是一个 非常奇特的数 周髀算经 上说“ 径一周三” ， 把圆周率看成， 这只是一个近似值美索不达米亚人在做第一个轮子的时 候， 也只知道圆周率是 是否存在最小值， 若存在， 求出最小值； 若不存在请说明 理由 （ 第 题）
19、 （ 贵州铜仁） 某市计划在新竣工的矩形广场的内部修 建一个音乐喷泉， 要求音乐喷泉犕到广场的两个入口犃、犅 的距离相等， 且到广场管理处犆的距离等于犃和犅之间距 离的一半， 犃、犅、犆的位置如图所示， 请在原图上利用尺规作 图作出音乐喷泉犕的位置（ 要求： 不写已知、 求作、 作法和 结论， 保留作图痕迹， 必须用铅笔作图） （ 第 题） （ 浙江衢州） 课本中， 把长与宽之比为槡 的矩形纸片 称为标准纸请思考解决下列问题： （ ） 将一张标准纸犃 犅 犆 犇（犃 犅犅 犆） 对开， 如图（） 所示， 所 得的矩形纸片犃 犅 犈 犉是标准纸， 请给予证明 （ ） 在一次综合实践课上， 小明尝
20、试着将矩形纸片犃 犅 犆 犇 （犃 犅犅 犆） 进行如下操作： 第一步： 沿过点犃的直线折叠， 使点犅落在边犃 犇上点 犉处， 折痕为犃 犈（ 如图（） 甲） ； 第二步： 沿过点犇的直线折叠， 使点犆落在边犃 犇上点 犖处， 折痕为犇 犌（ 如图（） 乙） ， 此时点犈恰好落在边犃 犈 上的点犕处； 第三步： 沿直线犇犕折叠（ 如图（ ） 丙） ， 此时点犌恰好与 点犖重合 请你探究： 矩形纸片犃 犅 犆 犇是否是一张标准纸？请说明 理由 （ ） 不难发现： 将一张标准纸按如图（） 一次又一次对开后， 所得 的矩形纸片都是标准纸现有一张标准纸犃 犅 犆 犇， 犃 犅 ，犅 犆 槡 ， 问第次
21、对开后所得标准纸的周长是多少？探索直 接写出第 次对开后所得标准纸的周长 （） （） （） （ 第 题） （ 江西模拟） 已知： 将一副三角板 （ 犃 犅 犆和 犇 犈 犉） 如图（ ） 摆放， 点犈、犃、犇、犅在一条直线上， 且犇 是犃 犅的中点将 犇 犈 犉绕点犇顺时针方向旋转角（ ） ， 在旋转过程中， 直线犇 犈、犃 犆相交于点犕， 直线 犇 犉、犅 犆相交于点犖， 分别过点犕、犖作直线犃 犅的垂线， 垂 足为犌、犎 （ ） 当 时（ 如图（） ） ， 求证：犃 犌犇犎； （ ） 当 时（ 如图（） ） ， （） 中的结论是否成立？请写出 你的结论， 并说明理由； （ ） 当 时， （
22、） 中的结论是否成立？请写出你的结 论， 并根据图（ ） 说明理由 （） （） （） （） （ 第 题 ） ?（ ?） 魏晋时期的刘徽于公元 年给 九章算术 作注他发现“ 径一周三” 只是圆内接正六边形周长和直径的比值他 创立了割圆术， 认为圆内接正多边形边数无限增加时， 周长就越逼近圆周长他算到圆内接正 边形的圆周率 ， 请你将它换算成小数， 看约等于多少？刘徽已经把极限的概念运用于解决实际的数学问题之中， 这在世界数学 史上也是一项重大的成就 （ 浙江湖州长兴实验中学模拟） 某公司销售一种新型 节能产品， 现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进 行销售 若只在国内销售， 销售价格狔（
