1、 - 1 - 山东省德州市陵城区一中 2017-2018学年高二数学下学期期中试题 理 一、选择题（ 12 5 60 分） 1. 复数 等于（ ） A 1 B C D 2.已知函数 ，则 （ ） A. B. C. D. 3“四边形 ABCD是矩形，四边形 ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提是 ( ) A矩形都是对角线相等的四边形 B正方形都是对角线相等的四边形 C等腰梯形都是对角线相等的四边形 D矩形都是对边平行且相等的四边形 4. 已知随机变量 的概率分布列如下所示： 5 6 7 8 0 4 0 1 且 的数学期望 ，则 ( ) A B C D 5.用反证法证明命题：“设 为实数，
2、且 ， ，则 ， ，”时要给出的假设是（ ） A. 都不是正数 B. 至多有一个正数 C. 至多有一个不是正数 D. 至少有一个不是正数 6 已知随机变量 服从正态分布 N（ 2， 2），且 P（ 4） 0.8，则 P（ 0） ( ) A 0.6 B 0.4 C 0.3 D 0.2 7. 函数 的一个极值点在区间 内，则实数 的取值范围是（） - 2 - A B C D 8.设曲线 在点 处的切线的斜率为 ，则函数 的部分图象可以为（ ） 9.安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有（ ） A.12种 B.18种 C.24种 D.3
3、6种 10.若不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11.设 ，函数 的导函数 是奇函数，若 的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标是（ ） A. B. C. D. 12.函数 的导函数 ，对 ，都有 成立，若 ，则不等式 的解是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（ 4 5 20分） 13. ，则 14在 的展开式中， 的系数为 _ 15.从 6 男 2女共 8名学生中选出队长 1人，副队长 1人，普通队员 2人组成 4 人服务队，要- 3 - 求服务队中至少有 1名女生，共有 种不同的选法。（用数字作答 ） 16 对大于 的自然数 的三次幂可用奇数进行以下
4、方式的“分裂” 仿此，若 的“分裂”数中有一个是 ，则 的值 为 . 三、解答题 17. （ 1）求 ； （ 2）若 ，求实数 的值 . 18.数列 中， ，其前 项和 满足 . （ 1）计算 ， ， ； （ 2）猜想 的表达式，并用数学归纳法证明 . 19 一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为 的函数： ， ， ， ， . （）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率； （）现 从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数 的分布列和数学期望 20. 学校举办的集体活动中，
5、设计了如下有奖闯关游戏：参赛选手按第一关、第二关、第三关的顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得 1分、 2分、 3分的奖励，游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择得到相应的分数，结束游戏；也可以选择继续闯下一关，若有任何一关没有闯关成功，则全部分数都归零，游戏结束。设选手甲第一关、第二关、第三关的概率分别为 ， ， ，选手选择继续闯关的概率均为 ，且各关 之间闯关成功互不影响 - 4 - （ I） 求选手甲第一关闯关成功且所得分数为零的概率 (II)设该学生所得总分数为 X,求 X的分布列与数学期望 21.已知函数 . （ 1）求 的单调区间； （ 2）设 ，若 在 存在极值点，求实数 的取值范
6、围 . 22已知 （）判断 在定义域上的单调性； （）若 在 上的最小值为 ，求 的值； （ III）若 在 上恒成立，试求 的取值范围 - 5 - 参考答案 1 5D B AA D 6 10 DC A D B 11 12 C C 13. 2 14,-15 15. 16,9 17.解：（ 1） 10 33zii? ? ? ? 4 分 10z? ? 5分 （ 2） ( ) , 3z z a b i z i? ? ? ? ? 8 ( 6 )a a i b i? ? ? ? ? 6分 3861aba ? ? ? 8分 7, 13ab? ? ?-10 18.解：（ 1）2323 4 5, , ,4 5
