1、第十一讲一 次 函 数考点一一次函数的图象和性质考点一一次函数的图象和性质 主干必备主干必备 1.1.一次函数与正比例函数的概念一次函数与正比例函数的概念一次函数一次函数一般地一般地,如果如果_(k,b_(k,b是常是常数数,k0),k0),那么那么y y叫做叫做x x的一次函数的一次函数 正比例函正比例函数数特别地特别地,当当_时时,y=kx+b,y=kx+b变为变为_(k_(k是常数是常数,k0),k0),这时这时y y叫叫做做x x的正比例函数的正比例函数 y=kx+by=kx+bb=0b=0y=kxy=kx2.2.一次函数的图象一次函数的图象一次函数一次函数的图象的图象一次函数一次函数
2、y=kx+by=kx+b的图象是经过点的图象是经过点(0,b)(0,b)和和(_,0)(_,0)的一条的一条_ 特别地特别地,正比例函数正比例函数y=kxy=kx的图象是经过的图象是经过点点(0,_)(0,_)和和(1,_)(1,_)的一的一条条_ bk直线直线0 0k k直线直线直线直线y=kx+by=kx+b与与y=kxy=kx之之间的关系间的关系直线直线y=kx+by=kx+b可以看成是由直线可以看成是由直线y=kxy=kx平移得到平移得到,b0,b0,向向_平移平移_个单位个单位;b0,;b0,向向_平移平移_个单位个单位 上上b b下下|b|b|3.3.一次函数一次函数y=kx+by
3、=kx+b的性质的性质k,bk,b的的符号符号图象形状图象形状经过的象限经过的象限函数的性质函数的性质k0,bk0,b00 _y y随随x x的增大的增大而而_ k0,bk0,b00 _一、二、三一、二、三一、三、四一、三、四增大增大k,bk,b的的符号符号图象形状图象形状经过的象限经过的象限函数的性质函数的性质k0,bk00 _y y随随x x的增大的增大而而_k0,bk0,b00 _一、二、四一、二、四二、三、四二、三、四减小减小 微点警示微点警示 当两个函数当两个函数y1=k1x+b1y1=k1x+b1与与y2=k2x+b2y2=k2x+b2所所在直线平行时在直线平行时k1=k2,b1b
4、2.k1=k2,b1b2.核心突破核心突破 例例120191 以下关于一次函数以下关于一次函数y=kx+b y=kx+b k0k0的说法的说法,错误的是错误的是 A.A.图象经过第一、二、四象限图象经过第一、二、四象限B.yB.y随随x x的增大而减小的增大而减小C.C.图象与图象与y y轴交于点轴交于点D.D.当当x-x-时时,y0,y0D Dbk2019 当直线当直线y=x+k-3y=x+k-3经过第经过第二、三、四象限时二、三、四象限时,则则k k的取值范围是的取值范围是_._.1k31k0;,k0;当函数值随着自变量的增大而减小当函数值随着自变量的增大而减小时时,k0.,k0.2.|k
5、|2.|k|的大小决定直线的倾斜程度的大小决定直线的倾斜程度,即即|k|k|越大越大,直线与直线与x x轴相交所成的锐角越大轴相交所成的锐角越大,y,y随随x x变化越快变化越快;|k|;|k|越小越小,直线直线与与x x轴相交所成的锐角越小轴相交所成的锐角越小,y,y随随x x变化越慢变化越慢.题组过关题组过关 1.20191.已知一次函数已知一次函数y1=ax+by1=ax+b和和y2=bx+a y2=bx+a,函数函数y1y1和和y2y2的图象可能是的图象可能是 世纪金榜导学号世纪金榜导学号A A2.20192.已知一次函数已知一次函数y=kx+5y=kx+5和和y=kx+7,y=kx+
