1、第 1 页（共 29 页） 2020 年甘肃省天水市中考数学试卷年甘肃省天水市中考数学试卷 一、选择题（一、选择题（本大题共本大题共 10 小题，小题，每小题每小题 4 分，分，共共 40 分每小题给出的四个选项中，只有分每小题给出的四个选项中，只有 一个选项是正确的，请把正确的选项选出来）一个选项是正确的，请把正确的选项选出来） 1 （4 分） （2020天水）下列四个实数中，是负数的是（） A（3） B （2）2 C|4| D - 5 2 （4分） （2020天水） 天水市某网店2020年父亲节这天的营业额为341000元， 将数341000 用科学记数法表示为（） A3.41105 B3
2、.41106 C341103 D0.341106 3 （4 分） （2020天水）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种表面展开图， 那么在原正方体中，与“伏”字所在面相对面上的汉字是（） A文 B羲 C弘 D化 4 （4 分） （2020天水）某小组 8 名学生的中考体育分数如下：39，42，44，40，42，43， 40，42该组数据的众数、中位数分别为（） A40，42 B42，43 C42，42 D42，41 5 （4 分） （2020天水）如图所示，PA、PB 分别与O 相切于 A、B 两点，点 C 为O 上 一点，连接 AC、BC，若P70，则ACB 的度数为（） A50
3、B55 C60 D65 6 （4 分） （2020天水）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（） A B C D 7 （4 分） （2020天水）若函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则函数 yax+b 和 y 第 2 页（共 29 页） 在同一平面直角坐标系中的图象大致是（） = A B C D 8 （4 分） （2020天水）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆 BE 测量建筑物的高度，已 知标杆 BE 高 1.5m，测得 AB1.2m，BC12.8m，则建筑物 CD 的高是（） A17.5m B17m C16.5m D18m 9 （4 分） （2020天水）若关于 x
4、 的不等式 3x+a2 只有 2 个正整数解，则 a 的取值范围为 （） A7a4 B7a4 C7a4 D7a4 10 （4 分） （2020天水）观察等式 ： 2+22232； 2+22+23242； 2+22+23+24252； 已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，2199，2200，若 2100S，用含 S 的 式子表示这组数据的和是（） A2S2S B2S2+S C2S22S D2S22S2 二、填空题（二、填空题（本大题共本大题共 8 小题，小题，每小题每小题 4 分，分，共共 32 分只要求填写最后结果）分只要求填写最后结果） 11 （4 分） （2020天水
5、）分解因式：m3nmn 第 3 页（共 29 页） 12 （4 分） （2020天水）一个三角形的两边长分别为 2 和 5，第三边长是方程 x28x+12 0 的根，则该三角形的周长为 13 （4 分） （2020天水）已知函数 y，则自变量 x 的取值范围是 = + 2 3 14 （4 分） （2020天水）已知 a+2b，3a+4b，则 a+b 的值为 = 10 3 = 16 3 15 （4 分） （2020天水）如图所示，AOB 是放置在正方形网格中的一个角，则 sinAOB 的值是 16 （4 分） （2020天水）如图所示，若用半径为 8，圆心角为 120的扇形围成一个圆锥的 侧面（
6、接缝忽略不计） ，则这个圆锥的底面半径是 17 （4 分） （2020天水）如图，将正方形 OEFG 放在平面直角坐标系中，O 是坐标原点， 点 E 的坐标为（2，3） ，则点 F 的坐标为 18 （4 分） （2020天水）如图，在边长为 6 的正方形 ABCD 内作EAF45，AE 交 BC 于点 E，AF 交 CD 于点 F，连接 EF，将ADF 绕点 A 顺时针旋转 90得到ABG若 DF3，则 BE 的长为 第 4 页（共 29 页） 三、解答题（三、解答题（本大题共本大题共 3 小题，小题，共共 28 分解答时写出必要的文字说明及演算过程）分解答时写出必要的文字说明及演算过程） 1
