1、第一章第一章 线性空间与线性变换线性空间与线性变换一、线性空间的定义一、线性空间的定义定义定义1 设集合设集合 ，是一个数域（包含非零元是一个数域（包含非零元素的数集且对四则运算法则封闭），如果满足素的数集且对四则运算法则封闭），如果满足1.在在 上定义一个加法运算：上定义一个加法运算：2.在在 上定义一个数乘运算：上定义一个数乘运算：3.上述两种运算满足下列上述两种运算满足下列8条规则：条规则：V P,x yV xyVV,x yV xyVV,xVPxV V,x yV xyyx,()()x y zVxyzxyz1、线性空间的概念、线性空间的概念 中存在一个零元素中存在一个零元素 ，即对，即对
2、中存在一个负元素中存在一个负元素 ，即对，即对 记作记作对对对对对对对对 则称集合则称集合 为数域为数域 上的线性空间或向量空间，记上的线性空间或向量空间，记作作 ，中元素称为向量。特别，中元素称为向量。特别，时，时，为实向量空间，为实向量空间，时，为复向量空间。时，为复向量空间。yx VV,()()xVPxx ,xV xx ,.xVyVs txy 1,xVxx ,()xVPxxx ,()x yVPxyxyVP()VL P VPR PC 注、注、零向量与负元素唯一存在（自己证）零向量与负元素唯一存在（自己证）01,(),()xxx xyxy 例例1 下列集合均为线性空间下列集合均为线性空间次数
3、不超过次数不超过n n的多项式集合：的多项式集合：n n维向量空间：维向量空间：120(,),det()Tn nnVxx xxAxA RA 00 1(),niniiiR tf ta t aR in 121 2(,),nTniRxx xxxR in 数域数域R R上上 阶矩阵构成的集合：阶矩阵构成的集合：定义在区间定义在区间 上所有连续函数的全体：上所有连续函数的全体：,a bCmn m nm nRA AR ,a b二、线性相关（无关）的定义二、线性相关（无关）的定义定义定义2 设设 ，如果存在，如果存在一组不全为一组不全为0的数的数 ，使得，使得则称向量则称向量 线性相关，否则称线性无关。线性
4、相关，否则称线性无关。()VL P 12,nx xxV 12,nk kkP 1122nnk xk xk x 12,nx xx例例2 讨论下列矩阵向量组的线性相关性（讨论下列矩阵向量组的线性相关性（）：）：1234111 11 11 11 111,aaAAAAaa aR 解：解：根据线性相关的定义判定根据线性相关的定义判定设设112233440000k Ak Ak Ak A 12341234123412340000akkkkkakkkkkakkkkkak 由系数行列式是否为由系数行列式是否为0判定即可判定即可线性相关（无关）的性质：线性相关（无关）的性质：部分相关则整体相关；部分相关则整体相关；
5、整体无关则部分无关；整体无关则部分无关；线性相关线性相关 其中至少一个向量其中至少一个向量可由其余向量线性表示（表出）。可由其余向量线性表示（表出）。12,nx xx定义定义3 设设 是是 中的一组线性无关中的一组线性无关向量，且线性无关组的向量个数不超过向量，且线性无关组的向量个数不超过n n（或（或V中任意中任意n+1n+1个向量都线性相关），则称个向量都线性相关），则称 是是V V的一的一个最大无关组，简称为基。向量空间个最大无关组，简称为基。向量空间V V的基所含向量的的基所含向量的个数称为个数称为V V的维数，记为的维数，记为dim(Vdim(V)。（注：基不唯一）。（注：基不唯一）
6、()VL P 12,nx xx12,nx xx()nVL P n n维向量空间通常记为维向量空间通常记为定理定理1 设设 ，是是V的一组基，则对的一组基，则对 （或者（或者V中任意向量中任意向量x),使得使得且该表示式唯一。（其中且该表示式唯一。（其中 称为向量称为向量x在该在该组基下的坐标）组基下的坐标）()VL P 12,ne ee12,nxVk kkP 1 122nnxk ek ek e12,nk kk例例3 写出写出例例1中各线性空间的基和维数。中各线性空间的基和维数。2、基变换与坐标变换、基变换与坐标变换定义定义1（基变换）（基变换）设设 和和 是是 中的两组基，则中的两组基，则 （
