1、 第 1 页（共 24 页） 2020 年宁夏中考数学试卷年宁夏中考数学试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分在每小题给出的四个选项中只有一个分在每小题给出的四个选项中只有一个 是符合题目要求的）是符合题目要求的） 1 （3 分） （2020宁夏）下列各式中正确的是（ ） Aa3a2a6 B3ab2ab1 C6 2+1 3 =2a+1 Da（a3）a23a 2 （3 分） （2020宁夏）小明为了解本班同学一周的课外阅读量，随机抽取班上 15 名同学 进行调查，并将调查结果绘制成折线统计图（如图） ，则下列说法正确的是（ ） A中位
2、数是 3，众数是 2 B众数是 1，平均数是 2 C中位数是 2，众数是 2 D中位数是 3，平均数是 2.5 3 （3 分） （2020宁夏）现有 4 条线段，长度依次是 2、4、6、7，从中任选三条，能组成三 角形的概率是（ ） A1 4 B1 2 C3 5 D3 4 4 （3 分） （2020宁夏）如图摆放的一副学生用直角三角板，F30，C45，AB 与 DE 相交于点 G，当 EFBC 时，EGB 的度数是（ ） A135 B120 C115 D105 5 （3 分） （2020宁夏）如图，菱形 ABCD 的边长为 13，对角线 AC24，点 E、F 分别是 第 2 页（共 24 页）
3、 边 CD、BC 的中点，连接 EF 并延长与 AB 的延长线相交于点 G，则 EG（ ） A13 B10 C12 D5 6 （3 分） （2020宁夏）如图，等腰直角三角形 ABC 中，C90，AC= 2，以点 C 为 圆心画弧与斜边 AB 相切于点 D，交 AC 于点 E，交 BC 于点 F，则图中阴影部分的面积 是（ ） A1 4 B1 4 C2 4 D1+ 4 7 （3 分） （2020宁夏）如图，函数 y1x+1 与函数 y2= 2 的图象相交于点 M（1，m） ，N（ 2，n） 若 y1y2，则 x 的取值范围是（ ） Ax2 或 0 x1 Bx2 或 x1 C2x0 或 0 x1
4、 D2x0 或 x1 8 （3 分） （2020宁夏）如图 2 是图 1 长方体的三视图，若用 S 表示面积，S主a2，S左 第 3 页（共 24 页） a2+a，则 S俯（ ） Aa2+a B2a2 Ca2+2a+1 D2a2+a 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 9 （3 分） （2020宁夏）分解因式：3a26a+3 10 （3 分） （2020宁夏）若二次函数 yx2+2x+k 的图象与 x 轴有两个交点，则 k 的取值 范围是 11 （3 分） （2020宁夏） 有三张大小、 形状完全相同的卡片 卡片上分别写有数字
5、4、 5、 6， 从这三张卡片中随机先后不放回地抽取两张，则两次抽出数字之和为奇数的概率 是 12 （3 分） （2020宁夏）我国古代数学经典著作九章算术中记载了一个“圆材埋壁” 的问题： “今有圆材埋在壁中， 不知大小 以锯锯之， 深一寸， 锯道长一尺 问径几何？” 意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小用锯去锯这木材，锯口深 ED 1 寸 ， 锯 道 长 AB 1 尺 （ 1 尺 10 寸 ） 问 这 根 圆 形 木 材 的 直 径 是 寸 13 （3 分） （2020宁夏）如图，直线 y= 5 2x+4 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，把AOB 绕点 B 逆时针旋转
6、 90后得到A1O1B，则点 A1的坐标是 14 （3 分） （2020宁夏）如图，在ABC 中，C84，分别以点 A、B 为圆心，以大于 第 4 页（共 24 页） 1 2AB 的长为半径画弧，两弧分别交于点 M、N，作直线 MN 交 AC 点 D；以点 B 为圆心， 适当长为半径画弧，分别交 BA、BC 于点 E、F，再分别以点 E、F 为圆心，大于1 2EF 的 长为半径画弧， 两弧交于点P， 作射线BP， 此时射线BP恰好经过点D， 则A 度 15 （3 分） （2020宁夏） 西游记 、 三国演义 、 水浒传和红楼梦是中国古典文学 瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某兴趣小组阅读四大名