7、9 （8 分） （2020天水） （1）计算：4sin60|2|+20200（ ）1 3 - 12+ 1 4 （2）先化简，再求值：，其中 a 1 1 1 2+ 2 + 1 1 + 1 = 3 20 （10 分） （2020天水）为了解天水市民对全市创建全国文明城市工作的满意程度，某中 学数学兴趣小组在某个小区内进行了调查统计将调查结果分为不满意，一般，满意， 非常满意四类，回收、整理好全部问卷后，得到下列不完整的统计图 请结合图中的信息，解决下列问题： （1）此次调查中接受调查的人数为 人； （2）请你补全条形统计图； （3）扇形统计图中“满意”部分的圆心角为 度； （4）该兴趣小组准备从调
8、查结果为“不满意”的 4 位市民中随机选择 2 位进行回访，已 知这 4 位市民中有 2 位男性，2 位女性请用画树状图的方法求出选择回访的市民为“一 男一女”的概率 21 （10 分） （2020天水）如图所示，一次函数 ymx+n（m0）的图象与反比例函数 y = （k0）的图象交于第二、四象限的点 A（2，a）和点 B（b，1） ，过 A 点作 x 轴的 垂线，垂足为点 C，AOC 的面积为 4 （1）分别求出 a 和 b 的值； 第 5 页（共 29 页） （2）结合图象直接写出 mx+n中 x 的取值范围； （3）在 y 轴上取点 P，使 PBPA 取得最大值时，求出点 P 的坐标
9、四、解答题（四、解答题（本大题共本大题共 50 分，解答时写出必要的演算步骤及推理过程）分，解答时写出必要的演算步骤及推理过程） 22 （7 分） （2020天水）为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态 化巡航管理如图所示，正在执行巡航任务的海监船以每小时 40 海里的速度向正东方向 航行，在 A 处测得灯塔 P 在北偏东 60方向上，继续航行 30 分钟后到达 B 处，此时测 得灯塔 P 在北偏东 45方向上 （1）求APB 的度数； （2）已知在灯塔 P 的周围 25 海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？ （参考数据：1.414，1.732） 2 3 23
10、（10 分） （2020天水）如图，在ABC 中，C90，AD 平分BAC 交 BC 于点 D， 点 O 在 AB 上，以点 O 为圆心，OA 为半径的圆恰好经过点 D，分别交 AC、AB 于点 E、 F （1）试判断直线 BC 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若 BD2，AB6，求阴影部分的面积（结果保留 ） 3 24 （10 分） （2020天水）性质探究 第 6 页（共 29 页） 如图 （1） ， 在等腰三角形ABC中， ACB120， 则底边AB与腰AC的长度之比为 理解运用 （1）若顶角为 120的等腰三角形的周长为 4+2，则它的面积为 ； 3 （2）如图（2） ，在四边形
11、 EFGH 中，EFEGEH，在边 FG，GH 上分别取中点 M， N，连接 MN若FGH120，EF20，求线段 MN 的长 类比拓展 顶角为 2 的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为 （用含 的式子表示） 25 （10 分） （2020天水） 天水市某商店准备购进 A、 B 两种商品， A 种商品每件的进价比 B 种商品每件的进价多 20 元， 用 2000 元购进 A 种商品和用 1200 元购进 B 种商品的数量相 同商店将 A 种商品每件的售价定为 80 元，B 种商品每件的售价定为 45 元 （1）A 种商品每件的进价和 B 种商品每件的进价各是多少元？ （2）商店计划用不超过 1
12、560 元的资金购进 A、B 两种商品共 40 件，其中 A 种商品的数 量不低于 B 种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？ （3） “五一”期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件 A 种商品售价优惠 m（10m 20）元，B 种商品售价不变，在（2）的条件下，请设计出 m 的不同取值范围内，销售这 40 件商品获得总利润最大的进货方案 26 （13 分） （2020天水）如图所示，拋物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于 A、B 两点， 与 y 轴交于点 C，且点 A 的坐标为 A（2，0） ，点 C 的坐标为 C（0，6） ，对称轴为直 线 x1点 D 是抛物线上一个动点，设点
