1、 第 1 页（共 25 页） 2020 年湖北省恩施州中考数学试卷年湖北省恩施州中考数学试卷 一、选择题（本大题共有一、选择题（本大题共有 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 36 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的，请将选择项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）只有一项是符合题目要求的，请将选择项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1 （3 分） （2020恩施州）5 的绝对值是（ ） A5 B5 C1 5 D 1 5 2 （3 分） （2020恩施州）茶中精品“恩施绿” “利川红”享誉世界去年恩施州茶叶产量 约为 1200
2、00 吨，将数 120000 用科学记数法表示为（ ） A12104 B1.2105 C1.2106 D0.12106 3 （3 分） （2020恩施州） 下列交通标识，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是 （ ） A B C D 4 （3 分） （2020恩施州）下列计算正确的是（ ） Aa2a3a6 Ba（a+1）a2+a C （ab）2a2b2 D2a+3b5ab 5 （3 分） （2020恩施州）函数 y= +1 的自变量的取值范围是（ ） Ax1 Bx1 且 x0 Cx0 Dx1 且 x0 6 （3 分） （2020恩施州） “彩缕碧筠粽，香粳白玉团” 端午佳节，小明妈妈准备了豆沙粽
3、 2 个、红枣粽 4 个、腊肉粽 3 个、白米粽 2 个，其中豆沙粽和红枣粽是甜粽小明任意选 取一个，选到甜粽的概率是（ ） A 2 11 B 4 11 C 5 11 D 6 11 7 （3 分） （2020恩施州）在实数范围内定义运算“” ：aba+b1，例如：232+3 14如果 2x1，则 x 的值是（ ） A1 B1 C0 D2 8 （3 分） （2020恩施州）我国古代数学著作九章算术 “盈不足”一章中记载： “今有大 器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何” 意思是：有大小两种盛 酒的桶，已知 5 个大桶加上 1 个小桶可以盛酒 3 斛，1 个大桶加上 5 个小桶可
4、以盛酒 2 斛问 1 个大桶、1 个小桶分别可以盛酒多少斛？设 1 个大桶盛酒 x 斛，1 个小桶盛酒 y 斛，下列方程组正确的是（ ） 第 2 页（共 25 页） A5 + = 3 + 5 = 2 B5 + = 2 + 5 = 3 C5 + 3 = 1 + 2 = 5 D3 + = 5 2 + 5 = 1 9（3 分）（2020恩施州） 如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形， 它的主视图为 （ ） A B C D 10 （3 分） （2020恩施州）甲乙两车从 A 城出发前往 B 城，在整个行程中，汽车离开 A 城 的距离 y 与时刻 t 的对应关系如图所示，则下列结论错误的是（ ） A
5、甲车的平均速度为 60km/h B乙车的平均速度为 100km/h C乙车比甲车先到 B 城 D乙车比甲车先出发 1h 11 （3 分） （2020恩施州）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在 AB 上且 BE1，F 为 对角线 AC 上一动点，则BFE 周长的最小值为（ ） A5 B6 C7 D8 12 （3 分） （2020恩施州）如图，已知二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴相交于 A（2， 第 3 页（共 25 页） 0） 、B（1，0）两点则以下结论：ac0；二次函数 yax2+bx+c 的图象的对称轴 为 x1；2a+c0；ab+c0其中正确的有（ ）个 A0