7、或（或 ）均可由）均可由 （或（或 ）线性）线性表示，不妨记表示，不妨记称上述关系为两组基的基变换。称上述关系为两组基的基变换。()VL P 12,nx xx11112121212122221122nnnnnnnnnnya xa xa xya xa xaxya xaxa x 12,nyyyixiyiyix若记若记1122,nnxyxyxy111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa 则称矩阵则称矩阵 为基为基 到基到基 的过渡矩阵（的过渡矩阵（可逆？可逆？）。A 定义定义2（坐标变换）（坐标变换）设设 ，向量，向量 在在 基基 和基和基 下的下的坐标之间的关系，称之为坐标变换。坐标
8、之间的关系，称之为坐标变换。()xVL P x前述关系可以表示为前述关系可以表示为 或或 TA TTA 坐标变换与过渡矩阵的关系：坐标变换与过渡矩阵的关系：1212nnkkxxxxk 1212nnttxyyyt 1122nnxk xk xk x 设设1 122nnxt yt yt y 和和 1212nnttxxxAt 1122nnktktAkt 不同基之间过渡矩阵的求法：不同基之间过渡矩阵的求法：已知两组基已知两组基12(),nI x xx12(),nII yyy方法一方法一：直接法（定义法）：直接法（定义法）该方法需要求该方法需要求n n阶非齐次线性阶非齐次线性方程组，计算复杂，一般不用方程
9、组，计算复杂，一般不用方法二方法二：中介法（常用方法）：中介法（常用方法）中介法的步骤：中介法的步骤：选取选取 的一组简单基，使得的一组简单基，使得V V中的元素中的元素在该基下的坐标能够直接写出。在该基下的坐标能够直接写出。()nVL P 分别写出简单基到已知两组基分别写出简单基到已知两组基 和和 的过渡的过渡矩阵矩阵 和和 。()I()II1C2C计算由基计算由基 到到 的过渡矩阵的过渡矩阵 ：()I()II112CC C C事实上事实上不妨设简单基为不妨设简单基为12(),nIII e ee12121(,)(,)nnx xxe ee C 12122(,)(,)nnyyye ee C 11
10、212(,)nx xx C C 112CC C 例例4 设线性空间设线性空间 的两个基为：的两个基为：3 P t21232341111()(),(),(),();If tfttf tttftttt 2323122334111()(),(),(),();IIg tttg ttttg tttg ttt 求由基求由基 到基到基 的过渡矩阵的过渡矩阵 。()I()IIC解：解：（中介法）选取简单基为（中介法）选取简单基为231(),IIIttt基基 到基到基 的过渡矩阵的过渡矩阵 为：为：()I1C()III1111 1011 1001 1000 1C ()II基基 到基到基 的过渡矩阵的过渡矩阵 为
11、：为：2C()III21011011111101101C 1111 1011 1001 1000 1C 21011011111101101C ()II则由基则由基 到基到基 的过渡矩阵的过渡矩阵 为：为：C()I1112111 11011011 10111001 11110000 11101CC C 11001011011001110011111000011101 11 00100100111101 3、子空间与维数定理、子空间与维数定理定义定义1（子空间）（子空间）设设 ，如果如果 对于对于 所定义的加法和数乘运算，也构成数域所定义的加法和数乘运算，也构成数域 上的线性空上的线性空间，则称间
12、，则称 为为 的线性子空间，简称子空间。的线性子空间，简称子空间。()VL P WV,WV W PWV定理定理1（子空间的判定方法）（子空间的判定方法）设设 ，则，则 是是 的线性的线性子空间的充要条件是子空间的充要条件是(),WVL P W W12(),;(),.x yWxyWxWPxW V零子空间与零子空间与平凡子空间平凡子空间例例5是是 中的一个子空间。中的一个子空间。是是 的一个子空间。的一个子空间。是是 的一个子空间。的一个子空间。120(,),det()Tn nnVxx xxAxA RA nR3 P t3 3R m nR nP t定义定义2（线性生成子空间）（线性生成子空间）设设
13、，线性组合线性组合构成的集合形成构成的集合形成 的一个子空间，称之为由该向量组生的一个子空间，称之为由该向量组生成的子空间。记为成的子空间。记为12,()nx xxVL P 1122nnk xk xk xV12(,)nWL x xx 定义定义3（子空间的和）（子空间的和）设设 是是 的两个子空间，称集合的两个子空间，称集合为子空间为子空间 和和 的和。的和。()VL P 1W 1212,WWWxy xW yW 12,W W2W定理定理2（子空间的构造方法）（子空间的构造方法）设设 是是 的两个子空间，则有的两个子空间，则有 是是 的子空间；的子空间；是是 的子空间。的子空间。()VL P 12