13、 D 的横坐标为 m（1m4） ，连接 AC，BC， DC，DB （1）求抛物线的函数表达式； （2）当BCD 的面积等于AOC 的面积的 时，求 m 的值； 3 4 （3）在（2）的条件下，若点 M 是 x 轴上一动点，点 N 是抛物线上一动点，试判断是否 存在这样的点 M，使得以点 B，D，M，N 为顶点的四边形是平行四边形若存在，请直 接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 第 7 页（共 29 页） 第 8 页（共 29 页） 2020 年甘肃省天水市中考数学试卷年甘肃省天水市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（一、选择题（本大题共本大题共 10 小题，
14、小题，每小题每小题 4 分，分，共共 40 分每小题给出的四个选项中，只有分每小题给出的四个选项中，只有 一个选项是正确的，请把正确的选项选出来）一个选项是正确的，请把正确的选项选出来） 1 （4 分） （2020天水）下列四个实数中，是负数的是（） A（3） B （2）2 C|4| D - 5 【解答】解：A（3）3，是正数，不符合题意； B （2）24，是正数，不符合题意； C|4|4，是正数，不符合题意； D是负数，符合题意； - 5 故选：D 2 （4分） （2020天水） 天水市某网店2020年父亲节这天的营业额为341000元， 将数341000 用科学记数法表示为（） A3.41
15、105 B3.41106 C341103 D0.341106 【解答】解：3410003.41105， 故选：A 3 （4 分） （2020天水）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种表面展开图， 那么在原正方体中，与“伏”字所在面相对面上的汉字是（） A文 B羲 C弘 D化 【解答】 解 ： 根据正方体表面展开图可知， “相间、 Z 端是对面” ， 因此 “伏与化” 相对， “弘 与文”相对， “扬与羲”相对， 故选：D 4 （4 分） （2020天水）某小组 8 名学生的中考体育分数如下：39，42，44，40，42，43， 40，42该组数据的众数、中位数分别为（） A40，42
16、 B42，43 C42，42 D42，41 第 9 页（共 29 页） 【解答】解：将这组数据重新排列为 39，40，40，42，42，42，43，44， 所以这组数据的众数为 42，中位数为42， 42 + 42 2 = 故选：C 5 （4 分） （2020天水）如图所示，PA、PB 分别与O 相切于 A、B 两点，点 C 为O 上 一点，连接 AC、BC，若P70，则ACB 的度数为（） A50 B55 C60 D65 【解答】解：连接 OA、OB，如图， PA、PB 分别与O 相切于 A、B 两点， OAPA，OBPB， OAPOBP90， AOB+P180， P70， AOB110，
17、ACBAOB55 = 1 2 故选：B 6 （4 分） （2020天水）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（） A B C D 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意； C、是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意； 第 10 页（共 29 页） D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意 故选：C 7 （4 分） （2020天水）若函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则函数 yax+b 和 y 在同一平面直角坐标系中的图象大致是（） = A B C D 【解答】解：由
18、函数图象交 y 轴的正坐标可知 c0， 反比例函数 y的图象必在一、三象限，故 C、D 错误； = 据二次函数的图象开口向上可知 a0，对称轴在 y 轴的右侧，b0， 函数 yax+b 的图象经过一三四象限，故 A 错误，B 正确 故选：B 8 （4 分） （2020天水）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆 BE 测量建筑物的高度，已 知标杆 BE 高 1.5m，测得 AB1.2m，BC12.8m，则建筑物 CD 的高是（） A17.5m B17m C16.5m D18m 【解答】解：EBAC，DCAC， 第 11 页（共 29 页） EBDC， ABEACD， ， = BE1.5m，AB1.
19、2m，BC12.8m， ACAB+BC14m， ， 1.2 14 = 1.5 解得，DC17.5， 即建筑物 CD 的高是 17.5m， 故选：A 9 （4 分） （2020天水）若关于 x 的不等式 3x+a2 只有 2 个正整数解，则 a 的取值范围为 （） A7a4 B7a4 C7a4 D7a4 【解答】解：3x+a2， 3x2a， 则 x， 2 3 不等式只有 2 个正整数解， 不等式的正整数解为 1、2， 则 23， 2 3 解得：7a4， 故选：D 10 （4 分） （2020天水）观察等式 ： 2+22232； 2+22+23242； 2+22+23+24252； 已知按一定规律
