1、第五章 连续时间系统的复频域分析Laplace transform4、系统函数H(s)及其框图和流图重点内容：1、拉普拉斯变换定义、收敛域、性质和反变换2、利用拉普拉斯变换分析线性连续系统3、双边拉普拉斯正、反变换及收敛域 F(s)e dsst+jj12jF(s)=f(t)=L 1d1、会求一个双边信号的双边拉普拉斯变换及其收敛域2、会求任一个象函数在不同收敛域下的原函数5-9 双边拉普拉斯变换f (t)e dt=fa(t)(t)e dt+stfb(t)(t)e dt=fa(t)e dt+stfb(t)e dt一、双边拉普拉斯正变换的计算：f(t)=fa(t)(t)+fb(t)(t)=Fa(s
2、)+Fb(s)f st+F(s)=L d(t)=st+0st0fa(t)e dt=Lfa(t)stFb(s)=fb(t)e dt=fb(t)e d(t)=fb(t)e dtFb(p)=fb(t)e dts(t)0+p=sFb(s)=Fb(p)1收敛区间为Re(s)a2st0st+0+0 ptF(s)=Fa(s)+Fb(s)+Fa(s)=0a、将左边信号fb(t)反褶后形成的右边信号fb(-t)；b、求右边信号fb(-t)的单边LT极其收敛区：c、将p=-s带入，得到Fb(s)及收敛区：Fb(s)=F-b(p)|p=-sRe(p)pRe(s)-p=bFb(s)=Fb(p)=fb(t)e dtF(
3、s)=Fa(s)+Fb(s)aRe(s)b+0 ptp=sa a时，f(t)的双边LT存在，其收敛区为aRe(s)0例：求f(t)=e|t|的拉普拉斯变换j解：1pFb(p)=1s+Fb(s)=Fb(p)p=sRe(s)-0例：求f(t)=e|t|的拉普拉斯变换1s jFa(s)=2）f a(t)=e t(t)3)f b(t)=e-t(-t)f b(-t)=e t(t)Re(p)0j0j1 1s s+F(s)=Fa(s)+Fb(s)=4)a、当0时，双边LT不存在；收敛区：Re(s)-b、当0时，j例：求f(t)=e|t|的拉普拉斯变换1s Fa(s)=2）f a(t)=e t(t)3)f b
4、(t)=e-t(-t)Fb(s)=1s+Re(s)Re(s)-1例：求 F(s)=解：199e4900 t199f(t)=(t)+2）-200Re(s)-13）Re(s)0 ResL表示左侧极点的留数fb(t)=-Resrt 0=f(t)，t0则有L-1Fd(s)，0=-f(t)，t Re(s)-11Re(s)1R(s)=H(s)E(s)3 2s+1 s+2R(s)=1j-2-1-1Re(s)16(s+1)(s+2)(s1)右边1s1左边函数第五章 连续时间系统的复频域分析Laplace transform4、系统函数H(s)及其框图和流图重点内容：1、拉普拉斯变换定义、收敛域、性质和反变换2
5、、利用拉普拉斯变换分析线性连续系统3、双边拉普拉斯正、反变换及收敛域+H(s)=H(2)=h(t)为此系统的冲激响应，满足h(t)+2h(t)=e-4t(t)+C(t)，C为常数。求（1）系统函数H(s)；（2）e(t)=e2t，t 0时对应的响应r(t)。例2：某零状态因果系统，激励e(t)=e2t，-t 时对应的响应为：r(t)=1e2t6-t。h(t)+2h(t)=e-4t(t)+C(t)解：(s+2)H(s)=e(t)=est1 Cs+4 sr(t)=H(s)est(1+C)s+4Cs(s+2)(s+4)16C=1H(s)=2s(s+4)解 （1）H(s)=E(s)=R(s)=1=+（
6、2）e(t)=e2t，t 0H(s)；（2）e(t)=e2t，t 0时对应的响应r(t)。例2：某零状态因果系统，激励e(t)=e2t，-t01s2R(s)=H(s)E(s)2s(s+4)(s2)1 1 4t 1 2t4 12 62-400Re(s)21 14 12s s+4 s2零状态因果系统jRe(s)aa05-10 线性系统的模拟1、微分方程2、系统传输函数N(s)D(s)H(s)=D(p)r(t)=N(p)e(t)3、框图或流图4、状态方程本节要求掌握微分方程、传输函数与框图三者之间相互转化R(s)E(s)=X2(s)x1(t)X1(s)y(t)x2(t)Y(s)一、框图模拟的基本运算