6、 B1 C2 D3 二、填空题（本大题共有二、填空题（本大题共有 4 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 12 分不要求写出解答过程，请把答案分不要求写出解答过程，请把答案 直接填写在答题卷相应位置上）直接填写在答题卷相应位置上） 13 （3 分） （2020恩施州）9 的算术平方根是 14 （3 分） （2020恩施州）如图，直线 l1l2，点 A 在直线 l1上，点 B 在直线 l2上，AB BC，C30，180，则2 15 （3 分） （2020恩施州）如图，已知半圆的直径 AB4，点 C 在半圆上，以点 A 为圆心， AC 为半径画弧交 AB 于点 D，连接 BC若ABC60，
7、则图中阴影部分的面积 为 （结果不取近似值 16 （3 分） （2020恩施州）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别为：A（ 2，0） ，B（1，2） ，C（1，2） 已知 N（1，0） ，作点 N 关于点 A 的对称点 N1，点 N1关于点 B 的对称点 N2，点 N2关于点 C 的对称点 N3，点 N3关于点 A 的对称点 N4，点 N4关于点 B 的对称点 N5，依此类推，则点 N2020的坐标为 第 4 页（共 25 页） 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 8 个小题，共个小题，共 72 分请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出分请在答题卷指定区域内作答，解答时
8、应写出 文字说明、证明过程或演算步骤） 文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （8 分） （2020恩施州）先化简，再求值： （ 29 26+9 3 3） 2 3，其中 m= 2 18 （8 分） （2020恩施州）如图，AEBF，BD 平分ABC 交 AE 于点 D，点 C 在 BF 上且 BCAB，连接 CD求证：四边形 ABCD 是菱形 19 （8 分） （2020恩施州）某中学为了解九年级学生对新冠肺炎防控知识的掌握情况，从 全校九年级学生中随机抽取部分学生进行调查 调查结果分为四类： A 类非常了解； B 类比较了解；C 类般了解；D 类不了解现将调查结果绘制成如图不完整 的统计图，
9、请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次共调查了 名学生； （2）补全条形统计图； （3）D 类所对应扇形的圆心角的大小为 ； （4）若该校九年级学生共有 500 名，根据以上抽样结果，估计该校九年级学生对新冠肺 炎防控知识非常了解的约有 名 第 5 页（共 25 页） 20 （8 分） （2020恩施州）如图，一艘轮船以每小时 30 海里的速度自东向西航行，在 A 处 测得小岛 P 位于其西北方向（北偏西 45方向） ，2 小时后轮船到达 B 处，在 B 处测得 小岛 P 位于其北偏东 60方向求此时船与小岛 P 的距离（结果保留整数，参考数据： 2 1.414，3 1.732） 21
10、 （8 分） （2020恩施州）如图，在平面直角坐标系中，直线 yax3a（a0）与 x 轴、 y 轴分别相交于 A、B 两点，与双曲线 y= （x0）的一个交点为 C，且 BC= 1 2AC （1）求点 A 的坐标； （2）当 SAOC3 时，求 a 和 k 的值 22 （10 分） （2020恩施州）某校足球队需购买 A、B 两种品牌的足球已知 A 品牌足球的 单价比 B 品牌足球的单价高 20 元，且用 900 元购买 A 品牌足球的数量用 720 元购买 B 品牌足球的数量相等 （1）求 A、B 两种品牌足球的单价； （2）若足球队计划购买 A、B 两种品牌的足球共 90 个，且 A
11、品牌足球的数量不小于 B 品牌足球数量的 2 倍，购买两种品牌足球的总费用不超过 8500 元设购买 A 品牌足球 m 个，总费用为 W 元，则该队共有几种购买方案？采用哪一种购买方案可使总费用最低？ 最低费用是多少元？ 23 （10 分） （2020恩施州）如图 1，AB 是O 的直径，直线 AM 与O 相切于点 A，直线 BN 与O 相切于点 B，点 C（异于点 A）在 AM 上，点 D 在O 上，且 CDCA，延长 CD 与 BN 相交于点 E，连接 AD 并延长交 BN 于点 F 第 6 页（共 25 页） （1）求证：CE 是O 的切线； （2）求证：BEEF； （3）如图 2，连接