20、排列的一组数：2100，2101，2102，2199，2200，若 2100S，用含 S 的 式子表示这组数据的和是（） A2S2S B2S2+S C2S22S D2S22S2 【解答】解：2100S， 2100+2101+2102+2199+2200 S+2S+22S+299S+2100S S（1+2+22+299+2100） 第 12 页（共 29 页） S（1+21002+2100） S（2S1） 2S2S 故选：A 二、填空题（二、填空题（本大题共本大题共 8 小题，小题，每小题每小题 4 分，分，共共 32 分只要求填写最后结果）分只要求填写最后结果） 11 （4 分） （2020天
21、水）分解因式：m3nmnmn（m1） （m+1） 【解答】解：m3nmnmn（m21）mn（m1） （m+1） ， 故答案为：mn（m1） （m+1） 12 （4 分） （2020天水）一个三角形的两边长分别为 2 和 5，第三边长是方程 x28x+12 0 的根，则该三角形的周长为13 【解答】解：x28x+120， （x2） （x6）0， x12，x26， 三角形的两边长分别为 2 和 5，第三边长是方程 x28x+120 的根，2+25，2+56， 三角形的第三边长是 6， 该三角形的周长为：2+5+613 故答案为：13 13 （4分） （2020天水） 已知函数y， 则自变量x的取值
22、范围是x2且x3 = + 2 3 【解答】解：根据题意得：x+20 且 x30， 解得：x2 且 x3 故答案为：x2 且 x3 14 （4 分） （2020天水）已知 a+2b，3a+4b，则 a+b 的值为1 = 10 3 = 16 3 【解答】解：a+2b，3a+4b， = 10 3 = 16 3 得 2a+2b2， 解得 a+b1 故答案为：1 15 （4 分） （2020天水）如图所示，AOB 是放置在正方形网格中的一个角，则 sinAOB 的值是 2 2 第 13 页（共 29 页） 【解答】解：如图，连接 AB OAAB，OB2， = 105 OB2OA2+AB2， OAB90，
23、 AOB 是等腰直角三角形， AOB45， sinAOB， = 2 2 故答案为 2 2 16 （4 分） （2020天水）如图所示，若用半径为 8，圆心角为 120的扇形围成一个圆锥的 侧面（接缝忽略不计） ，则这个圆锥的底面半径是 8 3 【解答】解：设圆锥的底面半径为 r， 由题意得，2r， 120 8 180 = 解得，r， = 8 3 故答案为： 8 3 17 （4 分） （2020天水）如图，将正方形 OEFG 放在平面直角坐标系中，O 是坐标原点， 点 E 的坐标为（2，3） ，则点 F 的坐标为（1，5） 第 14 页（共 29 页） 【解答】解：如图，过点 E 作 x 轴的垂
24、线 EH，垂足为 H过点 G 作 x 轴的垂线 GM，垂 足为 M，连接 GE、FO 交于点 O 四边形 OEFG 是正方形， OGEO，GOMOEH，OGMEOH， 在OGM 与EOH 中， OGM = EOH = = OGMEOH（ASA） GMOH2，OMEH3， G（3，2） O（， ） - 1 2 5 2 点 F 与点 O 关于点 O对称， 点 F 的坐标为 （1，5） 故答案是：（1，5） 18 （4 分） （2020天水）如图，在边长为 6 的正方形 ABCD 内作EAF45，AE 交 BC 于点 E，AF 交 CD 于点 F，连接 EF，将ADF 绕点 A 顺时针旋转 90得到
25、ABG若 DF3，则 BE 的长为2 第 15 页（共 29 页） 【解答】解： 法一：由题意可得， ADFABG， DFBG，DAFBAG， DAB90，EAF45， DAF+EAB45， BAG+EAB45， EAFEAG， 在EAG 和EAF 中， ， AG = AF = = EAGEAF（SAS） ， GEFE， 设 BEx，则 GEBG+BE3+x，CE6x， EF3+x， CD6，DF3， CF3， C90， （6x）2+32（3+x）2， 解得，x2， 即 BE2， 法二：设 BEx，连接 GF，如下图所示， 第 16 页（共 29 页） 四边形 ABCD 为正方形， ABEGC
26、F90， ADF 绕点 A 顺时针旋转 90得到ABG， CAF90，GAFA， GAF 为等腰直角三角形， EAF45， AE 垂直平分 GF， AEB+CGF90， 在 RtAEB 中，AEB+BAE90， BAECGF， BAECGF， ， = CFCDDF633，GCBC+BGBC+DF6+39， ， 3 = 6 9 x2， 即 BE2， 故答案为：2 三、解答题（三、解答题（本大题共本大题共 3 小题，小题，共共 28 分解答时写出必要的文字说明及演算过程）分解答时写出必要的文字说明及演算过程） 19 （8 分） （2020天水） （1）计算：4sin60|2|+20200（ ）1