14、,W W12WWW V12WWW V定义定义4（子空间的和）（子空间的和）设设 是是 的两个子空间，如果这的两个子空间，如果这两个子空间的和两个子空间的和 具有性质：对具有性质：对分解式分解式 是唯一的，则称是唯一的，则称和和 为直和，记为为直和，记为 。()VL P uW 12WWW 12,W W12,uxyxWyW12WWW 12WWW 例例6 设设 的的3个子空间：个子空间：容易验证容易验证 是直和，是直和，不是直和。不是直和。10 0(,),TVa ba bR 4R12VV 20 00(,)TVccR 300(,),TVd ed eR 1323,VV VV 定理定理3（直和的判定方法）
15、（直和的判定方法）设设 是是 的两个子空间，则的两个子空间，则 是直和是直和 。()VL P 12,W W12WWW 12WW 推论推论1（直和的判定方法）（直和的判定方法）设设 是是 的两个子空间，则的两个子空间，则 是直和是直和 零向量表示式唯一。零向量表示式唯一。()VL P 12,W W12WWW 定理定理4（维数定理）（维数定理）设设 ，是它的两个子空间，则有是它的两个子空间，则有12VWW 12,W W121212dim()dim()dim()dim()WWWWWW 例例7 设设 的的2个子空间为：个子空间为：将将 表示为生成子空间。表示为生成子空间。求求 的基与维数。的基与维数。
16、求求 的基与维数。的基与维数。12VV 1211234340,xxVA Axxxxxx 2 2R 2121210112301(,),VL B BBB 12VV 12VV 分析：分析：设设 的两个子空间为的两个子空间为V112(,)mVL x xx 212(,)nVL yyy 121212(,)mnV VLx xx y yy 须须 的最大无关组为的最大无关组为 的基。的基。1212,mnx xx y yy12VV 解：解：先将先将 表示成生成子空间表示成生成子空间1V的基础解系为的基础解系为12340 xxxx123100110011001,的一个基为：的一个基为：1V1231101000010
17、11,AAA1123(,)VL A A A 1212312(,)VVL A A A B B 在在 的简单基的简单基下的坐标依次可记为下的坐标依次可记为12312,A A A B B2 2R 11122122,E E E E1231210011110010112000131,容易判定该向量组的一个最大无关组为容易判定该向量组的一个最大无关组为1232,1232,A A A B是是 的一个基。的一个基。12VV 124dim()VV 设设 ，则有，则有 满足满足12AVV12312,kkktt1122331122Ak Ak Ak At Bt B 1122331122k Ak Ak At Bt B
18、代入代入 并比较对应元素，得线性代数并比较对应元素，得线性代数方程组方程组12312,A A A B B112122231312002030kttkktkktktt 其其通通解解为为1231211310,kkkkk Rtt 112233Ak Ak Ak A 1122t Bt B 1210()kBB 1023k 的一个基为的一个基为12VV 1023 121dim()VV 4、线性空间的同构、线性空间的同构定义定义1（线性空间的同构）（线性空间的同构）设设 是两个线性空间，如果是两个线性空间，如果 和和 之间存在一个一一对应关系之间存在一个一一对应关系 ，使得对任意的，使得对任意的 满足满足 则
19、称则称 是从是从 到到 的同构映射，的同构映射，和和 是同构的。是同构的。12(),()VL P VL P 2V1V1,x yVP()()()()()xyxyxx 1V2V1V2V注注：同构映射保持原线性空间的加法和数乘运算，且：同构映射保持原线性空间的加法和数乘运算，且 满足线性关系。满足线性关系。定理定理1（同构映射的基本性质）（同构映射的基本性质）设设 是是 到到 的同构映射，则有下列性质：的同构映射，则有下列性质：1V();,()().xVxx 1niiiyk x 设设 ，则，则1()().niiiykx 2V 设设 是是 到到 的同构映射，如果的同构映射，如果 是是 中的线性无关组，
