1、 - 1 - 陕西省黄陵中学 2017-2018 学年高二数学 4 月月考试题（普通班） 一、选择题（ 60 分） 1.若数列 an的各项按如下规律排列： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ? ， ， ， ? ， ? ，则 a2 012等于 ( ) A B C D 2.下面使用类比推理正确的是 ( ) A “ 若 a3 b3 ，则 a b” 类比推出 “ 若 a0 b0 ，则 a b” B “log a(xy) logax logay” 类比推出 “sin( ) sin sin ” C “( a b)c ac bc” 类比推出 “( a b) c a c b c” D “( ab)n a
2、nbn” 类比推出 “( a b)n an bn” 3.观察 (x2) 2x， (x4) 4x3， (cosx) sinx，由归纳推理可得：若定义在 R 上的函数f(x)满足 f( x) f(x)，记 g(x)为 f(x)的导函数，则 g( x)等于 ( ) A f(x) B f(x) C g(x) D g(x) 4.下列类比推理中，得到的结论正确的是 ( ) A 把 loga(x y)与 a(b c)类比，则有 loga(x y) logax logby B 向 量 a， b 的数量积运算与实数 a， b 的运算性质 |ab| |a| b|类比，则有 |a b| |a|b| C 把 (a b
3、)n与 (ab)n类比，则有 (a b)n an bn D 把长方体与长方形类比，则有长方体的对角线平方等于长宽高的平方和 5将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论： ( ) a b b a； (a b) c a (b c)； a (b c) a b a c；由 a b a c(a 0)，可得 b c. 则正确的结论有 ( ) - 2 - A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 6用数学归纳法证明 (n 1)(n 2)(n 3)? (n n) 2n 1 3? (2n 1)(n N*)时，从 n k 到 n k 1 时，左边需增乘的代数式是 ( ) A 2k 1 B
4、2(2k 1) C.2k 1k 1 D.2k 3k 1 7已知 a， b R， m 6a36a 1 1， n13b2 b 56，则下列结论正确的是 ( ) A m n B m n C mn D m1，过点 P(x0， y0)作一直线与双曲线 1 相交且仅有一个公共点，则该直线的斜率恰为双曲线的两条渐近线的斜率 .类比此思想，已知 y0 ，过点 P(x0， y0)(x0 0)作一条不垂直于 x 轴的直线 l 与曲线 y 相交且仅有一个公共点，则该直线 l 的斜率为 _ 14.定义 “ 等积数列 ” ：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该
5、数列的公积已知数列 xn是等积数列，且 x2 2，公积为 6，那么这个数列的前 2 005 项的和为 _ 15.观察下列等式 1 ， 1 ， 1 ， ? 据此规律，第 n 个等式可为 _. 16.有以下四个命题： (1)2n 2n 1(n3) ； (2)2 4 6 ? 2n n2 n 2(n1) ； (3)凸 n 边形内角和为 f(n) (n 1)( n3) ； - 4 - (4)凸 n 边形对角线条数 f(n) (n4) 其中满足 “ 假设 n k(k N， k n0)时命题成立，则当 n k 1 时命题也成立 ” 但不满足 “ 当n n0(n0是题中给定的 n 的初始值 )时命题成立 ”
6、的命题序号是 _ 三、解答题 (共 6 小题 ,17 题 10 分，其余 每小题 12.0 分 ,共 70 分 ) 17.已知数列 an中， a1 3， an 1 2(n N*) () 计算 a2， a3， a4的值； () 根据计算结果猜想 an的通项公式，并用数学归纳法加以证明 18.用三段论证明：直角三角形两锐角之和为 90. 19.已知数列 an满足 a2 2， (n 1)an 1 nan 1 0(n N*)，求数列 an的通项 20.用数学归纳法证明： ? (n N*) 21.已知数列数列 an的通项公式 an ( 1)n(2n 1)(n N*)， Sn为其前 n 项和 (1)求 S