6、7,假设假设k0k0且且k0,k0,则这两个一次函数的图象的交点在则这两个一次函数的图象的交点在 A.A.第一象限第一象限 B.B.第二象限第二象限C.C.第三象限第三象限D.D.第四象限第四象限A A3.20193.直线直线y=2x-1y=2x-1与与x x轴的交点坐标为轴的交点坐标为_._.世纪金榜导学号世纪金榜导学号4.20194.已知一次函数已知一次函数y=x+ay=x+a的图象上两点的图象上两点A,B,A,B,当当x1x2x1x2时时,有有y1y2,y1y2,并且图象不经过第三象限并且图象不经过第三象限,则则a a的取值范围是的取值范围是_._.1(0)2，1a3考点二一次函数解析式
7、的确定考点二一次函数解析式的确定 主干必备主干必备 一次函数解析式的确定方法及步骤一次函数解析式的确定方法及步骤常用方法常用方法 _ 步骤步骤设函数设函数_;_;列方程列方程(组组););解方程解方程(组组)确定待定系数确定待定系数;确定解析式确定解析式.待定系数法待定系数法解析式解析式常见类型常见类型已知两点坐标确定解析式已知两点坐标确定解析式;已知两已知两对函数对应值确定解析式对函数对应值确定解析式;通过平移通过平移规律确定函数解析式规律确定函数解析式.核心突破核心突破 例例220192 如图如图,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,一次一次函数函数y=2x-1y=2x-1的图象分别交的
8、图象分别交x x、y y轴于点轴于点A A、B,B,将直线将直线ABAB绕绕点点B B按顺时针方向旋转按顺时针方向旋转4545,交交x x轴于点轴于点C,C,则直线则直线BCBC的函的函数表达式是数表达式是_._.1yx13 明明技法技法 用待定系数法求一次函数解析式时对特殊点的利用用待定系数法求一次函数解析式时对特殊点的利用与与y y轴的交点轴的交点:一次函数图象与一次函数图象与y y轴交点的纵坐标的轴交点的纵坐标的值即一次函数值即一次函数y=kx+by=kx+b中中b b的值的值,可直接代入可直接代入.与与x x轴的交点轴的交点:若一次函数图象与若一次函数图象与x x轴交点为轴交点为,则代
9、入可建立方程则代入可建立方程kx+b=0.kx+b=0.题组过关题组过关 1.20191.若三点若三点,在同在同一直线上一直线上,则则a a的值等于的值等于 A.-1A.-1B.0B.0C.3C.3D.4D.4C C2.20192.如图如图,已知过点已知过点BB的直线的直线l1l1与与直线直线l2:y=2x+4l2:y=2x+4相交于点相交于点P.P.世纪金榜导学号世纪金榜导学号求直线求直线l1l1的解析式的解析式.求四边形求四边形PAOCPAOC的面积的面积.解析解析点点PP在直线在直线l2:y=2x+4l2:y=2x+4上上,22+4=a,+4=a,即即a=2,a=2,则点则点P P的坐标
10、为的坐标为,设直线设直线l1l1的解析式为的解析式为:y=kx+b,:y=kx+b,那么那么 解得解得:直线直线l1l1的解析式为的解析式为y=-x+1.y=-x+1.kb0kb2，k1b1.，直线直线l1l1与与y y轴相交于点轴相交于点C,CC,C的坐标为的坐标为,又又直线直线l2l2与与x x轴相交于点轴相交于点A,AA,A点的坐标为点的坐标为,则则AB=3,AB=3,而而S S四边形四边形PAOC=SPAOC=SPAB-SPAB-SBOC,BOC,SS四边形四边形PAOC=PAOC=3 32-2-1 11=.1=.1212523.20193.如图如图,在平面直角坐标系在平面直角坐标系x
11、OyxOy中中,直直线线y=-x+3y=-x+3与与x x轴交于点轴交于点C,C,与直线与直线ADAD交于点交于点A ,A ,点点D D的坐标为的坐标为.世纪金榜导学号世纪金榜导学号求直线求直线ADAD的解析式的解析式.4 5()3 3，直线直线ADAD与与x x轴交于点轴交于点B,B,若点若点E E是直线是直线ADAD上一动点上一动点,当当BODBOD与与BCEBCE相似时相似时,求点求点E E的坐标的坐标.略略考点三一次函数与方程考点三一次函数与方程 、不等式的关系、不等式的关系 主干必备主干必备 一次函数与方程一次函数与方程 、不等式的关系、不等式的关系一次函数一次函数与一次与一次方程方