12、 EO 并延长与O 分别相交于点 G、H，连接 BH若 AB6，AC4， 求 tanBHE 24 （12 分） （2020恩施州）如图 1，抛物线 y= 1 4x 2+bx+c 经过点 C（6，0） ，顶点为 B， 对称轴 x2 与 x 轴相交于点 A，D 为线段 BC 的中点 （1）求抛物线的解析式； （2） P 为线段 BC 上任意一点， M 为 x 轴上一动点， 连接 MP， 以点 M 为中心， 将MPC 逆时针旋转 90，记点 P 的对应点为 E，点 C 的对应点为 F当直线 EF 与抛物线 y= 1 4x 2+bx+c 只有一个交点时，求点 M 的坐标 （3）MPC 在（2）的旋转变
13、换下，若 PC= 2（如图 2） 求证：EAED 当点 E 在（1）所求的抛物线上时，求线段 CM 的长 第 7 页（共 25 页） 2020 年湖北省恩施州中考数学试卷年湖北省恩施州中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共有一、选择题（本大题共有 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 36 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的，请将选择项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）只有一项是符合题目要求的，请将选择项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1 （3 分） （2020恩施州）5 的绝对值是（ ）
14、 A5 B5 C1 5 D 1 5 【解答】解：在数轴上，数 5 所表示的点到原点 0 的距离是 5； 故选：A 2 （3 分） （2020恩施州）茶中精品“恩施绿” “利川红”享誉世界去年恩施州茶叶产量 约为 120000 吨，将数 120000 用科学记数法表示为（ ） A12104 B1.2105 C1.2106 D0.12106 【解答】解：1200001.2105， 故选：B 3 （3 分） （2020恩施州） 下列交通标识，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是 （ ） A B C D 【解答】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念，知： A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形； B
15、、不是轴对称图形，也不是中心对称图形； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形； D、既是中心对称图形，又是轴对称图形 故选：D 4 （3 分） （2020恩施州）下列计算正确的是（ ） Aa2a3a6 Ba（a+1）a2+a C （ab）2a2b2 D2a+3b5ab 【解答】解：A、a2a3a5，原计算错误，故此选项不符合题意； B、a（a+1）a2+a，原计算正确，故此选项符合题意； C、 （ab）2a22ab+b2，原计算错误，故此选项不符合题意； 第 8 页（共 25 页） D、2a 与 3b 不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：B 5 （3 分） （2020
16、恩施州）函数 y= +1 的自变量的取值范围是（ ） Ax1 Bx1 且 x0 Cx0 Dx1 且 x0 【解答】解：根据题意得，x+10 且 x0， 解得 x1 且 x0 故选：B 6 （3 分） （2020恩施州） “彩缕碧筠粽，香粳白玉团” 端午佳节，小明妈妈准备了豆沙粽 2 个、红枣粽 4 个、腊肉粽 3 个、白米粽 2 个，其中豆沙粽和红枣粽是甜粽小明任意选 取一个，选到甜粽的概率是（ ） A 2 11 B 4 11 C 5 11 D 6 11 【解答】解：由题意可得：粽子总数为 11 个，其中 6 个为甜粽， 所以选到甜粽的概率为： 6 11， 故选：D 7 （3 分） （2020
17、恩施州）在实数范围内定义运算“” ：aba+b1，例如：232+3 14如果 2x1，则 x 的值是（ ） A1 B1 C0 D2 【解答】解：由题意知：2x2+x11+x， 又 2x1， 1+x1， x0 故选：C 8 （3 分） （2020恩施州）我国古代数学著作九章算术 “盈不足”一章中记载： “今有大 器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何” 意思是：有大小两种盛 酒的桶，已知 5 个大桶加上 1 个小桶可以盛酒 3 斛，1 个大桶加上 5 个小桶可以盛酒 2 斛问 1 个大桶、1 个小桶分别可以盛酒多少斛？设 1 个大桶盛酒 x 斛，1 个小桶盛酒 y 斛，下列方程组
