1、 内江市内江市 2020 年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试试卷年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试试卷 数学试题数学试题 A 卷（共卷（共 100 分）分） 注意事项：注意事项： 1、答题前，考生务必将将自己的姓名、学号、班级等填写好、答题前，考生务必将将自己的姓名、学号、班级等填写好 2、答、答 A 卷时，每小题选出答案后，用钢笔或水笔把答案直接填写在对应题目的后面括号卷时，每小题选出答案后，用钢笔或水笔把答案直接填写在对应题目的后面括号 第第卷（选择题卷（选择题 共共 36 分）分） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 3
2、6 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ） 1. 1 2 的倒数是（ ） A. B. C. 1 2 D. 1 2 【答案】A 【解析】 【分析】 根据乘积是 1 的两个数叫做互为倒数，求解 【详解】解： 1 2=1 2 1 2 的倒数是 2 故选：A 【点睛】本题考查倒数的概念，掌握概念正确计算是解题关键 2.下列四个数中，最小的数是（ ） A. 0 B. 1 2020 C. 5 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】 先根据有理数的大小比较法则比较大小，即可得出选项 【详解】 1 105 2020 ， 最小的数是1
3、， 故选：D 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，其方法如下： （1）负数0正数； （2）两个负数，绝对值大的反而小 3.下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转 180 后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形”分析可知，上述图形中，A、C、D 都不是中心对称图形，只有 B 是中心对称图形. 故选 B. 4.如图，已知直线/ab，150 ，则2的度数为（ ） A. 140 B. 130 C. 50 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】 利用平行线的
4、性质即可解决问题 【详解】如图，ab， 1350 ， 218050130 ， 故选：B 【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 5.小明参加学校举行的“保护环境”主题演讲比赛，五位评委给出的评分分别为：90，85，80，90，95，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 80，90 B. 90，90 C. 90，85 D. 90，95 【答案】B 【解析】 【分析】 根据中位数、众数的定义即可求解 【详解】把分数从小到大排列为：80,85,90,90,95 故中位数为 90，众数为 90 故选 B 【点睛】此题主要考查中位数、众数，解题的关键是熟知中位
5、数、众数的定义 6.将直线 21yx 向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为（ ） A. 25yx B. 23yx C. 21yx D. 23yx 【答案】C 【解析】 【分析】 向上平移时，k 的值不变，只有 b 发生变化 【详解】解：原直线的 k=-2，b=-1；向上平移两个单位得到了新直线， 那么新直线的 k=-2，b=-1+2=1 新直线的解析式为 y=-2x+1 故选：C 【点睛】本题主要考查了一次函数图象的变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时 k 和 b 的值发生变化 7.如图，在ABC中，D、E 分别是 AB 和 AC 的中点， 15 BCED S 四边形 ，则
6、ABC S（ ） A. 30 B. 25 C. 225 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】 首先判断出 ADEABC，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出 ABC 的面积 【详解】 解： 根据题意， 点 D 和点 E 分别是 AB 和 AC 的中点， 则 DEBC 且 DE= 1 2 BC， 故可以判断出 ADEABC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方， 可知 ADE S： ABC S=1： 4， 则 B C E D S四边形 ： ABC S=3：4，题中已知15 BCED S 四边形 ，故可得 ADE S=5， ABC S=20 故本题选择 D 【点睛】本题主要考
