1、 第 1 页（共 22 页） 2020 年湖南省湘潭市中考数学试卷年湖南省湘潭市中考数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号 涂在答题卡相应的位置上，每小题涂在答题卡相应的位置上，每小题 3 分，满分分，满分 24 分）分） 1 （3 分） （2020湘潭）6 的绝对值是（ ） A6 B6 C 1 6 D1 6 2 （3 分） （2020湘潭）地摊经济一词最近彻底火了，发展地摊经济，进行室外经营与有序 占道经营， 能满足民众消费需求， 在一定程度上缓解了就业压力， 带
2、动了第三产业发展， 同时活跃市场， 刺激经济发展， 一经推出， 相关微博话题阅读量就超过了 600000000 次， 这个数据用科学记数法表示为（ ） A0.6108 B6107 C6108 D6109 3 （3 分） （2020湘潭）已知 2xn+1y3与1 3x 4y3 是同类项，则 n 的值是（ ） A2 B3 C4 D5 4 （3 分） （2020湘潭）下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A B C D 5 （3 分） （2020湘潭）下列运算中正确的是（ ） A （a2）3a5 B （1 2） 12 C （25）01 Da3a32a6 6 （3 分） （2020湘潭）如图，ACD
3、 是ABC 的外角，若ACD110，B50， 则A（ ） A40 B50 C55 D60 7 （3 分） （2020湘潭）为庆祝建党 99 周年，某校八年级（3）班团支部为了让同学们进一 步了解中国科技的发展，给班上同学布置了一项课外作业，从选出的以下五个内容中任 选部分内容进行手抄报的制作：A、 “北斗卫星” ：B、 “5G 时代” ；C、 “智轨快运系统” ； D、 “东风快递” ； E、 “高铁” 统计同学们所选内容的频数， 绘制如图所示的折线统计图， 则选择“5G 时代”的频率是（ ） 第 2 页（共 22 页） A0.25 B0.3 C25 D30 8 （3 分） （2020湘潭）如
4、图，直线 ykx+b（k0）经过点 P（1，1） ，当 kx+bx 时，则 x 的取值范围为（ ） Ax1 Bx1 Cx1 Dx1 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题 3 分，满分分，满分 24 分）分） 9 （3 分） （2020湘潭）计算：sin45 10 （3 分） （2020湘潭）在数轴上到原点的距离小于 4 的整数可以为 （任意写出 一个即可） 11 （3 分） （2020湘潭）计算：8 2 = 12 （3 分） （2020湘潭）走路被世卫组织认定为“世界上最好的运动” ，每天走 60
5、00 步是 走路最健康的步数手机下载微信运动，每天记录自己走路的步数，已经成了不少市民 时下的习惯张大爷连续记录了 3 天行走的步数为：6200 步、5800 步、7200 步，这 3 天步数的平均数是 步 13 （3 分） （2020湘潭）若 = 3 7，则 = 14 （3 分） （2020湘潭）如图，在半径为 6 的O 中，圆心角AOB60，则阴影部分 面积为 第 3 页（共 22 页） 15 （3 分） （2020湘潭）如图，点 P 是AOC 的角平分线上一点，PDOA，垂足为点 D， 且 PD3，点 M 是射线 OC 上一动点，则 PM 的最小值为 16 （3 分） （2020湘潭）算
6、筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古 代数学的发展做出了很大的贡献在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来 表示数字如图： 数字 形式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纵式 | | | | | 横式 表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零 则置空示例如图：，则表示的数是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将解答过程小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将解答过程 写在答题卡相应位置上，满分写在答题卡相应位置上，满分 72 分）分） 17 （6 分） （2020湘