7、著的人数，同时满足以下三 个条件： （1）阅读过西游记的人数多于阅读过水浒传的人数； （2）阅读过水浒传的人数多于阅读过三国演义的人数； （3）阅读过三国演义的人数的 2 倍多于阅读过西游记的人数 若阅读过三国演义的人数为 4，则阅读过水浒传的人数的最大值为 16 （3 分） （2020宁夏）2002 年 8 月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代 数学家赵爽的勾股圆方图 ，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一 个大正方形（如图 1） ，且大正方形的面积是 15，小正方形的面积是 3，直角三角形的较 短直角边为 a，较长直角边为 b如果将四个全等的直角三角形按如图 2
8、的形式摆放，那 么图 2 中最大的正方形的面积为 三、解答题（本题共有三、解答题（本题共有 6 个小题，每小题个小题，每小题 6 分，共分，共 36 分）分） 17 （6 分） （2020宁夏）在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点的坐标分别是 A （1， 3） ， B（4，1） ，C（1，1） （1）画出ABC 关于 x 轴成轴对称的A1B1C1； 第 5 页（共 24 页） （2）画出ABC 以点 O 为位似中心，位似比为 1：2 的A2B2C2 18 （6 分） （2020宁夏）解不等式组： 5 3( 1) 21 3 5+1 2 1 19 （6 分） （2020宁夏）先化简，再求值： （
9、+1 +2 + 1 2） 2 24，其中 a= 2 20 （6 分） （2020宁夏）在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献 爱心捐款” 活动， 学校拟用这笔捐款购买 A、 B 两种防疫物品 如果购买 A 种物品 60 件， B 种物品 45 件，共需 1140 元；如果购买 A 种物品 45 件，B 种物品 30 件，共需 840 元 （1）求 A、B 两种防疫物品每件各多少元； （2）现要购买 A、B 两种防疫物品共 600 件，总费用不超过 7000 元，那么 A 种防疫物 品最多购买多少件？ 21 （6 分） （2020宁夏）如图，在ABCD 中，点 E 是 AD 的
10、中点，连接 CE 并延长，交 BA 的延长线于点 F求证：FAAB 22 （6 分） （2020宁夏）某家庭记录了未使用节水龙头 20 天的日用水量数据（单位：m3） 和使用了节水龙头 20 天的日用水量数据，得到频数分布表如下： 未使用节水龙头 20 天的日用水量频数分布表： 日用水量/m3 0 x0.1 0.1x0.2 0.2x0.3 0.3x0.4 0.4x0.5 频数 0 4 2 4 10 使用了节水龙头 20 天的日用水量频数分布表： 第 6 页（共 24 页） 日用水量/m3 0 x0.1 0.1x0.2 0.2x0.3 0.3x0.4 频数 2 6 8 4 （1） 计算未使用节水
11、龙头20天的日平均用水量和使用了节水龙头20天的日平均用水量； （2）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少立方米水？（一年按 365 天计算） 四、解答题（本题共四、解答题（本题共 4 道题，其中道题，其中 23、24 题每题题每题 8 分，分，25、26 题每题题每题 10 分，共分，共 36 分）分） 23 （8 分） （2020宁夏）如图，在ABC 中，B90，点 D 为 AC 上一点，以 CD 为直 径的O 交 AB 于点 E，连接 CE，且 CE 平分ACB （1）求证：AE 是O 的切线； （2）连接 DE，若A30，求 24 （8 分） （2020宁夏） “低碳生活，绿色出行
12、”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲 地匀速步行前往乙地，同时，小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距 离 y（m）与步行时间 x（min）之间的函数关系式如图中折线段 ABBCCD 所示 （1）小丽与小明出发 min 相遇； （2）在步行过程中，若小明先到达甲地 求小丽和小明步行的速度各是多少？ 计算出点 C 的坐标，并解释点 C 的实际意义 25 （10 分） （2020宁夏）在综合与实践活动中，活动小组的同学看到网上购鞋的鞋号（为 正整数）与脚长（毫米）的对应关系如表 1： 鞋号（正 整数） 22 23 24 25 26 27 第 7 页（共 24 页） 脚长（毫 米） 1
