1、 山东省青岛市山东省青岛市 2020 年中考数学真题年中考数学真题 （考试时间：（考试时间：120 分钟；满分：分钟；满分：120 分）分） 说明：说明： 1本试题分第本试题分第 I 卷和第卷和第 II 卷两部分，共卷两部分，共 24 题，第题，第 I 卷为选择题，共卷为选择题，共 8 小题，小题，24 分；分； 第第 II 卷为填空题、作图题、解答题，共卷为填空题、作图题、解答题，共 16 小题，小题，96 分分 2所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效. 第第 I 卷（共卷（共 24 分）分） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题
2、，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1.4 的绝对值是（ ） A. 4 B. 1 4 C. 4 D. 1 4 【答案】A 【解析】 【分析】 根据绝对值的概念计算即可.（绝对值是指一个数在坐标轴上所对应点到原点的距离叫做这个数的绝对值.） 【详解】根据绝对值的概念可得-4 的绝对值为 4. 【点睛】错因分析：容易题.选错的原因是对实数的相关概念没有掌握，与倒数、相反数的概念混淆. 2.下列四个图形中，中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据中心对称图形的概念结合各图形的特点求解 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不
3、是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、中心对称图形，符合题意 故选：D 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转 180 度后与原图形重合 3.2020 年 6 月 23 日，中国第 55 颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网其中支持北斗三号新信号的 22 纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用，22 纳米=0.000000022 米，将 0.000000022 用科学记数法表示为（ ） A. 22 108 B. 2.2 10-8 C. 0.22 10-7 D. 22 10-9 【答案】B 【解
4、析】 【分析】 科学记数法的形式是：10na ，其中1a10，n为整数所以2.2a，n取决于原数小数点的移动位数与移动方向，n是小数点的移动位数，往左移动，n为正整数，往右移动，n为负整数。本 题小数点往右移动到2的后面，所以8.n 【详解】解：0.000000022 8 2.2 10 . 故选.B 【点睛】本题考查知识点是用科学记数法表示绝对值较小的数，关键是在理解科学记数法的基础上确定好 , a n的值，同时掌握小数点移动对一个数的影响 4.如图所示的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据俯视图的定义即可求解 【详解】由图形可知，这个几何体的
5、俯视图为 故选 A 【点睛】此题主要考查俯视图的判断，解题的关键是熟知俯视图的定义 5.如图，将ABC先向上平移 1 个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90，得到 ABC ，则点A的对应点A的坐标是（ ） A. （0，4） B. （2，-2） C. （3，-2） D. （-1，4） 【答案】D 【解析】 【分析】 根据平移的规律找到 A 点平移后对应点，然后根据旋转的规律找到旋转后对应点A，即可得出A的坐标 【详解】解：如图所示：A 的坐标为（4，2） ，向上平移 1 个单位后为（4，3） ，再绕点 P 逆时针旋转 90 后对应A点的坐标为（-1，4） 故选：D 【点睛】本题考查了根据平移变换和
6、旋转变换作图，熟练掌握平移的规律和旋转的规律是解题的关键 6.如图，BD是O的直径，点A，C在 O上，AB AD ，AC交BD于点G若126COD则AGB的度数为（ ） A. 99 B. 108 C. 110 D. 117 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据圆周角定理得到BAD90，再根据等弧所对的弦相等，得到AB AD，ABD45，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得到CAD=63，BAG=27，即可求解 【详解】解：BD是O的直径 BAD90 AB AD ABAD ABD45 126COD 1 CAD63 2 COD BAG906327 AGB 1802745108 故选：B