27、3 - 12+ 1 4 （2）先化简，再求值：，其中 a 1 1 1 2+ 2 + 1 1 + 1 = 3 【解答】解：（1）原式4（2）+124 3 2 - 33 + 22124 3 + 3+3 + 3； + 3 第 17 页（共 29 页） （2）原式 = 1 1 1 ( + 1)2 + 1 1 = 1 1 1 + 1 = + 1 ( + 1)( 1) 1 ( + 1)( 1) = 2 ( + 1)( 1) ， = 2 2 1 当 a时， = 3 原式 = 2 (3)2 1 = 2 3 1 = 2 2 1 20 （10 分） （2020天水）为了解天水市民对全市创建全国文明城市工作的满意程
28、度，某中 学数学兴趣小组在某个小区内进行了调查统计将调查结果分为不满意，一般，满意， 非常满意四类，回收、整理好全部问卷后，得到下列不完整的统计图 请结合图中的信息，解决下列问题： （1）此次调查中接受调查的人数为50人； （2）请你补全条形统计图； （3）扇形统计图中“满意”部分的圆心角为144度； （4）该兴趣小组准备从调查结果为“不满意”的 4 位市民中随机选择 2 位进行回访，已 知这 4 位市民中有 2 位男性，2 位女性请用画树状图的方法求出选择回访的市民为“一 男一女”的概率 第 18 页（共 29 页） 【解答】解：（1） ）非常满意的有 18 人，占 36%， 此次调查中接受
29、调查的人数：1836%50（人） ； 故答案为：50； （2）此次调查中结果为满意的人数为：50481820（人） ； （3）扇形统计图中“满意”部分的圆心角为：360144； 20 50 = 故答案为：144； （4）画树状图得： 共有 12 种等可能的结果，选择回访市民为“一男一女”的有 8 种情况， 选择回访的市民为“一男一女”的概率为： 8 12 = 2 3 21 （10 分） （2020天水）如图所示，一次函数 ymx+n（m0）的图象与反比例函数 y = （k0）的图象交于第二、四象限的点 A（2，a）和点 B（b，1） ，过 A 点作 x 轴的 垂线，垂足为点 C，AOC 的面积
30、为 4 （1）分别求出 a 和 b 的值； （2）结合图象直接写出 mx+n中 x 的取值范围； （3）在 y 轴上取点 P，使 PBPA 取得最大值时，求出点 P 的坐标 第 19 页（共 29 页） 【解答】解：（1）AOC 的面积为 4， |k|4， 1 2 解得，k8，或 k8（不符合题意舍去） ， 反比例函数的关系式为 y， =- 8 把点 A（2，a）和点 B（b，1）代入 y得， =- 8 a4，b8； 答：a4，b8； （2） 根据一次函数与反比例函数的图象可知， 不等式 mx+n的解集为 x2 或 0 x 8； （3）点 A（2，4）关于 y 轴的对称点 A（2，4） ， 又
31、 B（8，1） ，则直线 AB 与 y 轴的交点即为所求的点 P， 设直线 AB 的关系式为 ycx+d， 则有， 2c + d = 4 8 + = 1 解得， c =- 5 6 = 17 3 直线 AB 的关系式为 yx， =- 5 6 + 17 3 直线 yx与 y 轴的交点坐标为（0，） ， =- 5 6 + 17 3 17 3 即点 P 的坐标为（0，） 17 3 四、解答题（四、解答题（本大题共本大题共 50 分，解答时写出必要的演算步骤及推理过程）分，解答时写出必要的演算步骤及推理过程） 22 （7 分） （2020天水）为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态 化
32、巡航管理如图所示，正在执行巡航任务的海监船以每小时 40 海里的速度向正东方向 第 20 页（共 29 页） 航行，在 A 处测得灯塔 P 在北偏东 60方向上，继续航行 30 分钟后到达 B 处，此时测 得灯塔 P 在北偏东 45方向上 （1）求APB 的度数； （2）已知在灯塔 P 的周围 25 海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？ （参考数据：1.414，1.732） 2 3 【解答】解 ： （1）由题意得，PAB906030，APB90+45135， APB180PABAPB1803013515； （2）作 PHAB 于 H，如图： 则PBH 是等腰直角三角形， BHPH
