1、第十二讲反比例函数考点一反比例函数的图象和性质考点一反比例函数的图象和性质 主干必备主干必备 一、反比例函数解析式的三种形式一、反比例函数解析式的三种形式1.y=_k0,k1.y=_.2.y=k_k0,k2.y=k_.3.xy=_k0,k3.xy=_.kxx x-1-1k k二、反比例函数的图象与性质二、反比例函数的图象与性质1.1.反比例函数反比例函数y=ky=,k0的图象是的图象是_,_,且关于且关于_对称对称.2.2.反比例函数反比例函数y=ky=,k0的图象和性质的图象和性质kxkx双双曲线曲线原点原点函数函数图象图象所在象限所在象限性质性质y=y=(k(k为为常数常数,k0)k0)k
2、0k0 _象象限限(x,y(x,y同号同号)在每个象限在每个象限内内,y,y随随x x增大而增大而_ _ _ 象象限限(x,y(x,y异号异号)在每个象限在每个象限内内,y,y随随x x增大而增大而_ kx 一、三一、三 减小减小二、四二、四增大增大 微点警示微点警示 双曲线不是连续曲线双曲线不是连续曲线,而是两支在不同象限的曲线而是两支在不同象限的曲线,所所以比较函数值大小时以比较函数值大小时,要注意所判断的点是否在同一象要注意所判断的点是否在同一象限限,再结合每个象限内反比例函数图象的增减性来比较再结合每个象限内反比例函数图象的增减性来比较.核心突破核心突破 例例120191 已知已知ab
3、0,ab0,一次函数一次函数y=ax-by=ax-b与反比例函数与反比例函数y=y=在同一直角坐标系中的图象可能在同一直角坐标系中的图象可能是是 axA A2019 若点若点A,B,CA,B,C都在反比例函数都在反比例函数y=-y=-的图象上的图象上,则则y1,y2,y3y1,y2,y3的大小关的大小关系是系是 A.y2y1y3A.y2y1y3B.y3y1y2B.y3y1y2C.y1y2y3C.y1y2y3D.y3y2y1D.y3y2y112xB B 明明技法技法 解决含有字母系数的不同函数在解决含有字母系数的不同函数在同一直角坐标系内的图象的两种方法同一直角坐标系内的图象的两种方法根据图象确
4、定所含字母的取值范围根据图象确定所含字母的取值范围,看字母系数的看字母系数的取值在不同函数中是否一致取值在不同函数中是否一致.先假设字母系数的取值先假设字母系数的取值,确定不同函数的图象的位确定不同函数的图象的位置置,再看在同一直角坐标系内不同函数的图象与之是否再看在同一直角坐标系内不同函数的图象与之是否对应对应.题组过关题组过关 1.20191.如果反比例函数如果反比例函数y=ay=的图象在第一、三象限的图象在第一、三象限,那么那么a a的取值范围是的取值范围是 A.a0A.a0B.a0C.a2C.a2D.a2a2xD D2.20192.若点若点,都是都是反比例函数反比例函数y=-y=-图象
5、上的点图象上的点,并且并且y10y2,y10y2,则以下结则以下结论中正确的是论中正确的是 A.x1x2A.x1x2B.x1x2B.x1x2C.yC.y随随x x的增大而减小的增大而减小D.D.两点有可能在同一象限两点有可能在同一象限6xA A3.20193.如图如图,直线直线y=-xy=-x与双曲线与双曲线y=y=相交于相交于A,BA,B两点两点,则点则点B B坐标为坐标为 A.A.B.B.C.C.D.D.12kxA A1(1,)21(,1)24.20194.在反比例函数在反比例函数y=y=图象的图象的每一条曲线上每一条曲线上,y,y都随都随x x的增大而减小的增大而减小,则则m m的取值范
