1、 第 1 页（共 24 页） 2020 年湖南省衡阳市中考数学试卷年湖南省衡阳市中考数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，满分 36 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ） 1 （3 分） （2020衡阳）3 的相反数是（ ） A3 B3 C1 3 D 1 3 2 （3 分） （2020衡阳）下列各式中，计算正确的是（ ） Aa3+a2a5 Ba3a2a C （a2）3a5 Da2a3a5 3 （3 分） （2020衡阳）2019 年 12 月 12 日，
2、国务院新闻办公室发布，南水北调工程全面通水 5 周年来，直接受益人口超过 1.2 亿人，其中 1.2 亿用科学记数法表示为（ ） A1.2108 B1.2107 C1.2109 D1.210 8 4 （3 分） （2020衡阳）下列各式中正确的是（ ） A|2|2 B4 =2 C9 3 =3 D301 5 （3 分） （2020衡阳）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A赵爽弦图 B科克曲线 C笛卡尔心形线 D斐波那契螺旋线 6 （3 分） （2020衡阳）要使分式 1 ;1有意义，则 x 的取值范围是（ ） Ax1 Bx1 Cx1 Dx0 7 （3
3、分） （2020衡阳）如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，下列条件不能判断四边形 ABCD 是平行四边形的是（ ） AABDC，ADBC BABDC，ADBC CABDC，ADBC DOAOC，OBOD 第 2 页（共 24 页） 8 （3 分） （2020衡阳）下列不是三棱柱展开图的是（ ） A B C D 9 （3 分） （2020衡阳）不等式组 1 0， +2 3 2 1的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 10 （3 分） （2020衡阳）反比例函数 y= 经过点（2，1） ，则下列说法错误的是（ ） Ak2 B函数图象分布在第一、三象限 C
4、当 x0 时，y 随 x 的增大而增大 D当 x0 时，y 随 x 的增大而减小 11 （3 分） （2020衡阳）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长 35 米、宽 20 米的矩形为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为 600 平方米，则小道的宽为多 少米？若设小道的宽为 x 米，则根据题意，列方程为（ ） A352035x20 x+2x2600 B352035x220 x600 C （352x） （20 x）600 第 3 页（共 24 页） D （35x） （202x）600 12 （3 分） （2020衡阳）如图 1，在平面直角坐标系中，ABCD 在第一象
5、限，且 BCx 轴直线 yx 从原点 O 出发沿 x 轴正方向平移，在平移过程中，直线被ABCD 截得的线段长度 n 与直线在 x 轴 上平移的距离 m 的函数图象如图 2 所示那么ABCD 的面积为（ ） A3 B32 C6 D62 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分 ）分 ） 13 （3 分） （2020衡阳）因式分解：a2+a 14 （3 分） （2020衡阳）计算： 2: x 15 （3 分） （2020衡阳）已知一个 n 边形的每一个外角都为 30，则 n 等于 16 （3 分） （2020衡阳）一副三角板如图摆
6、放，且 ABCD，则1 的度数为 17 （3 分） （2020衡阳）某班有 52 名学生，其中男生人数是女生人数的 2 倍少 17 人，则女生有 名 18 （3 分） （2020衡阳）如图，在平面直角坐标系中，点 P1的坐标为（ 2 2 ， 2 2 ） ，将线段 OP1绕点 O 按顺时针方向旋转 45，再将其长度伸长为 OP1的 2 倍，得到线段 OP2；又将线段 OP2绕点 O 按 顺时针方向旋转 45，长度伸长为 OP2的 2 倍，得到线段 OP3；如此下去，得到线段 OP4，OP5，OPn（n 为正整数） ，则点 P2020的坐标是 第 4 页（共 24 页） 三、解答题（木大题共三、解
7、答题（木大题共 8 个小题，个小题，1920 题每题题每题 6 分，分，2124 题每题题每题 8 分，分，25 题题 10 分，分，26 题题 12 分，满分分，满分 66 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 19 （6 分） （2020衡阳）化简：b（a+b）+（a+b） （ab） 20 （6 分） （2020衡阳）一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的 2 个黑球和 n 个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为1 3 （1）求 n 的值； （2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出 1 个球，放回搅匀，再随机摸出第 2