7、潭）解分式方程： 3 1 +2= 1 18 （6 分） （2020湘潭）化简求值： （1 2 1） 3 22+1，其中 a2 19 （6 分） （2020湘潭）生死守护，致敬英雄湘潭 28 名医护人员所在的湖南对口支援湖 北黄冈医疗队红安分队，精心救治每一位患者，出色地完成了医疗救治任务为致敬英 雄，某校音乐兴趣小组根据网络盛传的“红旗小姐姐”跳的儋州调声组建了舞蹈队现 第 4 页（共 22 页） 需要选取两名学生作为舞蹈队的领舞， 甲、 乙两班各推荐了一男生和一女生（温馨提示： 用男1、女1；男2、女2分别表示甲、乙两班 4 个学生） （1）请用列举的方法写出所有可能出现的结果； （2）若选
8、取的两人来自不同的班级，且按甲、乙两班先后顺序选取请用列表或画树状 图的方法求出恰好选中一男一女的概率 20（6 分）（2020湘潭） 为了学生的安全， 某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造 已 知四边形 ABCD 为矩形，DE10 m，其坡度为 i11：3，将步梯 DE 改造为斜坡 AF， 其坡度为 i21：4，求斜坡 AF 的长度 （结果精确到 0.01 m，参考数据：3 1.732， 17 4.122） 21 （6 分） （2020湘潭） “停课不停学” 突如其来的新冠肺炎疫情让网络学习成为了今年 春天一道别样的风景隔离的是身体，温暖的是人心 “幸得有你，山河无恙” 在钟南 山、白衣
9、天使等人众志成城下，战胜了疫情在春暖花开，万物复苏之际，某校为了解 九年级学生居家网络学习情况，以便进行有针对性的教学安排，特对他们的网络学习时 长（单位：小时）进行统计现随机抽取 20 名学生的数据进行分析： 收集数据：4.5，6，5.5，6.5，6.5，5.5，7，6，7.5，8，6.5，8，7.5，5.5，6.5，7，6.5， 6，6.5，5 整理数据： 时长 x（小时） 4x5 5x6 6x7 7x8 人数 2 a 8 4 分析数据： 项目 平均数 中位数 众数 数据 6.4 6.5 b 应用数据： （1）填空：a ，b ； 第 5 页（共 22 页） （2）补全频数直方图； （3）若
10、九年级共有 1000 人参与了网络学习，请估计学习时长在 5x7 小时的人数 22 （6 分） （2020湘潭）如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 D， 过点 D 作 DEAC，垂足为点 E （1）求证：ABDACD； （2）判断直线 DE 与O 的位置关系，并说明理由 23 （8 分） （2020湘潭）如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，菱形 OABC 的顶 点 A 的坐标为（3，4） （1）求过点 B 的反比例函数 y= 的解析式； （2）连接 OB，过点 B 作 BDOB 交 x 轴于点 D，求直线 BD 的解析式 24 （8 分） （2020湘
11、潭）习近平总书记说： “读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启 发，让人滋养浩然之气” 某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学 奖的北上 （徐则臣著）和牵风记 （徐怀中著）两种书共 50 本已知购买 2 本北 上和 1 本牵风记需 100 元；购买 6 本北上与购买 7 本牵风记的价格相同 （1）求这两种书的单价； 第 6 页（共 22 页） （2）若购买北上的数量不少于所购买牵风记数量的一半，且购买两种书的总价 不超过 1600 元请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少 元？ 25 （10 分） （2020湘潭）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这
12、个交点称为三角形 的重心 （1）特例感知：如图（一） ，已知边长为 2 的等边ABC 的重心为点 O，求OBC 与 ABC 的面积 （2）性质探究：如图（二） ，已知ABC 的重心为点 O，请判断 、 是否都为定 值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由 （3）性质应用：如图（三） ，在正方形 ABCD 中，点 E 是 CD 的中点，连接 BE 交对角 线 AC 于点 M 若正方形 ABCD 的边长为 4，求 EM 的长度； 若 SCME1，求正方形 ABCD 的面积 26 （10 分） （2020湘潭）如图，抛物线 yx2+bx+5 与 x 轴交于 A，B 两点 （1）若过点 C