20、则中的线性无关组，则 在在 中也构成线性无关组，反之亦成立中也构成线性无关组，反之亦成立。1V2V 2V12,nx xx1V12(),(),()nxxx定理定理2（同构定理）（同构定理）数域数域 上每个上每个n n维线性空间维线性空间 ，当取定一组基后，当取定一组基后，与与 同构。同构。PVnPV证明：证明：设设 是是 中取定的一组基，对中取定的一组基，对12,ne eeV,x yVP 1 122nnxx ex ex e1 122nnyy ey ey e1122()()()nnxx ex ex e定义映射关系定义映射关系 ：12(,)nxx xx 容易验证此映射为同构映射，从而结论成立。容易验
21、证此映射为同构映射，从而结论成立。定理定理3（同构、线性空间的关系）（同构、线性空间的关系）同构的有限维线性空间，其维数相同同构的有限维线性空间，其维数相同。1V2VP数域数域 上的任意两个上的任意两个n n维线性空间维线性空间 和和 都是同构的都是同构的。P数域数域 上两个上两个有限有限维线性空间同构的充要条件是其维维线性空间同构的充要条件是其维数相同数相同。定义在数域定义在数域 上的任意上的任意n n维线性空间都与维线性空间都与 同构同构nPP5、变换的概念、变换的概念定义定义2（线性变换）（线性变换）设设 是线性空间是线性空间 的一个变换，如果的一个变换，如果 对任意的对任意的 ，满足，
22、满足则称则称 为线性空间为线性空间 的线性变换。的线性变换。()VL P T1,x yVP()()()()()T xyT xT yTxT x TV定义定义1（变换）（变换）设线性空间设线性空间 ，称，称 到到 的映射为的映射为 的变换的变换。()VL P VVV定义定义3（线性变换相等）（线性变换相等）设设 的两个线性变换为的两个线性变换为 和和 ，如果，如果对对 均有均有 ，则称线性变换，则称线性变换 和和 相等相等。()VL P xV TS()()T xS x TS定义定义4（两个特殊的线性变换）（两个特殊的线性变换）零变换：零变换：单位变换：单位变换：,()xV T x ,()xV T
23、xx 例例8 几个线性变换的例子：几个线性变换的例子：的一个线性变换。设的一个线性变换。设 定义：定义：4R1234(,)xx xxx 1234123433340 0()()T xxxxxxxxx 上的一个线性变换。设上的一个线性变换。设 定义：定义：,n nn nA BRXRn nR()T XAXB 实多项式空间上的一个线性变换。设对实多项式空间上的一个线性变换。设对定义：定义：()f tR t ()()df tTf tdt 上全体连续函数构成的实线性空间的一个线上全体连续函数构成的实线性空间的一个线性变换。设对性变换。设对定义：定义：,a b,()a bf tC ()()taTf tf x
24、 dxatb 定理定理1（线性变换的性质）（线性变换的性质）设设 是是 的线性变换，则有下列性质：的线性变换，则有下列性质：()VL P();,()().TxV TxT x T1niiiyk x 设设 ，则，则线性变换把线性相关组变为线性变换把线性相关组变为线性相关组；线性相关组；但不能把但不能把线线性无关组变为性无关组变为线性线性无关组无关组（可以考虑零变换）（可以考虑零变换）。1()().niiiT ykT x 定义定义5（线性变换的运算）（线性变换的运算）设设 是是 的两个线性变换，的两个线性变换，和运算：如果对和运算：如果对则称则称 为为 和和 的和，记为的和，记为 。12,T T()
25、VL P 12,()()()xV T xT xT x 1T2T12TTTT定理定理1（线性变换的性质）（线性变换的性质）设设 是是 的线性变换，则有下列性质：的线性变换，则有下列性质：()VL P();,()().TxV TxT x T1niiiyk x 设设 ，则，则线性变换把线性相关组变为线性变换把线性相关组变为线性相关组；线性相关组；但不能把但不能把线线性无关组变为性无关组变为线性线性无关组无关组（可以考虑零变换）（可以考虑零变换）。1()().niiiT ykT x 乘积运算乘积运算：如果对：如果对 则称则称 为为 和和 的乘积，记为的乘积，记为 。数乘运算：如果对数乘运算：如果对则称
26、则称 为数为数 和和 的数乘运算，记为的数乘运算，记为 。逆运算：设逆运算：设 是是 的单位线性变换，的单位线性变换，是是 的线的线性变换，如果存在性变换，如果存在 的一个线性变换的一个线性变换 ，满足，满足 ，则称变换，则称变换 是可逆的，记为是可逆的，记为 。12,()()xV T xT T x 1TT2T12TTT 1TT1TT 1,()()xVP T xT x TITVSTVVTSSTI1ST 定理定理2（线性变换的运算性质）（线性变换的运算性质）结合律、交换律、分配律等（略），参见教材结合律、交换律、分配律等（略），参见教材P13。注注：有了线性变换运算的定义，容易看出：对于：有了线