13、602 1652 1702 1752 1802 1852 为了方便对问题的研究，活动小组将表 1 中的数据进行了编号，并对脚长的数据 bn定义 为bn如表 2： 序号 n 1 2 3 4 5 6 鞋号 an 22 23 24 25 26 27 脚长 bn 1602 1652 1702 1752 1802 1852 脚长bn 160 165 170 175 180 185 定义：对于任意正整数 m、n，其中 m2若bnm，则 m2bnm+2 如：b4175 表示 1752b4175+2，即 173b4177 （1）通过观察表 2，猜想出 an与序号 n 之间的关系式，bn与序号 n 之间的关系式
14、； （2）用含 an的代数式表示bn；计算鞋号为 42 的鞋适合的脚长范围； （3）若脚长为 271 毫米，那么应购鞋的鞋号为多大？ 26 （10 分） （2020宁夏）如图（1）放置两个全等的含有 30角的直角三角板 ABC 与 DEF （BE30） ，若将三角板 ABC 向右以每秒 1 个单位长度的速度移动（点 C 与点 E 重合时移动终止） ，移动过程中始终保持点 B、F、C、E 在同一条直线上，如图（2） ， AB 与 DF、DE 分别交于点 P、M，AC 与 DE 交于点 Q，其中 ACDF= 3，设三角板 ABC 移动时间为 x 秒 （1）在移动过程中，试用含 x 的代数式表示AM
15、Q 的面积； （2）计算 x 等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？ 第 8 页（共 24 页） 2020 年宁夏中考数学试卷年宁夏中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分在每小题给出的四个选项中只有一个分在每小题给出的四个选项中只有一个 是符合题目要求的）是符合题目要求的） 1 （3 分） （2020宁夏）下列各式中正确的是（ ） Aa3a2a6 B3ab2ab1 C6 2+1 3 =2a+1 Da（a3）a23a 【解答】解：A、a3a2a5，所以 A 错误； B
16、、3ab2abab，所以 B 错误； C、6 2+1 3 = 2 + 1 3，所以 C 错误； D、a（a3）a23a，所以 D 正确； 故选：D 2 （3 分） （2020宁夏）小明为了解本班同学一周的课外阅读量，随机抽取班上 15 名同学 进行调查，并将调查结果绘制成折线统计图（如图） ，则下列说法正确的是（ ） A中位数是 3，众数是 2 B众数是 1，平均数是 2 C中位数是 2，众数是 2 D中位数是 3，平均数是 2.5 【解答】解：15 名同学一周的课外阅读量为 0，1，1，1，1，2，2，2，2，2，2，3，3， 4，4， 处在中间位置的一个数为 2，因此中位数为 2； 平均数
17、为（01+14+26+32+42）152； 众数为 2； 第 9 页（共 24 页） 故选：C 3 （3 分） （2020宁夏）现有 4 条线段，长度依次是 2、4、6、7，从中任选三条，能组成三 角形的概率是（ ） A1 4 B1 2 C3 5 D3 4 【解答】解：画树状图如图： 共有 24 个等可能的结果，能组成三角形的结果有 12 个， 能构成三角形的概率为12 24 = 1 2， 故选：B 4 （3 分） （2020宁夏）如图摆放的一副学生用直角三角板，F30，C45，AB 与 DE 相交于点 G，当 EFBC 时，EGB 的度数是（ ） A135 B120 C115 D105 【解
18、答】解：过点 G 作 HGBC， EFBC， GHBCEF， HGBB，HGEE， 在 RtDEF 和 RtABC 中，F30，C45 E60，B45 HGBB45，HGEE60 第 10 页（共 24 页） EGBHGE+HGB60+45105 故EGB 的度数是 105， 故选：D 5 （3 分） （2020宁夏）如图，菱形 ABCD 的边长为 13，对角线 AC24，点 E、F 分别是 边 CD、BC 的中点，连接 EF 并延长与 AB 的延长线相交于点 G，则 EG（ ） A13 B10 C12 D5 【解答】解：连接 BD，交 AC 于点 O，如图： 菱形 ABCD 的边长为 13，