33、， 设 BHPHx 海里， 由题意得：AB4020（海里） ， 30 60 = 在 RtAPH 中，tanPABtan30， = = 3 3 即， 20 + = 3 3 解得：x101027.3225，且符合题意， 3 + 海监船继续向正东方向航行安全 23 （10 分） （2020天水）如图，在ABC 中，C90，AD 平分BAC 交 BC 于点 D， 点 O 在 AB 上，以点 O 为圆心，OA 为半径的圆恰好经过点 D，分别交 AC、AB 于点 E、 F （1）试判断直线 BC 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若 BD2，AB6，求阴影部分的面积（结果保留 ） 3 第 21 页（共
34、 29 页） 【解答】 （1）证明：连接 OD，如图： OAOD， OADODA， AD 平分CAB， OADCAD， CADODA， ACOD， ODBC90， 即 BCOD， 又OD 为O 的半径， 直线 BC 是O 的切线； （2）解：设 OAODr，则 OB6r， 在 RtODB 中，由勾股定理得：OD2+BD2OB2， r2+（2）2（6r）2， 3 解得：r2， OB4， OD2， =2 2=42 (2 3)2= ODOB， = 1 2 B30， DOB180BODB60， 阴影部分的面积 SSODBS扇形 DOF2 22 = 1 2 3 - 60 22 360 =3 2 3 第
35、22 页（共 29 页） 24 （10 分） （2020天水）性质探究 如图 （1） ， 在等腰三角形 ABC 中， ACB120， 则底边 AB 与腰 AC 的长度之比为 3 ：1 理解运用 （1）若顶角为 120的等腰三角形的周长为 4+2，则它的面积为； 33 （2）如图（2） ，在四边形 EFGH 中，EFEGEH，在边 FG，GH 上分别取中点 M， N，连接 MN若FGH120，EF20，求线段 MN 的长 类比拓展 顶角为 2 的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为2sin：1 （用含 的式子表示） 【解答】解：性质探究：如图 1 中，过点 C 作 CDAB 于 D CACB，AC
36、B120，CDAB， AB30，ADBD， AB2AD2ACcos30AC， = 3 AB：AC：1 = 3 故答案为：1 3 理解运用：（1）设 CACBm，则 ABm， = 3 由题意 2mm4+2， + 33 第 23 页（共 29 页） m2， ACCB2，AB2， 3 ADDB，CDACsin301， = 3 SABCABCD = 1 2 = 3 故答案为 3 （2）如图 2 中，连接 FH FGH120，EFEGEH， EFGEGF，EHGEGH， EFG+EHGEGF+EGHFGH120， FEH+EFG+EHG+FGH360， FEH360120120120， EFEH， EF
37、H 是顶角为 120的等腰三角形， FHEF20， = 33 FMMGGNGH， MNFH10 = 1 2 3 类比拓展：如图 1 中，过点 C 作 CDAB 于 D CACB，ACB2，CDAB， AB30，ADBD，ACDBCD AB2AD2ACsin 第 24 页（共 29 页） AB：AC2sin：1 故答案为 2sin：1 25 （10 分） （2020天水） 天水市某商店准备购进 A、 B 两种商品， A 种商品每件的进价比 B 种商品每件的进价多 20 元， 用 2000 元购进 A 种商品和用 1200 元购进 B 种商品的数量相 同商店将 A 种商品每件的售价定为 80 元，
38、B 种商品每件的售价定为 45 元 （1）A 种商品每件的进价和 B 种商品每件的进价各是多少元？ （2）商店计划用不超过 1560 元的资金购进 A、B 两种商品共 40 件，其中 A 种商品的数 量不低于 B 种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？ （3） “五一”期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件 A 种商品售价优惠 m（10m 20）元，B 种商品售价不变，在（2）的条件下，请设计出 m 的不同取值范围内，销售这 40 件商品获得总利润最大的进货方案 【解答】解：（1）设 A 种商品每件的进价是 x 元，则 B 种商品每件的进价是（x20） 元， 由题意得：， 2000 = 12
39、00 20 解得：x50， 经检验，x50 是原方程的解，且符合题意， 502030， 答：A 种商品每件的进价是 50 元，B 种商品每件的进价是 30 元； （2）设购买 A 种商品 a 件，则购买 B 商品（40a）件， 由题意得：， 50a + 30(40 - a) 1560 1 2(40 ) 解得， 40 3 18 a 为正整数， a14、15、16、17、18， 商店共有 5 种进货方案； （3）设销售 A、B 两种商品共获利 y 元， 由题意得：y（8050m）a+（4530） （40a）（15m）a+600， 第 25 页（共 29 页） 当 10m15 时，15m0，y 随