27、性变换运算的定义，容易看出：对于 中定中定义的所有线性变换的全体构成的集合，对于上述定义的义的所有线性变换的全体构成的集合，对于上述定义的加法和数乘运算满足封闭性，因此该集合也构成数域加法和数乘运算满足封闭性，因此该集合也构成数域 上的线性空间，通常可以记为：上的线性空间，通常可以记为：线性空间线性空间 的全体线性变换的全体线性变换VP()L V V例例9 设设 是线性空间是线性空间 的线性变换，证明：的线性变换，证明：是是 的子空间（称之为象的子空间（称之为象子空间子空间），），的维数称的维数称为线性变换为线性变换 的的秩秩。TV ()T VTx xV V()T VT利用子空间的定义容易验证
28、对加法和数乘封闭（略）。利用子空间的定义容易验证对加法和数乘封闭（略）。例例10 设设 是线性空间是线性空间 的线性变换，证明：的线性变换，证明：是是 的子空间，该子空间称之为线性变换的子空间，该子空间称之为线性变换 的核的核（kernelkernel），记为），记为 或或 （这儿不表示可（这儿不表示可逆）。逆）。TV KxV Tx V1()T ker()TT例例11 在在 中，设中，设 ，证明：，证明：和和 是是 的两个线性变换，并求的两个线性变换，并求 、及及 。12(,)xxx 2R121()(,)T xxx 2R12TT 212()(,)Txxx 12TT21T T例例12 在在 中，
29、已知两个线性变换，中，已知两个线性变换，证明：证明：（是单位线性变换）。是单位线性变换）。P t12()(),()(),()T f tftT f ttf tf tP t I1221TTT TI例例13 设设 是是n维线性空间维线性空间 的线性变换，则的线性变换，则()nVL P T1dim()dim()T VTn 证明思路：证明思路：设设 ，是是1dim()Ts 核核 的一组基，将其扩充为的一组基，将其扩充为 的一组基，的一组基，1()T V12,se ee121,ssne ee ee 只需证明只需证明 即可。即可。dim()T Vns6、线性变换的矩阵表示、线性变换的矩阵表示问题问题：前面讲
30、过，对于：前面讲过，对于n维线性空间维线性空间 上的全上的全体线性变换构成的线性空间，通常记为：体线性变换构成的线性空间，通常记为：线性空间线性空间 的全体线性变换的全体线性变换那么，那么，的维数是多少？的维数是多少？()nVL P()L V V()L V引理引理 设设 是数域是数域 上的一个上的一个n维线性空间，维线性空间，是它的一组基，是它的一组基，是是 的任意的任意n个向量，个向量，则存在唯一的一个线性变换则存在唯一的一个线性变换 ，使得，使得PV,12ne ee,12ngggVT(),(),()1122nnT egT egT eg 证明：证明：任取任取 ，xV 1122nnxx ex
31、ex e定义：定义：1122nnTxx gx gx gV容易验证容易验证 是是 上的一个线性变换。上的一个线性变换。Ti1i 1ii 1ne0 e0 e1 e0 e0 e ,iiiTe1 ggi1 2n()nnniiiiiii 1i 1i 1SxSx ex S ex gTxS如果另有线性变换如果另有线性变换 满足：满足：,iiSegi1 2nx由由 的任意性知：的任意性知：ST 定义定义1（线性变换在基下的矩阵）（线性变换在基下的矩阵）设设 ，是的一个线性变换，是的一个线性变换，是是 的一组基，则的一组基，则 ，且有，且有或者简写为：或者简写为：11 2,;nikikkikTea ein aP
32、 ()nVL P 111 121 21212 122221122nnnnnnnnnnTea ea ea eTea ea ea eTea ea ea e 1 2(,)iTeV inV,12neeeT1212(,)(,)nnT e eee eeA 称矩阵称矩阵为线性变换为线性变换 在基在基 下的矩阵（唯一）。下的矩阵（唯一）。111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa T,12ne ee例例14 设设 中的线性变换中的线性变换 为：为：给定基为给定基为求求 在基在基 下的矩阵。下的矩阵。T3R123122312(,)()T x xxxxxxx 1231 0 00 1 00 0 1()
