1、专题五动态探究问题1.1.主要类型主要类型:动点问题探究动点问题探究动线问题探究动线问题探究动图问题探究动图问题探究2.2.规律方法规律方法:解决动态探究问题的关键是将运动的几何元素当作解决动态探究问题的关键是将运动的几何元素当作静止来加以解答静止来加以解答,即即 化动为静化动为静 的思路的思路;并能在从相对并能在从相对静止的瞬间清晰地发现图形变换前后各种量与量之间静止的瞬间清晰地发现图形变换前后各种量与量之间的关系的关系,通过归纳得出规律和结论通过归纳得出规律和结论,并加以论证并加以论证.从图形运动过程中可能出现的多种不同情境分别进从图形运动过程中可能出现的多种不同情境分别进行探讨行探讨,挖
2、掘所蕴含的相同点与不同点挖掘所蕴含的相同点与不同点,依据相关的数依据相关的数学知识谨慎求解学知识谨慎求解,才有可能获得正确结论才有可能获得正确结论.解答时应注重于分类讨论解答时应注重于分类讨论,切忌片面而失解切忌片面而失解,对于结对于结论探索性问题论探索性问题,不妨假设结论成立不妨假设结论成立,从而探索所需的条从而探索所需的条件件,再结合已知条件作出决断再结合已知条件作出决断.3.3.渗透的思想渗透的思想:分类讨论、转化思想、数形结合、函数分类讨论、转化思想、数形结合、函数与方程等与方程等.类型一动点问题类型一动点问题 考点解读考点解读 1.1.考查范畴考查范畴:动点探究问题包括单点运动和双点
3、运动动点探究问题包括单点运动和双点运动,大多依附于函数图象或三角形、四边形、圆等几何图大多依附于函数图象或三角形、四边形、圆等几何图形形.2.2.考查角度考查角度:设计一个或几个动点设计一个或几个动点,对动点运动过程中对动点运动过程中产生的变量关系、等量关系、图形性质、图形间的特产生的变量关系、等量关系、图形性质、图形间的特殊关系进行探究殊关系进行探究.典例探究典例探究 典例典例120191 如图如图,等边等边ABCABC中中,AB=6,AB=6,点点D D在在BCBC上上,BD=4,BD=4,点点E E为边为边ACAC上一动点上一动点,CDECDE关于关于DEDE的轴对称图形为的轴对称图形为
4、FDE.FDE.当点当点F F在在ACAC上时上时,求证求证:DFAB.:DFAB.设设ACDACD的面积为的面积为S1,S1,ABFABF的面积为的面积为S2,S2,记记S=S1-S=S1-S2,SS2,S是否存在最大值是否存在最大值?若存在若存在,求出求出S S的最大值的最大值;若不存若不存在在,请说明理由请说明理由.当当B,F,EB,F,E三点共线时三点共线时.求求AEAE的长的长.思路点拨思路点拨由折叠的性质和等边三角形的性质可得由折叠的性质和等边三角形的性质可得DFC=A,DFC=A,可证可证DFAB.DFAB.过点过点D D作作DMABDMAB交交ABAB于点于点M,M,由题意可得
5、点由题意可得点F F在以在以D D为为圆心圆心,CD,CD为半径的圆上为半径的圆上,由由ACDACD的面积为的面积为S1S1的值是定值的值是定值,则当点则当点F F在在DMDM上时上时,S,SABFABF最小最小,S,S最大最大.过点过点D D作作DGEFDGEF于点于点G,G,过点过点E E作作EHCDEHCD于点于点H,H,由勾股由勾股定理可求定理可求BGBG的长的长,通过证明通过证明BGDBGDBHE,BHE,可求可求ECEC的长的长,即可求即可求AEAE的长的长.自主解答自主解答 略略 规律方法规律方法 解答动点问题的一般方法解答动点问题的一般方法仔细读题仔细读题,分析给定条件中哪些量
6、是运动的分析给定条件中哪些量是运动的,哪些量哪些量是不动的是不动的.针对运动的量针对运动的量,要分析它是如何运动的要分析它是如何运动的,运动运动过程是否需要分段考虑过程是否需要分段考虑.针对不动的量针对不动的量,要分析它们和要分析它们和动量之间可能有什么关系动量之间可能有什么关系,如何建立这种关系如何建立这种关系.画出图形画出图形,进行分析进行分析,尤其在于找准运动过程中静止尤其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量的关系的那一瞬间题目间各个变量的关系.如果没有静止状态如果没有静止状态,通过比例、相等等关系建立变量间的函数关系来研究通过比例、相等等关系建立变量间的函数关系来研究.做题过