7、【点睛】此题主要考查圆周角定理和弧、弦及圆周角之间的关系，熟练掌握圆周角定理和三者之间的关系是解题关键 7.如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF，EF与AC交于点.O若 5AE ，3BF ，则AO的长为（ ） A. 5 B. 3 5 2 C. 2 5 D. 4 5 【答案】C 【解析】 【分析】 先证明,AEAF再求解,AB AC利用轴对称可得答案 【详解】解：由对折可得：,AFOCFO AFCF 矩形ABCD ， / /,90 ,ADBCB ,CFOAEO ,AFOAEO 5,AEAFCF 3,BF 22 4,ABAFBF BC=8 22 16644 5,ACABBC 由对
8、折得： 1 2 5. 2 OAOCAC 故选 C 【点睛】本题考查的是矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理的应用，轴对称的性质，掌握以上知识是解题的关键 8.已知在同一直角坐标系中二次函数 2 yaxbx和反比例函数 c y x 的图象如图所示，则一次函数 c yxb a 的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据反比例函数图象和二次函数图象位置可得出：a0，b0，c0，由此可得出 c a 0，一次函数图象与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴，对照四个选项即可解答 【详解】由二次函数图象可知：a0，对称轴 2 b x a 0， a0，b0， 由反比例函数图
9、象知：c0， c a 0，一次函数图象与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴， 对照四个选项，只有 B 选项符合一次函数 c yxb a 的图象特征 故选：B 【点睛】本题考查反比例函数图象、二次函数的图象、一次函数的图象，熟练掌握函数图象与系数之间的关系是解答的关键 第第卷（共卷（共 96 分）分） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 9.计算 4 123 3 的结果是_ 【答案】4 【解析】 【分析】 根据二次根式的混合运算计算即可. 【详解】解： 44 123= 1233=62=4 33 . 故答案为 4. 【点睛】本题考
10、查二次根式的混合运算，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题关键. 10.某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验和工作态度三个方面对甲、乙两名应聘者进行了测试测试成绩如下表所示如果将学历、经验和工作态度三项得分按 2:1:3 的比例确定两人的 最终得分，并以此为依据确定录用者，那么_将被录用（填甲或乙） 应聘者 项目 甲 乙 学历 9 8 经验 7 6 工作态度 5 7 【答案】乙 【解析】 【分析】 直接根据加权平均数比较即可 【详解】解：甲得分： 11120 975 3623 乙得分： 11143 867 3626 43 6 20 3 故答案为：乙 【点睛】此题主要考查加权平均数，正确
11、理解加权平均数的概念是解题关键 11.如图，点A是反比例函数 (0) k yx x 图象上的一点，AB垂直于x轴，垂足为BOAB的面积为 6若点,7P a也在此函数的图象上，则a_ 【答案】 12 7 【解析】 【分析】 由OAB的面积可得k的值，再把,7P a代入解析式即可得到答案 【详解】解： OAB的面积为 6 2 612,k k0， 12,k 12 ,y x 把,7P a代入 12 ,y x 12 7, a 12 . 7 a 经检验： 12 7 a 符合题意 故答案为： 12 . 7 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，k的几何意义，掌握以上知识是解题的关键 12.抛物线 2 221
12、yxkxk（k为常数）与x轴交点的个数是_ 【答案】2 【解析】 【分析】 求出的值，根据的值判断即可 【详解】解：=4(k-1)2+8k=4k2+40， 抛物线与x轴有 2 个交点 故答案为：2 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，a0）的图象与 x 轴的交点横坐标是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根当=0 时，二次函数与 x 轴有一个交点， 一元二次方程有两个相等的实数根；当0 时，二次函数与 x 轴有两个交点，一元二次方程有两个不相等的实数根；当3 【解析】 【分析】 （1）先算括号里，再把除法转化为乘法，然后约分化简即
