1、第四章第四章 不定积分不定积分第一节第一节 不定积分的概念不定积分的概念第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的概念不定积分的概念 第二节第二节 不定积分的计算不定积分的计算 第四章第四章 不定积分不定积分第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算第二节第二节 不定积分的计算不定积分的计算 一一.原函数与不定积分原函数与不定积分 二二.不定积分的基本公式不定积分的基本公式 本节主要内容本节主要内容:三三.不定积分的性质不定积分的性质 第四章第四章 不定积分不定积分第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算一一.原函数与不定积分原函数与不定积分 引例引例:已知质点的运动规律已知质
2、点的运动规律 s=s(t),则速度则速度 v(t)=s(t);反之若已知质点各时刻的运动速度反之若已知质点各时刻的运动速度v=v(t)如何求其如何求其运动规律运动规律s=s(t)?从数学角度看从数学角度看:找一函数找一函数 s=s(t),使使s(t)=v(t).定义定义4.1.1 设函数设函数 y=f(x)在某区间在某区间 I 上有定义上有定义,如果如果存在函数存在函数 F(x),对于该区间上任一点对于该区间上任一点 x,使使F (x)=f(x)或或 dF(x)=f(x)dx则称函数则称函数F(x)为函数为函数f(x)在该区间在该区间I上的一个上的一个原函数原函数.第四章第四章 不定积分不定积
3、分第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算例如例如:(sin)cos,(,),xxx 又因为又因为:54(3)5xx 54()5xcx 所以显然所以显然 x5，x5+1，x5-3，x5+c 都是都是 5x4 的原函数的原函数.sinx 是是 cosx 在在 I=(-,+)上的一个原函数上的一个原函数.54()5xx 54(1)5xx 第四章第四章 不定积分不定积分第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算对原函数的研究须讨论解决以下两个问题对原函数的研究须讨论解决以下两个问题(1)是否任何一个函数都存在原函数？是否任何一个函数都存在原函数？关于原函数的说明关于原函数的说明:(2)原函数是否唯
4、一？若不唯一原函数是否唯一？若不唯一,它们之间有什它们之间有什么联系？么联系？:若函数若函数(x)在区间在区间 I上上连续连续,则则(x)在区间在区间 I 上的原函数一定存在上的原函数一定存在.设设F(x)是函数是函数(x)在区间在区间 I上的一个原函数上的一个原函数,则则对任意常数对任意常数C,F(x)+C也是函数也是函数(x)的原函数的原函数.第四章第四章 不定积分不定积分第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算证明证明 因为因为()()()F xCFxf x所以所以 F(x)+C 也是函数也是函数(x)的原函数的原函数.另一方面另一方面,设设 G(x)是是 f(x)在在 I 内的任意一
5、个原内的任意一个原函数函数,即即 G (x)=f(x)则则 ()()()()()()0G xF xG xFxf xf x 由拉格朗日定理的推论由拉格朗日定理的推论,在在 I 内内,G(x)-F(x)=C,即即 G(x)=F(x)+C(为任意常数为任意常数)因此因此,任意两个原函数之间相差一个常数任意两个原函数之间相差一个常数.第四章第四章 不定积分不定积分第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算不定积分的概念不定积分的概念 定义定义4.1.2 设设F(x)是函数是函数 f(x)的一个原函数的一个原函数,则则f(x)的的全体原函数称为全体原函数称为 f(x)的的不定积分不定积分,记作记作 ,即
6、即()df xx 任意常数任意常数积分号积分号CxFdxxf )()(被积表达式被积表达式积分变量积分变量()()F xf x 结论结论 求不定积分求不定积分,只需求出被积函数的原函数再加只需求出被积函数的原函数再加上积分常数即可上积分常数即可.第四章第四章 不定积分不定积分第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算例例1 由导数的基本公式，求下列不定积分由导数的基本公式，求下列不定积分:21(1)d;(2)sin d;(3)dxxx xxx 所以所以2313x dxxC(2)因为因为(cos)sin,xx 所以所以sin dcosx xxC (3)因为因为 x 0 时时 1ln,xx 又又
7、x 0 时时,曲线向上移动曲线向上移动;当当 c 0 时时,曲线向下移动曲线向下移动.oxyxy=F(x)|c|是是f(x)的原函数一般表达式的原函数一般表达式,所以它对应的所以它对应的 而而第四章第四章 不定积分不定积分第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算(2)()()()F xCFxf x 即横坐标相同点处即横坐标相同点处,每条积每条积分曲线上相应点的切线斜率相分曲线上相应点的切线斜率相等等,都为都为(x).从而相应点的切从而相应点的切线相互平行线相互平行.oxyxy=F(x)当需要从积分曲线族中求出过点当需要从积分曲线族中求出过点(x0,y0)的一条的一条积积 分曲线时分曲线时,则
