1、试卷代号：1076 座位号C国家开放大学(中央广播电视大学)2014年秋季学期“开放本科”期末考试常微分方程 试题(半开卷)2015年1月题 号二三四五总 分分 数评卷人得 分一 、单项选择题(每小题3分，本题共15分)1.微分方程 ylnydx+(x-lny)dy=0 是( ).A. 线性方程B. 可分离变量方程C. 全微分方程D. 贝努利方程2.若f(x,y) 在全平面上连续且对 y 满足李普希兹条件，那么方程 的任一解的存在区间( ).A. 必为( -o,0) B. 必为(0,+m)C. 必为( -o,+o) D. 因解而定3.一阶线性非齐次方程组 ,Y=(y, ,y.)T 的任一解的图
2、像是n+1维空间(x,yi,y,)中的( ).A. 一个曲面 B. 一条曲线C. 一族曲线 D. 一族曲面4.若 p;(x),qp(x) 是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关解，则它们( )共同零点。A. 在 x=- 1 处可以有B. 在x=0 处可以有C. 不能有D. 在 x=1 处可以有394得 分二、填空题(每小题3分，本题共15分)=ysin(x+y)得 分三、计算题(每小题8分，本题共40分)中，当 a=05.一阶方程).时，其零解是(A. 渐进稳定的B. 稳定的C. 不稳定的D. 不存在评卷人的常数解是6.方程的任一非零解。与 x 轴相交.7.方程是它们线性相关的条件.8.向量函数
3、组在区间 I 上的朗斯基行列式W(x)=0维线性空间.9.n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个39510. 平面系统的奇点类型是 评卷人求下列方程的通解或通积分：11.12.13.(x+xy+x)dx+xydy=014.y=xy+y+(y)15.y+(y)+1=0得 分评卷人四 、计算题(本题共15分)得 分评卷人五、证明题(本题共15分)16.求下列方程组的通解.17. 设 f(y) 在(-,+)上连续可微，求证：对任意的xo (-w,+w),|yo|1, 方程满足初值条件y(xo)=yo 的解必在(-o,+w) 上存在.396试卷代号：1076国家开放大学(中央广播电视大学)2014年秋
4、季学期“开放本科”期末考试常微分方程 试题答案及评分标准(半开卷)397(供参考)一、单项选择题(每小题3分，本题共15分)1.A 2.D 3.B 4.C 5.B二、填空题(每小题3分，本题共15分)6.y= 士17.不能8.必要9.n10. 鞍点三、计算题(每小题8分，本题共40分) 11.解 分离变量积分，得12.解 先解齐次方程，通解为即 令非齐次方程的特解为 ：代入原方程，求出C(x)=x+C2015年1月(4分)(8分)(4分)398原方程的通解为 ；用通解公式求解可参照给分13. 解 因为,所以原方程是全微分方程. 取(xo,yo)=(0,0), 原方程的通积分为即 14.解 这是
5、一个克莱洛方程，因此通解为y=Cx+C+C15.解 令y=x,y=z 代人方程，得分离变量，积分z=tan(-x+C)于是积分，得通解为 y=ln|cos(-x+C)|+C四、计算题(本题共15分)16.解 特征方程特征根=2,2=1=2对应的特征向量为(8分)(3分)( 6 分 )(8分)(8分)(3分)(5分)(8分)(5分)(7分)399=1对应的特征向量为原方程的通解为：五、证明题(本题共15分)(12分)(15分)17.证明 该方程在全平面上满足解的存在惟一性定理及解的延展定理.又 y=1 是该方程的两个常数解. (5分)现 取xo (-w,+m),|yo|1, 记过点(xo,yo) 的解为y(x). 一方面该解可向平面的无穷远无限延展，另一方面又不能上下穿越 y=1, 否则将破坏解的惟一性.因此，该解只能在区 域G=(x,y)|y|1,x (-m,+m) 内 沿x 轴两侧无限延展，显然其定义区间必是(-o,+o). (15分)