23、元 件） 与月销量狓（ 件） 的函数 关系式为狔 狓 ， 成本为 元 件， 无论销售多 少， 每月还需支出广告费 元， 设月利润为狑内（ 元） （ 利 润销售额成本广告费） 若只在国外销售， 销售价格为 元 件， 受各种不确定因素 影响， 成本为犪元 件（ 犪为常数， 犪 ） ， 当月销量为 狓（ 件） 时， 每月还需缴纳 狓 元的附加费， 设月利润为 狑外（ 元） （ 利润销售额成本附加费） （ ） 当狓 时，狔元 件，狑内元； （ ） 求出狑外与狓间的函数关系式（ 用含犪的式子表示， 不必 写狓的取值范围） ； （ ） 当狓为何值时， 在国内销售的月利润最大？ （ ） 如果某月要将 件产品
24、全部销售完， 请你通过分析犪 的取值， 帮公司决策选择在国内还是在国外销售才能使 所获月利润较大？ （ 北京怀柔一模） 等腰犃 犅 犆，犃 犅犃 犆 ，犅 犃 犆 ，犘为犅 犆的中点， 小亮拿着 角的透明三角板， 使 角的顶点落在点犘， 三角板绕点犘旋转 （ ） 如图（） ， 当三角板的两边分别交犃 犅、犃 犆于点犈、犉时， 求证：犅 犘 犈犆 犉 犘； （ ） 操作： 将三角板绕点犘旋转到图（） 情形时， 三角板的两 边分别交犅 犃的延长线、 边犃 犆于点犈、 犉 探究：犅 犘 犈与犆 犉 犘还相似吗？ 探究： 连结犈 犉，犅 犘 犈与犘 犉 犈是否相似？请说明 理由 设犈 犉犿，犈 犘 犉
25、的面积为犛， 试用犿的代数式表示犛 （） （） （ 第 题） （ 北京大兴区模拟） 平面内有一等腰直角三角板 （犃 犆 犅 ） 和一直线犕犖过点犆作犆 犈犕犖于点犈， 过点犅作犅 犉犕犖于点犉当点犈与点犃重合时（ 如图 （ ） ） ， 易证：犃 犉犅 犉 犆 犈 （ ） 当三角板绕点犆顺时针旋转至图（） 的位置时， 上述结 论是否仍然成立？若成立， 请给予证明； 若不成立， 请说 明理由； （ ） 当三角板绕点犃顺时针旋转至图（） 的位置时， 线段 犃 犉、犅 犉、犆 犈之间又有怎样的数量关系， 请直接写出你的 猜想， 不需证明 （） （） （） （ 第 题） （ 四川达州） 如图，犃 犅 犆
26、的边犅 犆在直线犿上， 犃 犆犅 犆， 且犃 犆犅 犆，犇 犈 犉的边犉 犈也在直线犿上， 边 犇 犉与边犃 犆重合， 且犇 犉犈 犉 （ ） 在图（） 中， 请你通过观察、 思考， 猜想并写出犃 犅与犃 犈 所满足的数量关系和位置关系（ 不要求证明） ； （ ） 将犇 犈 犉沿直线犿向左平移到图（） 的位置时，犇 犈交 犃 犆于点犌， 连结犃 犈、犅 犌猜想犅 犆 犌与犃 犆 犈能否通 过旋转重合？请证明你的猜想 （） （） （ 第 题 ） 实验操作题 解析犇 犈 犉由犇 犈 犃翻折而成， 犈 犉犃 犈 在 犅 犈 犉中， 犈 犉 ，犅 犉 ， 犅 犈犈 犉 犅 犉 槡 槡 犃 犅犃 犈犅