6、围是的取值范围是_._.世纪金榜导学号世纪金榜导学号m2xm2m2考点二求反比例函数的解析式考点二求反比例函数的解析式 核心突破核心突破 例例220192 如图如图,一次函数一次函数y=kx+by=kx+b的图象与的图象与反比例函数反比例函数y=y=的图象相交于的图象相交于A,BA,B两点两点,其中点其中点A A的坐的坐标为标为,点点B B的坐标为的坐标为.2kx根据图象根据图象,直接写出满足直接写出满足kx+b kx+b 的的x x的取值范围的取值范围.求这两个函数的表达式求这两个函数的表达式.点点P P在线段在线段ABAB上上,且且S SAOPSAOPSBOP=12,BOP=12,求点求点
7、P P的坐标的坐标.2kx 思路点拨思路点拨根据一次函数图象在反比例图象的上方根据一次函数图象在反比例图象的上方,可求可求x x的取值范围的取值范围.将点将点A,A,点点B B坐标代入两个表达式可求坐标代入两个表达式可求k2,n,k,bk2,n,k,b的值的值,从而求得表达式从而求得表达式.根据三角形面积的比例根据三角形面积的比例,可得答案可得答案.自主解答自主解答点点A A的坐标为的坐标为,点点B B的坐标为的坐标为.由图象可得由图象可得:kx+b :kx+b 的的x x的取值范围是的取值范围是x-1x-1或或0 x4.0 x4.反比例函数反比例函数y=y=的图象过点的图象过点A,B,A,B
8、,k2=-1k2=-14=-4,k2=4n,4=-4,k2=4n,2kx2kxn=-1,n=-1,点点B B的坐标为的坐标为,一次函数一次函数y=kx+by=kx+b的图的图象过点象过点A,A,点点B,B,解得解得:k=-1,b=3,:k=-1,b=3,一次函数的表达式为一次函数的表达式为y=-x+3,y=-x+3,反比例函数的表达式为反比例函数的表达式为y=-.y=-.略略kb44kb1 ，4x 明明技法技法 确定反比例函数的解析式的方法确定反比例函数的解析式的方法常用方法常用方法 待定系数法待定系数法 步骤步骤设函数解析式为设函数解析式为y=(k0);y=(k0);列方程列方程;解方程确定
9、解方程确定 k k的值的值;确定解析式确定解析式.kx 题组过关题组过关 1.20191.已知已知:如图如图,直线直线l l经过点经过点AA和点和点B,B,点点M M在在x x轴上轴上,过点过点M M作作x x轴的垂线交直线轴的垂线交直线l l于点于点C,C,若若OM=2OA,OM=2OA,则经过点则经过点C C的反比例函数表达式为的反比例函数表达式为_._.世纪金榜导世纪金榜导学号学号12yx2.20192.如图如图,一次函数一次函数y=x+1y=x+1的图象交的图象交y y轴轴于点于点A,A,与反比例函数与反比例函数y=0y=0的图象交于点的图象交于点B.B.世纪金榜导学号世纪金榜导学号求
10、反比例函数的表达式求反比例函数的表达式.求求AOBAOB的面积的面积.kx 解析解析点点BB在直线在直线y=x+1y=x+1上上,2=m+1,2=m+1,得得m=1,m=1,点点B B的坐标为的坐标为,点点BB在反比例函数在反比例函数y=0y=0的图象上的图象上,2=,2=,得得k=2,k=2,即反比例函数的表达式为即反比例函数的表达式为y=.y=.kxk12x将将x=0 x=0代入代入y=x+1,y=x+1,得得y=1,y=1,则点则点A A的坐标为的坐标为,点点B B的坐标为的坐标为,AOBAOB的面积是的面积是 1 11.22考点三一次函数与反比例函数的综合考点三一次函数与反比例函数的综
11、合 核心突破核心突破 例例3 3如图如图,一次函数一次函数y=kx+by=kx+b与反比例函数与反比例函数y=y=的图象交于的图象交于A,BA,B两点两点,与坐标与坐标轴分别交于轴分别交于M,NM,N两点两点.4x求一次函数的解析式求一次函数的解析式.根据图象直接写出根据图象直接写出kx+b-0kx+b-0中中x x的取值范围的取值范围.求求AOBAOB的面积的面积.4x 自主解答自主解答 略略 明明技法技法 根据一次函数和反比例函数的图象写不等式的解集的根据一次函数和反比例函数的图象写不等式的解集的步骤步骤数形结合数形结合:根据题意画出图象根据题意画出图象.找交点找交点:根据函数图象根据函数