13、 的直线 x2 是抛物线的对称轴 求抛物线的解析式； 对称轴上是否存在一点 P，使点 B 关于直线 OP 的对称点 B恰好落在对称轴上若存 在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 第 7 页（共 22 页） （2）当 b4，0 x2 时，函数值 y 的最大值满足 3y15，求 b 的取值范围 第 8 页（共 22 页） 2020 年湖南省湘潭市中考数学试卷年湖南省湘潭市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号 涂在答题
14、卡相应的位置上，每小题涂在答题卡相应的位置上，每小题 3 分，满分分，满分 24 分）分） 1 （3 分） （2020湘潭）6 的绝对值是（ ） A6 B6 C 1 6 D1 6 【解答】解：负数的绝对值等于它的相反数，所以6 的绝对值是 6 故选：B 2 （3 分） （2020湘潭）地摊经济一词最近彻底火了，发展地摊经济，进行室外经营与有序 占道经营， 能满足民众消费需求， 在一定程度上缓解了就业压力， 带动了第三产业发展， 同时活跃市场， 刺激经济发展， 一经推出， 相关微博话题阅读量就超过了 600000000 次， 这个数据用科学记数法表示为（ ） A0.6108 B6107 C610
15、8 D6109 【解答】解：6000000006108， 故选：C 3 （3 分） （2020湘潭）已知 2xn+1y3与1 3x 4y3 是同类项，则 n 的值是（ ） A2 B3 C4 D5 【解答】解：2xn+1y3与1 3 43是同类项， n+14， 解得，n3， 故选：B 4 （3 分） （2020湘潭）下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A B C D 【解答】解：A、是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意； 第 9 页（共 22 页） 故选：
16、D 5 （3 分） （2020湘潭）下列运算中正确的是（ ） A （a2）3a5 B （1 2） 12 C （25）01 Da3a32a6 【解答】解：A、 （a2）3a6，故 A 错误； B、(1 2) 1 = 2，故 B 错误； C、(2 5)0= 1，正确； D、a3a3a6，故 D 错误； 故选：C 6 （3 分） （2020湘潭）如图，ACD 是ABC 的外角，若ACD110，B50， 则A（ ） A40 B50 C55 D60 【解答】解：ACD 是ABC 的外角， ACDB+A， AACDB， ACD110，B50， A60， 故选：D 7 （3 分） （2020湘潭）为庆祝建党
17、 99 周年，某校八年级（3）班团支部为了让同学们进一 步了解中国科技的发展，给班上同学布置了一项课外作业，从选出的以下五个内容中任 选部分内容进行手抄报的制作：A、 “北斗卫星” ：B、 “5G 时代” ；C、 “智轨快运系统” ； D、 “东风快递” ； E、 “高铁” 统计同学们所选内容的频数， 绘制如图所示的折线统计图， 则选择“5G 时代”的频率是（ ） 第 10 页（共 22 页） A0.25 B0.3 C25 D30 【解答】解：由图知，八年级（3）班的全体人数为：25+30+10+20+15100（人） ， 选择“5G 时代”的人数为：30 人， 选择“5G 时代”的频率是：
18、30 100 = 0.3； 故选：B 8 （3 分） （2020湘潭）如图，直线 ykx+b（k0）经过点 P（1，1） ，当 kx+bx 时，则 x 的取值范围为（ ） Ax1 Bx1 Cx1 Dx1 【解答】解：由题意，将 P（1，1）代入 ykx+b（k0） ， 可得 k+b1，即 k1b， 整理 kx+bx 得， （k1）x+b0， bx+b0， 由图象可知 b0， x10， x1， 故选：A 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题 3 分，满分分，满分 24 第 11 页（共 22 页）
19、分）分） 9 （3 分） （2020湘潭）计算：sin45 2 2 【解答】解：根据特殊角的三角函数值得：sin45= 2 2 10 （3 分） （2020湘潭）在数轴上到原点的距离小于 4 的整数可以为 3 （任意写出一 个即可） 【解答】解：在数轴上到原点的距离小于 4 的整数有：3，3，2，2，1，1，0 从中 任选一个即可 故答案为：3（答案不唯一，3，2，1，0，1，2，3 任意一个均可） 11 （3 分） （2020湘潭）计算：8 2 = 2 【解答】解：8 2 =22 2 = 2 故答案为2 12 （3 分） （2020湘潭）走路被世卫组织认定为“世界上最好的运动” ，每天走 6