18、正确的是（ ） A5 + = 3 + 5 = 2 B5 + = 2 + 5 = 3 第 9 页（共 25 页） C5 + 3 = 1 + 2 = 5 D3 + = 5 2 + 5 = 1 【解答】解：依题意，得：5 + = 3 + 5 = 2 故选：A 9（3 分）（2020恩施州） 如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形， 它的主视图为 （ ） A B C D 【解答】解：从正面看易得第一列有 2 个正方形，第二列底层有 1 个正方形 故选：A 10 （3 分） （2020恩施州）甲乙两车从 A 城出发前往 B 城，在整个行程中，汽车离开 A 城 的距离 y 与时刻 t 的对应关系如图所示
19、，则下列结论错误的是（ ） A甲车的平均速度为 60km/h B乙车的平均速度为 100km/h C乙车比甲车先到 B 城 D乙车比甲车先出发 1h 【解答】解：由图象知： A甲车的平均速度为 300 105 =60km/h，故 A 选项不合题意； B乙车的平均速度为300 96 =100km/h，故 B 选项不合题意； C甲 10 时到达 B 城，乙 9 时到达 B 城，所以乙比甲先到 B 城，故 C 选项不合题意； 第 10 页（共 25 页） D甲 5 时出发，乙 6 时出发，所以乙比甲晚出发 1h，故此选项错误， 故选：D 11 （3 分） （2020恩施州）如图，正方形 ABCD 的
20、边长为 4，点 E 在 AB 上且 BE1，F 为 对角线 AC 上一动点，则BFE 周长的最小值为（ ） A5 B6 C7 D8 【解答】解：如图，连接 ED 交 AC 于一点 F，连接 BF， 四边形 ABCD 是正方形， 点 B 与点 D 关于 AC 对称， BFDF， BFE 的周长BF+EF+BEDE+BE，此时BEF 的周长最小， 正方形 ABCD 的边长为 4， ADAB4，DAB90， 点 E 在 AB 上且 BE1， AE3， DE= 2+ 2= 5， BFE 的周长5+16， 故选：B 12 （3 分） （2020恩施州）如图，已知二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x
21、 轴相交于 A（2， 0） 、B（1，0）两点则以下结论：ac0；二次函数 yax2+bx+c 的图象的对称轴 为 x1；2a+c0；ab+c0其中正确的有（ ）个 第 11 页（共 25 页） A0 B1 C2 D3 【解答】解：对于：二次函数开口向下，故 a0，与 y 轴的交点在 y 的正半轴，故 c 0，故 ac0，因此错误； 对于：二次函数的图象与 x 轴相交于 A（2，0） 、B（1，0） ，由对称性可知，其对称 轴为： = 2+1 2 = 1 2，因此错误； 对于：设二次函数 yax2+bx+c 的交点式为 ya（x+2） （x1）ax2+ax2a，比较 一般式与交点式的系数可知：
22、ba，c2a，故 2a+c0，因此正确； 对于：当 x1 时对应的 yab+c，观察图象可知 x1 时对应的函数图象的 y 值在 x 轴上方，故 ab+c0，因此正确 只有是正确的 故选：C 二、填空题（本大题共有二、填空题（本大题共有 4 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 12 分不要求写出解答过程，请把答案分不要求写出解答过程，请把答案 直接填写在答题卷相应位置上）直接填写在答题卷相应位置上） 13 （3 分） （2020恩施州）9 的算术平方根是 3 【解答】解：（3）29， 9 的算术平方根是|3|3 故答案为：3 14 （3 分） （2020恩施州）如图，直线 l1l2，点
23、 A 在直线 l1上，点 B 在直线 l2上，AB BC，C30，180，则2 40 第 12 页（共 25 页） 【解答】解：如图，延长 CB 交 l2于点 D， ABBC，C30， C430， l1l2，180， 1380， C+3+2+4180，即 30+80+2+30180， 240 故答案为：40 15 （3 分） （2020恩施州）如图，已知半圆的直径 AB4，点 C 在半圆上，以点 A 为圆心， AC 为半径画弧交 AB 于点 D，连接 BC若ABC60，则图中阴影部分的面积为 23 （结果不取近似值 【解答】解：AB 是直径， ACB90， ABC60， CAB30， 第 13