12、图象,找到两函数的交点坐标找到两函数的交点坐标.画三线画三线:根据两条函数的交点画出三条垂直于根据两条函数的交点画出三条垂直于x x轴的轴的直线直线.分四域分四域:以三线为界可将直角平面划分为四个区域以三线为界可将直角平面划分为四个区域.定大小定大小:根据根据 上大下小上大下小 原则原则.如果一次函数图象与反比例函数图象有交点时如果一次函数图象与反比例函数图象有交点时,就可以就可以利用上面的步骤去解决问题利用上面的步骤去解决问题;若没有交点时若没有交点时,可以借助可以借助y y轴分两个区域轴分两个区域,再直接用再直接用 上大下小上大下小 原则去解决问题原则去解决问题.题组过关题组过关 1.20
13、191.如图如图,一次函数一次函数y1=kx+by1=kx+b的的图象与反比例函数图象与反比例函数y2=my2=m0的图象都经的图象都经过过A,B,A,B,结合图象结合图象,则不等式则不等式kx+b kx+b 的解的解集是集是 mxmxC CA.x-1A.x-1B.-1x0B.-1x0C.x-1C.x-1或或0 x20 x2D.-1x0D.-1x2x22.20192.如图如图,函数函数y=ky=0,k0的的图象与过原点图象与过原点O O的直线相交于的直线相交于A,BA,B两点两点,点点M M是第一象限是第一象限内双曲线上的动点内双曲线上的动点,直线直线AMAM分别交分别交x x轴轴,y,y轴于
14、轴于C,DC,D两点两点,连接连接BMBM分别交分别交x x轴轴,y,y轴于点轴于点E,F.E,F.连接连接OM.OM.现有以下四个结论现有以下四个结论:ODMODM与与OCAOCA的面积相等的面积相等;若若BMAMBMAM于点于点M,M,则则MBA=30MBA=30;若若M M点的横坐标为点的横坐标为kx1,1,OAMOAM为等边三角形为等边三角形,则则k=2+;k=2+;若若MF=MB,MF=MB,则则MD=2MA.MD=2MA.其中正确的结论的序号是其中正确的结论的序号是_._.世纪金榜导学号世纪金榜导学号3253.20193.如图如图,点点A ,BA ,B是直线是直线ABAB与反比例函
15、数与反比例函数y=0y=0图象的两个交点图象的两个交点,ACx,ACx轴轴,垂垂足为点足为点C,C,已知已知D,D,连接连接AD,BD,BC.AD,BD,BC.世纪金榜导世纪金榜导学号学号3(4)2，nx求直线求直线ABAB的表达式的表达式.ABCABC和和ABDABD的面积分别为的面积分别为S1,S2,S1,S2,求求S2-S1.S2-S1.解析解析点点A ,BA ,B在反比例函数在反比例函数y=y=00图象上图象上,4=,n=6,4=,n=6,反比例函数的表达式为反比例函数的表达式为y=0,y=0,将点将点BB代入代入y=0y=0得得m=2,B,m=2,B,设直线设直线ABAB的表达式为的
16、表达式为y=kx+b,y=kx+b,3(4)2，nxn326x6x 直线直线ABAB的表达式为的表达式为y=-x+6.y=-x+6.43k,4kb,3223kb,b6,解得43由点由点A,BA,B坐标得坐标得AC=4,AC=4,点点B B到到ACAC的距离为的距离为 S1=S1=设设ABAB与与y y轴的交点为轴的交点为E,E,可得可得E,E,如图如图:333,221343,22 DE=6-1=5,DE=6-1=5,由点由点A ,BA ,B知点知点A,BA,B到到DEDE的距离分的距离分别为别为 ,3,3,S2=SS2=SBDE-SBDE-SADE=ADE=S2-S1=S2-S1=3(4)2，