8、只须把则只须把(x0,y0)代入代入 y=F(x)+C 中解中解出出 C 即可即可.第四章第四章 不定积分不定积分第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算例例4 求过点求过点(1,3),且其切线斜率为且其切线斜率为 2x 的曲线方程的曲线方程.即即f(x)是是2x 的一个原函数的一个原函数.22 dx xxC 因为因为因为所求曲线通过点因为所求曲线通过点(1,3)，故故 3 1 C，C 2。于是所求曲线方程为于是所求曲线方程为y x2 2。所以所以 y=f(x)x2 C.2 1 O 1 2 x 2 1 1 2 yy x2+2 y x2(1,3)设所求的曲线方程为设所求的曲线方程为 y f(x
9、)，则，则 y f (x)2x，第四章第四章 不定积分不定积分第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算例例5 设某物体运动速度为设某物体运动速度为 v=3t2,且当且当t=0时时,s=2,求求物体的运动规律物体的运动规律 s=s(t).23()3,s tt dxtC 由题意由题意s 3t2,即即再将条件再将条件t=0时，时，s=2代入得代入得 C=2,所求运动规律为所求运动规律为s=t3+2.第四章第四章 不定积分不定积分第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算5(3).x dx(1)2 d;x x(2)cos d;x x 2d(4);1xx (5)e d;xx 第四章第四章 不定积分不定
10、积分第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算二二.不定积分的基本公式不定积分的基本公式(5)d;lnxxaaxCa(1)d;k xkxC 11(2)d1(1);xxxC (6)cos dsin;x xxC(7)sin dcos;x xxC 1(3)dln;xxCx(4)d;xxexeC 2(8)secdtan;x xxC 第四章第四章 不定积分不定积分第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算121(13)arcsinarccos.1dxxCxCx (11)csccot dcsc;xx xxC 21(12)darctanarccot;1xxCxCx 2(9)cscdcot;x xxC (10
11、)sectan dsec;xx xxC 第四章第四章 不定积分不定积分第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算三三.不定积分的性质不定积分的性质性质性质4.1.1()d()d,(0)kf xxkf xxk性质性质4.1.2()()d()d()df xg xxf xxg xx此性质可推广到有限多个函数之和的情况此性质可推广到有限多个函数之和的情况 dxxfxfn)()(1 dxxfdxxfn)()(1第四章第四章 不定积分不定积分第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算1.()()()();f x g x dxf x dxg x dx()();()()f x dxf xdxg xg x dx
12、 2.(1)+(2)dxxfkdxxfkiniiniii)()(11 即线性组合的不定积分等于不定积分的线性即线性组合的不定积分等于不定积分的线性 组合组合.这说明不定积分具有线性运算性质这说明不定积分具有线性运算性质.分项积分法分项积分法第四章第四章 不定积分不定积分第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算直接积分法直接积分法 利用不定积分的性质和基本积分公式利用不定积分的性质和基本积分公式,可求出可求出一些简单函数的不定积分一些简单函数的不定积分.通常把这种积分方法称通常把这种积分方法称为直接积分法为直接积分法.第四章第四章 不定积分不定积分第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算例例
13、6 求求2.xxdx 例例7 求求32(4)dxxxxxxx 常将根式化为幂函数后积分常将根式化为幂函数后积分 例例8 求求23231(1)(1)d(2)dxxxxxxx例例9 求求221d(1)xxx 对于被积函数是分式有理函数时对于被积函数是分式有理函数时,常常将常常将它拆成分母较简单、易于积分的分式之和它拆成分母较简单、易于积分的分式之和第四章第四章 不定积分不定积分第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算例例10 求求.)1(122dxxxxx .)1(21222dxxxx 例例12 求求dxxx 241例例13 22221(1)(tan2cos)d(2)d2sincosxxxxxx