19、点 E、F 分别是边 CD、BC 的中点， ABCD，ABBCCDDA13，EFBD， AC、BD 是菱形的对角线，AC24， ACBD，AOCO12，OBOD， 又ABCD，EFBD， DEBG，BDEG， DEBG，BDEG， 四边形 BDEG 是平行四边形， BDEG， 在COD 中，OCOD，CD13，CO12， OBOD= 132 122=5， BD2OD10， EGBD10； 故选：B 6 （3 分） （2020宁夏）如图，等腰直角三角形 ABC 中，C90，AC= 2，以点 C 为 圆心画弧与斜边 AB 相切于点 D，交 AC 于点 E，交 BC 于点 F，则图中阴影部分的面积
20、第 11 页（共 24 页） 是（ ） A1 4 B1 4 C2 4 D1+ 4 【解答】解：连接 CD，如图， AB 是圆 C 的切线， CDAB， ABC 是等腰直角三角形， AB= 2AC= 2 2 =2， CD= 1 2AB1， 图中阴影部分的面积SABCS扇形ECF = 1 2 2 2 9012 360 1 4 故选：A 7 （3 分） （2020宁夏）如图，函数 y1x+1 与函数 y2= 2 的图象相交于点 M（1，m） ，N（ 2，n） 若 y1y2，则 x 的取值范围是（ ） 第 12 页（共 24 页） Ax2 或 0 x1 Bx2 或 x1 C2x0 或 0 x1 D2x
21、0 或 x1 【解答】解：由一次函数和反比例函数的图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象 之上时，所对应的 x 的取值范围为2x0 或 x1， 故答案为：2x0 或 x1 故选：D 8 （3 分） （2020宁夏）如图 2 是图 1 长方体的三视图，若用 S 表示面积，S主a2，S左 a2+a，则 S俯（ ） Aa2+a B2a2 Ca2+2a+1 D2a2+a 【解答】解：主= 2= ，左= 2+ = ( + 1)， 俯视图的长为 a+1，宽为 a， 俯= ( + 1) = 2+ ， 第 13 页（共 24 页） 故选：A 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题
22、 3 分，共分，共 24 分）分） 9 （3 分） （2020宁夏）分解因式：3a26a+3 3（a1）2 【解答】解：原式3（a22a+1）3（a1）2 故答案为：3（a1）2 10 （3 分） （2020宁夏）若二次函数 yx2+2x+k 的图象与 x 轴有两个交点，则 k 的取值 范围是 k1 【解答】解：二次函数 yx2+2x+k 的图象与 x 轴有两个交点， 44（1） k0， 解得：k1， 故答案为：k1 11 （3 分） （2020宁夏） 有三张大小、 形状完全相同的卡片 卡片上分别写有数字 4、 5、 6， 从这三张卡片中随机先后不放回地抽取两张， 则两次抽出数字之和为奇数的概
23、率是 2 3 【解答】解：列表得： 4 5 6 4 9 10 5 9 11 6 10 11 共有 6 种情况，取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数为 4 种， 两次抽出数字之和为奇数的概率为4 6 = 2 3 故答案为：2 3 12 （3 分） （2020宁夏）我国古代数学经典著作九章算术中记载了一个“圆材埋壁” 的问题： “今有圆材埋在壁中， 不知大小 以锯锯之， 深一寸， 锯道长一尺 问径几何？” 意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小用锯去锯这木材，锯口深 ED 1 寸 ， 锯 道 长 AB 1 尺 （ 1 尺 10 寸 ） 问 这 根 圆 形 木 材 的 直 径 是 26
24、 第 14 页（共 24 页） 寸 【解答】解：由题意可知 OEAB， OE 为O 半径， = = 1 2 = 1 2尺5 寸， 设半径 OAOEr， ED1， ODr1， 则 RtOAD 中，根据勾股定理可得： （r1）2+52r2， 解得：r13， 木材直径为 26 寸； 故答案为：26 13 （3 分） （2020宁夏）如图，直线 y= 5 2x+4 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，把AOB 绕点 B 逆时针旋转 90后得到A1O1B，则点 A1的坐标是 （4，12 5 ） 【解答】解：在 = 5 2 + 4中，令 x0 得，y4， 令 y0，得0 = 5 2 + 4，解得 x