24、 页（共 25 页） BC= 1 2 = 2，AC= 23， = 1 2 = 1 2 23 2 = 23， CAB30， 扇形 ACD 的面积= 30 360 2= 1 12 (23)2= ， 阴影部分的面积为23 故答案为：23 16 （3 分） （2020恩施州）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别为：A（ 2，0） ，B（1，2） ，C（1，2） 已知 N（1，0） ，作点 N 关于点 A 的对称点 N1，点 N1关于点 B 的对称点 N2，点 N2关于点 C 的对称点 N3，点 N3关于点 A 的对称点 N4，点 N4关于点 B 的对称点 N5，依此类推，则点 N2020的
25、坐标为 （1，8） 【解答】解：由题意得，作出如下图形： N 点坐标为（1，0） ， N 点关于 A 点对称的 N1点的坐标为（3，0） ， 第 14 页（共 25 页） N1点关于 B 点对称的 N2点的坐标为（5，4） ， N2点关于 C 点对称的 N3点的坐标为（3，8） ， N3点关于 A 点对称的 N4点的坐标为（1，8） ， N4点关于 B 点对称的 N5点的坐标为（3，4） ， N5点关于 C 点对称的 N6点的坐标为（1，0） ，此时刚好回到最开始的点 N 处， 其每 6 个点循环一次， 202063364， 即循环了 336 次后余下 4， 故 N2020的坐标与 N4点的坐
26、标相同，其坐标为（1，8） 故答案为： （1，8） 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 8 个小题，共个小题，共 72 分请在答题卷指定区域内作答，分请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤） 文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （8 分） （2020恩施州）先化简，再求值： （ 29 26+9 3 3） 2 3，其中 m= 2 【解答】解：( 29 26+9 3 3) 2 3 = (+3)(3) (3)2 3 3 3 2 = (+3 3 3 3) 3 2 = 3 3 2 = 1 ； 当 = 2时， 原式= 1 2 = 2 2 18 （8 分
27、） （2020恩施州）如图，AEBF，BD 平分ABC 交 AE 于点 D，点 C 在 BF 上且 BCAB，连接 CD求证：四边形 ABCD 是菱形 【解答】证明：AEBF， 第 15 页（共 25 页） ADBDBC， BD 平分ABC， DBCABD， ADBABD， ABAD， 又ABBC， ADBC， AEBF，即 ADBC， 四边形 ABCD 为平行四边形， 又ABAD， 四边形 ABCD 为菱形 19 （8 分） （2020恩施州）某中学为了解九年级学生对新冠肺炎防控知识的掌握情况，从 全校九年级学生中随机抽取部分学生进行调查 调查结果分为四类： A 类非常了解； B 类比较了解
28、；C 类般了解；D 类不了解现将调查结果绘制成如图不完整 的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次共调查了 50 名学生； （2）补全条形统计图； （3）D 类所对应扇形的圆心角的大小为 36 ； （4）若该校九年级学生共有 500 名，根据以上抽样结果，估计该校九年级学生对新冠肺 炎防控知识非常了解的约有 150 名 【解答】解： （1）本次共调查的学生数为：2040%50（名） 故答案为：50； （2）C 类学生人数为：501520510（名） ， 第 16 页（共 25 页） 条形图如下： （3）D 类所对应扇形的圆心角为：360 5 50 = 36 故答案为：36； （