7、查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出 DE 是中位线，从而判断 ADEABC，然后掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解本题 8.如图，点 A、B、C、D 在O 上，120AOC，点 B 是AC的中点，则D的度数是（ ） A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 【答案】A 【解析】 【分析】 根据圆心角、弧、弦的关系定理得到AOB 1 2 AOC，再根据圆周角定理解答 【详解】连接 OB， 点 B 是AC的中点， AOB 1 2 AOC60 ， 由圆周角定理得，D 1 2 AOB30 ， 故选：A 【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或
8、等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键 9.如图，点 A 是反比例函数 k y x 图象上的一点，过点 A 作ACx轴，垂足为点 C，D 为 AC 的中点，若AOD的面积为 1，则 k 的值为（ ） A. 4 3 B. 8 3 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】 先设出点 A 的坐标，进而表示出点 D 的坐标，利用 ADO 的面积建立方程求出2mn，即可得出结论 【详解】点 A 的坐标为（m，2n） ， 2mnk， D 为 AC 的中点， D（m，n） ， ACx轴， ADO 的面积为 1， ADO 111 21 222 SAD OCnn
9、mmn， 2mn， 24kmn， 故选：D 【点睛】本题考查反比例函数系数 k 的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答 10.我国古代数学著作增删算法统宗记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托折回索子却量竿，却比竿子短一托”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿 长 5 尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短 5 尺设绳索长 x 尺则符合题意方程是（ ） A. 1 55 2 xx B. 1 55 2 xx C. 255xx D. 255xx 【答案】A 【解析】 分析】 设索为x尺，
10、杆子为(5x)尺，则根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短 5 尺”，即可得出关于x一元一次方程 【详解】设索为x尺，杆子为(5x)尺， 根据题意得： 1 2 x (5x)5 故选：A 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键 11.如图，矩形 ABCD 中，BD 为对角线，将矩形 ABCD 沿 BE、BF 所在直线折叠，使点 A 落在 BD 上的点 M 处，点 C 落在 BD 上的点 N 处，连结 EF已知34ABBC，则 EF 的长为（ ） A. 3 B. 5 C. 5 13 6 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】 由矩形的性质和已知求出 BD=5，根据折叠的
11、性质得 ABEMBE，设 AE 的长度为 x，在 Rt EMD 中，由勾股定理求出 DE 的长度，同理在 Rt DNF 中求出 DF 的长度，在 Rt DEF 中利用勾股定 理即可求出 EF 的长度 【详解】解：四边形 ABCD 是矩形，AB=3，BC=4， BD= 22 34 =5， 设 AE 的长度为 x， 由折叠可得： ABEMBE， EM=AE=x，DE=4-x，BM=AB=3，DM=5-3=2， 在 Rt EMD 中，EM2+DM2=DE2， x2+22=（4-x）2， 解得：x= 3 2 ，ED=4- 3 2 = 5 2 ， 设 CF 的长度为 y， 由折叠可得： CBFNBF，
12、NF=CF=y，DF=3-y，BN=BC=4，DN=5-4=1， 在 Rt DNF 中，DN2+NF2=DF2， y2+12=（3-y）2， 解得：x= 4 3 ，DF=3- 4 3 = 5 3 ， 在 Rt DEF 中，EF= 22 22 555 13 236 DEDF ， 故答案为：C 【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质和勾股定理，运用勾股定理求出 DE 和 DF 的长度是解题的关键 12.在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线2 2ytxt （0t ）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则 t 的取值范围是（ ）