27、犈 四边形犃 犅 犆 犇是矩形， 犆 犇犃 犅 解析 （犪 ） （ 犪 ） 犪 解析 动手操作一下即可 解析 设犅 犉狓， 则犆 犉 狓， 犅 犉 狓 又点犅 为犆 犇的中点， 犅 犆 在 犅 犆 犉中，犅 犉犅 犆犆 犉， 即狓 （ 狓） 解得狓 ， 即可得犆 犉 犇 犅 犌犇 犌 犅 ，犇 犅 犌犆 犅 犉 ， 犇 犌 犅 犆 犅 犉 犇 犅 犌 犆 犉 犅 根据面积比等于相似比的平方可得 犛犉 犆 犅 犛犅 犇 犌 犉 犆 （） 犅 犇 （ ） 在 犃 犅 犆中，犆 ，犃 ， 犅 犆 ， 犃 犆 犅 犆 犃 槡 将犃 犇 犅沿直线犅 犇 翻折后， 将点犃落在点犈处， 犃 犇 犅犈 犇 犅
28、，犇 犈犃 犇 犃 犇犈 犇， 犆 犇 犈犃 犇 犈 犈 犇 犅犃 犇 犅 犆 犇 犅犈 犇 犅犆 犇 犈 犆 ， 犆 犅 犇犆 犇 犅 犆 犇犅 犆 犇 犈犃 犇犃 犆犆 犇 槡 解析 首先连结犆 犇， 交犕犖于犈， 由将犃 犅 犆沿直线 犕犖翻折后， 顶点犆恰好落在犃 犅边上的点犇处， 即可得 犕犖犆 犇， 且犆 犈犇 犈， 又由犕犖犃 犅， 易得犆 犕犖 犆 犃 犅， 根据相似三角形的面积比等于相似比的平方， 相 似三 角 形 对 应高 的 比 等 于 相 似 比， 即 可 得犛犆 犕犖 犛犆 犃 犅 犆 犈 （ ） 犆 犇 ， 又由犕 犆，犖 犆 槡 ， 即可求得四边形 犕犃 犅 犖的
29、面积 解析 图形简单， 动手操作一下即可得出答案 解析 （犿 ） 犿 犿 解析 由犅 犆 犃 犅， 得犃 ， 犇 犅 犈犃 犅 犈 犇 犈犃 犈犅 犈 犅 犆 犇 犅 犈 槡 槡 解析 此直角三角形斜边为 槡 槡 ， 等腰三角形周长为（ 槡 ）槡 解析 设沿犕犖平行的虚线长为狓， 则犃犖 狓所以 狓 ， 得狓 ， 即犃犖 槡 解析 由折叠知犇 犅 犆 ， 犆 犇 犅 犆 犇 犅 犆 犃 犅犆 犇 槡 槡 解析 过点犅、犆分别向犗 犃作垂线犅 犈、 犆 犉， 则犅 犈 犗 犅 ，犆 犉犅 犈 又犆 犉 犗 犉 ， 犗 犉 解析 第一次 ， 第二次 ， 第 三次 ， 则第狀次有（狀） 个正方形，
30、令狀 ， 得狀 解析犅犕犈犅 犕犈，犆 犕犉犅 犕犉， 又犅 犕犈犅 犕犈犆 犕犉犅 犕犉 ， 犈犕 犉 此题为开放性试题， 答案不唯一， 只要符合题目要求即可 给分如图： （） （） （ 第 题） 如图，犗 犃 犅 和直线犕犖为所求图形 （） （） （ 第 题） （） 设犕犖与犃 犅的交点为犙 犕犃 犙 ，犃犕犙 ， 犃 犙犕犗 犙 犅 又犗 犅 犙 ， 犇 犗犕犗 犙 犅犗 犅 犙 （）正方形犃 犅 犆 犇的边长为 槡， 犇 犅 如图， 连结犇犖、犃犖， 设犃 犖与犅 犇的交点为犓 长方形犃犕犖犎宽犃犕 ， 长犕犖 槡 ， 犃犖 ， 故犃犖犕 犇 犗犕 ， 犓 犗 犖 犗 犓犖 ，犃犖犇
31、犅 犃 犓是等腰三角形犃 犅 犇 斜边犇 犅上的中线， 犃 犓犇犓 犇 犅 在 犇犖犓中，犇犖 犇犓犓犖槡 槡 故犇、犖两点间的距离为 （） 点犅在矩形犃 犚 犜 犣的外部 理由如下： 由题意知犃 犚 ， 设犃 犅与犚 犜的交点为犘， 如图（） ， 则犘 犃 犚 ， 在 犃 犚 犘中， 犘 犃 犚犃 犚 犃 犘， 犃 犘 槡 犃 犅槡 槡 槡 ， 即犃 犅犃 犘， 点犅在矩形犃 犚 犜 犣的外部 （） （） （ 第 题） （）犃 犉犅 犇 证明如下：犃 犅 犆是等边三角形， 犅 犆犃 犆，犅 犆 犃 同理犇 犆犆 犉，犇 犆 犉 犅 犆 犃犇 犆 犃犇 犆 犉犇 犆 犃， 即犅 犆 犇犃 犆