29、4）该校九年级学生对新冠肺炎防控知识非常了解的人数为：500 15 50 = 150（名） 故答案为：150 20 （8 分） （2020恩施州）如图，一艘轮船以每小时 30 海里的速度自东向西航行，在 A 处 测得小岛 P 位于其西北方向（北偏西 45方向） ，2 小时后轮船到达 B 处，在 B 处测得 小岛 P 位于其北偏东 60方向求此时船与小岛 P 的距离（结果保留整数，参考数据： 2 1.414，3 1.732） 【解答】解：如图，过 P 作 PHAB，设 PHx， 由题意得：AB30260，PBH906030，PAH904545， 则PHA 是等腰直角三角形， AHPH， 在 Rt
30、PHA 中，设 AHPHx， 在 RtPBH 中，PB2PH2x，BHABAH60 x， tanPBHtan30= = 3 3 ， 第 17 页（共 25 页） 3 3 = 60， 解得： = 30(3 1)， PB2x= 60(3 1) 44（海里） ， 答：此时船与小岛 P 的距离约为 44 海里 21 （8 分） （2020恩施州）如图，在平面直角坐标系中，直线 yax3a（a0）与 x 轴、 y 轴分别相交于 A、B 两点，与双曲线 y= （x0）的一个交点为 C，且 BC= 1 2AC （1）求点 A 的坐标； （2）当 SAOC3 时，求 a 和 k 的值 【解答】解： （1）由题
31、意得：令 yax3a（a0）中 y0， 即 ax3a0，解得 x3， 点 A 的坐标为（3，0） ， 故答案为（3，0） （2）过 C 点作 y 轴的垂线交 y 轴于 M 点，作 x 轴的垂线交 x 轴于 N 点，如下图所示： 显然，CMOA， 第 18 页（共 25 页） BCMBAO，且ABOCBO， BCMBAO， = ，即： 1 3 = 3 ， CM1， 又= 1 2 = 3 即：1 2 3 = 3， CN2， C 点的坐标为（1，2） ， 故反比例函数的 k122， 再将点 C（1，2）代入一次函数 yax3a（a0）中， 即 2a3a，解得 a1， 故答案为：a1，k2 22 （1
32、0 分） （2020恩施州）某校足球队需购买 A、B 两种品牌的足球已知 A 品牌足球的 单价比 B 品牌足球的单价高 20 元，且用 900 元购买 A 品牌足球的数量用 720 元购买 B 品牌足球的数量相等 （1）求 A、B 两种品牌足球的单价； （2）若足球队计划购买 A、B 两种品牌的足球共 90 个，且 A 品牌足球的数量不小于 B 品牌足球数量的 2 倍，购买两种品牌足球的总费用不超过 8500 元设购买 A 品牌足球 m 个，总费用为 W 元，则该队共有几种购买方案？采用哪一种购买方案可使总费用最低？ 最低费用是多少元？ 【解答】 解： （1） 设购买 A 品牌足球的单价为 x
33、 元， 则购买 B 品牌足球的单价为 （x20） 元， 根据题意，得900 = 720 20， 解得：x100， 经检验 x100 是原方程的解， x2080， 答：购买 A 品牌足球的单价为 100 元，则购买 B 品牌足球的单价为 80 元； （2）设购买 m 个 A 品牌足球，则购买（90m）个 B 品牌足球， 第 19 页（共 25 页） 则 W100m+80（90m）20m+7200， A 品牌足球的数量不小于 B 品牌足球数量的 2 倍，购买两种品牌足球的总费用不超过 8500 元， 100 + 80(90 ) 8500 2(90 ) ， 解不等式组得：60m65， 所以，m 的值
34、为：60，61，62，63，64，65， 即该队共有 6 种购买方案， 当 m60 时，W 最小， m60 时，W2060+72008400（元） ， 答：该队共有 6 种购买方案，购买 60 个 A 品牌 30 个 B 品牌的总费用最低，最低费用是 8400 元 23 （10 分） （2020恩施州）如图 1，AB 是O 的直径，直线 AM 与O 相切于点 A，直线 BN 与O 相切于点 B，点 C（异于点 A）在 AM 上，点 D 在O 上，且 CDCA，延长 CD 与 BN 相交于点 E，连接 AD 并延长交 BN 于点 F （1）求证：CE 是O 的切线； （2）求证：BEEF； （3
35、）如图 2，连接 EO 并延长与O 分别相交于点 G、H，连接 BH若 AB6，AC4， 求 tanBHE 【解答】解： （1）如图 1 中，连接 OD， CDCA， CADCDA， OAOD OADODA， 第 20 页（共 25 页） 直线 AM 与O 相切于点 A， CAOCAD+OAD90， ODCCDA+ODA90， CE 是O 的切线 （2）如图 2 中，连接 BD， ODOB， ODBOBD， CE 是O 的切线，BF 是O 的切线， OBDODE90， EDBEBD， EDEB， AMAB，BNAB， AMBN， CADBFD， CADCDAEDF， BFDEDF， EFED，