13、 A. 1 2 2 t B. 1 1 2 t C 12t D. 1 2 2 t 且 1t 【答案】D 【解析】 【分析】 画出函数图象，利用图象可得 t 的取值范围. 【详解】22ytxt， 当 y=0 时，x= 2 2 t ；当 x=0 时，y=2t+2， 直线 22ytxt 与 x 轴的交点坐标为（ 2 2 t ，0） ，与 y 轴的交点坐标为（0，2t+2） ， t0， 2t+22， 当 t= 1 2 时，2t+2=3，此时 2 2 t =-6，由图象知：直线 22ytxt （0t ）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，如图 1， 当 t=2 时，2t+2=6，此时
14、 2 2 t =-3，由图象知：直线 22ytxt （0t ）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，如图 2， 当 t=1 时，2t+2=4， 2 2 t =-4，由图象知：直线 22ytxt （0t ）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，如图 3， 1 2 2 t 且 1t ， 故选：D. 【点睛】此题考查一次函数的图象的性质，一次函数图象与坐标轴交点坐标，根据 t 的值正确画出图象理解题意是解题的关键. 第第卷（非选择题卷（非选择题 共共 64 分）分） 注意事项：注意事项： 1、第、第卷共卷共 4 页，用钢笔或圆珠笔将答案直接答在试卷上页，用钢笔
15、或圆珠笔将答案直接答在试卷上 2、答题前将密封线内的项目填写清楚、答题前将密封线内的项目填写清楚 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13.函数 1 24 y x 中，自变量x的取值范围是_ 【答案】2x 【解析】 【详解】根据函数可知：240 x,解得：2x 故答案为：2x 14.2020 年 6 月 23 日 9 时 43 分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射北斗系统第五十五颗导航卫星，标志着北斗三号卫星导航定位系统正式建成根据最新数据，目前兼容北斗 的终端产品至少有 7 亿台，其中 7 亿用科学记数
16、法表示为_ 【答案】 8 7 10 【解析】 【分析】 科学记数法的表示形式为：10na，其中 1a10，n 为整数，确定 a 值和 n 值即可解答 【详解】7 亿=700000000= 8 7 10， 故答案为： 8 7 10 【点睛】此题考查科学记数法的表示，正确确定 a 的值和 n 的值是解答的关键 15.已知关于 x 的一元二次方程 2 2 1330mxmx有一实数根为1，则该方程的另一个实数根为_ 【答案】 1 3 【解析】 【分析】 根据一元二次方程的解的定义把 x=-1 代入原方程得到关于 m 的一元二次方程，解得 m 的值，然后根据一元二次方程的定义确定 m 的值 【详解】解：
17、把 x=-1 代入 2 2 1330mxmx得 m2-5m+4=0，解得 m1=1,m2=4， (m-1)20， m1 m=4. 方程为 9x2+12x+3=0. 设另一个根为 a,则-a= 3 9 . a=- 1 3 . 故答案为: - 1 3 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为 一元二次方程的根也考查了一元二次方程的定义 16.如图，在矩形 ABCD 中，10BC ，30ABD，若点 M、N 分别是线段 DB、AB 上的两个动点，则AMMN 的最小值为_
18、 【答案】15. 【解析】 【分析】 如图，过 A 作AGBD于G，延长AG，使AGEG，过E作ENAB于N，交BD于M，则AMMNEN最短，再利用矩形的性质与锐角三角函数求解EN即可得到答案 【详解】解：如图，过 A 作AGBD于G，延长AG，使AGEG，过E作ENAB于N，交BD于M，则AMMNEN最短， 四边形ABCD为矩形，10BC ，30ABD， 10,20,cos3010 3,ADBDABBD ,AGBDADAB 2010 10 3,AG 5 3,210 3,AGAEAG ,AEBD ENABEMGBMN 30 ,EABD 3 cos3010 315, 2 ENAE 15,AMMN
19、 即AMMN的最小值为15. 故答案为：15. 【点睛】本题考查的是矩形的性质，锐角三角函数的应用，同时考查利用轴对称与垂线段最短求线段和的最小值问题，掌握以上知识是解题的关键 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 44 分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤）分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤） 17.计算： 1 01 24sin60123 2 【答案】-3 【解析】 【分析】 根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式和零次幂的运算法则分别对每项进行化简，再进行加减计算即可 【详解】解： 1 01 24sin60123 2 222 32 31 3
