1、 - 1 - 高新部高二开学考试数学试题（理） 第 I卷（选择题 60分） 一、选择题 (本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60分。 ) 1.已知m为正数，则“1?”是“11lg 1mm?”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 由命题“存在 ，使 ” 是假命题，得的取值范围是 ，则实数的值是（ ） A. 2 B. C. 1 D. 3. 如图，空间四边形OABC中，点,MN分别在,OABC上， 2M MA?， BN CN?，则MN?( ) A. 1 2 12 3 2OA OB OC?B. 2 1 13 2 2O A O B
2、 O C? ? ?C. 12?D. 2 2 13 3 2OA OB OC4. 设点 P为双曲线221xyab?（0a?， b）上一点， 12,FF分别是左右焦点， I是PFF?的内心，若1IPF?， 2I， I F?的面积1 2 3,S S S满足? ?1 2 32 S S S?，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. 3C. 4 D. 25椭圆 )0(12222 ? babyax 的左、右顶点分别是 A、 B，左、右焦点分别是 F1， F2若 1AF ，21FF ， BF1 成等比数列，则此椭圆的离心率为 ( ) - 2 - A 55 B 22C 33 D 3 6若两点 ， ，当 |AB
3、|取最小值时， 的值等于 ( ) A 19 B 87 C 87 D 1914 7已知命题 p:? ， ,命题 q: ,则 ( ) A命题 p q是假命题 B命题 p q是真命题 C命题 p ( q? )是真命题 D命题 p ( q? )是假命题 8设 F1， F2为曲线 C1： 126 22 ?yx 的焦点， P 是曲线 C2： 13 22 ?yx 与 C1的一个交点，则cos F1PF2的值是 ( ) A 21 B 22C 31 D 33 9.已知 1F ， 2F 分别为双曲线 221xy?的左，右焦点，点 P 在双曲线上 .若 1260FPF ?，则 12PFF? 的面积为（ ） A 32
4、B 3 C.332D 23 10.过抛物线 2 2y px? ( 0)p? 的焦点 F 作倾斜角为 6? 的直线，交抛物线于 A 、 B 两点，则AFBF? （ ） A 7 4 3? B 7 4 3? C.7 4 3? D 7 2 3? 11.由直线 1yx?上的一点向圆 22( 3) 1xy? ? ?引切线，则切线长的最小值为（ ） A 1 B 3 C. 7 D 22 12.2016年 1月 14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施，如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点 P 变轨进入月球球 F 为一个焦点
5、的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在 P点第二次变轨进入仍以 F 为一个焦点的椭圆轨 道绕月飞行，若用 12c 和 22c 分别表示椭圆轨)12,5,( ? xxxA )2,2,1( xxB ? x000 lg2, xxRx ? 1, ? xeRx- 3 - 道和的焦距，用 12a 和 22a 分别表示椭圆轨道和的长轴长，给出下列式子：1 1 2 2a c a c? ? ? 1 1 2 2a c a c? ? ? 1 2 1 2ca ac? 1212ccaa? 其中正确的式子的序号是（ ） A B C. D 二、填空题： (本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分，将答案填在答题纸的横线上） 1
6、3.对四个样本点 (1,2.98) ， (2,5.01) ， (3, )m ， (4,9) 分析后，得到回归直线方程为 21yx?，则样本点中 m 的值为 14.若 21( ) ln ( 2 )2f x x b x? ? ? ?在 ( 1, )? ? 上是减函数，则 b 的取值范围是 15.在区间 (0,1) 内任取两个实数，则这两个实数的和大于 13 的概率为 16.对于三次函数 32()f x ax bx cx d? ? ? ?( 0)a? ，给出定义：设 ()fx是 ()y f x? 的导数，()fx是 ()fx的导数，若方程 ( ) 0fx? 有实数解 0x ，则称点 00( , (
7、)x f x 为函数 ()y f x? 的“拐点” .某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心 .设函数 321 1 5( ) 33 2 1 2g x x x x? ? ? ?，则122 0 1 8 2 0 1 8gg? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 20172018g ? ? 二、解答题（本大题共 6小题，共 70 分。请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17、（本小题满分 10 分） (1)设 443322104)13( xaxaxaxaax ? . 求 43210 aaaaa ? ；
8、求 420 aaa ? ； - 4 - 求 4321 aaaa ? ； (2)求 2727227127 CCCS ? ?除以 9的余数 18、（本小题满分 12 分） 如图是大丰区新丰中学 2016年校园“十佳歌手”大奖赛上，七位评委为甲、乙两位选手打出的分数的茎叶图 . （ 1）写出评委为乙选手打出分数数据的众数，中位数； （ 2）求去掉一个最高分和一个最低分后，两位选手所剩数据的平均数和方差，根据结果比较，哪位选手的数据波动小？ 19.（本小题满分 12分） 在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 为矩形，平面 ?ABCD 平面 ABEF ，EF /AB , ? 90BAF , 12,2
9、? EFAFABAD ,点 P 在棱 DF 上 . （ 1）求证： BFAD? ； （ 2）若 P 是 DF 的中点，求异 面直线 BE 与 CP 所成角的余弦值； （ 3）是否存在正实数 ? ，使得 PFDP ? ，且满足二面角 CAPD ? 的余弦值为 36 ，若存在，求出 ? 的值，若不存在，请说明理由 . 20（ 12分）已知函数 f（ x） =x2+（ lga+2） x+lgb满足 f（ 1） = 2且对于任意 x R，恒有f（ x） 2x 成立 （ 1）求实数 a， b的值； （ 2）解不等式 f（ x） x+5 甲 乙 7 8 9 9 4 4 4 6 7 3 9 7 6 6 4
10、3 2 - 5 - 21.（ 12 分）已知函数 ? ? ? ? ? ? ? .,032033222 Raxaxexaaxxxfx ? ? ? （ 1）若函数 ? ?xfy? 在 1?x 处取得极值，求 a 的值； （ 2）若函数 ? ?xfy? 的图象上存在两点关于原点对称，求 a 的取值范围 . 22.（ 12 分）已知函数 ? ? xxxf ln? . （ 1）求函数 ? ?xfy? 的单调区间和最小值； （ 2）若函数 ? ? ? ?x axfxF ? 在 ? ?e,1 上的最小值为 23 ，求 a 的值； （ 3）若 Zk? ,且 ? ? 0)1( ? xkxxf 对任意 1?x 恒
11、成立，求 k 的最大值 . - 6 - 参考答案 1-4.CCBA 5-8.BBCA 9-12.BCCB 13. 7.01 14. ? ?,1? 15.1718 16 . 2017 17、 (1)令 x 1，得 a0 a1 a2 a3 a4 (3 1)4 16. 令 x 1得， a0 a1 a2 a3 a4 ( 3 1)4 256， 而由 (1)知 a0 a1 a2 a3 a4 (3 1)4 16，两式相加，得 a0 a2 a4 136. 令 x 0得 a0 (0 1)4 1，得 a1 a2 a3 a4 a0 a1 a2 a3 a4 a0 16 1 15. （ 2）解 S C127 C227?