7、程中时刻注意分类讨论做题过程中时刻注意分类讨论,不同的情况下题目不同的情况下题目是否有不同的表现是否有不同的表现,避免漏解避免漏解.设计速度的动点问题设计速度的动点问题,要善于用路程表示线段的长要善于用路程表示线段的长度度,利用方程思想解答利用方程思想解答.题组过关题组过关 1.20191.如图如图,抛物线抛物线y=x2-4y=x2-4与与x x轴交于轴交于A,BA,B两点两点,P,P是以点是以点CC为圆心为圆心,2,2为半径的圆上的动为半径的圆上的动点点,Q,Q是线段是线段PAPA的中点的中点,连接连接OQ.OQ.则线段则线段OQOQ的最大值是的最大值是 14C CA.3A.3B.B.C.C
8、.D.4D.4412722.2.已知已知:如图如图,四边形四边形ABCD,ABDC,CBAB,AB=16 cm,ABCD,ABDC,CBAB,AB=16 cm,BC=6 cm,CD=8 cm,BC=6 cm,CD=8 cm,动点动点P P从点从点D D开始沿开始沿DADA边匀速运动边匀速运动,动动点点Q Q从点从点A A开始沿开始沿ABAB边匀速运动边匀速运动,它们的运动速度均为它们的运动速度均为2 cm/s.2 cm/s.点点P P和点和点Q Q同时出发同时出发,以以QA,QPQA,QP为边作平行四边形为边作平行四边形AQPE,AQPE,设运动的时间为设运动的时间为t,0t5.t,0t5.根
9、据题意解答以下问题根据题意解答以下问题:用含用含t t的代数式表示的代数式表示AP.AP.设四边形设四边形CPQBCPQB的面积为的面积为S,S,求求S S与与t t的函数解析的函数解析式式.当当QPBDQPBD时时,求求t t的值的值.在运动过程中在运动过程中,是否存在某一时刻是否存在某一时刻t,t,使点使点E E在在ABDABD的平分线上的平分线上?若存在若存在,求出求出t t的值的值;若不存在若不存在,请说明理由请说明理由.略略类型二动线问题类型二动线问题 考点解读考点解读 1.1.考查范畴考查范畴:动线问题探究中一般存在一条或几条直线动线问题探究中一般存在一条或几条直线 的平移、翻折或
10、旋转变换的平移、翻折或旋转变换.2.2.考查角度考查角度:线的运动带动图形大小的变化线的运动带动图形大小的变化,通常围绕通常围绕求图形面积最值或探究运动过程中的特殊位置进行考求图形面积最值或探究运动过程中的特殊位置进行考查查.典例探究典例探究 典例典例220182 如图如图,直线直线y=ax+2y=ax+2与与x x轴交于点轴交于点A,A,与与y y轴交于点轴交于点B.B.将线段将线段ABAB先向右平移先向右平移1 1个个单位长度、再向上平移单位长度、再向上平移t0t0个单位长度个单位长度,得到对应线得到对应线段段CD,CD,反比例函数反比例函数y=0y=0的图象恰好经过的图象恰好经过C,DC
11、,D两点两点,连接连接AC,BD.AC,BD.kx求求a a和和b b的值的值.求反比例函数的解析式及四边形求反比例函数的解析式及四边形ABDCABDC的面积的面积.点点N N在在x x轴正半轴上轴正半轴上,点点M M是反比例函数是反比例函数y=0y=0的的图象上的一个点图象上的一个点,若若CMNCMN是以是以CMCM为直角边的等腰直角为直角边的等腰直角三角形时三角形时,求所有满足条件的点求所有满足条件的点M M的坐标的坐标.kx 思路点拨思路点拨利用坐标轴上的点的特点即可得出结论利用坐标轴上的点的特点即可得出结论.先表示出点先表示出点C,DC,D坐标坐标,进而代入反比例函数解析式中进而代入反
12、比例函数解析式中求解得出求解得出k,k,再判断出再判断出BCAD,BCAD,最后用对角线积的一半即最后用对角线积的一半即可求出四边形的面积可求出四边形的面积.分两种情况分两种情况,构造全等的直角三角形即可得出结论构造全等的直角三角形即可得出结论.自主解答自主解答 略略 规律方法规律方法 解决动线探究问题的方法解决动线探究问题的方法画出直线或线段变化过程中不同位置的图形画出直线或线段变化过程中不同位置的图形.结合运动变化的不同阶段结合运动变化的不同阶段,判断随之而动的其他图判断随之而动的其他图形的一般位置和特殊位置形的一般位置和特殊位置.根据探究内容根据探究内容 进行解答进行解答.题组过关题组过