14、 对于被积函数含有三角函数的情况，常常用对于被积函数含有三角函数的情况，常常用三角恒等式把被积函数化为基本积分公式中的情形三角恒等式把被积函数化为基本积分公式中的情形例例14 dxxx 2cos2sin122例例15 2tand.x x 第四章第四章 不定积分不定积分第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算直接积分法直接积分法 利用不定积分的性质和基本积分公利用不定积分的性质和基本积分公式式,可求出一些简单函数的不定积分可求出一些简单函数的不定积分.通常把这种积通常把这种积分方法称为直接积分法分方法称为直接积分法.例例6 求求2.xxdx dxxx 2dxx 25Cx 125125.7227
15、Cx 幂函数积分公式幂函数积分公式Cxdxx 11 （恒等变形法）（恒等变形法）第四章第四章 不定积分不定积分第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算例例7 求求32(4)dxxxxxxx 271342dd4dxxxxxx511334243241153xxxC51133424381153xxxC 常将根式化为幂函数后积分常将根式化为幂函数后积分 271342(4)dxxxx 原式原式第四章第四章 不定积分不定积分第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算例例8 求求23231(1)(1)d(2)dxxxxxxx151336dddxxxxxx 287336336287xxxC213(3)dxx
16、xx(2)原式原式213ln32xxxCx 151336()dxxxx (1)原式原式第四章第四章 不定积分不定积分第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算2211dd1xxxx 1arctan xCx 例例9 求求221d(1)xxx 对于被积函数是分式有理函数时对于被积函数是分式有理函数时,常常将它拆常常将它拆成分母较简单、易于积分的分式之和成分母较简单、易于积分的分式之和.2222(1)d(1)xxxxx 原式原式第四章第四章 不定积分不定积分第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算例例10 求求.)1(122dxxxxx dxxx 1112dxxdxx 1112arctanln|.
17、xxCdxxxxx )1()1(22原式原式 第四章第四章 不定积分不定积分第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算例例11 求求.)1(21222dxxxx dxxdxx 22111.arctan1Cxx 原式原式dxxxxx )1(12222第四章第四章 不定积分不定积分第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算dxxx 11122Cxxx 331arctan原式原式 dxxx 2411)1(例例12 求求dxxx 241第四章第四章 不定积分不定积分第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算例例13 22221(1)tan2cos)d;(2)d2sincosxxxxxx（2(secco
18、s)dxxx tansinxxC2211cossindxdxxxtancotxxC 对于被积函数含有三角函数的情况对于被积函数含有三角函数的情况,常常用三常常用三角恒等式把被积函数化为基本积分公式中的情形角恒等式把被积函数化为基本积分公式中的情形.(2)原式原式dxxxxx 2222cossincossin21cos(sec12)d2xxx (1)原式原式第四章第四章 不定积分不定积分第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算dxx 2sin14Cx cot42tan xdx 例例15 2secddx xxtan.xxC原式原式2(sec1)dxx 原式原式 dxxx 2cos2sin4422
19、例例14 dxxx 2cos2sin122第四章第四章 不定积分不定积分第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算2232(1)()11dxxx (2)(22sin2)dxxxxx(3)3 e dxxx 2(4)(5)x xdx 221cos(5)sin2xdxx 1(6)1cos2dxx 第四章第四章 不定积分不定积分第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算(1)3arctan2arcsinCxx5224(2)2cos.ln25xxxC3 e(3).1ln3xxC 732222(4)5.73xxC (5)2(sin)xxC.1(6)tan.2xC 第四章第四章 不定积分不定积分第一节第一节 不定积分的计算不定积分的计算 内容小结内容小结:2.2.不定积分的基本公式不定积分的基本公式 1.1.原函数与不定积分原函数与不定积分 F (x)=f(x)或或 dF(x)=f(x)dxCxFdxxf )()(3.3.不定积分的性质不定积分的性质 ()d()d,(0)kf xxkf xxk()()d()d()df xg xxf xxg xx4.直接积分法直接积分法