7、 6S S S? ? ? ? ? ? 4分 （ 2）猜想 1,2n nS n? ? 6分 下面用数学归纳法证明 （ 1） 1n? 时显然成立? 7分 （ 2）假设 nk? 时成立，即 1,2k kS k ? ?，那么 1nk?时 11 8212 ,1 322kkS Skk kk? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?即 1nk?时命题成立? 11 分 综合（ 1）（ 2） 1,2n nS n? ?对一切 都成立? ? 12分 19.解：（ 1）记事件 A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”， 由题意知 .51)( 2623 ?C
8、CAP 4分 （ 2） ? 可取 1,2,3,4 -5 1 1 13 3 31 1 16 6 513( 1 ) , ( 2 )2 1 0C C CPPC C C? ? ? ? ? ? ?， 1 1 1 11 1 13 3 3 32 2 11 1 1 1 1 1 16 5 4 6 5 4 331( 3 ) , ( 4 )2 0 2 0C C C CC C CC C C C C C C? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?； -9(一个一分 ) - 6 - 故 ? 的分布列为 ? 1 2 3 4 P 21 103 203 201 -10 .47201420331032211 ?E 答： ? 的
9、数学期望为 .47 - 12 分 20【解析 】 （） 设甲“第一关闯关成功且所得分数为零”为事件A，“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件1A，“前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件2，则1，2互斥， 1 3 1 2 1( ) = 1 - =4 2 3 8PA ?（ ）， ? 2分 2 3 1 2 1 1 1( ) = (1 ) =4 2 3 2 2 16? ? ? ? ?， ? 4分 12 1 1 3( ) ( ) ( ) 8 16 16P A P A P A? ? ? ? ? 5分 （）X所有可能的取值为 0,1,3,6 ? 6分 37( 0) (1 ) +4 16X P? ? ? ?(
10、)3 1 3( 1) =4 2 8PX ? ? ?3 1 2 1 1( 3 ) =4 2 3 2 8? ? ? ? ?1 1 1( 6) =4 2 3 2 2 16? ? ? ? ? ? 10分 所以，X的分布列为： ? 11 分 7 3 1 1 95=0 +5 + 15 +35 =16 8 8 16 16EX ? ? ? ? 12 分 21. 解：（ 1）由题意 ? ?, 0 0,x ? ? ? ? X01 3 6 P71638116- 7 - 2( 1)()xexfx x ? ? ? ? 2分 ? ? ?, 0 , 0,1x? ? , ( ) 0fx? ?1,x? ? 时 , ( ) 0f
11、x? ? 故 的减区间为 ? ,0? 和 增区间为 ?1,? ? 5分 （ 2） ( ) 1xg x e ax? ? ?， ?0,x? ? () xg x e a? ? 6分 g(x)在0, )?上有极值点， ? ( ) 0gx? ? 在(上有实数解 由 ( ) 0gx? ? 得 xea? ，因为 x0,所以 a1, 此时 x=lna-10 当 xlna时， ()gx? 0,当 x1-12 22解：（）fx的定义域为(0, )?221() a x ax x x? ? ? ? 1分 当0a?时，因为0x?( ) 0? ?因此()在定义域( , )?上为单调递增函数? 2分 当?时，则0 xa?
12、?，( ) 0?；xa?，( ) 0fx? ?； 此时，fx在( , )a?上为单调递增函数，在( , )?上为单调递增函数? 3分 （）（ 1）令( 0? ?在1,e上恒成立，即?ax? 令1a，此时()在,上为增函数 m in 3 ( ) (1 ) 2f x f a? ? ? ?， - 8 - 得32a?（舍去）? 4分 （ 2）令( ) 0fx? ?在1,e上恒成立，即xa?ax? 令ae，此时()在,上为减函数 m in 3( ) ( ) 1 2af x f e e? ? ? ?， 得2ea?（舍去）? 5分 （ 3）当 1ea? ? ? 时，令( ) 0? ?，得0? 当0xx?时，
13、( )fx? ?，()在0(1, )x上为减函数 当0x x e时，?， 在0,xe上为增函数 m in 3 ( ) ( ) ( ) 1 2f x f a ln a? ? ? ? ? ?得? -6 综上可知， ? 7分 （ III）由2()f x x?，得2ln ax?， 1x?，有3lna x x x?， 令3( ) lng x x x x?，则2( ) ln 3 1g x x x? ? ? ? 9分 令2( ) ln 3 1x x? ? ? ?，则21 1 6( ) 6 xxxxx? ? ? ? ?， 1x?，( ) 0x? ?，()x?在(, )?上单调递减， ( ) (1) 2 0x? ? ? ?， 因此( )gx?，故 在(, )上 单调递减，? 10分 则( ) (1) 1g x g? ? ?， a的取值范围是 1, )? ? ? 12 分