7、单元1、加法器：所有输入变量的和等于输出变量时域：y(t)=x1(t)+x2(t)频域：Y(s)=X1(s)+X2(s)x1x2x3x4yy=x1+x2+x3+x4y(t)+a0y(t)=x(t)加法器标量乘法器积分器-时域：y(t)=ax(t)频域：Y(s)=a X(s)x(t)X(s)y(t)Y(s)a2、标量乘法器：a=1a=-1-x1x2x -3x4yy=x1-x2-x3+x4时域：y(t)=0 x()d频域：Y(s)=X(s)时域：y(t)=y(0)+x()dY(s)=+频域：t1sx(t)y(t)2）初始条件不为零：t0X(s)y(0)1s sx(t)y(t)y(0)X(s)Y(s
8、)1sX(s)y(0)/s Y(s)1s3、积分器：积分器单向工作1）初始条件为零：注意，这里代表积分运算的方框，它们的积分限都是从0到t。二、线性系统的框图1、一阶系统y(t)+a0y(t)=x(t)y(t)=x(t)a0y(t)x(t)y(t)ysY(s)X(s)Y(s)s-a01H(s)=1s+a0-a0反馈支路sY(s)=X(s)-a0Y(s)H(s)=2y(t)+a1y(t)+a0y(t)=x(t)y(t)=x(t)a1y(t)a0y(t)2、二阶系统x(t)-a1y(t)yy-a01s +a1s+a0-a1-a0X(s)Y(s)1s1sH(s)=n n1y(n)(t)=x(t)ai
9、y(i)(t)x(t)y(t)-an-1y(n-1)y(n)-an-2yy-a1-a03、n 阶系统y(n)(t)+an1y(n1)(t)+L+a1y(t)+a0y(t)=x(t)1s +an1s +L+a1s+a0n1i=0全极点系统把微分方程输出函数的最高阶导数项保留在等式左面，把其它各项一起移到等式右边；模拟规则：y(n)(t)+an1y(n1)(t)+L+a1y(t)+a0y(t)=x(t)y(n)(t)=x(t)an1y(n1)(t)La1y(t)a0y(t)x(t)-an-1y(n-1)y(n)yyy(t)-an-2-a0-a1y(n-2)y(n)(t)=x(t)an1y(n1)(
10、t)La1y(t)a0y(t)这个最高阶导数作为第一个积分器的输入；以后每经过一个积分器，输出函数的导数阶数就降低一阶，直到获得输出函数为止；把各个阶数降低了的导数及输出函数分别通过各自的标量乘法器，一齐送到第一个积分器前的加法器与输入函数相加，加法器的输出就是最高阶导数。H(s)=2y(t)=b1q(t)+b0q(t)q(t)+a1q(t)+a0q(t)=x(t)b0y(t)b1x(t)q-a1q-a0q(t)4、一般n 阶系统y(n)+an1y(n1)+L+a1y+a0y=bmx(m)+bm1x(m1)+L+b1x+b0 x（1）二阶微分方程y(t)+a1y(t)+a0y(t)=b1x(t
11、)+b0 x(t)b1s+b0s +a1s+a0（2）一般n阶微分方程y(n)+an1y(n1)+L+a1y+a0y=bmx(m)+bm1x(m1)+L+b1x+b0 xq(n)(t)+an1q(n1)(t)+L+a1q(t)+a0q(t)=x(t)y(t)=bmq(m)(t)+bm1q(m1)(t)+L+b1q+b0qy(t)bn-1b1b0bn-2x(t)-an-1q(n-1)q(n)-an-2 q q-a1-a0q s Qy(n)+an1y(n1)+L+a1y+a0y=bmx(m)+bm1x(m1)+L+b1x+b0 xq(n)(t)+an1q(n1)(t)+L+a1q(t)+a0q(t
12、)=x(t)y(t)=bmq(m)(t)+bm1q(m1)(t)+L+b1q+b0qD(p)q(t)=x(t)y(t)=N(p)q(t)D(s)Q(s)=X(s)Y(s)=N(s)Q(s)Y(s)bn-1b1b0bn-2X(s)-an-1snQ-an-22-a1-a0Q1s1ssQ 1ssn-1Q 1sN(s)D(s)H(s)=bmsm+bm1sm1+L+b1s+b0sn+an1sn1+L+a1s+a0H(s)=5、其它形式的框图N(s)D(s)1、系统串（级）联h(t)=h1(t)*h2(t)*h3(t)*hN(t)H1(s)h1(t)X(s)x(t)Y(s)y(t)H2(s)h2(t)HN