17、32113155 35,2224 1533.44 考点四反比例函数的实际应用考点四反比例函数的实际应用 核心突破核心突破 例例420184 如图是轮滑场地的截面示意图如图是轮滑场地的截面示意图,平台平台ABAB距距x x轴轴 1818米米,与与y y轴交于点轴交于点B,B,与滑道与滑道y=y=交于点交于点A,A,且且AB=1AB=1米米.运动员运动员 在在BABA方向获方向获得速度得速度v v米米/秒后秒后,从从A A处向右下飞向滑道处向右下飞向滑道,点点M M是下落是下落kx路线的某位置路线的某位置.忽略空气阻力忽略空气阻力,实验表明实验表明:M,A:M,A的竖直距的竖直距离离hh 与飞出时
18、间与飞出时间tt 的平方成正比的平方成正比,且且t=1t=1时时h=5,h=5,M,AM,A的水平距离是的水平距离是vtvt米米.求求k,k,并用并用t t表示表示h.h.设设v=5.v=5.用用t t表示点表示点M M的横坐标的横坐标x x和纵坐标和纵坐标y,y,并求并求y y与与x x的关系式的关系式,及及y=13y=13时运动员与正下时运动员与正下方滑道的竖直距离方滑道的竖直距离.若运动员甲、乙同时从若运动员甲、乙同时从A A处飞出处飞出,速度分别是速度分别是5 5米米/秒、秒、v v乙米乙米/秒秒.当甲距当甲距x x轴轴1.81.8米米,且乙位于甲右侧超过且乙位于甲右侧超过4.54.5
19、米米的位置时的位置时,直接写出直接写出t t的值及的值及v v乙的范围乙的范围.自主解答自主解答由题意由题意,将点将点AA代入代入y=,y=,得得:18=,k=18.:18=,k=18.设设h=at2,h=at2,把把t=1,h=5t=1,h=5代入代入,a=5,h=5t2.a=5,h=5t2.kxk1v=5,AB=1,x=5t+1,v=5,AB=1,x=5t+1,h=5t2,OB=18,y=-5t2+18.h=5t2,OB=18,y=-5t2+18.由由x=5t+1,x=5t+1,则则t=,y=-2+18=-x2+x+,t=,y=-2+18=-x2+x+,当当y=13y=13时时,13=-2
20、+18,13=-2+18,解得解得x=6x=6或或-4,x1,x=6,-4,x1,x=6,1515152589515把把x=6x=6代入代入y=,y=,得得y=3.y=3.运动员与正下方滑道的竖直距离是运动员与正下方滑道的竖直距离是13-3=1013-3=10.略略18x 明明技法技法 本题是二次函数和反比例函数所构成的分段函数本题是二次函数和反比例函数所构成的分段函数,并进并进一步利用反比例函数解决实际问题一步利用反比例函数解决实际问题,解决这类问题的关解决这类问题的关键是审清题目键是审清题目,理清步骤理清步骤:先根据点的坐标确定解析式先根据点的坐标确定解析式,再根据方程或不等式解决实际问题
21、再根据方程或不等式解决实际问题.题组过关题组过关 1.20191.一个可以改变体积的密闭容器内一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体装有一定质量的某种气体,当改变容器体积时当改变容器体积时,气体的气体的密度也随之改变密度也随之改变.密度密度:kg/m3与体积与体积VVm3满足函数关系式满足函数关系式=k=,k0,其图象如图其图象如图所示所示,那么当那么当V6 m3V6 m3时时,气体的密度气体的密度:kg/m3的的取值范围是取值范围是 kVB BA.1.5A.1.5 B.01.5B.01.5D.1.52.20192.方方驾驶小汽车匀速从方方驾驶小汽车匀速从A A地行驶到地行驶到B