13、关 1.1.已知已知:A,B:A,B两点在直线两点在直线l l的同一侧的同一侧,线段线段AO,BMAO,BM均是直线均是直线l l的垂线段的垂线段,且且BMBM在在AOAO的右边的右边,AO=2BM,AO=2BM,将将BMBM沿直线沿直线l l向右向右平移平移,在平移过程中在平移过程中,始终保持始终保持ABP=90ABP=90不变不变,BP,BP边与边与直线直线l l相交于点相交于点P.P.当当P P与与O O重合时重合时,设点设点C C是是AOAO的中点的中点,连接连接BC.BC.求证求证:四边形四边形OCBMOCBM是正方形是正方形.请利用如图请利用如图1 1所示的情形所示的情形,求证求证
14、:ABOM.PBBM 证明证明2BM=AO,2CO=AO,BM=CO,2BM=AO,2CO=AO,BM=CO,AOBM,AOBM,四边形四边形OCBMOCBM是平行四边形是平行四边形,BMO=90BMO=90,OCBMOCBM是矩形是矩形,ABP=90ABP=90,C,C是是AOAO的中点的中点,OC=BC,OC=BC,矩形矩形OCBMOCBM是正方形是正方形.连接连接AP,OB,AP,OB,ABP=AOP=90ABP=AOP=90,A,B,O,PA,B,O,P四点共圆四点共圆,由圆周角定理可知由圆周角定理可知:APB=AOB,:APB=AOB,AOBM,AOB=OBM,AOBM,AOB=OB
15、M,APB=OBM,APB=OBM,APBAPBOBM,OBM,ABOM.PBBM2.20192.如图如图,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,抛物线抛物线y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c经过经过A,B,CA,B,C三点三点.世纪金榜导学号世纪金榜导学号求抛物线的解析式及顶点求抛物线的解析式及顶点D D的坐标的坐标.将将中的抛物线向下平移中的抛物线向下平移 个单位长度个单位长度,再向左再向左平移平移h0h0个单位长度个单位长度,得到新抛物线得到新抛物线.若新抛物线的若新抛物线的顶点顶点DD在在ABCABC内内,求求h h的取值范围的取值范围.154 解析解析函数解析式为函数解析式为:
16、y=a=ax2-3x-:y=a=a,4,即即-4a=4,-4a=4,解得解得:a=-1,:a=-1,故抛物线的解析式为故抛物线的解析式为:y=:y=-x2+3x+4,-x2+3x+4,函数顶点函数顶点D D 3 25().24，抛物线向下平移抛物线向下平移 个单位长度个单位长度,再向左平移再向左平移h0h0个单位长度个单位长度,得到新抛物线的顶点得到新抛物线的顶点D D 易求得直线易求得直线ACAC的解析式为的解析式为:y=4x+4,:y=4x+4,将点将点DD坐标代入直线坐标代入直线ACAC的解析式得的解析式得:,解得解得:h=,:h=,故故:0h .:0h .15435(h)22，534(
17、h)422158158类型三动图问题类型三动图问题 考点解读考点解读 1.1.考查范畴考查范畴:图形运动探究问题主要有平移、旋转和折图形运动探究问题主要有平移、旋转和折叠叠.2.2.考查角度考查角度:图形运动探究问题往往与图形变换相结合图形运动探究问题往往与图形变换相结合进行综合考查进行综合考查,常与探究性、存在性等结合考查常与探究性、存在性等结合考查.典例探究典例探究 典例典例320193 在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,O,O为原点为原点,点点A,A,点点B B在在y y轴的正半轴上轴的正半轴上,ABO=30,ABO=30.矩形矩形CODECODE的顶点的顶点D,E,CD,E,C分别
18、在分别在OA,AB,OBOA,AB,OB上上,OD=2.,OD=2.如图如图,求点求点E E的坐标的坐标.将矩形将矩形CODECODE沿沿x x轴向右平移轴向右平移,得到矩形得到矩形CODE,CODE,点点C,O,D,EC,O,D,E的对应点分别为的对应点分别为C,O,D,E.C,O,D,E.设设OO=t,OO=t,矩形矩形CODECODE与与ABOABO重叠部分的面积为重叠部分的面积为S.S.如图如图,当矩形当矩形CODECODE与与ABOABO重叠部分为五重叠部分为五边形时边形时,CE,ED,CE,ED分别与分别与ABAB相交于点相交于点M,F,M,F,试用含试用含有有t t的式子表示的式