13、(s)hN(t)H(s)=H1(s)H2(s)H3(s)HN(s)bmsm+bm1sm1+L+b1s+b0sn+an1sn1+L+a1s+a0一对共轭根组成二次实系数多项式H(s)=2、系统并联H1(s)X(s)Y(s)H2(s)HN(s)N(s)D(s)bmsm+bm1sm1+L+b1s+b0sn+an1sn1+L+a1s+a0H(s)=H1(s)+H2(s)+H3(s)+HN(s)h1(t)x(t)y(s)h2(t)hN(t)h(t)=h1(t)+h2(t)+h3(t)+hN(t)3、任意系统都可以用一阶或二阶系统的串联、并联或混联的形式表示。4、一个微分方程描述的系统，可以有不同的模拟框
14、图实现形式；不同的模拟框图，可能模拟同一个微分方程。()3 2=H s例1：2s+4s +3s +5s+3试用几种形式模拟此系统。（直接形式，并联形式和级联形式）x(t)y(t)qq2s+4s +3s +5s+3直接形式24q(t)q(3)-3-5-324-3-5-3X(s)Y(s)1s1s1sH(s)=3 2+22s+4s +3s +5s+3并联形式=1 s+1s+1 s +2s+3Y(s)X(s)-11s-2-3-11s1sH(s)=3 2=2级联形式2s+4s +3s +5s+32 s+2s+1 s +2s+3X(s)Y(s)-2-31s1s2-11s2=2(s+2)(s+1)(s2+2
15、s+3)s +7s +10s=1+3 2例2H(s)=s3+7s2+15s+5s3+7s2+10s-7-101557X(s)Y(s)1s1s1ss3+7s2+15s+53 2H(s)=5s+5s +7s +10s直接形式=1+3 2s +7s +10s例2H(s)=s3+7s2+15s+5s3+7s2+10s-7-105X(s)Y(s)1s1s1sH(s)=5s+5s +7s +10s并联形式5s3+7s2+15s+5 =1+3 25(s+1)s(s+2)(s+5)=1+1(s+1)5s (s+2)(s+5)H(s)=s3+7s2+15s+5 =1+1(s+1)5s3+7s2+10s s (s
16、+2)(s+5)Y(s)X(s)1s1s-21ss+1s+25-51s5s+5混联形式消去一个加法器H(s)=s3+7s2+15s+5 =1+1(s+1)5s3+7s2+10s s (s+2)(s+5)混联形式Y(s)X(s)1s-21s5-51s2s +1H(s)=2三、由框图求微分方程或H(s)R(s)E(s)ba1s1s2s bsa例1写出该系统的H(s)R(s)E(s)ba221s1sE(s)(1)例2E(s)R(s)s22s+3s5s+2-X(s)H(s)=解E(s)X(s)X(s)=R(s)s5s+2s22s+3+E(s)(1)=X(s)求系统函数R(s)E(s)=10s2+32s
17、2+7s+68E(s)R(s)1s-2-21s例3-3（1）写出该系统的微分方程式（2）求阶跃响应r(t)（3）若r(0-)=r(0-)=1，求rzi(t)（4）e(t)=cos(t+/4)，求r(t)s+3 s+2=2E(s)R(s)1s-2-21s-3（1）写出该系统的微分方程式例3R(s)E(s)H(s)=2 1)=(1+s+1s +5s+6r(t)+5r(t)+6r(t)=e(t)+e(t)解H(s)=2R(s)=H(s)E(s)=2=+3E(s)R(s)1s-2-21s例3-3（2）求阶跃响应r(t)s+1s +5s+61sE(s)=s+1 1s +5s+6 s1 1 26 2s s
18、+2 s+31 1 2t 2 3t6 2 3H(s)=2E(s)R(s)1s-2-21s例3-3（3）若r(0-)=r(0-)=1，求rzi(t)s+1s +5s+6C1=4，C2=-3rzi(t)=c1e-2t+c2e-3trzi(t)=(4e-2t-3e-3t)(t)H(s)=2(j)+5j+61 E(s)R(s)1s-2-21s例3s+1s +5s+6-3（4）e(t)=cos(t+/4)，求r(t)H(j)=j+1(j)2+5j+62j+1H(j1)=15=)r(t)=cos(t+5 44、(10分)根据微分方程y(t)+3y(t)+2y(t)=3e(t)+4e(t)画出系统的直接型、