8、 个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率请用画树状图或列表的方法进行说明 21 （8 分） （2020衡阳）如图，在ABC 中，BC，过 BC 的中点 D 作 DEAB，DFAC，垂足分别为点 E、F （1）求证：DEDF； （2）若BDE40，求BAC 的度数 22 （8 分） （2020衡阳）病毒虽无情，人间有大爱2020 年，在湖北省抗击新冠病毒的战“疫”中，全国（除湖北省外）共有 30 个省（区、市）及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲， 前赴后继支援湖北省全国 30 个省（区、 市）各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图（不完整）和扇形统计图如下： （数据分成 6 组：
9、100 x500， 500 x900，900 x1300， 1300 x1700， 1700 x2100，2100 x2500 第 5 页（共 24 页） 根据以上信息回答问题： （1）补全频数分布直方图 （2）求扇形统计图中派出人数大于等于 100 小于 500 所占圆心角度数 据新华网报道，在支援湖北省的医务人员大军中，有“90 后”也有“00 后” ，他们是青春的力量，时代的脊梁小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“90 后”医务人员的数据： C 市派出的 1614 名医护人员中有 404 人是“90 后” ； H 市派出的 338 名医护人员中有 103 人是“90 后”
10、 ； B 市某医院派出的 148 名医护人员中有 83 人是“90 后” （3）请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员（按 4.2 万人计）中， “90 后”大约有多少万人？（写出计算过程，结果精确到 0.1 万人） 23 （8 分） （2020衡阳）小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线 OB 与底板的边缘线 OA 所在水平线的夹角为 120时，感觉最舒适（如图） 侧面示意图为图；使用时为了 散热，他在底板下面垫入散热架，如图，点 B、O、C 在同一直线上，OAOB24cm，BCAC，OAC30 （1）求 OC 的长； （2）如图，垫入散热架后，要使显示屏的
11、边缘线 OB与水平线的夹角仍保持 120，求点 B到 AC 的距离 （结果保留根号） 第 6 页（共 24 页） 24 （8 分） （2020衡阳）如图，在ABC 中，C90，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，过点 A 和点 D 的圆，圆心 O 在线段 AB 上，O 交 AB 于点 E，交 AC 于点 F （1）判断 BC 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若 AD8，AE10，求 BD 的长 25 （10 分） （2020衡阳）在平面直角坐标系 xOy 中，关于 x 的二次函数 yx2+px+q 的图象过点（1，0） ， （2，0） （1）求这个二次函数的表达式； （2）求当2x1
12、时，y 的最大值与最小值的差； （3）一次函数 y（2m）x+2m 的图象与二次函数 yx2+px+q 的图象交点的横坐标分别是 a 和 b，且 a3b，求 m 的取值范围 26 （12 分） （2020衡阳）如图 1，平面直角坐标系 xOy 中，等腰ABC 的底边 BC 在 x 轴上，BC8，顶点 A 在 y 的正半轴上，OA2，一动点 E 从（3，0）出发，以每秒 1 个单位的速度沿 CB 向左 运动，到达 OB 的中点停止另一动点 F 从点 C 出发，以相同的速度沿 CB 向左运动，到达点 O 停止已知点 E、F 同时出发，以 EF 为边作正方形 EFGH，使正方形 EFGH 和ABC
13、在 BC 的同侧， 设运动的时间为 t 秒（t0） （1）当点 H 落在 AC 边上时，求 t 的值； （2）设正方形 EFGH 与ABC 重叠面积为 S，请问是否存在 t 值，使得 S= 91 36？若存在，求出 t 值；若不存在，请说明理由； （3）如图 2，取 AC 的中点 D，连结 OD，当点 E、F 开始运动时，点 M 从点 O 出发，以每秒 25个单位的速度沿 ODDCCDDO 运动，到达点 O 停止运动请问在点 E 的整个运动过程中，点 M 可能在正方形 EFGH 内（含边界）吗？如果可能，求出点 M 在正方形 EFGH 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由 第 7 页（共