32、犉 在犅 犆 犇和犃 犆 犉中， 犅 犆犃 犆， 犅 犆 犇犃 犆 犉， 犇 犆犉 犆 烅 烄 烆 ， 犅 犆 犇犃 犆 犉 犅 犇犃 犉 （） 证明过程同（） ， 证得犅 犆 犇犃 犆 犉， 则犃 犉犅 犇， 所以， 当动点犇运动至等边犃 犅 犆的边犅 犃的延长线上 时， 其他作法与（） 相同，犃 犉犅 犇仍然成立 （）犃 犉犅 犉 犃 犅 证明如下： 由（） 知犅 犆 犇犃 犆 犉， 则犅 犇犃 犉 同理犅 犆 犉 犃 犆 犇， 则犅 犉 犃 犇 犃 犉犅 犉 犅 犇犃 犇犃 犅 中的结论不成立新的结论是犃 犉犃 犅犅 犉 证明如下： 在犅 犆 犉 和犃 犆 犇中， 犅 犆犃 犆， 犅 犆
33、 犉 犃 犆 犇， 犉 犆犇 犆 烅 烄 烆 ， 犅 犆 犉 犃 犆 犇 犅 犉 犃 犇 又由（） 知犃 犉犅 犇 犃 犉犅 犇犃 犅犃 犇犃 犅犅 犉 ， 即犃 犉犃 犅犅 犉 画出第三步剪拼之后的四边形犕犖犖犕的示意图， 如 图（） 所示 图中，犖犖犈 犖犈 犖犖 犅犖 犆犅 犆， 犕犕犕犌犌 犕犕犎犕犎 （犌犕犕犎） 犌犎 犅 犆（ 三角形中位线定理） ， 又犕犕犖犖， 四边形犕犖犖犕是一个平行四边形， 其周长为犖犖 犕犖 犅 犆 犕犖 犅 犆 为定值， 四边形的周长取决于犕犖的大小 如图（） 所示， 是剪拼之前的完整示意图 过犌、犎点作犅 犆边的平行线， 分别交犃 犅、 犆 犇于点犘、
34、犙点， 则 四边形犘 犅 犆 犙是一个矩形， 这个矩形是矩形犃 犅 犆 犇的一半 犕是线段犘 犙上的任意一点， 犖是线段犅 犆上的任 意一点， 根据垂线段最短， 得到犕犖的最小值为犘 犙与犅 犆平行 线之间的距离， 即犕犖最小值为 ； 而犕犖的最大值等于矩形对角线的长度， 即 犘 犅 犅 犆 槡 槡 槡 （ ） 四边形犕犖犖犕 的周长犅 犆犕犖 犕犖， 四边形犕犖犖犕 周长的最小值为 （ ） 最大值为 槡 （槡 ） （） （） （ 第 题） （） 连结犗 犕 犘 犗 犙中，犗 犘犗 犙 ，犕是犘 犙的中点， 犗犕犘犕 犘 犙 槡 ， 犘 犗犕犅 犗犕犘 犘犕犃犃犕犗犗犕犅犃犕犗， 犘犕犃犗犕犅
35、，犘犕犃犗犕犅 犕犃犕犅 （）犃 犗 犅的周长存在最小值， 理由：犘犕犃犗 犕犅， 犘 犃犗 犅 犗 犃犗 犅犗 犃犘 犃犗 犘 令犗 犃狓，犃 犅狔， 则狔狓（狓） 狓 狓 （狓 ） 当狓 时狔有最小值， 从而狔 槡 故犃 犗 犅的周长存在最小值， 其最小值是 槡 如图： （ 第 题） （） 是标准纸， 理由如下： 矩形犃 犅 犆 犇是标准纸， 犅 犆 犃 犅 槡 由对开的含义知：犃 犉 犅 犆， 犃 犅 犃 犉 犃 犅 犅 犆 犃 犅 犅 犆 槡 槡 矩形纸片犃 犅 犈 犉也是标准纸 （） 是标准纸， 理由如下： 设犃 犅犆 犇犪， 由图形折叠可知： 犇犖犆 犇犇 犌犪，犇 犌犈犕 由图形