12、程一元一次方程一元一次方程kx+b=0kx+b=0的根就是一次函的根就是一次函数数y=kx+b(k,by=kx+b(k,b是常数是常数,k0),k0)的图象与的图象与_轴交点的轴交点的_坐标坐标 x x横横一次函数一次函数与一元一与一元一次不等式次不等式一元一次不等式一元一次不等式kx+b0(kx+b0(或或kx+b0)kx+b0)(k0)(k0)的解集可以看作一次函数的解集可以看作一次函数y=kx+by=kx+b取取_值值(或或_值值)时自变量时自变量x x的取值范围的取值范围 两直线的交点坐标是两个一次函数解两直线的交点坐标是两个一次函数解析式析式y=ky=k1 1x+bx+b1 1和和y
13、=ky=k2 2x+bx+b2 2所组成的关于所组成的关于x,yx,y的方程组的方程组 _ _ 的解的解 正正负负1122yk xb,yk xb 微点警示微点警示 一次函数与方程一次函数与方程 、不等式的关系问题一定要结合、不等式的关系问题一定要结合图象去解决图象去解决,即数形结合即数形结合.核心突破核心突破 例例320193 如图如图,直线直线y=kx+bky=kx+bk经过经过点点A,A,当当kx+b xkx+b3x32018 如图如图,一次函数一次函数y=-x-2y=-x-2与与y=2x+my=2x+m的图象相交于点的图象相交于点P,P,则关于则关于x x的不等式组的不等式组 的解集为的
14、解集为_._.2xmx2x20 -2x2-2x2 明明技法技法 解答一次函数与方程、不等式的题目的三点注意解答一次函数与方程、不等式的题目的三点注意要明确一次函数、一次方程和一元一次不等式的内要明确一次函数、一次方程和一元一次不等式的内在联系在联系.在观察图象时在观察图象时,特别注意直线与特别注意直线与x x轴的交点以及两直轴的交点以及两直线的交点线的交点.要做到数形结合要做到数形结合.这类题目中自变量的取值通常在这类题目中自变量的取值通常在给定的两个点的横坐标之间给定的两个点的横坐标之间.题组过关题组过关 1.20191.已知方程已知方程kx+b=0kx+b=0的解是的解是x=3,x=3,则
15、函数则函数y=kx+by=kx+b的图象可能是的图象可能是 C C2.20192.一次函数一次函数y=-3x+by=-3x+b和和y=kx+1y=kx+1的图象的图象如图所示如图所示,其交点为其交点为P,P,则不等式则不等式kx+1-3x+bkx+1-3x+b的解的解集在数轴上表示正确的是集在数轴上表示正确的是 B B3.20193.已知直线已知直线y=-x+2y=-x+2与直线与直线y=2x+6y=2x+6相相交于点交于点A,A,与与x x轴分别交于轴分别交于C,BC,B两点两点,若点若点D D 落在落在ABCABC内部内部,则则a a的取值范围是世纪金榜导学的取值范围是世纪金榜导学号号 A
16、.-3a2A.-3a2B.-2a B.-2a C.-a0C.-a0D.-2a2D.-2a21(aa1)2，B B23434.20194.如图如图,一次函数一次函数y=kx+by=kx+b与与y=x+2y=x+2的的图象相交于点图象相交于点P,P,则关于则关于x,yx,y的二元一次方程组的二元一次方程组 的解是的解是_._.世纪金榜导学号世纪金榜导学号kxyb,yx2 x2,y4考点四一次函数的应用考点四一次函数的应用 主干必备主干必备 一次函数的实际应用一次函数的实际应用建模建模思想思想确定实际问题中的一次函数解析式确定实际问题中的一次函数解析式,要先将要先将实际问题转化为数学问题实际问题转化