25、= 8 5， A（ 8 5，0） ，B（0，4） ， 由旋转可得AOBA1O1B，ABA190， ABOA1BO1，BO1A1AOB90，OAO1A1= 8 5，OBO1B4， OBO190， O1Bx 轴， 第 15 页（共 24 页） 点 A1的纵坐标为 OBOA 的长，即为 4 8 5 = 12 5 ； 横坐标为 O1BOB4， 故点 A1的坐标是（4，12 5 ） ， 故答案为： （4，12 5 ） 14 （3 分） （2020宁夏）如图，在ABC 中，C84，分别以点 A、B 为圆心，以大于 1 2AB 的长为半径画弧，两弧分别交于点 M、N，作直线 MN 交 AC 点 D；以点 B
26、 为圆心， 适当长为半径画弧，分别交 BA、BC 于点 E、F，再分别以点 E、F 为圆心，大于1 2EF 的 长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线 BP，此时射线 BP 恰好经过点 D，则A 32 度 【解答】解：由作图可得，MN 是线段 AB 的垂直平分线，BD 是ABC 的平分线， ADBD， = = 1 2 ， AABD， AABDCBD， A+ABC+C180，且C84， A+2ABD180C， 即 3A18084， A32 故答案为：32 15 （3 分） （2020宁夏） 西游记 、 三国演义 、 水浒传和红楼梦是中国古典文学 瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某兴趣小组阅读四大名
27、著的人数，同时满足以下三 个条件： （1）阅读过西游记的人数多于阅读过水浒传的人数； （2）阅读过水浒传的人数多于阅读过三国演义的人数； 第 16 页（共 24 页） （3）阅读过三国演义的人数的 2 倍多于阅读过西游记的人数 若阅读过三国演义的人数为 4，则阅读过水浒传的人数的最大值为 6 【解答】解：设阅读过西游记的人数是 a，阅读过水浒传的人数是 b（a，b 均为 整数） ， 依题意，得： 4 8 ， a，b 均为整数 4b7， b 最大可以取 6 故答案为：6 16 （3 分） （2020宁夏）2002 年 8 月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代 数学家赵爽的勾股圆方图
28、，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一 个大正方形（如图 1） ，且大正方形的面积是 15，小正方形的面积是 3，直角三角形的较 短直角边为 a，较长直角边为 b如果将四个全等的直角三角形按如图 2 的形式摆放，那 么图 2 中最大的正方形的面积为 27 【解答】解：由题意可得在图 1 中：a2+b215， （ba）23， 图 2 中大正方形的面积为： （a+b）2， （ba）23 a22ab+b23， 152ab3 2ab12， （a+b）2a2+2ab+b215+1227， 故答案为：27 三、解答题（本题共有三、解答题（本题共有 6 个小题，每小题个小题，每小题 6 分，共
29、分，共 36 分）分） 第 17 页（共 24 页） 17 （6 分） （2020宁夏）在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点的坐标分别是 A （1， 3） ， B（4，1） ，C（1，1） （1）画出ABC 关于 x 轴成轴对称的A1B1C1； （2）画出ABC 以点 O 为位似中心，位似比为 1：2 的A2B2C2 【解答】解： （1）由题意知：ABC 的三个顶点的坐标分别是 A（1，3） ，B（4，1） ，C （1，1） ， 则ABC 关于 x 轴成轴对称的A1B1C1的坐标为 A1（1，3） ，B1（4，1） ，C1（1， 1） ， 连接 A1C1，A1B1，B1C1 得到A1B1C1
30、 如图所示A1B1C1为所求； （2）由题意知：位似中心是原点， 则分两种情况： 第一种，A2B2C2和ABC 在同一侧 则 A2（2，6） ，B2（8，2） ，C2（2，2） ， 连接各点，得A2B2C2 第二种，A2B2C2在ABC 的对侧 A2（2，6） ，B2（8，2） ，C2（2，2） ， 连接各点，得A2B2C2 综上所述：如图所示A2B2C2为所求； 第 18 页（共 24 页） 18 （6 分） （2020宁夏）解不等式组： 5 3( 1) 21 3 5+1 2 1 【解答】解：由得：x2， 由得：x1， 所以，不等式组的解集是1x2 19 （6 分） （2020宁夏）先化简，
