1、初三数学上册圆的对称性初三数学上册圆的对称性课件北京课改版课件北京课改版1 1若将一等腰三角形沿着若将一等腰三角形沿着底边上的高对折，底边上的高对折，将会发生将会发生什么结果什么结果?如果以这个等腰三角形的顶如果以这个等腰三角形的顶点为圆心，腰长为半径作圆，得点为圆心，腰长为半径作圆，得到的圆是否是轴对称图形呢？到的圆是否是轴对称图形呢？二、新课二、新课1 1结论：结论：圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，经过圆心每一条直线都是它的对称轴经过圆心每一条直线都是它的对称轴强调：强调：（1 1）对称轴是直线，不能说每一条直）对称轴是直线，不能说每一条直径都是它的对称
2、轴；径都是它的对称轴；（2 2）圆的对称轴有无数条）圆的对称轴有无数条判断：任意一条直径都是圆的对称轴（判断：任意一条直径都是圆的对称轴（）1 1任意作一个圆和这个圆的任意一条任意作一个圆和这个圆的任意一条直径直径CD；2 2作一条和直径作一条和直径CDCD的垂线的弦，的垂线的弦，ABAB与与CDCD相交于点相交于点E E问题问题：把圆沿着直径：把圆沿着直径CDCD所在的直线对折，你所在的直线对折，你发现哪些点、线段、圆弧重合？发现哪些点、线段、圆弧重合？ABCDOE三、新知识在你们动手实验中产生三、新知识在你们动手实验中产生得出结论：得出结论：EA=EB；AC=BC，AD=BD理由如下：理由
3、如下：OEA=OEB=Rt，根据圆的轴轴对称性，可得射线根据圆的轴轴对称性，可得射线EA与与EB重合，重合，点点A与点与点B重合，弧重合，弧AC和弧和弧BC重合，弧重合，弧AD和弧和弧BD重重合合 EA=EB，AC=BC，AD=BD ABCDOE归纳得出：归纳得出：垂径定理：垂直于弦的直垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦径平分这条弦，并且平分弦所对的弧所对的弧垂径定理的几何语言垂径定理的几何语言CD为直径，为直径，CDAB（OCAB）EA=EB，AC=BC，AD=BD ABCDOECDAB,垂径定理的逆定理垂径定理的逆定理:nAB是是 O的一条弦的一条弦,且且AM=BM.n你能发现
4、图中有哪些等量关系你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说与同伴说说你的想法和理由说你的想法和理由.n过点过点M作直径作直径CD.On右图是轴对称图形吗右图是轴对称图形吗?如果是如果是,其对称轴是什么其对称轴是什么?n我们发现图中有我们发现图中有:CDn由由 CD是直径是直径 AM=BM可推可推得得AC=BC,AD=BD.MAB 平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）的直径垂直于弦的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条分弦所对的两条弧弧.n你可以写出相应的结论吗你可以写出相应的结论吗?垂径定理的逆定理垂径定理的逆定理n如图如图,在下列五个条件中在下列五个条件中:只要具备其中两个条件只要具备其中
5、两个条件,就可推出其余三个结论就可推出其余三个结论.驶向胜利的彼岸OABCDM CD是直是直径径,AM=BM,CDAB,AC=BC,AD=BD.观察下列哪些图形满足观察下列哪些图形满足“垂直于弦的直径垂直于弦的直径”的条件？为什的条件？为什么？么？BADCOABDOABDOABCDO图图5ABCDO图图6OABCD图图7图图8图图9图图10例例1 1 如图，两个圆都如图，两个圆都以点以点O O为圆心，小圆的为圆心，小圆的弦弦CDCD与大圆的弦与大圆的弦ABAB在同在同一条直线上。你认为一条直线上。你认为ACAC与与BDBD的大小有什么关系？的大小有什么关系？为什么？为什么？G例例2 一条排水管
6、的截面如图所一条排水管的截面如图所示排水管的半径示排水管的半径OB=10，水面宽，水面宽AB=16，求截面圆心，求截面圆心O到水面的距离到水面的距离OC OABC思路：思路：先作出圆心先作出圆心O O到水面的距离到水面的距离OCOC，即画，即画 OCAB OCAB，AC=BC=8AC=BC=8，在，在RtRtOCBOCB中，中，圆心圆心O O到水面的距离到水面的距离OCOC为为6 6例例3 已知：如图，线段已知：如图，线段AB与与 O交于交于C、D两点，且两点，且OA=OB 求证：求证：AC=BD 思路思路：作作OMABOMAB，垂足为，垂足为M M CM=DM CM=DM OA=OB OA=