13、可； （2）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集 【详解】解： （1）原式= 22 abab abab = abab ababab = 1 ab ； （2） 235 1 2 3 x xx 解得，x-1， 解得，x3， 不等式组的解集是 x3 【点睛】本题考查了分式的混合运算，一元一次不等式组的解法，熟练掌握分式的运算法则是解（1）的关键，掌握解一元一次不等式组得步骤是解（2）的关键 17.小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：A，B是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇
14、形、同时转动两个转 盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看这个游戏对双方公平吗？请说明理由 【答案】这个游戏对双方公平，理由见解析 【解析】 【分析】 画出树状图，求出配成紫色的概率即可求解 【详解】解：这个游戏对双方公平，理由如下： 如图， 由树状图可知，所有可能发生的组合有 6 种，能配成紫色的组合有 3 种， P（紫色）= 31 = 62 ， 这个游戏对双方公平 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平画出树状图，求出他们各自获胜的概率是解答本题的关键 1
15、8.如图，在东西方向的海岸上有两个相距 6 海里的码头B，D某海岛上的观测塔A距离海岸 5 海里，在A处测得B位于南偏西22方向一艘渔船从D出发，沿正北方向航行至C处，此时在A处 测得C位于南偏东67方向，求此时观测塔A与渔船C之间的距离（结果精确到 0.1 海里） （参考数据: 3 sin22 8 o ， 15 cos22 16 ， 2 tan22 5 ， 12 sin67 13 ， 5 cos67 13 ， 12 tan67 5 ） 【答案】4.3 海里 【解析】 【分析】 过点 A 作 AEBD，过点 C 作 CFAE，由正切函数与正弦函数的定义，以及矩形的性质，即可求解 【详解】过点
16、A 作 AEBD，过点 C 作 CFAE，则四边形 CDEF 是矩形， BAE=22 ，AE=5（海里） ， BE=AEtan22=5 2 5 =2（海里） ， DE=BD-BE=6-2=4（海里） ， 四边形 CDEF 是矩形， CF=DE=4（海里） ， AC=CF sin67 =412 13 4.3（海里） 【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键 19.某校为调查学生对海洋科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下的频数直方图和扇形统计图 请根据图中信息解答下列问题： （1）补全频数直方
17、图； （2）在扇形统计图中，“7080”这组的百分比m_； （3）已知“8090”这组的数据如下：81，83，84，85，85，86，86，86，87，88，88，89抽取的n名学生测试成绩的中位数是_分； （4）若成绩达到 80 分以上（含 80 分）为优秀，请你估计全校 1200 名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生人数 【答案】 （1）见解析； （2）20； （3）845 分； （4）672 人 【解析】 【分析】 （1）先求出样本容量，再用用本容量减去已知各部分的频数，即可求出“901000”这组的频数，从而补全频数直方图； （2）用“7080”这组的频数除以样本容量即可； （3）
18、根据中位数的定义求解即可； （4）用 1200 乘以 80 分以上人数所占的比例即可 【详解】解： （1）8 16=50 人， 50-4-8-10-12=16 人， 补全频数直方图如下： （2）m= 00 10 100 50 =20； （3）“5080”分的人数已有 22 人， 第 25 和 26 名的成绩分别是是 84 分，85 分， 中位数是 8485 =84.5 2 分； （4） 12 16 1200=672 50 人 优秀人数是 672 人 【点睛】此题主要考查了频数分布直方图、扇形统计图的综合和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正