31、再求值： （+1 +2 + 1 2） 2 24，其中 a= 2 【解答】解：原式= (+1)(2)+2 24 24 2 = 22+2 2 = 2 2 当 = 2时，原式= (2) 2 2 = 1 20 （6 分） （2020宁夏）在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献 爱心捐款” 活动， 学校拟用这笔捐款购买 A、 B 两种防疫物品 如果购买 A 种物品 60 件， B 种物品 45 件，共需 1140 元；如果购买 A 种物品 45 件，B 种物品 30 件，共需 840 元 （1）求 A、B 两种防疫物品每件各多少元； （2）现要购买 A、B 两种防疫物品共 600 件，
32、总费用不超过 7000 元，那么 A 种防疫物 品最多购买多少件？ 【解答】解： （1）设 A 种防疫物品每件 x 元，B 种防疫物品每件 y 元， 第 19 页（共 24 页） 依题意，得：60 + 45 = 1140 45 + 30 = 840 ， 解得： = 16 = 4 答：A 种防疫物品每件 16 元，B 种防疫物品每件 4 元 （2）设购买 A 种防疫物品 m 件，则购买 B 种防疫物品（600m）件， 依题意，得：16m+4（600m）7000， 解得：m3831 3， 又m 为正整数， m 的最大值为 383 答：A 种防疫物品最多购买 383 件 21 （6 分） （2020
33、宁夏）如图，在ABCD 中，点 E 是 AD 的中点，连接 CE 并延长，交 BA 的延长线于点 F求证：FAAB 【解答】证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ABDC，ABDC FEADEC，FECD 又EAED， AFEDCE AFDC AFAB 22 （6 分） （2020宁夏）某家庭记录了未使用节水龙头 20 天的日用水量数据（单位：m3） 和使用了节水龙头 20 天的日用水量数据，得到频数分布表如下： 未使用节水龙头 20 天的日用水量频数分布表： 日用水量/m3 0 x0.1 0.1x0.2 0.2x0.3 0.3x0.4 0.4x0.5 频数 0 4 2 4 10 第 20
34、页（共 24 页） 使用了节水龙头 20 天的日用水量频数分布表： 日用水量/m3 0 x0.1 0.1x0.2 0.2x0.3 0.3x0.4 频数 2 6 8 4 （1） 计算未使用节水龙头20天的日平均用水量和使用了节水龙头20天的日平均用水量； （2）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少立方米水？（一年按 365 天计算） 【解答】解： （1）未使用节水龙头 20 天的日平均用水量为： 1 20 （00.05+40.15+2 0.25+40.35+100.45）0.35（m3） ， 使用了节水龙头 20 天的日平均用水量为： 1 20 （20.05+60.15+80.25+40.3
35、5） 0.22（m3） ； （2）365（0.350.22）3650.1347.45（m3） ， 答：估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省 47.45m3水 四、解答题（本题共四、解答题（本题共 4 道题，其中道题，其中 23、24 题每题题每题 8 分，分，25、26 题每题题每题 10 分，共分，共 36 分）分） 23 （8 分） （2020宁夏）如图，在ABC 中，B90，点 D 为 AC 上一点，以 CD 为直 径的O 交 AB 于点 E，连接 CE，且 CE 平分ACB （1）求证：AE 是O 的切线； （2）连接 DE，若A30，求 【解答】 （1）证明：连接 OE，如图 1 所
36、示： CE 平分ACB， ACEBCE， 又OEOC， ACEOEC， BCEOEC， OEBC， 第 21 页（共 24 页） AEOB， 又B90， AEO90， 即 OEAE， OE 为O 的半径， AE 是O 的切线； （2）解：连接 DE，如图 2 所示： CD 是O 的直径， DEC90， DECB， 又DCEECB， DCEECB， = ， A30，B90， ACB60， DCE= 1 2ACB= 1 2 6030， =cosDCEcos30= 3 2 ， = 3 2 24 （8 分） （2020宁夏） “低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲 第 22 页（共