7、OB AM=BM AM=BM AC=BDAC=BDOABCMD圆心到圆的一条弦的距离叫做圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心弦心距距小结：小结：1画弦心距是圆画弦心距是圆中常见的辅助线；中常见的辅助线；OABCr rd d2 半径（半径（r)、半弦、弦心距、半弦、弦心距(d)组组成的直角三角形是研究与圆有关问成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：题的主要思路，它们之间的关系：1 1已知已知00的半径为的半径为1313，一条弦的，一条弦的ABAB的弦的弦心距为心距为5 5，则这条弦的弦长等于，则这条弦的弦长等于 24242 2如图，如图，ABAB是是00的中直径，的中直径，CDC
8、D为弦，为弦，CDABCDAB于于E E，则下列结论中不一定成立的是（则下列结论中不一定成立的是（）A ACOE=DOE BCOE=DOE BCE=DE CE=DE C COE=BE DOE=BE DBD=BCBD=BC C CABCODE五、目标训练五、目标训练3 3过过OO内一点内一点M M的最长弦长为的最长弦长为10cm10cm，最短弦长为，最短弦长为8cm8cm，那么，那么OMOM长为（长为（）A A3 B3 B6cm C6cm C cm D cm D9cm 9cm 4 4如图，如图，OO的直径为的直径为1010，弦，弦ABAB长为长为8 8，M M是弦是弦ABAB上的动点，则上的动点
9、，则OMOM的长的取值范围是（的长的取值范围是（）A A3OM5 B3OM5 B4OM5 4OM5 C C3OM5 D3OM5 D4OM54OM5ABOMAA五、目标训练五、目标训练5 5 已知已知OO的半径为的半径为1010，弦，弦ABCDABCD，AB=12AB=12，CD=16CD=16，则，则ABAB和和CDCD的距离为的距离为 6 6如图，已知如图，已知ABAB、ACAC为弦，为弦，OMABOMAB于点于点M M，ONAC ONAC于点于点N N，BC=4BC=4，求，求MNMN的长的长2 2或或1414A AC CO OM MN NB B思路：由垂径定理可得思路：由垂径定理可得M
10、M、N N分别分别是是ABAB、ACAC的中点，所以的中点，所以MN=MN=BC=2BC=2五、目标训练五、目标训练本节课主要内容本节课主要内容：（1 1）圆的轴对称性；）圆的轴对称性；（2 2）垂径定理）垂径定理2 2垂径定理的应用：垂径定理的应用：（1 1）作图；（）作图；（2 2）计）计算和证明算和证明3 3解题的主要方法：解题的主要方法：六、总结回顾六、总结回顾（2 2）半径（）半径（r)r)、半弦、弦心距、半弦、弦心距(d)(d)组成的直组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：它们之间的关系：（1 1）画弦心距是圆中常见的辅
11、助线；画弦心距是圆中常见的辅助线；作法：作法：连结连结AB.作作AB的垂直平分线的垂直平分线 CD，交弧交弧AB于点于点E.点点E E就是所求弧就是所求弧ABAB的中点的中点CDABE例例1 已知已知AB，如图，用直尺和圆规求作这，如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点条弧的中点(先介绍弧中点概念）先介绍弧中点概念）变式一：变式一：求弧求弧ABAB的四等分点的四等分点CDABEFGmn变式一：变式一：求弧求弧ABAB的四等分点的四等分点CDABFG错在哪里？错在哪里？1作作AB的垂直平分线的垂直平分线CD2作作AT、BT的垂直平分的垂直平分线线EF、GH强调：等分弧时一定强调：等分弧时一定要作要作
12、弧所对的弦弧所对的弦的垂的垂直平分线直平分线变式二：你能确定弧变式二：你能确定弧ABAB的圆心吗？的圆心吗？OABC ab方法：只要在方法：只要在圆弧上任意取圆弧上任意取三点，得到三三点，得到三条弦，画其中条弦，画其中两条弦的垂直两条弦的垂直平分线，交点平分线，交点即为圆弧的圆即为圆弧的圆心心判断判断（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧弧.()（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心经过圆心.()（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分分.()（4）平
13、分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条的两条弧弧()（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（）圆内两条非直径的弦不能互相平分（）垂径定理的应用垂径定理的应用n例例1 1 如图，一条公路的转变处是一段圆弧如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧即图中弧CD,CD,点点O O是弧是弧CDCD的圆心的圆心),),其中其中CD=600m,ECD=600m,E为弧为弧CDCD上的一上的一点点,且且OECDOECD垂足为垂足为F,EF=90m.F,EF=90m.求这段弯路的半径求这段弯路的半径.驶向胜利的彼岸n解解:连接连接OC.OC.OCDEF老师提老师提示示:注