14、24 页） 第 8 页（共 24 页） 2020 年湖南省衡阳市中考数学试卷年湖南省衡阳市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，满分 36 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ） 1 （3 分） （2020衡阳）3 的相反数是（ ） A3 B3 C1 3 D 1 3 【解答】解：3 的相反数是 3 故选：A 2 （3 分） （2020衡阳）下列各式中，计算正确的是（ ） Aa3+a2a5 Ba3a2a C （a2）
15、3a5 Da2a3a5 【解答】解：a3与 a5不是同类项，它是一个多项式，因此 A 选项不符合题意； 同上可得，选项 B 不符合题意； （a2）3a2 3a6，因此选项 C 不符合题意； a2a3a2+3x5，因此选项 D 符合题意； 故选：D 3 （3 分） （2020衡阳）2019 年 12 月 12 日，国务院新闻办公室发布，南水北调工程全面通水 5 周年来，直接受益人口超过 1.2 亿人，其中 1.2 亿用科学记数法表示为（ ） A1.2108 B1.2107 C1.2109 D1.210 8 【解答】解：1.2 亿1200000001.2108 故选：A 4 （3 分） （2020
16、衡阳）下列各式中正确的是（ ） A|2|2 B4 =2 C9 3 =3 D301 【解答】解：A、|2|2，故此选项错误； B、4 =2，故此选项错误； C、9 3 3，故此选项错误； D、301，故此选项正确； 第 9 页（共 24 页） 故选：D 5 （3 分） （2020衡阳）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A赵爽弦图 B科克曲线 C笛卡尔心形线 D斐波那契螺旋线 【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； B、既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
17、D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意 故选：B 6 （3 分） （2020衡阳）要使分式 1 ;1有意义，则 x 的取值范围是（ ） Ax1 Bx1 Cx1 Dx0 【解答】解：要使分式 1 ;1有意义，则 x10， 解得：x1 故选：B 7 （3 分） （2020衡阳）如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，下列条件不能判断四边形 ABCD 是平行四边形的是（ ） AABDC，ADBC BABDC，ADBC CABDC，ADBC DOAOC，OBOD 【解答】解：ABDC，ADBC， 第 10 页（共 24 页） 四边形 ABCD 是平行四边
18、形，故选项 A 中条件可以判定四边形 ABCD 是平行四边形； ABDC，ADBC， 四边形 ABCD 是平行四边形，故选项 B 中条件可以判定四边形 ABCD 是平行四边形； ABDC，ADBC，则无法判断四边形 ABCD 是平行四边形，故选项 C 中的条件，不能判断四边形 ABCD 是平行四边形； OAOC，OBOD， 四边形 ABCD 是平行四边形，故选项 D 中条件可以判定四边形 ABCD 是平行四边形； 故选：C 8 （3 分） （2020衡阳）下列不是三棱柱展开图的是（ ） A B C D 【解答】解：A、C、D 中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下
19、两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图 B 围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有故 C 不能围成三棱柱 故选：B 9 （3 分） （2020衡阳）不等式组 1 0， +2 3 2 1的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 【解答】解： 1 0， +2 3 2 1， 由得 x1， 由得 x2， 第 11 页（共 24 页） 故不等式组的解集为2x1， 在数轴上表示为： 故选：C 10 （3 分） （2020衡阳）反比例函数 y= 经过点（2，1） ，则下列说法错误的是（ ） Ak2 B函数图象分布在第一、三象限 C当 x0 时，y 随 x 的增大而增大 D当