19、子表示S,S,并直接写出并直接写出t t的取值范围的取值范围;当当 S S 时时,求求t t的取值范围的取值范围.35 3 自主解答自主解答 略略 规律方法规律方法 解决动图问题的方法解决动图问题的方法抓住几何图形在运动过程中形状和大小都不改变这抓住几何图形在运动过程中形状和大小都不改变这一特性一特性.运用特殊与一般的关系运用特殊与一般的关系,探究图形运动变化过程中探究图形运动变化过程中的不同阶段的不同阶段.运用类别、转化的方法探究相同运动状态下共同性运用类别、转化的方法探究相同运动状态下共同性质质.题组过关题组过关 1.1.如图如图1,1,在矩形纸片在矩形纸片ABCDABCD中中,AB=3
20、cm,AD=5 cm,AB=3 cm,AD=5 cm,折叠纸折叠纸片使片使B B点落在边点落在边ADAD上的上的E E处处,折痕为折痕为PQ.PQ.过点过点E E作作EFABEFAB交交PQPQ于点于点F,F,连接连接BF.BF.求证求证:四边形四边形BFEPBFEP为菱形为菱形.当点当点E E在在ADAD边上移动时边上移动时,折痕的端点折痕的端点P,QP,Q也随之移动也随之移动.当点当点Q Q与点与点C C重合时重合时,2,求菱形求菱形BFEPBFEP的边长的边长;若限定若限定P,QP,Q分别在边分别在边BA,BCBA,BC上移动上移动,求出点求出点E E在边在边ADAD上上移动的最大距离移
21、动的最大距离.解析解析折叠纸片使折叠纸片使B B点落在边点落在边ADAD上的上的E E处处,折痕为折痕为PQ,PQ,点点B B与点与点E E关于关于PQPQ对称对称.PB=PE,BF=EF,BPF=EPF.PB=PE,BF=EF,BPF=EPF.又又EFAB,BPF=EFP.EFAB,BPF=EFP.EPF=EFP.EP=EF.EPF=EFP.EP=EF.BP=BF=FE=EP.BP=BF=FE=EP.四边形四边形BFEPBFEP为菱形为菱形.四边形四边形ABCDABCD为矩形为矩形,BC=AD=5 cm,CD=AB=3 cm,A=D=90BC=AD=5 cm,CD=AB=3 cm,A=D=9
22、0.点点B B与点与点E E关于关于PQPQ对称对称,CE=BC=5 cm.,CE=BC=5 cm.在在RtRtCDECDE中中,DE2=CE2-CD2,DE2=CE2-CD2,即即DE2=52-32,DE2=52-32,DE=4 cm.DE=4 cm.AE=AD-DE=5-4=1.AE=AD-DE=5-4=1.在在RtRtAPEAPE中中,AE=1,AP=3-PB=3-PE,AE=1,AP=3-PB=3-PE,EP2=12+2,EP2=12+2,解得解得EP=cm.EP=cm.菱形菱形BFEPBFEP的边长为的边长为 cm.cm.5353当点当点Q Q与点与点C C重合时重合时,点点E E离
23、离A A点最近点最近,由知由知,此时此时AE=AE=1 cm.1 cm.当点当点P P与点与点A A重合时重合时,如图如图3,3,点点E E离离A A点最远点最远,此时四边形此时四边形ABQEABQE为正方形为正方形,AE=AB=3 cm,AE=AB=3 cm,点点E E在边在边ADAD上移动的最大距离为上移动的最大距离为3 cm.3 cm.2.20192.已知已知:ABCABC是等腰直角三角形是等腰直角三角形,BAC=90BAC=90,将将ABCABC绕点绕点C C顺时针方向旋转得到顺时针方向旋转得到ABC,ABC,记旋转角为记旋转角为,当当9090180180时时,作作ADAC,ADAC,垂足为垂足为D,ADD,AD与与BCBC交于点交于点E.E.世纪金榜导学号世纪金榜导学号如图如图1,1,当当CAD=15CAD=15时时,作作AECAEC的平分线的平分线EFEF交交BCBC于点于点F.F.写出旋转角写出旋转角的度数的度数;求证求证:EA+EC=EF.:EA+EC=EF.如图如图2,2,在在的条件下的条件下,设设P P是直线是直线ADAD上的一个动上的一个动点点,连接连接PA,PF,PA,PF,若若AB=,AB=,求线段求线段PA+PFPA+PF的最小值的最小值.略略2