14、意闪注意闪烁的三角烁的三角形的特点形的特点.赵州石拱桥赵州石拱桥n1.1300多年前多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图如图)的桥的桥拱是圆弧形拱是圆弧形,它的跨度它的跨度(弧所对是弦的长弧所对是弦的长)为为 37.4 m,拱高拱高(弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离,也叫弓形高也叫弓形高)为为7.2m,求桥拱的半求桥拱的半径径(精确到精确到0.1m).驶向胜利的彼岸赵州石拱桥赵州石拱桥驶向胜利的彼岸解：如图，用解：如图，用 表示桥拱，表示桥拱，所在圆的圆心为所在圆的圆心为O，半径为，半径为Rm，经过圆心经过圆心O作弦作弦AB的垂线的垂线OD，D为垂足，与为垂足，与
15、 相交于点相交于点C.根根据垂径定理，据垂径定理，D是是AB的中点，的中点，C是是 的中点，的中点，CD就是拱高就是拱高.由题设由题设在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得解得解得 R27.9（m）.答：赵州石拱桥的桥拱半径约为答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.RD37.47.2垂径定理的应用垂径定理的应用n在直径为在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示如图所示.若油面宽若油面宽AB=600mm，求油的最大深度，求油的最大深度.驶向胜利的彼岸ED 600BAO600 650DC船能过拱桥吗船能过拱桥吗n2.如图如图,某地有一
16、圆弧形拱桥某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为桥下水面宽为7.2米米,拱顶拱顶高出水面高出水面2.4米米.现有一艘宽现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并米、船舱顶部为长方形并高出水面高出水面2米的货船要经过这里米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这此货船能顺利通过这座拱桥吗？座拱桥吗？n相信自己能独相信自己能独立完成解答立完成解答.驶向胜利的彼岸船能过拱桥吗船能过拱桥吗n解解:如图如图,用用 表示桥拱表示桥拱,所在圆的圆心为所在圆的圆心为O,半径为半径为Rm,经过圆心经过圆心O作弦作弦AB的垂线的垂线OD,D为垂足为垂足,与与 相交于点相交于点C.根根据垂径定理据垂径定理,D是是AB的中点的中点,C
17、是是 的中点的中点,CD就是拱高就是拱高.由题设得由题设得驶向胜利的彼岸在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得解得解得 R3.9（m）.在在RtONH中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得此货船能顺利通过这座拱桥此货船能顺利通过这座拱桥.小结：小结：1、有时并未直接给出、有时并未直接给出“圆的直径圆的直径垂直于弦垂直于弦”这样的条件，而是给出下图所这样的条件，而是给出下图所示条件，我们可以得到他们具有和垂直示条件，我们可以得到他们具有和垂直与弦的直径一样的性质。与弦的直径一样的性质。BADCOABDOABDO图图11图图12图图13圆的半径垂直于圆的半径垂直于弦弦圆心到弦的圆心到弦的
18、垂线段（弦心垂线段（弦心距）距）过圆心的过圆心的直线垂直于直线垂直于弦弦2、在圆中接有关弦的问题，、在圆中接有关弦的问题，常常需要做一条辅助线：垂直与弦常常需要做一条辅助线：垂直与弦的直径或半径或弦心距。从而利用的直径或半径或弦心距。从而利用“垂直与弦的直径平分弦，并且平垂直与弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧分这条弦所对的两条弧”圆的这条圆的这条非常重要的性质非常重要的性质。讨论讨论（1）过圆心）过圆心 （2）垂直于弦）垂直于弦 （3）平分弦）平分弦 （4）平分弦所对优弧）平分弦所对优弧 （5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧（3）（1）（2）（4）（5）（2）（3）（1）（4）（5）（1）（4）（3）（2）（5）（1）（5）（3）（4）（2）（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧一条弧