12、 C2727 227 1 89 1 (9 1)9 1 C09 99 C19 98? C89 9 C99 1 9(C09 98 C19 97? C89) 2 9(C09 98 C19 97? C89 1) 7， 显然上式括号内的数是正整数 故 S被 9除的余数为 7. 18、（ 1）众数为 84，中位数 84； （ 2） 228 8 , 8 5 , 5 . 2 , 1 . 6x x S S? ? ? ?甲 乙 甲 乙，所以 22SS?甲 乙 ，所以乙的数据波动小 . 19.（ 12 分） (1)证： ?平面 ?ABEF 平面 ABCD ， 平面 ?ABEF 平面 ABABCD ? ， ABAD?
13、 ? A B E F平面?AD 又 ? A B EF平面?BF ? BFAD? （ 2） ? ? 90BAD ? ABAF? ，平面，且平面平面平面 ABA B C DA B E FA B C DA B E F ? ? ? A BCD平面?AF ? ADAF? 又四边形 ABCD 为矩形， ADAB? 以 A 为坐标原点， AFADAB , 分别为 zyx, 轴建立如图所示空间直角坐标系xyzA? .则 ? ?0,0,1B ， ? ?,0,2,1,1,0,21 CE ? ? ?1,0,0F ， ? ?0,2,0D ，则 - 7 - ? 21,1,0P ， ? ? ? 21,1,1,1,0,21
14、 CPBE ， 155449452121,c o s ? CPBE CPBECPBE ? 异面直线 CP与BE 所成角的余弦值为 1554 （ 3） 假设存在正实数 ? 满足题意，易知平面 DAP 的一个法向量为 ? ?1,0,0?AB ，设? ?000 , zyxP ， 由 PFDP ? 得： ? ? ? ?000000 1,2, zyxzyx ? ?得：? ?00000012zzyyxx? 即：?1120000zyx? ? ? ? 1,1 2,0P? ?0,2,1?AC ， ? ? ? 1,1 2,0AP 设平面 APC 的一个法向量为 ? ?zyxn ,? 则 ?00APnACn 即?0
15、11202?zyyx 令 1?y ，则 2?x ，?2?z 即 ? ? ?2,1,2n， 则 362122,c o s222?nABnABnAB 解之得： 2(2 ? ? 舍）或 - 8 - 综上所述，存在 2? 满足题意 . 20.【解答】 解（ 1）由 f（ 1） = 2知， lgb lga+1=0 ，所以 又 f（ x） 2x恒成 立， f（ x） 2x 0恒成立， 则有 x2+x?lga+lgb 0恒成立， 故 =（ lga） 2 4lgb 0， 将 式代入上式得：（ lgb） 2 2lgb+1 0，即（ lgb 1） 2 0， 故 lgb=1即 b=10，代入 得， a=100； （
16、 2）由（ 1）知 f（ x） =x2+4x+1， f（ x） x+5， 即 x2+4x+1 x+5， 所以 x2+3x 4 0， 解得 4 x 1， 因此不等式的解集为 x| 4 x 1 21.（ 12 分） 解：（ 1）当 0?x 时， ? ? ? ? ? ? ? ?axexfaxexf xx ? 2,32 2. 因为 ? ?xfy? 在 1?x 处取得极值，所以 ? 01?f ，即 ? ? 012 ? ae ，解得 ea ?1 ，经验证满足题意，所以 ea ?1 . (2)由题意知 ? ?xfy? 的图像上存在两点关于原点对称，即 ? ? ? ?032 2 ? xaxey x 图象上存在
17、一点 ? ? ?0, 000 ?xyx ，使得 ? ?00, yx ? 在 ? ?033 22 ? xaaxxy 的图象上，即有 ? ?3233200202000 axeyaaxxyx消去 0y ，得 ? ? 3332 2020200 ? aaxxaxe x ，化简得002xea x? . 则由题意关于 0x 的方程002xea x? 在 ? ?,0 上有解 . 设 ? ? ? ? ? ? ? ?2 12,02 xxexhxxexhxx ? 则， - 9 - 令 ? ? 0?xh ，得 1?x ， 当 1?x 时， ? ? 0?xh ， ?xh 在 ? ?,1 为增函数； 当 10 ?x 时， ? ? 0?