22、B地地,行驶路程为行驶路程为480480千米千米,设小汽车的行驶时间为设小汽车的行驶时间为tt,行驶速度为行驶速度为vv,且全程速度且全程速度限定为不超过限定为不超过120120千米千米/小时小时.世纪金榜导学号世纪金榜导学号求求v v关于关于t t的函数表达式的函数表达式.方方上午方方上午8 8点驾驶小汽车从点驾驶小汽车从A A地出发地出发.方方需在当天方方需在当天1212点点4848分至分至1414点点 间到达间到达B B地地,求小汽车行驶速度求小汽车行驶速度v v的范围的范围.方方能否在当天方方能否在当天1111点点3030分前到达分前到达B B地地?说明理由说明理由.解析解析vt=48
23、0,vt=480,且全程速度限定为不超过且全程速度限定为不超过120120千千米米/小时小时,v,v关于关于t t的函数表达式为的函数表达式为v=.v=.上午上午8 8点至点至1212点点4848分时间长为分时间长为 小时小时,8,8点至点至1414点点时间长为时间长为6 6小时小时.将将t=6t=6代入代入v=v=得得v=80;v=80;将将t=t=代入代入v=v=得得v=100.v=100.小汽车行驶速度小汽车行驶速度v v的范围为的范围为80v100.80v100.480t245480t245480t方方不能在当天方方不能在当天1111点点3030分前到达分前到达B B地地.理由如下理由
24、如下:上午上午8 8点至点至1111点点3030分时间长为分时间长为 小时小时,将将t=t=代入代入v=v=得得v=120,v=120,故方方不能在当天故方方不能在当天1111点点3030分前到达分前到达B B地地.7272480t96073.20193.为了预防疾病为了预防疾病,某单位对办公某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒室采用药熏消毒法进行消毒,已知药物燃烧时已知药物燃烧时,室内每室内每立方米空气中的含药量立方米空气中的含药量yy 与时间与时间xx 成正比成正比例例,药物燃烧后药物燃烧后,y,y与与x x成反比例成反比例,现测得药物现测得药物8 8分分钟燃毕钟燃毕,此时室内空气中每立方
25、米的含药量为此时室内空气中每立方米的含药量为6 6毫克毫克,请请根据题中所提供的信息根据题中所提供的信息,解答以下问题解答以下问题:世纪金榜导学世纪金榜导学号号药物燃烧时药物燃烧时,y,y关于关于x x的函数关系式为的函数关系式为_,_,自变量自变量x x的取值范围为的取值范围为_;_;药物燃烧后药物燃烧后,y,y关关于于x x的函数关系式为的函数关系式为_._.研究表明研究表明,当空气中每立方米的含药量低于当空气中每立方米的含药量低于1.61.6毫克毫克时员工方可进办公室时员工方可进办公室,那么从消毒开始那么从消毒开始,至少需要经过至少需要经过_分钟后分钟后,员工才能回到办公室员工才能回到办
26、公室.研究表明研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于当空气中每立方米的含药量不低于3 3毫克毫克且持续时间不低于且持续时间不低于1010分钟时分钟时,才能有效杀灭空气中的病才能有效杀灭空气中的病菌菌,那么此次消毒是否有效那么此次消毒是否有效?为什么为什么?解析解析y=x,y=8.y=x,y=8.结合实际结合实际,令令y=y=中中y1.6y30,x30,即从消毒开始即从消毒开始,至少需要至少需要3030分钟后员工才能进入办公室分钟后员工才能进入办公室.把把y=3y=3代入代入y=x,y=x,得得:x=4,:x=4,把把y=3y=3代入代入y=,y=,得得:x=16,16-4=1210.:x=16,16-4=1210.所以这次消毒是有效的所以这次消毒是有效的.3448x48x3448x