20、【点睛】本题考查实数的混合运算、熟练掌握负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式和零次幂的运算法则是解题的关键 18.如图，点 C，E，F，B 在同一直线上，点 A，D 在 BC 异侧，ABCD，AEDF，AD （1）求证：AB=CD； （2）若 ABCF，B40 ，求D 的度数 【答案】 （1）ABCD（2）70 【解析】 【分析】 （1）根据平行线的性质求出B=C，根据 AAS 推出 ABECDF，根据全等三角形的性质得出即可； （2）根据全等得出 AB=CD，BE=CF，B=C，求出 CF=CD，推出D=CFE，即可求出答案 【详解】 （1）证明：ABCD， BC， 在 ABE
21、 和 CDF 中， BC，AE=DF ，AD AEBDFC ABCD. （2）ABCD， ABCF， CDCF， BC=40 ， D(180 40 ) 270 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，能根据全等三角形的判定求出 ABECDF 是解此题的关键 19.我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为 A、B、C、D 四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图请你根据统计图解答下列问题 （1）成绩为“B 等级”的学生人数有 名； （2）在扇形统计图中，表示“D 等级”的扇形的圆心角度数为 ，图中 m 的值为 ； （3）学
22、校决定从本次比赛获得“A 等级”的学生中选出 2 名去参加市中学生知识竞赛已知“A 等级”中有 1 名女生，请用列表或画树状图的方法求出女生被选中的概率 【答案】 （1）5（2）72 ；40（3） 2 3 【解析】 【分析】 （1）先根据“A 等级”的人数及占比求出学生总人数，再减去各组人数即可求出成绩为“B 等级”的学生人数； （2）根据“D 等级”的占比即可求出其圆心角度数，根据“C 等级”的人数即可求出 m 的值； （3）根据题意画树状图，再根据概率公式即可求解 【详解】 （1）学生总人数为 3 15%=20（人） 成绩为“B 等级”的学生人数有 20-3-8-4=5（人） 故答案为：5
23、； （2）“D 等级”扇形的圆心角度数为 4 36072 20 m= 8 10040 20 ， 故答案为：72 ；40； （3）根据题意画树状图如下： P（女生被选中）= 42 63 【点睛】此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是根据题意求出学生总人数及概率的求解方法 20.为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时 60 海里的速度向正东方向航行，在 A 处测得灯塔 P 在北偏东60方向上，海监船继 续向东航行 1 小时到达 B 处，此时测得灯塔 P 在北偏东30方向上 （1）求 B 处到灯塔 P 的距离； （2）已知灯塔 P 的周围
24、 50 海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？ 【答案】 （1）B 处到灯塔 P 的距离为 60 海里； （2）海监船继续向正东方向航行是安全的 【解析】 【分析】 （1）作 PDAB 于 D求出PAB、PBA、P 的度数，证得 ABP 为等腰三角形，即可解决问题； （2）在 Rt PBD 中，解直角三角形求出 PD 的值即可判定 【详解】 （1）过点 P 作 PDAB 于点 D， 由题意得，AB=60（海里） ，PAB=30 ，PBD=60 ， APB=PBD-PAB=60 -30 =30 =PAB， PB=AB=60（海里） ， 答：B 处到灯塔 P 的距离为 60 海里； （
25、2）由（1）可知APB=PAB=30 ， PB=AB=60（海里） 在 Rt PBD 中， PD=BPsin6060 3 30 3 2 （海里） ， 30 3 50 ， 海监船继续向正东方向航行是安全的 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键 21.如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，ODBC于点 D，过点 C 作O 的切线，交 OD 的延长线于点 E，连结 BE （1）求证：BE 是O 的切线； （2）设 OE 交O 于点 F，若24 3DFBC，求线段 EF 的长； （3）在（2）的条件下，求阴
26、影部分的面积 【答案】 （1）见解析； （2）EF=4； （3） 16 16 3 3 【解析】 【分析】 （1）连接 OC，如图，根据垂径定理由 ODBC 得到 CD=BD，则 OE 为 BC 的垂直平分线，所以 EB=EC，根据等腰三角形的性质得EBC=ECB，加上OBC=OCB，则OBE=OCE；再根据切 线的性质得OCE=90 ，所以OBE=90 ，然后根据切线的判定定理得 BE 与O 相切； （2）设O 的半径为 R，则 OD=R-DF=R-2，OB=R，在 Rt OBD，利用勾股定理解得 R=4，再利用含 30 角的直角三角形边角关系可求得 OE，利用 EF=OE-OF 即可解答；