17、为数学问题,即数学建模即数学建模,要做要做到这种转化到这种转化,首先要分清哪个量是自变量首先要分清哪个量是自变量,哪哪个量是函数个量是函数;其次建立其次建立_与与_之间的关系之间的关系,要注意要注意_ 函数函数自自变量变量自变量的自变量的取值范围取值范围实际实际问题问题中一中一次函次函数的数的性质性质在实际问题中在实际问题中,可以根据自变量的取值求可以根据自变量的取值求_,_,或者由或者由_求求自变量的值自变量的值.由于自变量的取值范围一般由于自变量的取值范围一般受到限制受到限制,所以可以根据一次函数的性质所以可以根据一次函数的性质求出函数在某个范围的最值求出函数在某个范围的最值 函数值函数值
18、函数值函数值 微点警示微点警示 解决分段函数问题时解决分段函数问题时,各段自变量做到不重不漏各段自变量做到不重不漏,注意注意每段自变量的取值范围每段自变量的取值范围.核心突破核心突破 例例420194 学校计划为学校计划为 我和我的祖国我和我的祖国 演讲演讲比赛购买奖品比赛购买奖品.已知购买已知购买3 3个个A A奖品和奖品和2 2个个B B奖品共需奖品共需120120元元;购买购买5 5个个A A奖品和奖品和4 4个个B B奖品共需奖品共需210210元元.求求A,BA,B两种奖品的单价两种奖品的单价.学校准备购买学校准备购买A,BA,B两种奖品共两种奖品共3030个个,且且A A奖品的数量
19、奖品的数量不少于不少于B B奖品数量的奖品数量的 .请设计出最省钱的购买方案请设计出最省钱的购买方案,并说明理由并说明理由.13 思路点拨思路点拨根据两个等量关系根据两个等量关系:3 3个个A A奖品奖品+2+2个个B B奖奖品品=120=120元元;5 5个个A A奖品奖品+4+4个个B B奖品奖品=210=210元元,列出方程组求列出方程组求解即可解即可.设购买设购买A A奖品奖品z z个个,购买奖品的花费为购买奖品的花费为W W元元,根据根据AA奖奖品的数量不少于品的数量不少于B B奖品数量的奖品数量的 列出关于列出关于z z的不等式的不等式,求出其解集求出其解集;根据根据中的结论并结合
20、题意列出中的结论并结合题意列出W W关于关于z z的一次函数解析式的一次函数解析式,最后根据自变量的取值范围和一次最后根据自变量的取值范围和一次函数的性质求解即可函数的性质求解即可.13 自主解答自主解答 设设A A的单价为的单价为x x元元,B,B的单价为的单价为y y元元,根据题意根据题意,得得 AA的单价为的单价为3030元元,B,B的单价为的单价为1515元元.3x2y120 x30,5x4y210,y15，设购买设购买A A奖品奖品z z个个,则购买则购买B B奖品为奖品为个个,购买购买奖品的花费为奖品的花费为W W元元,由题意可知由题意可知,z ,z ,z ,z ,W=30z+15
21、=450+15z,W=30z+15=450+15z,当当z=8z=8时时,W,W有最小值为有最小值为570570元元,即购买即购买A A奖品奖品8 8个个,购买购买B B奖品奖品2222个个,花费最少花费最少.13152 明明技法技法 应用一次函数知识解决实际问题常见的两种模式应用一次函数知识解决实际问题常见的两种模式建立函数模型建立函数模型,然后借助方程或不等式或函数图象然后借助方程或不等式或函数图象来解决问题来解决问题.利用一次函数的图象的性质利用一次函数的图象的性质,如增减性等来解决生如增减性等来解决生活中的最优化问题活中的最优化问题,它常与方程它常与方程 或不等式或不等式 一起一起考查