36、折叠可知：犃 犅 犈犃 犉 犈， 犇 犃 犈 犅 犃 犇 犃 犇 犌是等腰直角三角形 在 犃 犇 犌中， 犃 犇犃 犌 犇 犌 槡 槡 犪 犃 犇 犃 犅 槡 犪 犪 槡 矩形纸片犃 犅 犆 犇是一张标准纸 （） 对开次数： 第一次， 周长为： 槡 （） 槡 ； 第二次， 周长为： 槡 （） ）槡 ； 第三次， 周长为： 槡 （） 槡 ； 第四次， 周长为： 槡 （） 槡 ； 第五次， 周长为： 槡 （） 槡 ； 第六次， 周长为： 槡 （） 槡 ； 第次对开后所得标准纸的周长是： 槡 ， 第 次对开后所得标准纸的周长为： 槡 （）犃犃 犇犕 ， 犃犕犕犇 犅 犇 犆 犃 犇犕 犅， 犆 犅犆
37、 犇 犕 犌犃 犇，犖犎犅 犇， 犃 犌 犃 犇， 犇犎 犅 犇 犃 犇犅 犇， 犃 犌犇犎 （） 结论成立 犃 犇犕 ， 犅 犇犖 在犃犕犇和犇犖 犅中， 犃 犇犕犅，犃 犇犇 犅，犃犅 犇犖， 犃犕犇犇犖 犅 犃犕犇犖 犕 犌犃 犇，犖犎犅 犇， 犃犕 犌犇犖犎 犃 犌犇犎 （） 结论成立 犃 犌犕 犖犎犅， 犇 犌犕 犖犎犇， 犃 犌 犕犌 犖犎 犅犎 ， 犕犌 犇 犌 犇犎 犖犎 犃 犌 犇 犌 犇犎 犅犎 ， 犃 犌 犃 犇 犇犎 犇 犅 犃 犌犇犎 （） （）狑外 狓 （ 犪）狓 （） 当狓 （ ） 时，狑内最大 （） 当狓 时， 狑内 ，狑外 犪 若狑内狑外， 则犪 ； 若狑内狑
38、外， 则犪 ； 若狑内狑外， 则犪 所以， 当 犪 时， 选择在国外销售； 当犪 时， 在国外和国内销售都一样； 当 犪 时， 选择在国内销售 （） 因为犅犅 犈 犘犈 犘 犆， 而犈 犘 犆犈 犘 犉犉 犘 犆， 犅犈 犘 犉 ， 所以犅 犈 犘犉 犘 犆 又犅犆 ， 所以犅 犘 犈犆 犉 犘 （）相似 相似理由： 由犅 犘 犈与犆 犉 犘相似可得 犅 犈 犘 犆 犘 犈 犘 犉， 即 犅 犈 犘 犅 犘 犈 犘 犉， 而犅犈 犘 犉 ， 所以犅 犘 犈犘 犉 犈 由犅 犘 犈与犘 犉 犈相似， 得犅 犘 犘 犉 犘 犈 犈 犉， 即犘 犈犘 犉 槡犿过犉作犘 犈垂线， 可知垂线段长为 犘
39、犉 所以犛 犘 犉犘 犈 槡 犿（犿 ） （） 上述结论仍然成立 如图， 过点犅作犅 犇犆 犈于点犇 （ 第 题） 犆 犈犕犖， 犆 犇 犅犃 犈 犆 犃 犆 犈犆 犃 犈 ， 犃 犆 犈犅 犆 犇 ， 犆 犃 犈犅 犆 犇 又犃 犆犅 犆， 犃 犆 犈犆 犅 犇 犆 犈犅 犇 犅 犇 犈犇 犈 犉犅 犉 犈 ， 四边形犅 犇 犈 犉是矩形 犈 犉犅 犇犆 犈， 犅 犉犇 犈 犃 犉犅 犉犃 犈犈 犉犇 犈犆 犇犆 犈犇 犈 犆 犈 （） 线段犃 犉、犅 犉、犆 犈之间的数量关系为： 犃 犉犅 犉 犆 犈 （）犃 犅犃 犈，犃 犅犃 犈 （） 将犅 犆 犌绕点犆顺时针旋转 后能与犃 犆 犈重合 （ 或将犃 犆 犈绕点犆逆时针旋转 后能与犅 犆 犌重 合） ， 理由如下： 犃 犆犅 犆，犇 犉犈 犉， 犅、犉、犆、犈共线， 犃 犆 犅犃 犆 犈犇 犉 犈 又犃 犆犅 犆，犇 犉犈 犉， 犇 犈 犉犇 在犆 犈 犌中， 犃 犆 犈 ， 犆 犌 犈犇 犈 犉 犆 犌犆 犈 在犅 犆 犌和犃 犆 犈中， 犅 犆犃 犆， 犃 犆 犅犃 犆 犈， 犆 犌犆 犈 烅 烄 烆 ， 犅 犆 犌犃 犆 犈 将犅 犆 犌绕点犆顺时针旋转 后能与犃 犆 犈重合 （ 或将犃 犆 犈绕点犆逆时针旋转 后能与犅 犆 犌重 合）