20、 x0 时，y 随 x 的增大而减小 【解答】解：反比例函数 y= 经过点（2，1） ， 1= 2， 解得，k2，故选项 A 正确； k20， 该函数的图象在第一、三象限，故选项 B 正确； 当 x0 时，y 随 x 的增大而减小，故选项 C 错误、选项 D 正确； 故选：C 11 （3 分） （2020衡阳）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长 35 米、宽 20 米的矩形为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为 600 平方米，则小道的宽为多 少米？若设小道的宽为 x 米，则根据题意，列方程为（ ） A352035x20 x+2x2600 B352035x220
21、 x600 C （352x） （20 x）600 第 12 页（共 24 页） D （35x） （202x）600 【解答】解：依题意，得： （352x） （20 x）600 故选：C 12 （3 分） （2020衡阳）如图 1，在平面直角坐标系中，ABCD 在第一象限，且 BCx 轴直线 yx 从原点 O 出发沿 x 轴正方向平移，在平移过程中，直线被ABCD 截得的线段长度 n 与直线在 x 轴 上平移的距离 m 的函数图象如图 2 所示那么ABCD 的面积为（ ） A3 B32 C6 D62 【解答】解：过 B 作 BMAD 于点 M，分别过 B，D 作直线 yx 的平行线，交 AD 于
22、 E，如图 1 所示， 由图象和题意可得， AE642，DE761，BE2， AB2+13， 直线 BE 平行直线 yx， BMEM= 2， 平行四边形 ABCD 的面积是：ADBM3 2 =32 故选：B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分 ）分 ） 13 （3 分） （2020衡阳）因式分解：a2+a a（a+1） 第 13 页（共 24 页） 【解答】解：a2+aa（a+1） 故答案为：a（a+1） 14 （3 分） （2020衡阳）计算： 2: x 1 【解答】解：原式= (+1) x x+1x 1 故答案为：1
23、15 （3 分） （2020衡阳）已知一个 n 边形的每一个外角都为 30，则 n 等于 12 【解答】解：一个 n 边形的每一个外角都为 30，任意多边形的外角和都是 360， n3603012 故答案为：12 16 （3 分） （2020衡阳）一副三角板如图摆放，且 ABCD，则1 的度数为 105 【解答】解：如图，ABCD，D45， 2D45 12+3，360， 12+345+60105 故答案是：105 第 14 页（共 24 页） 17 （3 分） （2020衡阳）某班有 52 名学生，其中男生人数是女生人数的 2 倍少 17 人，则女生有 23 名 【解答】解：设女生有 x 名，
24、则男生人数有（2x17）名，依题意有 2x17+x52， 解得 x23 故女生有 23 名 故答案为：23 18 （3 分） （2020衡阳）如图，在平面直角坐标系中，点 P1的坐标为（ 2 2 ， 2 2 ） ，将线段 OP1绕点 O 按顺时针方向旋转 45，再将其长度伸长为 OP1的 2 倍，得到线段 OP2；又将线段 OP2绕点 O 按 顺时针方向旋转 45，长度伸长为 OP2的 2 倍，得到线段 OP3；如此下去，得到线段 OP4，OP5，OPn（n 为正整数） ，则点 P2020的坐标是 （0，22019） 【解答】解：点 P1的坐标为（ 2 2 ， 2 2 ） ，将线段 OP1绕点
25、 O 按逆时针方向旋转 45，再将其长度伸长为 OP1的 2 倍，得到线段 OP2； OP11，OP22， OP34，如此下去，得到线段 OP423，OP524， OPn2n 1， 由题意可得出线段每旋转 8 次旋转一周， 202082524， 第 15 页（共 24 页） 点 P2020的坐标与点 P4的坐标在同一直线上，正好在 y 轴的负半轴上， 点 P2020的坐标是（0，22019） 故答案为： （0，22019） 三、解答题（木大题共三、解答题（木大题共 8 个小题，个小题，1920 题每题题每题 6 分，分，2124 题每题题每题 8 分，分，25 题题 10 分，分，26 题题
26、12 分，满分分，满分 66 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 19 （6 分） （2020衡阳）化简：b（a+b）+（a+b） （ab） 【解答】解：b（a+b）+（a+b） （ab） ab+b2+a2b2 ab+a2 20 （6 分） （2020衡阳）一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的 2 个黑球和 n 个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为1 3 （1）求 n 的值； （2）所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出 1 个球，放回搅匀，再随机摸出第 2 个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率请用画树状图或列表