33、,(),()eee 123,eeeT定理定理1 数域数域 上的一个上的一个n维线性空间维线性空间 的所有线性变的所有线性变换构成的线性空间换构成的线性空间 ，在取定，在取定 的一组基下，它的一组基下，它与数域与数域 上的一切上的一切 阶矩阵构成的线性空间阶矩阵构成的线性空间 同构，从而同构，从而 。PVn n P()LVVdim()dim()n n2L VPn n nP 证明：由前述证明：由前述定义定义1知，当取定知，当取定 中一组基后，中一组基后，中的中的任何一个线性变换都唯一地确定一个任何一个线性变换都唯一地确定一个n阶矩阵与之对应；阶矩阵与之对应；反之，对于任意给定的反之，对于任意给定的
34、n阶矩阵，按照列可以与给定的阶矩阵，按照列可以与给定的基构成基构成 中的一组向量，再由中的一组向量，再由引理引理知，可以唯一确定知，可以唯一确定一个线性变换与之对应，从而在一个线性变换与之对应，从而在 和和 之间建之间建立了一一对应关系（同构映射），故同构。立了一一对应关系（同构映射），故同构。VV()LVVn nP:TA定理定理2 设设 是数域是数域 上上n维线性空间维线性空间 的一组基，在该组基下，按照下述关系式的一组基，在该组基下，按照下述关系式建立线性变换建立线性变换 同矩阵的对应关系，则有同矩阵的对应关系，则有线性变换的乘积对应矩阵的乘积；线性变换的乘积对应矩阵的乘积；可逆线性变换对
35、应的矩阵也可逆，且逆变换对应于逆可逆线性变换对应的矩阵也可逆，且逆变换对应于逆矩阵。矩阵。,12ne ee11 2,nikikkTea ein PTV1212(,)(,)nnT e eee eeA 1212(,)(,)nnS e eee eeB 定理定理3 设设 ，是是 线线性空间性空间 的两组基，从的两组基，从 到到 的过渡的过渡矩阵是矩阵是 ，是是 的一个线性变换，它在的一个线性变换，它在 和和 下的矩阵分别为下的矩阵分别为 ，则有，则有 。(),12nI e eeBA、TC()nVL P(),12nII ()I()I()II()IIV1BC AC 1212(,)(,)nnT e eee
36、eeA 1212(,)(,)nnTB 1212(,)(,)nne ee C 1212(,)(,)nnTT e ee C 12(,)ne eeAC 12(,)ne ee CB（相似相似矩阵）矩阵）例例15 给定给定 上的两组基：上的两组基：是是 的线性变换，且的线性变换，且 ，试求，试求从基从基 到到 的过渡矩阵的过渡矩阵 ；在基在基 下的矩阵下的矩阵 ；在基在基 下的矩阵下的矩阵 。1 2 3(,)iiTi1231012101 1 1(),(),()A3RT123121221211(),(),()3RBTT123,123,C123,123,解：解：中介法：取简单基中介法：取简单基1231000
37、10001(),(),()eee 到到 的过渡矩阵为的过渡矩阵为 到到 的过渡矩阵为的过渡矩阵为123,e e e112 101 110 1C 123,123,e e e123,2122221111C 11121 2 112243310 1 122123321 0 1111215CC C 123123(,)(,)TA 123123123(,)(,)(,)TTTT 123(,)CAC 123123(,)(,)TB 123123123(,)(,)(,)TTCAC 1123123(,)(,)CACC 或或11BCACC CCCBC 例例16 求求 的维数及其一组基。的维数及其一组基。()3L R1
38、2 3,ijEi j 解：解：11100000000E dim()3L R3 39 由线性变换和矩阵的关系知，它们对应的线性变换为由线性变换和矩阵的关系知，它们对应的线性变换为3 3R 的一组基为的一组基为112312311(,)(,)T e e ee e e E 10 0(,)e 1231 1223 3()xxxx ex ex e1 111 21 300,Tee TeTe11231 1 121 231 31 1()T xxxxTex Tex Tex e其余的可类似写出其余的可类似写出12010000000E 212312312(,)(,)T e e ee e e E 200(,)e 1231 1223 3()xxxx ex ex e2 12222300,T eT ee T e212312 122232322()T xxxxT ex T ex T ex e7、不变子空间、不变子空间定义定义1（不变子空间）（不变子空间）设设 是是 的一个线性变换，的一个线性变换，是是 的一个子的一个子空间，如果对空间，如果对 ，即，即()VL P,()xW T xW TW则称则称 为为 的不变子空间（即子空间对线性变换保持的不变子空间（即子空间对线性变换保持不变）。不变）。()T WW VWTT注：注：零空间与零空间与 本本身都是本本身都是 的不变子空间。的不变子空间。V