19、确的判断和解决问题也考查了 利用样本估计总体 20.为让更多的学生学会游泳，少年宫新建一个游泳池，其容积为 3 480m，该游泳池有甲、乙两个进水口，注水时每个进水口各自的注水速度保持不变，同时打开甲、乙两个进水口注水，游泳池的蓄水 量 3 y m 与注水时间 t h之间满足一次函数关系，其图象如图所示 （1）根据图象求游泳池的蓄水量 3 y m与注水时间 t h之间的函数关系式，并写出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度； （2）现将游泳池的水全部排空，对池内消毒后再重新注水已知单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的 4 3 倍求单独打开甲进水口注满游泳池需多
20、少小时？ 【答案】 （1）y=140t+100，140m3/h； （2）8h 【解析】 【分析】 （1）用待定系数法即可求出 y 与 t 的函数关系式，然后求出注满水池用的时间，进而可求出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度； （2）设甲的注水速度是 x m3/h，则乙的注水速度是(140-x) m3/h，根据单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的 4 3 倍列方程求解即可 【详解】解： （1）设 y=kt+100，把(2，380)代入得， 2k+100=380， 解得 k=140， y=140t+100， 当 y=480 时， 则 480=140t+100，
21、解得 t= 19 7 ， (480-100)19 7 =140m3/h； y=140t+100，同时打开甲、乙两个进水口的注水速度是 140m3/h； （2）设甲的注水速度是 x m3/h，则乙的注水速度是(140-x) m3/h，由题意得 4804480 3140 xx ， 解得 x=60， 经检验 x=60 符合题意， 480 =8 60 (h)， 单独打开甲进水口注满游泳池需 8h 【点睛】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，掌握待定系数法是解（1）的关键，找出数量关系列出方程是解（2）的关键 21.如图，在ABC中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，
22、且DE BF，连接AE，CF （1）求证：ADECBFV； （2）连接AF，CE，当BD平分ABC时，四边形AFCE什么特殊四边形？请说明理由 【答案】 （1）见解析（2）菱形，见解析 【解析】 【分析】 （1）利用 SAS 证明ADECBFV即可求解； （2）先证明四边形AFCE是平行四边形，再证明对角线互相垂直即可得到为菱形 【详解】 （1）四边形 ABCD 是平行四边形， AD=BC,ADB=CBD， 又ADB+ADE=180 ，CBF+CBD=180 ， ADE=CBF 在 ADE 和 CBF 中 ADBC ADECBF DEBF ADE CBF； （2）四边形AFCE是菱形 理由如下
23、： 如图，连接AF，CE， 由（1）得 ADE CBF CF=AE, E=F AECF AEPCF 四边形 AFCE 是平行四边形 当 BD 平分ABC 时，ABD=CBD 又ADCB， ADB=DBC ABD=ABD AD=AB=BC ABC 为等腰三角形 由等腰三角形性质三线合一可得 ACEF 平行四边形 AFCE 是菱形 【点睛】此题主要考查特殊平行四边形的性质与判定，解题的关键是熟知菱形的判定定理 22.某公司生产A型活动板房成本是每个 425 元图表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长 4ADm，宽3ABm，抛物线的最高点E到BC的距离为4m （1）按如图所示的
24、直角坐标系，抛物线可以用 2 0ykxm k表示，求该抛物线的函数表达式； （2） 现将A型活动板房改造为B型活动板房 如图， 在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN， 点G，M在AD上， 点N，F在抛物线上， 窗户的成本为 50 元 2 /m 已知2GMm， 求每个B型活动板房的成本是多少？（每个B型活动板房的成本每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本） （3）根据市场调查，以单价 650 元销售（2）中的B型活动板房，每月能售出 100 个，而单价每降低 10 元，每月能多售出 20 个公司每月最多能生产 160 个B型活动板房不考虑其他因素，公司将 销售单价n（元）