20、000 步是 走路最健康的步数手机下载微信运动，每天记录自己走路的步数，已经成了不少市民 时下的习惯张大爷连续记录了 3 天行走的步数为：6200 步、5800 步、7200 步，这 3 天步数的平均数是 6400 步 【解答】解：这 3 天步数的平均数是：6200+5800+7200 3 = 6400（步） ， 故答案为：6400 13 （3 分） （2020湘潭）若 = 3 7，则 = 4 7 【解答】解：由 = 3 7可设 y3k，x7k，k 是非零整数， 则 = 73 7 = 4 7 = 4 7 故答案为：4 7 14 （3 分） （2020湘潭）如图，在半径为 6 的O 中，圆心角A
21、OB60，则阴影部分 面积为 6 第 12 页（共 22 页） 【解答】解：阴影部分面积为606 2 360 = 6， 故答案为：6 15 （3 分） （2020湘潭）如图，点 P 是AOC 的角平分线上一点，PDOA，垂足为点 D， 且 PD3，点 M 是射线 OC 上一动点，则 PM 的最小值为 3 【解答】解：根据垂线段最短可知：当 PMOC 时，PM 最小， 当 PMOC 时， 又OP 平分AOC，PDOA，PD3， PMPD3， 故答案为：3 16 （3 分） （2020湘潭）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古 代数学的发展做出了很大的贡献在算筹计数法中，以“纵
22、式”和“横式”两种方式来 表示数字如图： 数字 形式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纵式 | | | | | 横式 表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零 则置空示例如图：，则表示的数是 9167 【解答】解：根据算筹计数法，表示的数是：9167 故答案为：9167 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将解答过程小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将解答过程 写在答题卡相应位置上，满分写在答题卡相应位置上，满分 72 分）分） 第 13 页（共 22 页） 17 （6 分） （202
23、0湘潭）解分式方程： 3 1 +2= 1 【解答】解： 3 1 + 2 = 1 去分母得，3+2（x1）x， 解得，x1， 经检验，x1 是原方程的解 所以，原方程的解为：x1 18 （6 分） （2020湘潭）化简求值： （1 2 1） 3 22+1，其中 a2 【解答】解：(1 2 1) 3 22+1 = 12 1 (1)2 3 a1， 将 a2 代入得：原式213 19 （6 分） （2020湘潭）生死守护，致敬英雄湘潭 28 名医护人员所在的湖南对口支援湖 北黄冈医疗队红安分队，精心救治每一位患者，出色地完成了医疗救治任务为致敬英 雄，某校音乐兴趣小组根据网络盛传的“红旗小姐姐”跳的儋
24、州调声组建了舞蹈队现 需要选取两名学生作为舞蹈队的领舞， 甲、 乙两班各推荐了一男生和一女生（温馨提示： 用男1、女1；男2、女2分别表示甲、乙两班 4 个学生） （1）请用列举的方法写出所有可能出现的结果； （2）若选取的两人来自不同的班级，且按甲、乙两班先后顺序选取请用列表或画树状 图的方法求出恰好选中一男一女的概率 【解答】解： （1）可能出现的结果有：男1女1、男1男2、男1女2、男2女1、男2女2、 女1女2； （2）列表法表示所有可能出现的结果如下： 共有 4 种情况，其中恰好选中一男一女有 2 种情况， 第 14 页（共 22 页） 所以恰好选中一男一女的概率为2 4 = 1 2
25、 20（6 分）（2020湘潭） 为了学生的安全， 某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造 已 知四边形 ABCD 为矩形，DE10 m，其坡度为 i11：3，将步梯 DE 改造为斜坡 AF， 其坡度为 i21：4，求斜坡 AF 的长度 （结果精确到 0.01 m，参考数据：3 1.732， 17 4.122） 【解答】解：DE10 m，其坡度为 i11：3， 在 RtDCE 中， = 2+ 2= 2 =10， 解得 DC5 四边形 ABCD 为矩形， ABCD5 斜坡 AF 的坡度为 i21：4， = 1 4， BF4AB20， 在 RtABF 中， = 2+ 2= 517 20.61（m