27、的方法进行说明 【解答】解： （1）由概率的意义可得， 2: = 1 3，解得，n1， 答：n 的值为 1； （2）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下： 共有 9 种可能出现的结果，其中两次摸球摸到一个白球和一个黑球有 4 种 P（一白一黑）= 4 9， 21 （8 分） （2020衡阳）如图，在ABC 中，BC，过 BC 的中点 D 作 DEAB，DFAC，垂足分别为点 E、F （1）求证：DEDF； （2）若BDE40，求BAC 的度数 第 16 页（共 24 页） 【解答】 （1）证明：DEAB，DFAC， BEDCFD90， D 是 BC 的中点， BDCD， 在BED 与CFD
28、中， = = = ， BEDCFD（AAS） ， DEDF； （2）解：BDE40， B50， C50， BAC80 22 （8 分） （2020衡阳）病毒虽无情，人间有大爱2020 年，在湖北省抗击新冠病毒的战“疫”中，全国（除湖北省外）共有 30 个省（区、市）及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲， 前赴后继支援湖北省全国 30 个省（区、 市）各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图（不完整）和扇形统计图如下： （数据分成 6 组：100 x500， 500 x900，900 x1300， 1300 x1700， 1700 x2100，2100 x2500 第 17 页（共 24
29、页） 根据以上信息回答问题： （1）补全频数分布直方图 （2）求扇形统计图中派出人数大于等于 100 小于 500 所占圆心角度数 据新华网报道，在支援湖北省的医务人员大军中，有“90 后”也有“00 后” ，他们是青春的力量，时代的脊梁小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“90 后”医务人员的数据： C 市派出的 1614 名医护人员中有 404 人是“90 后” ； H 市派出的 338 名医护人员中有 103 人是“90 后” ； B 市某医院派出的 148 名医护人员中有 83 人是“90 后” （3）请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员（按 4.2
30、万人计）中， “90 后”大约有多少万人？（写出计算过程，结果精确到 0.1 万人） 【解答】解： （1）由直方图可得， 1300 x1700，这一组的频数是：3031010214， 补全的频数分布直方图如右图所示； （2）360 3 30 =36， 即扇形统计图中派出人数大于等于 100 小于 500 所占圆心角度数是 36； （3）4.2 404+103+83 1614+338+148 1.2（万人） ， 答：在支援湖北省的全体医务人员（按 4.2 万人计）中， “90 后”大约有 1.2 万人 第 18 页（共 24 页） 23 （8 分） （2020衡阳）小华同学将笔记本电脑水平放置在
31、桌子上，当显示屏的边缘线 OB 与底板的边缘线 OA 所在水平线的夹角为 120时，感觉最舒适（如图） 侧面示意图为图；使用时为了 散热，他在底板下面垫入散热架，如图，点 B、O、C 在同一直线上，OAOB24cm，BCAC，OAC30 （1）求 OC 的长； （2）如图，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线 OB与水平线的夹角仍保持 120，求点 B到 AC 的距离 （结果保留根号） 【解答】解： （1）如图，在 RtAOC 中，OA24，OAC30 OC= 1 2OA= 1 2 2412（cm） ； （2）如图，过点 B作 BDAC，垂足为 D，过点 O 作 OEBD，垂足为 E， 由题意得，
32、OAOB24， 当显示屏的边缘线 OB与水平线的夹角仍保持 120，看可得，AOB150 BOE60， ACOBEO90， 第 19 页（共 24 页） 在 RtBOE 中，BEOBsin60123， 又OCDE12， BDBE+DE12+123， 即：点 B到 AC 的距离为（12+123）cm 24 （8 分） （2020衡阳）如图，在ABC 中，C90，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，过点 A 和点 D 的圆，圆心 O 在线段 AB 上，O 交 AB 于点 E，交 AC 于点 F （1）判断 BC 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若 AD8，AE10，求 BD 的长 【解答】