25、定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w（元）最大？最大利润是多少？ 【答案】 （1） 2 1 1 4 yx （2）500（3）n=620 时，w 最大=19200 元 【解析】 【分析】 （1）根据图形及直角坐标系可得到 D,E 的坐标，代入 2 0ykxm k即可求解； （2）根据 N 点与 M 点的横坐标相同，求出 N 点坐标，再求出矩形 FGMN 的面积，故可求解； （3）根据题意得到 w 关于 n 的二次函数，根据二次函数的性质即可求解 【详解】 （1）由题可知 D（2,0） ，E（0,1） 代入到 2 0ykxm k 得 04 1 km m 解得 1 4 1 k m 抛物线的函数
26、表达式为 2 1 1 4 yx ； （2）由题意可知 N 点与 M 点的横坐标相同，把 x=1 代入 2 1 1 4 yx ，得 y= 3 4 N（1， 3 4 ） MN= 3 4 m， S四边形FGMN=GM MN=23 4 = 3 2 ， 则一扇窗户的价格为 3 2 50=75 元 因此每个 B 型活动板的成本为 425+75=500 元； （3）根据题意可得 w=(n-500)（100+20650 10 n ）=-2（n-600）2+20000, 一个月最多生产 160 个， 100+20650 10 n 160 解得 n620 -20 n620 时，w 随 n 的增大而减小 当 n=6
27、20 时，w 最大=19200 元 【点睛】此题主要考查二次函数的综合运用，解题的关键是熟知待定系数法、二次函数的图像与性质 23.实际问题： 某商场为鼓励消费，设计了投资活动方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从 100 张面值分别为 1 元、2 元、3 元、100 元的奖券中（面值为整数） ，一次任意抽取 2 张、3 张、4 张、 等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额某顾客获得了一次抽取 5 张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？ 问题建模： 从 1，2，3，n（n为整数，且3n）这n个整数中任取1aan个整数，这a个整数之和共有多少种不同的结果？ 模型探
28、究： 我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法 探究一： （1）从 1，2，3 这 3 个整数中任取 2 个整数，这 2 个整数之和共有多少种不同的结果？ 表 所取的 2 个整数 1，2 1，3， 2，3 2 个整数之和 3 4 5 如表，所取的 2 个整数之和可以为 3，4，5，也就是从 3 到 5 的连续整数，其中最小是 3，最大是 5，所以共有 3 种不同的结果 （2）从 1，2，3，4 这 4 个整数中任取 2 个整数，这 2 个整数之和共有多少种不同的结果？ 表 所取的 2 个整数 1，2 1，3， 1，4 2，3 2，4 3，4 2 个
29、整数之和 3 4 5 5 6 7 如表，所取的 2 个整数之和可以为 3，4，5，6，7，也就是从 3 到 7 的连续整数，其中最小是 3，最大是 7，所以共有 5 种不同的结果 （3）从 1，2，3，4，5 这 5 个整数中任取 2 个整数，这 2 个整数之和共有_种不同的结果 （4）从 1，2，3，n（n为整数，且3n）这n个整数中任取 2 个整数，这 2 个整数之和共有_种不同的结果 探究二： （1）从 1，2，3，4 这 4 个整数中任取 3 个整数，这 3 个整数之和共有_种不同的结果 （2）从 1，2，3，n（n为整数，且4n ）这n个整数中任取 3 个整数，这 3 个整数之和共有
30、_种不同的结果 探究三： 从 1，2，3，n（n为整数，且5n）这n个整数中任取 4 个整数，这 4 个整数之和共有_种不同的结果 归纳结论： 从 1，2，3，n（n为整数，且3n）这n个整数中任取1aan个整数，这a个整数之和共有_种不同的结果 问题解决： 从 100 张面值分别为 1 元、2 元、3 元、100 元的奖券中（面值为整数） ，一次任意抽取 5 张奖券，共有_种不同的优惠金额 拓展延伸： （1）从 1，2，3，36 这 36 个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有 204 种不同的结果？（写出解答过程） （2）从 3，4，5，3n（n为整数，且2n）这1n个整数中任