40、a 的增大而增大， 当 a18 时，获利最大，即买 18 件 A 商品，22 件 B 商品， 当 m15 时，15m0， y 与 a 的值无关，即（2）问中所有进货方案获利相同， 当 15m20 时，15m0，y 随 a 的增大而减小， 当 a14 时，获利最大，即买 14 件 A 商品，26 件 B 商品 26 （13 分） （2020天水）如图所示，拋物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于 A、B 两点， 与 y 轴交于点 C，且点 A 的坐标为 A（2，0） ，点 C 的坐标为 C（0，6） ，对称轴为直 线 x1点 D 是抛物线上一个动点，设点 D 的横坐标为 m（1m4） ，
41、连接 AC，BC， DC，DB （1）求抛物线的函数表达式； （2）当BCD 的面积等于AOC 的面积的 时，求 m 的值； 3 4 （3）在（2）的条件下，若点 M 是 x 轴上一动点，点 N 是抛物线上一动点，试判断是否 存在这样的点 M，使得以点 B，D，M，N 为顶点的四边形是平行四边形若存在，请直 接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】解：（1）由题意得：， - 2 = 1 4 2 + = 0 = 6 解得：， a =- 3 4 = 3 2 = 6 抛物线的函数表达式为：yx2x+6； =- 3 4 + 3 2 （2）过点 D 作 DEx 轴于 E，交 BC 于 G，过
42、点 C 作 CFED 交 ED 的延长线于 F，如 图 1 所示： 第 26 页（共 29 页） 点 A 的坐标为（2，0） ，点 C 的坐标为（0，6） ， OA2，OC6， SAOCOAOC266， = 1 2 = 1 2 SBCDSAOC6， = 3 4 = 3 4 = 9 2 当 y0 时，x2x+60， - 3 4 + 3 2 解得：x12，x24， 点 B 的坐标为（4，0） ， 设直线 BC 的函数表达式为：ykx+n， 则， 0 = 4k + n 6 = 解得：， k =- 3 2 = 6 直线 BC 的函数表达式为：yx+6， =- 3 2 点 D 的横坐标为 m（1m4）
43、， 点 D 的坐标为：（m，m2m+6） ， - 3 4 + 3 2 点 G 的坐标为：（m，m+6） ， - 3 2 DGm2m+6（m+6）m2+3m，CFm，BE4m， =- 3 4 + 3 2 - 3 2 =- 3 4 SBCDSCDG+SBDGDGCFDGBEDG（CF+BE）（= 1 2 + 1 2 = 1 2 = 1 2 - 3 4 m2+3m）（m+4m）m2+6m， =- 3 2 m2+6m， - 3 2 = 9 2 解得：m11（不合题意舍去） ，m23， m 的值为 3； （3）由（2）得：m3，m2m+6323+6， - 3 4 + 3 2 =- 3 4 + 3 2 =
44、 15 4 点 D 的坐标为：（3，） ， 15 4 分三种情况讨论： 当 DB 为对角线时，如图 2 所示： 第 27 页（共 29 页） 四边形 BNDM 是平行四边形， DNBM， DNx 轴， 点 D 与点 N 关于直线 x1 对称， N（1，） ， 15 4 DN3（1）4， BM4， B（4，0） ， M（8，0） ； 当 DM 为对角线时，如图 3 所示： 由得：N（1，） ，DN4， 15 4 四边形 BNDM 是平行四边形， DNBM4， B（4，0） ， M（0，0） ； 当 DN 为对角线时， 四边形 BNDM 是平行四边形， DMBN，DMBN， DMBMBN， 点 D
45、 与点 N 的纵坐标相等， 点 D（3，） ， 15 4 点 N 的纵坐标为：， - 15 4 将 y代入 yx2x+6 中， =- 15 4 =- 3 4 + 3 2 得：x2x+6， - 3 4 + 3 2 =- 15 4 解得：x11，x21， + 14 - 14 当 x1时，如图 4 所示： + 14 则 N（1，） ， + 14 - 15 4 第 28 页（共 29 页） 分别过点 D、N 作 x 轴的垂线，垂足分别为 E、Q， 在 RtDEM 和 RtNQB 中， DM = BN = RtDEMRtNQB（HL） ， BQEM， BQ143， + 14 = 14 EM3， = 14 E（3，0） ， M（，0） ； 14 当 x1时，如图 5 所示： - 14 则 N（1，） ， - 14 - 15 4 同理得点 M（，0） ； - 14 综上所述，点 M 的坐标为（8，0）或（0，0）或（，0）或（，0） 14- 14 第 29 页（共 29 页）