26、） 故斜坡 AF 的长度约为 20.61 米 21 （6 分） （2020湘潭） “停课不停学” 突如其来的新冠肺炎疫情让网络学习成为了今年 春天一道别样的风景隔离的是身体，温暖的是人心 “幸得有你，山河无恙” 在钟南 山、白衣天使等人众志成城下，战胜了疫情在春暖花开，万物复苏之际，某校为了解 九年级学生居家网络学习情况，以便进行有针对性的教学安排，特对他们的网络学习时 长（单位：小时）进行统计现随机抽取 20 名学生的数据进行分析： 收集数据：4.5，6，5.5，6.5，6.5，5.5，7，6，7.5，8，6.5，8，7.5，5.5，6.5，7，6.5， 6，6.5，5 整理数据： 时长 x
27、（小时） 4x5 5x6 6x7 7x8 第 15 页（共 22 页） 人数 2 a 8 4 分析数据： 项目 平均数 中位数 众数 数据 6.4 6.5 b 应用数据： （1）填空：a 6 ，b 6.5 ； （2）补全频数直方图； （3）若九年级共有 1000 人参与了网络学习，请估计学习时长在 5x7 小时的人数 【解答】解： （1）由总人数是 20 人可得在 5x6 的人数是 202846（人） ，所 以 a6， 根据数据显示，6.5 出现的次数最多，所以这组数据的众数 b6.5； 故答案为：6，6.5； （2）由（1）得 a6 频数分布直方图补充如下： （3）由图可知，学习时长在 5x
28、7 小时的人数所占的百分比= 6+8 20 100%70%， 100070%700（人） 学习时长在 5x7 小时的人数是 700 人 第 16 页（共 22 页） 22 （6 分） （2020湘潭）如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 D， 过点 D 作 DEAC，垂足为点 E （1）求证：ABDACD； （2）判断直线 DE 与O 的位置关系，并说明理由 【解答】 （1）证明：AB 为O 的直径， ADBC， 在 RtADB 和 RtADC 中 = = ， RtABDRtACD（HL） ； （2）直线 DE 与O 相切，理由如下： 连接 OD，如图所示： 由A
29、BDACD 知：BDDC， 又OAOB， OD 为ABC 的中位线， ODAC， DEAC， ODDE， OD 为O 的半径， DE 与O 相切 23 （8 分） （2020湘潭）如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，菱形 OABC 的顶 点 A 的坐标为（3，4） （1）求过点 B 的反比例函数 y= 的解析式； 第 17 页（共 22 页） （2）连接 OB，过点 B 作 BDOB 交 x 轴于点 D，求直线 BD 的解析式 【解答】解： （1）过点 A 作 AEx 轴，过 B 作 BFx 轴，垂足分别为 E，F，如图， A（3，4） ， OE3，AE4， = 2+ 2= 5， 四
30、边形 OABC 是菱形， AOABOC5，ABx 轴， EFAB5， OFOE+EF3+58， B（8，4） 设过 B 点的反比例函数解析式为 = ， 把 B 点坐标代入得，k32， 反比例函数解析式为 = 32 ； （2）OBBD， OBD90， OBF+DBF90， DBF+BDF90， OBFBDF， 又OFBBFD90， OBFBDF， = ， 8 4 = 4 ， 第 18 页（共 22 页） 解得，DF2， ODOF+DF8+210， D（10，0） 设 BD 所在直线解析式为 ykx+b， 把 B（8，4） ，D（10，0）分别代入， 得：8 + = 4 10 + = 0，解得，
31、= 2 = 20 ， 直线 BD 的解析式为 y2x+20 24 （8 分） （2020湘潭）习近平总书记说： “读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启 发，让人滋养浩然之气” 某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学 奖的北上 （徐则臣著）和牵风记 （徐怀中著）两种书共 50 本已知购买 2 本北 上和 1 本牵风记需 100 元；购买 6 本北上与购买 7 本牵风记的价格相同 （1）求这两种书的单价； （2）若购买北上的数量不少于所购买牵风记数量的一半，且购买两种书的总价 不超过 1600 元请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少 元？ 【解答】解：
32、（1）设购买北上的单价为 x 元， 牵风记的单价为 y 元， 由题意得：2 + = 100 6 = 7 ， 解得 = 35 = 30 答：购买北上的单价为 35 元， 牵风记的单价为 30 元； （2）设购买北上的数量 n 本，则购买牵风记的数量为（50n）本， 根据题意得 1 2 (50 ) 35 + 30(50 ) 1600 ， 解得：16 2 3 20， 则 n 可以取 17、18、19、20， 第 19 页（共 22 页） 当 n17 时，50n33，共花费 1735+33301585 元； 当 n18 时，50n32，共花费 1835+32301590 元； 当 n19 时，50n3