31、取11aan个整数，这a个整数之和共有_种不同的结果 【答案】探究一： （3）7； （4）23n（3n，n为整数） ；探究二： （1）4,（2）38n ；探究三：415,n归纳结论： 2 1ana （n为整数，且 3n，1an） ；问题解决：476；拓展延 伸： （1）29个或7个； （2） 2 11a na 【解析】 【分析】 探究一： （3）根据（1） （2）的提示列表，可得答案； （4）仔细观察（1） （2） （3）的结果，归纳出规律，从而可得答案； 探究二： （1）仿探究一的方法列表可得答案； （2）由前面的探究概括出规律即可得到答案； 探究三： 根据探究一，探究二，归纳出从 1，2，
32、3，n（n为整数，且5n）这n个整数中任取 4 个整数的和的结果数， 再根据上面探究归纳出从 1，2，3，n（n为整数，且3n）这n个整数中任取1aan个整数，这a个整数之和的结果数； 问题解决： 利用前面的探究计算出这 5 张奖券和的最小值与最大值，从而可得答案； 拓展延伸： （1）直接利用前面的探究规律，列方程求解即可， （2）找到与问题等价的模型，直接利用规律得到答案 【详解】解：探究一： （3）如下表： 取的 2 个 整数 1,2 1,3 1,4 1,5 2,3 2,4 2,5 3,4 3,5 4,5 2 个 整数 之和 3 4 5 6 5 6 7 7 8 9 所取的 2 个整数之和可
33、以为 3，4，5，6，7，8，9 也就是从 3 到 9 的连续整数，其中最小是 3，最大是 9，所以共有 7 种不同的结果 （4）从 1，2，3，n（n为整数，且3n）这n个整数中任取 2 个整数，这 2 个整数之和的最小值是 3，和的最大值是21,n 所以一共有21 3 123nn 种 探究二： （1）从 1，2，3，4 这 4 个整数中任取 3 个整数，如下表： 取的 3 个整数 1,2,3 1,2,4 1,3,4 2,3,4 3 个整数之和 6 7 8 9 从 1，2，3，4 这 4 个整数中任取 3 个整数，这 3 个整数之和共有 4 种， （2）从 1，2，3，4，5 这 5 个整数
34、中任取 3 个整数， 这 3 个整数之和的最小值是 6，和的最大值是 12, 所以从 1，2，3，4，5 这 5 个整数中任取 3 个整数，这 3 个整数之和共有 7 种， 从而从 1，2，3，n（n为整数，且4n ）这n个整数中任取 3 个整数， 这 3 个整数之和的最小值是 6，和的最大值是33,n 所以一共有33 6 138nn 种， 探究三： 从 1，2，3，4，5 这 5 个整数中任取 4 个整数， 这 4 个整数之和最小是10, 最大是14， 所以这 4 个整数之和一共有 5 种， 从 1，2，3，4，5，6 这 6 个整数中任取 4 个整数， 这 4 个整数之和最小是10, 最大
35、是18,， 所以这 4 个整数之和一共有 9 种， 从 1，2，3，n（n为整数，且5n）这n个整数中任取 4 个整数， 这 4 个整数之和的最小值是 10，和的最大值是46n ， 所以一共有46 10 1415nn 种不同的结果 归纳结论： 由探究一，从 1，2，3，n（n为整数，且3n）这n个整数中任取 2 个整数，这 2 个整数之和共有23n种 探究二，从 1，2，3，n（n为整数，且4n ）这n个整数中任取 3 个整数，这 3 个整数之和共有38n种， 探究三，从 1，2，3，n（n为整数，且5n）这n个整数中任取 4 个整数，这 4 个整数之和共有415n 种不同的结果 从而可得：
36、从 1，2，3，n（n为整数，且3n）这n个整数中任取1aan个整数，这a个整数之和共有 2 1ana种不同的结果 问题解决： 从 100 张面值分别为 1 元、2 元、3 元、100 元的奖券中（面值为整数） ， 一次任意抽取 5 张奖券，这 5 张奖券和的最小值是 15，和的最大值是 490， 共有490 15 1476 种不同的优惠金额 拓展延伸： （1） 从 1，2，3，n（n为整数，且3n）这n个整数中任取1aan个整数，这a个整数之和共有 2 1ana 种不同的结果 当36,n 有 2 361204,aa 2 36203,aa 2 18121,a 1811a 或 1811,a 29
37、a 或7.a 从 1，2，3，36 这 36 个整数中任取 29 个或 7 个整数，使得取出的这些整数之和共有 204 种不同的结果 （2） 由探究可知： 从 3， 4， 5， ，3n（n为整数， 且2n） 这1n个整数中任取11aan个整数， 等同于从 1， 2， 3， ，1n（n为整数， 且2n） 这1n个整数中任取11aan 个整数， 所以：从 3，4，5，3n（n为整数，且2n）这1n个整数中任取11aan个整数，这a个整数之和共有 2 11a na 种不同的结果 【点睛】本题考查的是学生自主探究，自主归纳的能力，同时考查了一元二次方程的解法，掌握自主探究的方法是解题的关键 24.已知