27、（3）利用（2）中可求得BOC=120 ,然后利用 =S OBEC SS 阴影四边形扇形OBC代入数值即可求解 【详解】 （1）证明：连接 OC，如图， ODBC， CD=BD， OE 为 BC 的垂直平分线， EB=EC， EBC=ECB， OB=OC， OBC=OCB， OBC+EBC=OCB+ECB，即OBE=OCE， CE 为O 的切线， OCCE， OCE=90 ， OBE=90 ， OBBE， BE 与O 相切 （2）设O 的半径为 R，则 OD=R-DF=R-2，OB=R， 在 Rt OBD 中，BD= 1 2 BC=2 3 OD2+BD2=OB2， 222 (2)(2 3)RR
28、，解得 R=4， OD=2，OB=4， OBD=30 ， BOD=60 ， 在 Rt OBE 中，BEO=30 ，OE=2OB=8， EF=OE-OF=8-4=4， 即 EF=4； （3）由OCD=OBD=30 和 ODBC 知：COD=BOD=60 ， BOC=120 ，又 BC=4 3，OE=8， =S OBEC SS 阴影四边形扇形OBC = 2 11204 8 4 3 2360 16 16 3 3 , 【点睛】本题考查了切线的判定与性质、垂径定理、扇形面积的计算、含 30 角的直角三角形边角关系、勾股定理等知识，熟练掌握每个知识点是解答的关键 B 卷（共卷（共 60 分）分） 四、填空
29、题（本大题共四、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 24 分 ）分 ） 22.分解因式： 42 12bb_ 【答案】 2 322bbb 【解析】 【分析】 先根据十字相乘法，再利用平方差公式即可因式分解 【详解】 42 12bb 222 34322bbbbb 故答案为： 2 322bbb 【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知因式分解的方法 23.若数 a 使关于 x 的分式方程 2 3 11 xa xx 的解为非负数，且使关于 y 的不等式组 3113 4312 20 yy ya 的解集为0y ，则符合条件的所有整数 a 的积为_ 【答案】40 【解析】
30、 【分析】 根据分式方程的解为正数即可得出 a5 且 a3，根据不等式组的解集为0y ，即可得出 a0，找出 0a5 且 a3 中所有的整数，将其相乘即可得出结论 【详解】解：分式方程 2 3 11 xa xx 的解为 x= 5 2 a 且 x1， 分式方程 2 3 11 xa xx 的解为非负数， 5 0 2 a 且 5 2 a 1. a5 且 a3. 3113 4312 20 yy ya 解不等式，得 0y . 解不等式，得 y0. 0a5 且 a3. 又 a 为整数，则 a 的值为 1，2，4，5. 符合条件的所有整数 a 的积为1 2 4 540 . 故答案为：40. 【点睛】本题考查
31、了分式方程的解以及解一元一次不等式，根据分式方程的解为正数结合不等式组的解集为0y ，找出 a 的取值范围是解题的关键 24.如图， 在平面直角坐标系中， 点 A （-2， 0） ， 直线 33 : 33 l yx与 x 轴交于点 B， 以 AB 为边作等边 1 ABA， 过点 1 A作 11/ / ABx轴， 交直线 l 于点 1 B， 以 11 AB为边作等边 112 AB A， 过点 2 A作 22/ / A Bx 轴，交直线 l 于点 2 B，以 22 A B为边作等边 223 A B A，以此类推，则点 2020 A的纵坐标是_ 【答案】 2020 3 (21) 2 【解析】 【分析
32、】 如图，过 A1作 A1CAB 与 C，过 A2作 A2C1A1B1于 C1，过 A3作 A3C2A2B2于 C2，先根据直线方程与 x 轴交于点 B（-1，0） ，且与 x 轴夹角为 30 ，则有 AB=1，然后根据平行线的性质、等边三角 形的性质、含 30 的直角三角形的性质，分别求的 A1、A2、A3、的纵坐标，进而得到 An的纵坐标，据此可得 A2020的纵坐标，即可解答 【详解】如图，过 A1作 A1CAB 与 C，过 A2作 A2C1A1B1于 C1，过 A3作 A3C2A2B2于 C2，先根据直线方程与 x 轴交于点 B（-1，0） ，与 y 轴交于点 D（0， 3 3 ） ，
33、 OB=1,OD= 3 3 , DBO=30 由题意可得：A1B1B=A2B2B1=30 ,B1A1B=B2A2B1=60 A1BB1=A2B1B2=90 ， AB=1，A1B1=2A1B=21，A2B2=2A2B1=22，A3B3=2A3B2=23，AnBn=2n A1C= 3 2 AB= 3 2 1， A1纵坐标为 3 2 1= 1 3 (21) 2 ； A2C1= 3 2 A1B1= 1 3 2 2 ， A2 的纵坐标为 3 2 1+ 1 3 2 2 = 01 3 (22 ) 2 = 3 3 2 = 2 3 (21) 2 ； A3C2= 3 2 A2B2= 2 3 2 2 , A3的纵坐