22、考查.题组过关题组过关 1.20191.某游泳馆推出了两种收费方式某游泳馆推出了两种收费方式.方式一方式一:顾客先购买会员卡顾客先购买会员卡,每张会员卡每张会员卡200200元元,仅限本仅限本人一年内使用人一年内使用,凭卡游泳凭卡游泳,每次游泳再付费每次游泳再付费3030元元.方式二方式二:顾客不购买会员卡顾客不购买会员卡,每次游泳付费每次游泳付费4040元元.设小亮设小亮在一年内来此游泳馆的次数为在一年内来此游泳馆的次数为x x次次,选择方式一的总费选择方式一的总费用为用为y1y1,选择方式二的总费用为选择方式二的总费用为y2y2.请分别写出请分别写出y1,y2y1,y2与与x x之间的函数
23、表达式之间的函数表达式.小亮一年内在此游泳馆游泳的次数小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x x在什么范围时在什么范围时,选择方式一比方式二省钱选择方式一比方式二省钱.解析解析y1=30 x+200;y2=40 x.y1=30 x+200;y2=40 x.由由y1y2y1y2得得:30 x+20040 x.:30 x+20020,x20,当当x20 x20时选择方式一比方式二省钱时选择方式一比方式二省钱.2.20192.蓝莓果实中含有丰富的营蓝莓果实中含有丰富的营养成分养成分,经常食用蓝莓制品经常食用蓝莓制品,还可明显地增强视力还可明显地增强视力,消除消除眼睛疲劳眼睛疲劳,某蓝莓种植生产基地产销两旺
24、某蓝莓种植生产基地产销两旺,当天采摘的当天采摘的蓝莓部分加工成蓝莓汁销售蓝莓部分加工成蓝莓汁销售,剩下的部分直接销售剩下的部分直接销售,且当天加工的蓝莓汁以且当天加工的蓝莓汁以及剩余的蓝莓都能在当天全部售出及剩余的蓝莓都能在当天全部售出,3,3斤蓝莓与斤蓝莓与2 2斤蓝莓斤蓝莓汁的售价是汁的售价是580580元元,4,4斤蓝莓与斤蓝莓与3 3斤蓝莓汁的售价是斤蓝莓汁的售价是840840元元.已知基地雇佣已知基地雇佣2020名工人名工人,每名工人只能参与采摘和加工每名工人只能参与采摘和加工中的一项工作中的一项工作,每人每天可以采摘每人每天可以采摘7070斤蓝莓或加工斤蓝莓或加工3535斤斤蓝莓汁
25、蓝莓汁.世纪金榜导学号世纪金榜导学号请问购买请问购买1 1斤蓝莓多少元斤蓝莓多少元?购买购买1 1斤蓝莓汁多少元斤蓝莓汁多少元?设安排设安排x x名工人采摘蓝莓名工人采摘蓝莓,剩下的工人加工蓝莓汁剩下的工人加工蓝莓汁,基地应如何分配工人基地应如何分配工人,才能使一天的销售额最大才能使一天的销售额最大?并求并求出最大销售额出最大销售额.解析解析设购买设购买1 1斤蓝莓斤蓝莓m m元元,购买购买1 1斤蓝莓汁斤蓝莓汁n n元元,根根据题意得据题意得:解得解得:则购买则购买1 1斤蓝莓斤蓝莓6060元元,购买购买1 1斤蓝莓汁斤蓝莓汁200200元元.3m2n580,4m3n840,m60,n200
26、,设安排设安排x x名工人采摘蓝莓名工人采摘蓝莓,剩下的剩下的名工人加名工人加工蓝莓汁工蓝莓汁,销售额为销售额为w w元元,根据题意得根据题意得:w=70 x:w=70 x60+3560+35200=4 200 x+200=4 200 x+140 000-7 000 x=-2 800 x+140 000,140 000-7 000 x=-2 800 x+140 000,-2 8000,w-2 8000,w随随x x的增大而减小的增大而减小,70 x35,70 x35,x ,x ,xx为正整数为正整数,且且x20,x20,7x20,7x20,所以所以x=7x=7时时,w,w取得最大值取得最大值,最大值最大值w=-2 800w=-2 8007+140 000 7+140 000=120 400,=120 400,即即7 7名工人采摘蓝莓名工人采摘蓝莓,13,13名工人加工蓝莓汁名工人加工蓝莓汁,才能使一天的销售额最大才能使一天的销售额最大,最大销售额为最大销售额为120 400120 400元元.203