37、 24 页） 地匀速步行前往乙地，同时，小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距 离 y（m）与步行时间 x（min）之间的函数关系式如图中折线段 ABBCCD 所示 （1）小丽与小明出发 30 min 相遇； （2）在步行过程中，若小明先到达甲地 求小丽和小明步行的速度各是多少？ 计算出点 C 的坐标，并解释点 C 的实际意义 【解答】解： （1）由图象可得小丽与小明出发 30min 相遇， 故答案为：30； （2）设小丽步行的速度为 V1m/min，小明步行的速度为 V2m/min，且 V2V1， 则30 1+ 302= 5400 (67.5 30)1= 302， 解得： 1=
38、80 2= 100， 答：小丽步行的速度为 80m/min，小明步行的速度为 100m/min； 设点 C 的坐标为（x，y） ， 则可得方程（100+80） （x30）+80（67.5x）5400， 解得 x54，y（100+80） （5430）4320m， 点 C（54，4320） ， 点 C 表示：两人出发 54min 时，小明到达甲地，此时两人相距 4320m 25 （10 分） （2020宁夏）在综合与实践活动中，活动小组的同学看到网上购鞋的鞋号（为 正整数）与脚长（毫米）的对应关系如表 1： 鞋号（正 整数） 22 23 24 25 26 27 脚长（毫 米） 1602 1652
39、1702 1752 1802 1852 为了方便对问题的研究，活动小组将表 1 中的数据进行了编号，并对脚长的数据 bn定义 第 23 页（共 24 页） 为bn如表 2： 序号 n 1 2 3 4 5 6 鞋号 an 22 23 24 25 26 27 脚长 bn 1602 1652 1702 1752 1802 1852 脚长bn 160 165 170 175 180 185 定义：对于任意正整数 m、n，其中 m2若bnm，则 m2bnm+2 如：b4175 表示 1752b4175+2，即 173b4177 （1）通过观察表 2，猜想出 an与序号 n 之间的关系式，bn与序号 n
40、之间的关系式； （2）用含 an的代数式表示bn；计算鞋号为 42 的鞋适合的脚长范围； （3）若脚长为 271 毫米，那么应购鞋的鞋号为多大？ 【解答】解： （1）an21+n； bn160+5（n1）5n+155； （2）由 an21+n 与bn5n+155 解得：bn5an+50， 把 an42 代入 an21+n 得 n21， 所以b21542+50260， 则：2602b21260+2，即 258b21262 答：鞋号为 42 的鞋适合的脚长范围是 258mm262mm； （3）根据bn5n+155 可知bn能被 5 整除， 2702271270+2， bn270， 将bn270 代
41、入bn5an+50 中得 an44 故应购买 44 号的鞋 26 （10 分） （2020宁夏）如图（1）放置两个全等的含有 30角的直角三角板 ABC 与 DEF （BE30） ，若将三角板 ABC 向右以每秒 1 个单位长度的速度移动（点 C 与点 E 重合时移动终止） ，移动过程中始终保持点 B、F、C、E 在同一条直线上，如图（2） ， AB 与 DF、DE 分别交于点 P、M，AC 与 DE 交于点 Q，其中 ACDF= 3，设三角板 ABC 移动时间为 x 秒 第 24 页（共 24 页） （1）在移动过程中，试用含 x 的代数式表示AMQ 的面积； （2）计算 x 等于多少时，两
42、个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？ 【解答】解： （1）解：因为 RtABC 中B30， A60， E30， EQCAQM60， AMQ 为等边三角形， 过点 M 作 MNAQ，垂足为点 N 在 RtABC 中， = 3， = = 3， EFBC3， 根据题意可知 CFx， CEEFCF3x = = 3 3 (3 )， = = 3 3 3 (3 ) = 3 3 ， = = 3 3 ，而 = = 1 2， = 1 2 = 1 2 3 3 1 2 = 3 12 2， （2）由（1）知 BFCE3x = = 3 3 (3 )， 重叠= = 1 2 1 2 1 2 = 1 2 3 3 3 12 2 1 2 (3 ) 3 3 (3 ) = 3 4 2+ 3 = 3 4 ( 2)2+ 3， 所以当 x2 时，重叠部分面积最大，最大面积是3