19、串联型和并联型模拟框图各一种。解直接型-3-231s1s4Y(s)E(s)-3-234y(t)e(t)或是H(s)=24、(10分)根据微分方程y(t)+3y(t)+2y(t)=3e(t)+4e(t)画出系统的直接型、串联型和并联型模拟框图各一种。解：串联型3s+4s +3s+2=3s+4(s+1)(s+2)=3s+4 1s+1 s+2E(s)Y(s)-21s-11s43=1 3s+4s+1 s+2或是E(s)Y(s)-11s-21s43H(s)=2=+4、(10分)根据微分方程y(t)+3y(t)+2y(t)=3e(t)+4e(t)画出系统的直接型、串联型和并联型模拟框图各一种。解：并联型3
20、s+4s +3s+21 2s+1 s+2Y(s)E(s)-11s21s-2一 概述1、信号流图可以表示系统的结构和变量传送过程中的数学关系，集中着眼于系统的输入输出关系。2、信号流图可以看成模拟框图的一种简化表达形式，在数学意义上与模拟框图等价，只不过表达形式不同。3、信号流图主要用于对系统进行化简，得到最终的数学模型（微分方程或传输函数），避免求解线性方程组。5-11信号流图信号流图用线图结构来描述线性方程组变量间的因果关系二 流图中的几个术语1 节点：节点表示变量。以小圆圈表示。表示这一点的信号大小是x2 路径：连接节点之间的有向线段。xyGxyGy(s)=G(s)x(s)对节点 x说是输
21、出支路，对输出节点y来说是输入支路。E G P G源结点（输入节点或源点)：只有输出支路的节点。如：R，N。汇结点（输出节点或阱点)：只有输入支路的节点。如：C混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。如：E，P，Q它上面的信号是所有输入支路引进信号的叠加。R 11CNQ112H11E G P GR 11CNQ112H11环路(闭环)：信号流通的闭合路径称为闭环自环：仅包含一条路径的环路。前向路径:由源点到汇点不包含任何环路的信号流通路径。ui ui1=+ui-+u0-R4例+R2 u-R1i1R3i2ui 1R1i11R1分析：R1u=R2(i1+i2)R2u0 uR3i2=1R31R3u
22、u0=R4 2 iR2i2 R4 u0三 流图的用途四 流图的化简串联支路合并：abx1x2x3abx3x1若干支路串联可用一等效支路代替，此等效支路的传输值为各串联支路传输值之积。并联支路的合并：abx1x2a+bx2x1若干支路并联时也可用一等效支路代替，其传输值为并联各支路传输值之和。节点的消除：x1x2x4acbcx4x1x2x3abc即在此结点前后各结点间直接构筑新的支路，各新支路的传输值为其前、后结点间通过被消除结点的各顺向支路传输值的乘积。环的消除：x1 x2x3abcx1x2a1 bcx1 x2bca某结点上存在有传输值为t的自环，则消除此自环后，该结点所有入支路的传输值应俱除
23、以1-t的因子，而出支路的传输值不变。例：求x和y的值1 消除节点y2 消除自环21xx13031xx1y302311xx1 1 15x=151=16y=2+3x=46a1 tA、简化其中的所有串并联支路；B、消除一个结点；可能导致自环C、消除自环；D、回B，继续消除结点，直至流图只包含源结点、汇结点和一个连接支路；E、直接写出传输函数。流图化简步骤：=k 1 P k k其表达式为：P=1 n五、梅森公式用梅逊公式可不必简化信号流图而直接求得从输入节点到输出节点之间的总传输。（即总传递函数）i式中：P 总传输（即总传递函数）；n 从输入节点到输出节点的前向通道总数；P k 第k个前向通道的总传输；流图特征式；其计算公式为：=1L+LjLk+Li j,kk为与传输值是Pk的第k个前向通道不接触部分的子图的值这种方法适合计算机处理。但是，要记住一些规则。H(s)=一般n阶微分方程y(n)+an1y(n1)+L+a1y+a0y=bmx(m)+bm1x(m1)+L+b1x+b0 xy(t)bn-1b1b0bn-2x(t)-an-1q(n-1)q(n)-an-2 q q-a1-a0q复习：N(s)D(s)bmsm+bm1sm1+L+b1s+b0sn+an1sn1+L+a1s+a0