33、解： （1）BC 与O 相切， 理由：连接 OD， OAOD， OADODA， AD 平分BAC， BADCAD， ODACAD， ODAC， C90， ODC90， 第 20 页（共 24 页） ODBC， OD 为半径， BC 是O 切线； （2）连接 DE， AE 是O 的直径， ADE90， C90， ADEC， EADDAC， ADEACD， = ， 10 8 = 8 ， AC= 32 5 ， CD= 2 2=82 (32 5 )2= 24 5 ， ODBC，ACBC， OBDABC， = ， 5 32 5 = :24 5 ， BD= 120 7 第 21 页（共 24 页） 25
34、（10 分） （2020衡阳）在平面直角坐标系 xOy 中，关于 x 的二次函数 yx2+px+q 的图象过点（1，0） ， （2，0） （1）求这个二次函数的表达式； （2）求当2x1 时，y 的最大值与最小值的差； （3）一次函数 y（2m）x+2m 的图象与二次函数 yx2+px+q 的图象交点的横坐标分别是 a 和 b，且 a3b，求 m 的取值范围 【解答】解： （1）由二次函数 yx2+px+q 的图象经过（1，0）和（2，0）两点， 1 + = 0 4 + 2 + = 0，解得 = 1 = 2， 此二次函数的表达式 yx2x2； （2）抛物线开口向上，对称轴为直线 x= 1+2
35、2 = 1 2， 在2x1 范围内，当 x2，函数有最大值为：y4+224；当 x= 1 2是函数有最小值：y= 1 4 1 2 2= 9 4， 的最大值与最小值的差为：4（ 9 4）= 25 4 ； （3）y（2m）x+2m 与二次函数 yx2x2 图象交点的横坐标为 a 和 b， x2x2（2m）x+2m，整理得 x2+（m3）x+m40， 解得：x11，x24m， a3b， a1，b4m3， 故解得 m1，即 m 的取值范围是 m1 第 22 页（共 24 页） 26 （12 分） （2020衡阳）如图 1，平面直角坐标系 xOy 中，等腰ABC 的底边 BC 在 x 轴上，BC8，顶点
36、 A 在 y 的正半轴上，OA2，一动点 E 从（3，0）出发，以每秒 1 个单位的速度沿 CB 向左 运动，到达 OB 的中点停止另一动点 F 从点 C 出发，以相同的速度沿 CB 向左运动，到达点 O 停止已知点 E、F 同时出发，以 EF 为边作正方形 EFGH，使正方形 EFGH 和ABC 在 BC 的同侧， 设运动的时间为 t 秒（t0） （1）当点 H 落在 AC 边上时，求 t 的值； （2）设正方形 EFGH 与ABC 重叠面积为 S，请问是否存在 t 值，使得 S= 91 36？若存在，求出 t 值；若不存在，请说明理由； （3）如图 2，取 AC 的中点 D，连结 OD，当
37、点 E、F 开始运动时，点 M 从点 O 出发，以每秒 25个单位的速度沿 ODDCCDDO 运动，到达点 O 停止运动请问在点 E 的整个运动过程中，点 M 可能在正方形 EFGH 内（含边界）吗？如果可能，求出点 M 在正方形 EFGH 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由 【解答】解： （1）如图 11 中， 第 23 页（共 24 页） 由题意，OA2，OBOC4，EFEHFGHG1， 当点 H 落在 AC 上时，EHOA， = ， 4 = 1 2， CE2， 点 E 的运动路程为 1， t1 时，点 H 落在 AC 上 （2）由题意，在 E，F 的运动过程中，开始正方形 EFGH
38、 的边长为 1， 正方形 EFGH 与ABC 重叠面积为 S，S= 91 36， 此时点 F 与 O 重合，已经停止运动，如图 12 中，重叠部分是五边形 OEKJG 由题意： （t3）2 1 2 3;13 2 （3t13）= 91 36， 整理得 45t2486t+12880，解得 t= 14 3 或92 15（舍弃） ，满足条件的 t 的值为 14 3 （3）如图 31 中，当点 M 第一次落在 EH 上时，4t+t3，t= 3 5 第 24 页（共 24 页） 当点 M 第一次落在 FG 上时，4t+t4，t= 4 5， 点 M 第一次落在正方形内部（包括边界）的时长= 4 5 3 5 = 1 5（s） ， 当点 M 第二次落在 FG 上时，4tt4，t= 4 3， 当点 M 第二次落在 EH 上时，4t（t+1）4，t= 5 3， 点 M 第二次落在正方形内部（包括边界）的时长= 5 3 4 3 = 1 3， 点 M 落在正方形内部（包括边界）的总时长= 1 5 + 1 3 = 8 15（s）