36、 BEEF （3）如图 2 中，过 E 点作 ELAM 于 L，则四边形 ABEL 是矩形， 设 BEx，则 CL4x，CE4+x， （4+x）2（4x）2+62， 第 21 页（共 25 页） 解得：x= 9 4， = = 9 4 3 = 3 4， BOE2BHE， = 2 12 = 3 4， 解得：tanBHE= 1 3或3（3 不合题意舍去） ， tanBHE= 1 3 补充方法：如图 2 中，作 HJEB 交 EB 的延长线于 J tabBOE= = 3 4， 可以假设 BE3k，OB4k，则 OE5k， OBHJ， = = ， 4 = 5 9 = 3 ， HJ= 36 5 k，EJ=
37、 27 5 k， BJEJBE= 27 5 k3k= 12 5 k tanBHJ= = 1 3， BHEOBEBHJ， tanBHE= 1 3 24 （12 分） （2020恩施州）如图 1，抛物线 y= 1 4x 2+bx+c 经过点 C（6，0） ，顶点为 B， 对称轴 x2 与 x 轴相交于点 A，D 为线段 BC 的中点 第 22 页（共 25 页） （1）求抛物线的解析式； （2） P 为线段 BC 上任意一点， M 为 x 轴上一动点， 连接 MP， 以点 M 为中心， 将MPC 逆时针旋转 90，记点 P 的对应点为 E，点 C 的对应点为 F当直线 EF 与抛物线 y= 1 4
38、x 2+bx+c 只有一个交点时，求点 M 的坐标 （3）MPC 在（2）的旋转变换下，若 PC= 2（如图 2） 求证：EAED 当点 E 在（1）所求的抛物线上时，求线段 CM 的长 【解答】解： （1）点 C（6，0）在抛物线上， 0 = 1 4 36 + 6 + ， 得到 6b+c9， 又对称轴 x2， = 2 = 2(1 4) = 2， 解得 b1， c3， 二次函数的解析式为 = 1 4 2+ + 3； （2）当点 M 在点 C 的左侧时，如图 21 中： 第 23 页（共 25 页） 抛物线的解析式为 = 1 4 2 + + 3，对称轴为 x2，C（6，0） 点 A（2，0） ，
39、顶点 B（2，4） ， ABAC4， ABC 是等腰直角三角形， 145； 将MPC 逆时针旋转 90得到MEF， FMCM，2145， 设点 M 的坐标为（m，0） ， 点 F（m，6m） ， 又245， 直线 EF 与 x 轴的夹角为 45， 设直线 EF 的解析式为 yx+b， 把点 F（m，6m）代入得：6mm+b，解得：b62m， 直线 EF 的解析式为 yx+62m， 直线 EF 与抛物线 = 1 4 2+ + 3只有一个交点， = + 6 2 = 1 4 2+ + 3， 整理得：1 4 2+ 3 2 = 0， b24ac0，解得 m= 3 2， 点 M 的坐标为（3 2，0） 第
40、 24 页（共 25 页） 当点 M 在点 C 的右侧时，如下图： 由图可知， 直线 EF 与 x 轴的夹角仍是 45， 因此直线 EF 与抛物线 = 1 4 2+ + 3不 可能只有一个交点 综上，点 M 的坐标为（3 2，0） （3）当点 M 在点 C 的左侧时，如下图，过点 P 作 PGx 轴于点 G，过点 E 作 EH x 轴于点 H， = 2，由（2）知BCA45， PGGC1， 点 G（5，0） ， 设点 M 的坐标为（m，0） ， 将MPC 逆时针旋转 90得到MEF， EMPM， HEM+EMHGMP+EMH90， 第 25 页（共 25 页） HEMGMP， 在EHM 和MG
41、P 中， = = = ， EHMMGP（AAS） ， EHMG5m，HMPG1， 点 H（m1，0） ， 点 E 的坐标为（m1，5m） ； EA= ( 1 2)2+ (5 0)2= 22 16 + 34， 又D 为线段 BC 的中点，B（2，4） ，C（6，0） ， 点 D（4，2） ， ED= ( 1 4)2+ (5 2)2= 22 16 + 34， EAED 当点 M 在点 C 的右侧时，如下图： 同理，点 E 的坐标仍为（m1，5m） ，因此 EAED 当点 E 在（1）所求的抛物线 = 1 4 2 + + 3上时， 把 E（m1，5m）代入，整理得：m210m+130， 解得：m= 5 + 23或 m= 5 23， CM= 23 1或 CM= 1 + 23