33、1，共花费 1935+31301595 元； 当 n20 时，50n30，共花费 2035+30301600 元； 所以，共有 4 种购买方案分别为：购买北上和牵风记的数量分别为 17 本和 33 本，购买北上和牵风记的数量分别为 18 本和 32 本，购买北上和牵风记 的数量分别为 19 本和 31 本，购买北上和牵风记的数量分别为 20 本和 30 本； 其中购买北上和牵风记的数量分别为 17 本和 33 本费用最低，最低费用为 1585 元 25 （10 分） （2020湘潭）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形 的重心 （1）特例感知：如图（一） ，已知边长为 2
34、的等边ABC 的重心为点 O，求OBC 与 ABC 的面积 （2）性质探究：如图（二） ，已知ABC 的重心为点 O，请判断 、 是否都为定 值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由 （3）性质应用：如图（三） ，在正方形 ABCD 中，点 E 是 CD 的中点，连接 BE 交对角 线 AC 于点 M 若正方形 ABCD 的边长为 4，求 EM 的长度； 若 SCME1，求正方形 ABCD 的面积 【解答】解： （1）连接 DE，如图， 点 O 是ABC 的重心， AD，BE 是 BC，AC 边上的中线， D，E 为 BC，AC 边上的中点， DE 为ABC 的中位线， 第 20
35、页（共 22 页） DEAB，DE= 1 2AB， ODEOAB， = = 1 2， AB2，BD1，ADB90， AD= 3，OD= 3 3 ， = 2 = 23 3 2 = 3 3 ，= 2 = 23 2 = 3； （2）由（1）可知， = 1 2，是定值； 点 O 到 BC 的距离和点 A 到 BC 的距离之比为 1：3， 则OBC 和ABC 的面积之比等于点 O 到 BC 的距离和点 A 到 BC 的距离之比， 故 = 1 3，是定值； （3）四边形 ABCD 是正方形， CDAB，ABBCCD4， CMEAMB， = ， E 为 CD 的中点， = 1 2 = 2， = 2+ 2=
36、25， = 1 2， = 1 3， 即 = 2 35； SCME1，且 = 1 2， SBMC2， = 1 2， = ( ) 2 = 1 4， SAMB4， 第 21 页（共 22 页） SABCSBMC+SABM2+46， 又 SADCSABC， SADC6， 正方形 ABCD 的面积为：6+612 26 （10 分） （2020湘潭）如图，抛物线 yx2+bx+5 与 x 轴交于 A，B 两点 （1）若过点 C 的直线 x2 是抛物线的对称轴 求抛物线的解析式； 对称轴上是否存在一点 P，使点 B 关于直线 OP 的对称点 B恰好落在对称轴上若存 在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明
37、理由 （2）当 b4，0 x2 时，函数值 y 的最大值满足 3y15，求 b 的取值范围 【解答】解： （1）抛物线 yx2+bx+5 的对称轴为直线 = 2(1) = 2， 若过点 C 的直线 x2 是抛物线的对称轴， 则 2 = 2，解得：b4， 抛物线的解析式为 yx2+4x+5； 存在， 如图，若点 P 在 x 轴上方，点 B 关于 OP 对称的点 B在对称轴上，连接 OB、PB， 则 OBOB，PBPB， 第 22 页（共 22 页） 对于 yx2+4x+5，令 y0，则x2+4x+50， 解得：x11，x25， A（1，0） ，B（5，0） ， OBOB5， = 2 2= 25 4 = 21， (2，21)， 设点 P（2，m） ， 由 PBPB 可得：21 = 2+ (5 2)2，解得： = 221 7 ， P（2，221 7 ） ； 同理，当点 P 在 x 轴下方时，P（2， 221 7 ） 综上所述，点 P（2，221 7 ）或 P（2， 221 7 ） ； （2）抛物线 yx2+bx+5 的对称轴为直线 = 2(1) = 2， 当 b4 时， = 2 2， 抛物线开口向下，在对称轴左边，y 随 x 的增大而增大， 当 0 x2 时，取 x2，y 有最大值， 即 y4+2b+52b+1， 32b+115，解得：1b7， 又b4， 4b7