7、1， S2， S3， S4的值； (2)猜想 Sn的表达式，并用数学归纳法证明你的结论 22.试比较 nn 1与 (n 1)n(n N*)的大小，分别取 n 1,2,3,4,5 加以试验，根据试验结果猜测一个一般性结论 - 5 - 参考答案 1-4.ACDD 5-8.BBAC 9-12.DBBC 13.【答案 】 2 14.【答案】 5 013 15.【答案】 1 ? ? 16.【答案】 (2)(3) 17.【答案】解 () 由 a1 3， an 1 2(n N*)可得 a2 2 ， a3 2 ， a4 2 4. () 由 () 猜想： an 2 ， n N*. 以下用数学归纳法证明： (1)
8、当 n 1 时，左边 a1 3，右边 2 1 3，符合结论； (2)假设当 n k(k2 ， k N*)时，结论成立，即 ak 2 ， 那么 ak 1 2 2 2 2， 所以当 n k 1 时，猜 想也成立， 根据 (1)和 (2)，可知猜想对于任意 n N*都成立 18.【答案】证明 因为任意三角形三内角之和为 180( 大前提 )，而直角三角形是三角形 (小前提 )， 所以直角三角形三内角之和为 180( 结论 ) 设两锐角分别为 ， ，则 90 90 180 90( 小前提 )， 所以 90 成立 (结论 ) 19.【答案】解 当 n 1 时， a1 1， 由 a2 2，可得 a3 3，
9、猜想 an n. 证明如下： 当 n 1,2 时， a1 1， a2 2，猜想成立； 假设当 n k(k2 ， k N*)时，猜想成立 ，即 ak k， 又 (k 1)ak 1 kak 1 0， - 6 - 即 (k 1)ak 1 k2 1 0， k2 ， k 10 ， ak 1 k 1，即 n k 1 时，猜想成立， n N*时， an n. 20.【答案】证明 当 n 1 时， 0， ， ，即当 n 1 时，不等式成立； 假设当 n k(k N*)时，不等式成立，即 ? ， 则当 n k 1 时， ? ， ( )2 ( )2 0， ( )2 ( )2， ，即当 n k 1 时，原不等式也成
10、立 综合 可知，对于任意 n N*， ? 均成立 21.【答案】解 (1)依题意可得 S1 1， S2 1 3 2， S3 1 3 5 3， S4 1 3 5 7 4； (2)猜想： Sn ( 1)n n. 证明： 当 n 1 时，猜想显然成立； 假设当 n k 时，猜想成立，即 Sk ( 1)k k， 那么当 n k 1 时， Sk 1 ( 1)k k ak 1 ( 1)k k ( 1)k 1(2k 1) ( 1)k 1( k 1) 即 n k 1 时，猜想也成立 故由 和 可知 ，猜想成立 . 22.【答案】解 当 n 1 时， nn 1 1， (n 1)n 2，此时， nn 1 (n 1
11、)n， 当 n 2 时， nn 1 8， (n 1)n 9，此时， nn 1 (n 1)n， 当 n 3 时， nn 1 81， (n 1)n 64，此时， nn 1 (n 1)n， 当 n 4 时， nn 1 1 024， (n 1)n 625，此时， nn 1 (n 1)n， 根据上述结论，我们猜想：当 n3( n N*)时， nn 1 (n 1)n恒成立 - 7 - 证明： 当 n 3 时， nn 1 34 81 (n 1)n 43 64， 即 nn 1 (n 1)n成立； 假设当 n k 时， kk 1 (k 1)k成立，即 1， 则当 n k 1 时， (k 1)( )k 1 (k 1)( )k 1 1， 即 (k 1)k 2 (k 2)k 1成立，即当 n k 1 时，猜想也成立， 当 n3( n N*)时， nn 1 (n 1)n恒成立 -温馨提示： - 【 精品教案、课件、试题、素材、教学计划 】 可 到 百度 搜索“ 163 文库 ”，到网站下载！ 或直接访问： 【 163 文库】： 1， 上传优质课件 试题 教案 资料赚钱； 2， 便宜下载精品资料的好地方！