34、标为 3 2 1+ 1 3 2 2 + 2 3 2 2 = 012 3 (222 ) 2 = 3 7 2 = 3 3 (21) 2 ； 由此规律可得：AnCn-1= 1 3 2 2 n , An的纵坐标为 0121 3 (2222) 2 n = 3 (21) 2 n ， A2020= 2020 3 (21) 2 ， 故答案为： 2020 3 (21) 2 【点睛】 本题是一道点的坐标变化规律探究，涉及一次函数的图象、等边三角形的性质、含 30 角的直角三角形的性质，数字型规律等知识，解答的关键是认真审题，观察图象，结合基本图形的有关性质，找到 坐标变化规律 25.已知抛物线 2 1 4yxx
35、（如图） 和直线 2 2yxb 我们规定： 当 x 取任意一个值时， x 对应的函数值分别为 1 y和 2 y 若 12 yy， 取 1 y和 2 y中较大者为 M； 若 12 yy， 记 12 Myy 当2x 时，M 的最大值为 4；当3b时，使 2 My的 x 的取值范围是13x- ；当 5b时，使3M 的 x 的值是 1 1x ， 2 3x ；当1b时，M 随 x 的增大而增大上述结论正确的是_（填 写所有正确结论的序号） 【答案】 【解析】 【分析】 根据题目中的较大者 M 的定义逐个分析即可 【详解】解：对于：当2x时， 2 1 24 24 y， 2 2 2=4+ ybb，显然只要0
36、b，则 M 的值为4+b，故错误； 对于：当3b时，在同一直角坐标系内画出 12 ,y y的图像，如下图所示，其中红色部分即表示 M，联立 12 ,y y的函数表达式，即 2 423xxx，求得交点横坐标为3和1，观察图形可知 2 My 的 x 的取值范围是13x- ，故正确； 对于：当5b时，在同一直角坐标系内画出 12 ,y y的图像，如下图所示，其中红色部分即表示 M， 联立 12 ,y y的函数表达式，即 2 425xxx，求得其交点的横坐标为1+ 6和16， 故 M=3 时分类讨论：当 2 1 43 yxx时，解得 1 3x 或 2 1x ，当 2 253yx时，解得 3 416 x
37、(舍)，故正确； 对于：当1b时，函数 21 yy，此时 2 y图像一直在 1 y图像上方，如下图所示，故此时 M= 2 y，故 M 随 x 的增大而增大，故正确 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图像性质及交点坐标，本题的关键是要能理解 M 的含义，学会用数形结合的方法分析问题 五、解答题（本大题共五、解答题（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 12 分，共分，共 36 分）分） 26.我们知道，任意一个正整数 x 都可以进行这样的分解：xm n（m，n 是正整数，且mn） ，在 x 的所有这种分解中，如果 m，n 两因数之差的绝对值最小，我们就称m n 是 x 的最佳分
38、解并规 定： m f x n 例如：18 可以分解成1 18，2 9或3 6，因为18 19 26 3 ，所以3 6是 18 的最佳分解，所以 31 18 62 f （1）填空： 6_f； 9_f； （2）一个两位正整数 t（10tab，19ab，a，b 为正整数） ，交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为 54，求出所有的两位正整数；并求 f t的最大值； （3）填空： 2 23 5 7_f ； 3 23 5 7_f ； 4 23 5 7_f ； 5 23 5 7_f 【答案】 （1） 2 3 ；1； （2）t 为 39，28，17； f t的最大值 4 7 ； （3）
39、 20 14 15 14 , 21 15 28 15 【解析】 【分析】 （1）61 62 3，由已知可求 6f 2 3 ；9=1 9=3 3，由已知可求 9f=1； （2）由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：10ba10ab9（ba）54，得到 ba6，可求 t 的值，故可得到 f t的最大值； （3）根据 m f x n 的定义即可依次求解 【详解】 （1）61 62 3， 6132， 6f 2 3 ； 9=1 9=3 3， 9133， 9f=1， 故答案为： 2 3 ；1； （2）由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为： 10ba10ab9（ba）54， ba6， 1ab9，
40、 b9，a3 或 b8，a2 或 b7，a1， t 为 39，28，17； 391 393 13， 39f 3 13 ； 281 282 144 7， 28f 4 7 ； 171 17， 1 17 17 f； f t的最大值 4 7 （3） 2 23 5 7 =20 21 2 20 23 5 7 21 f ； 3 23 5 7 =28 30 3 2814 23 5 7 3015 f ； 4 23 5 7 =56 30 4 3015 23 5 7 5628 f ； 5 23 5 7 =56 60 5 5614 23 5 7 6015 f ， 故答案为： 20 14 15 14 , 21 15 2