38、：如图，在四边形ABCD和RtEBF中，/AB CD，CDAB，点C在EB上，90ABCEBF，8ABBEcm ，6BCBFcm，延长DC交EF于点M，点P从点A出发， 沿AC方向匀速运动，速度为2cm s；同时，点Q从点M出发，沿MF方向匀速运动，速度为1cm s，过点P作GHAB于点H，交CD于点G设运动时间为 05t st 解答下列问题： （1）当t为何值时，点M在线段CQ的垂直平分线上？ （2）连接PQ，作QNAF于点N，当四边形PQNH为矩形时，求t的值； （3）连接QC，QH，设四边形QCGH的面积为 2 S cm ，求S与t的函数关系式； （4）点P在运动过程中，是否存在某一时刻
39、t，使点P在AFE的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由 【答案】 （1） t= 3 2 ； （2）t=3;（3）S 与 t 的函数关系式为 2 16157 2552 Stt ； （4）存在，t= 7 2 , 【解析】 【分析】 （1）要使点 M 在线段 CQ 的垂直平分线上，只需证 CM=MQ 即可； （2）由矩形性质得 PH=QN，由已知和 AP=2t，MQ=t，解直角三角形推导出 PH、QN，进而得关于 t 的方程，解之即可； （3）分别用 t 表示出梯形 GHFM 的面积、 QHF 的面积、 CMQ 的面积，即可得到 S 与 t 的函数关系式； （4）延长 AC 交 EF
40、 与 T，证得 ATEF，要使点 P 在AFE 的平分线上，只需 PT=PH，分别用 t 表示 PT、PH，代入得关于 t 的方程，解之即可 【详解】 （1）当t= 3 2 时，点M在线段CQ的垂直平分线上，理由为： 由题意，CE=2，CMBF， CMCE BFBE 即： 2 68 CM ， 解得：CM= 3 2 ， 要使点M在线段CQ的垂直平分线上， 只需 QM=CM= 3 2 ， t= 3 2 ； （2）如图，90ABCEBF， 8ABBE，6BCBF， AC=10，EF=10，sinPAH= 3 5 BC AC ，cosPAH= 4 5 AB AC ，sinEFB= 4 5 BE EF
41、， 在 Rt APH 中，AP=2t， PH=AP sinPAH= 6 5 t， 在 Rt ECM 中，CE=2,CM= 3 2 ,由勾股定理得：EM= 5 2 ， 在 Rt QNF 中，QF=10-t- 5 2 = 15 2 t， QN=QF sinEFB=( 15 2 t)4 5 = 4 6 5 t， 四边形PQNH为矩形， PH=QN， 6 5 t= 4 6 5 t， 解得：t=3； （3）如图，过 Q 作 QNAF 于 N， 由（2）中知 QN= 4 6 5 t，AH=AP cosPAH= 8 5 t， BH=GC=8- 8 5 t， GM=GC+CM= 83198 8 5225 tt
42、，HF=HB+BF= 8 14 5 t， QHFCMQGHFM SSSS 梯形 = 111 () 6(6) 222 GMHFHF QNCMQN = 1 19881841 34 (14) 6(14) (6)(66) 22552552 25 ttttt = 2 16157 2552 tt， S 与 t 的函数关系式为： 2 16157 2552 Stt ； （4）存在，t= 7 2 证明：如图，延长 AC 交 EF 于 T， AB=BF BC=BF, 90ABCEBF， ABCEBF， BAC=BEF， EFB+BEF=90 ， BAC+EFB=90 ， ATE=90 即 PTEF， 要使点P在A
43、FE的平分线上，只需 PH=PT， 在 Rt ECM 中，CE=2,sinBEF= 3 5 CTBF CEEF ， CT=CE sinBEF = 6 5 ， PT=10+ 6 5 -2t= 56 2 5 t，又 PH= 6 5 t， 6 5 t= 56 2 5 t， 解得：t= 7 2 【点睛】本题属于四边形的综合题，考查了解直角三角形、锐角三角函数、垂直平分线、角平分线、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、多边形的面积等知识、解答的关键是认真审题，分析相关 知识，利用参数构建方程解决问题，是中考常考题型 本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（）专业教师团队编校出品。 登录组卷网可对本试卷进行单题组卷单题组卷、细目表分析细目表分析、布置作业布置作业、举一反三举一反三等操作。 试卷地址：在组卷网浏览本卷 组卷网是163文库旗下的在线题库平台，覆盖小初高全学段全学科、超过 900 万精品解析试题。 关注组卷网服务号，可使用移动教学助手功能（布置作业、线上考试、加入错题本、错题训练） 。 163文库长期征集全国最新统考试卷、名校试卷、原创题，赢取丰厚稿酬，欢迎合作。 钱老师 QQ：537008204 曹老师 QQ：713000635