41、8 15 【点睛】本题考查因式分解的应用；理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由数的特点求解是解题的关键 27.如图，正方形 ABCD 中，P 是对角线 AC 上的一个动点（不与 A、C 重合） ，连结 BP，将 BP 绕点 B 顺时针旋转90到 BQ，连结 QP 交 BC 于点 E，QP 延长线与边 AD 交于点 F （1）连结 CQ，求证：APCQ； （2）若 1 4 APAC，求:CE BC的值； （3）求证：PFEQ 【答案】(1)见解析；(2) 3 8 ；(3)见解析 【解析】 【分析】 (1)由旋转知 PBQ 为等腰直角三角形，得到 PB=QB，PBQ=90 ，进而证明
42、 APBCQB 即可； (2)设 AP=x，则 AC=4x，PC=3x，由(1)知 CQ=AP=x，又 ABC 为等腰直角三角形，所以 BC= 2 =2 2 2 ACx，PQ=10 x，再证明 BQEBCQ，由此求出 BE，进而求出 CE:BC 的值； (3)在 CE 上截取 CG，并使 CG=FA，证明 PFAQGC，进而得到 PF=QG，然后再证明QGE=QEG 即可得到 QG=EQ，进而求解 【详解】解：四边形 ABCD 为正方形， AB=BC，ABC=90 ， BP 绕点 B 顺时针旋转90到 BQ， BP=BQ，PBQ=90 ， ABC-PBC=PBQ-PBC, ABP=CBQ， 在
43、 APB 和 CQB 中， ABBC ABPCBQ BPQB ， APBCQB(SAS)， AP=CQ (2) 设 AP=x，则 AC=4x，PC=3x，由(1)知 CQ=AP=x， ABC 为等腰直角三角形，BC= 2 =2 2 2 ACx， Rt PCQ 中，由勾股定理有： 2222 910PQPCCQxxx， 且 PBQ 为等腰直角三角形， 2 5 2 BQPQx， 又BCQ=BAP=45 ，BQE=45 ， BCQ=BQE=45 ，且CBQ=CBQ， BQEBCQ， = BQBE BCBQ ，代入数据： 5 = 2 25 xBE xx ， BE= 5 2 4 x，CE=BC-BE= 3
44、 2 4 x， 3 2 3 4 := 82 2 CE BC ， 故答案为： 3 8 (3) 在 CE 上截取 CG，并使 CG=FA，如图所示： FAP=GCQ=45 ， 且由(1)知 AP=CQ，且截取 CG=FA， 故有 PFAQGC(SAS)， PF=QG，PFA=CGQ， 又DFP=180 -PFA，QGE=180 -CGQ， DFP=QGE， DA/BC， DFP=CEQ， QGE=CEQ， QGE 为等腰三角形， GQ=QE， 故 PF=QE 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定和性质、相似三角形判定和性质的综合，具有一定的综合性，本题第(3)问关键是能想到
45、在 CE 上截取 CG，并使 CG=FA 这条辅助线 28.如图，抛物线 2 yaxbxc经过 A（-1，0） 、B（4，0） 、C（0，2）三点，点 D（x，y）为抛物线上第一象限内的一个动点 （1）求抛物线所对应的函数表达式； （2）当BCD的面积为 3 时，求点 D 的坐标； （3）过点 D 作DEBC，垂足为点 E，是否存在点 D，使得CDE中的某个角等于ABC的 2 倍？若存在，求点 D 的横坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 （1） 2 13 2 22 yxx ； （2） （3，2）或（1，3） ； （3）存在，2 或 29 11 【解析】 【分析】 （1）根据点 A、B、C 的
46、坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）根据三角形面积公式可求与 BC 平行的经过点 D 的 y 轴上点 M 的坐标，再根据待定系数法可求 DM 的解析式，再联立抛物线可求点 D 的坐标； （3）分DCE2ABC 及CDE2ABC 两种情况考虑：当DCE2ABC 时，取点 F（0，2） ，连接 BF，则 CDBF，由点 B，F 的坐标，利用待定系数法可求出直线 BF，CD 的解析式，联 立直线 CD 及抛物线的解析式组成方程组，通过解方程组可求出点 D 的坐标；当CDE2ABC 时，过点 C 作 CNBF 于点 N，交 OB 于 H作点 N 关于 BC 的对称点 P，连接 NP 交 BC 于点 Q， 由 OCHOBF 求出 H 点坐标，利用待定系数法求出直线 CN 的解析式，联立直线 BF 及直线 CN 成方程组，通过解方程组可求出点 N 的坐标，利用对称的性质可求出点 P 的坐标，由点 C、P 的坐 标，利用待定系数法可求出直线 CP 的解析式，将直线 CP 的解析式代入抛物线解析式中可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其非零值可得出点 D 的横坐标依此即可得解 【详解】解答：解： （1）将 A（1，0） 、B（4，0） 、C（0，2）代入 yax2bxc 得：
