1、 1 辽宁省葫芦岛市 2016-2017学年高二数学下学期期中试题 理 满分： 150分 考试时间： 120分钟 一、选择题：本大题共 12小题每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 复数 z满足 z(1-2i)=3+4i复数 z的共轭复数 所对应的复点在第 （ ） 象限 A 一 B 二 C 三 D 四 2下列函数中 x=0是极值点的函数是（ ） A f（ x） = x3 B f（ x） = cosx C f（ x） =sinx x D f（ x） =1x 3.设点 P是曲 线 y=x3- 3x+35上的任意一点，点 P处切线的倾斜角为 ，则角 的取值范
2、围是（ ） A 0,23? B 0,?2) 23?,?) C (?2,23? D ?3,23? 4用反证法证明数学命题时首先应该做出与命题结论相矛盾的假设否定 “ 自然数 a， b，c中恰有一个偶数 ” 时正确的反设为（ ） A自 然数 a， b， c都是奇数 B自然数 a， b， c都是偶数 C自然数 a， b， c中至少有两个偶数 D自然数 a， b， c中至少有两个偶数或都是奇数 5 我们用圆的性质类比球的性质如下 : p:圆心与弦 (非直径 )中点的连线垂直于弦 ; q:球心与小圆截面圆心的连线垂直于截面 . p:与圆心距离相等的两条弦长相等 ; q:与球心距离相等的两个截面圆的面积相
3、等 . p:圆的周长为 C= d(d是圆的直径 ); q:球的表面积为 S= d2(d 是球的直径 ). p:圆的面积为 S=12R d(R,d是圆的半径与直径 ); q:球的体积为 V=13R d2(R,d是球的半径与直径 ). 则上面的四组命题中 ,其中类比得到的 q是真命题的有 ( )个 D A.1 B.2 C.3 D.4 6.设曲线 2 1yx?在点 )(,( xfx 处的切线的斜率为 ()gx，则函数 ( )cosy g x x? 的部分图象可 以为 ( ) 2 A. B. C. D. 7 已知函数 f(x)=f(?4)cosx+sinx,则 f(3?4 ) = A. 2 B. 2-
4、1 C.1 D.0 8.已知 = （ x， y） |x 1， |y| 1， A是曲线 y=x2与 y= 21x 围成的区域，若向区域 上随机投一点 P，则点 P 落入区域 A的概率为（ ） A13 B14 C18 D112 9以圆 x2+y2 2x 2y 1=0内横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点的三角形的个数为（ ） A 76 B 78 C 81 D 84 10.从 0， 1， 2， 3， 4， 5， 6 这七个数字中选两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（ ） A 180 B 362 C 378 D 432 11.点 P是曲线 x2 y 2ln x=0上任意一点，则点 P到直
5、线 4x+4y+1=0的最小距离是（ ） A22 (1-ln2) B22 (12+ln2) C22 (1+ln2) D12(1+ln2) 12.定义在 R上的函数 f（ x）满足： f（ x） +f （ x） 1， f（ 0） =4，则不等式 exf（ x） ex+3（其中 e为 自然对数的底数）的解集为（ ） A（ 0， + ） B（ ， 0） （ 3， + ） C（ ， 0） （ 0， + ） D（ 3，+ ） 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 .将答案填在答题卡相应的横线上 . 13.要在如图所示的花圃中的 5个区域中种入 4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有
6、_种不同的种法（用数字作答） 14.有 13名医生，其中女医生 6人 ， 现从中抽调 5名医生组成医疗小组前往灾区，若医疗小组至少有 2名男医生，同时至多有 3名 女医生，设不同的选派方法种数为 N，则下列等式： O x x x x y y y y O O O 3 C 135 C71C64； C 72C63+C73C62+C74C61+C75； C 135 C71C64 C65； C 72C113； 其中能成为 N的算式是 _ 15.在 ( 1x -2x)9的展开式中的常数项是 . 16.四 根绳子上共挂有 10 只气球 ,绳子上的球数 依次 为 1,2,3,4， 每枪只能打破一只球 ,而且规
7、定只有打破下面的球才能打上面的球 ,则 将这些气球都打破 的不同 打法 数是 _. 三 、解答题：本大题共 6小题，共 70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17.（本小题 10分） 已知虚数 z满足 |2z+5|=|z+10|. （ 1）求 |z|； （ 2）是否存在实数 m ，是 zmmz? 为实数，若存在，求出 m 值；若不存在，说明理由； （ 3）若 (1 2)iz? 在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上，求复数 z . 18 （本小题 12分） (1)用适当方法证明：如果 ,0,0 ? ba 那么 baabba ?(2)若下列三个方程： 2 2 2 24 4
8、3 0 , ( 1 ) 0 , 2 2 0x a x a x a x a x a x a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?中至少有一个方程有实根，试求 a 的取值范围 . 19 （本小题 12分） 已知甲、乙、丙、丁、戊、己等 6人 .（以下问题用数字作答） （ 1）邀请这 6人去参加一项活动，必须有人去，去几人自行决 定，共有多少种不同的情形？ （ 2）这 6人同时加入 6项不同的活动，每项活动限 1人，其中甲不参加第一项活动，乙不参加第三项活动，共有多少种不同的安排方法？ （ 3）将这 6人作为辅导员安排到 3项不同的活动中，每项活动至少安排 1名辅导员；求丁、戊、己恰好被安排在同
9、一项活动中的概率 4 20.（本小题 12分） 已知函数 f（ x） =x2ax（ a+2） lnx，其中实数 a 0 （ 1）若 a=0，求函数 f（ x）在 x 1， 3上的最值； （ 2）若 a 0，讨论函数 f（ x）的单调性 21.（本小题 12分） 已知 ? ? ? ? ? ? ? ?20 1 21 1 1 1nn nx a a x a x a x? ? ? ? ? ? ? ? ?，（其中 *nN? ） . （ 1）求 0a 及 12nns a a a? ? ? ?； （ 2）试比较 ns 与 ? ? 22 2 2nnn? ? ? 的大小，并用数学归纳法给出证明过程 . 22.（本
10、小题 12分） 已知 f（ x） =ex ax2，曲线 y=f（ x）在（ 1， f（ 1）处的切线方程为5 y=bx+1 （ 1）求 a， b的值； （ 2）求 f（ x）在 0， 1上的最大值； （ 3）证明：当 x 0时， ex+（ 1 e） x xlnx 1 0 6 2016-2017下学期期中高二年级数学理科参考答案 一、选择题 12.A解：设 g（ x） =exf（ x） ex，（ x R）， 则 g （ x） =exf（ x） +exf （ x） ex=exf（ x） +f （ x） 1， f（ x） +f （ x） 1， f（ x） +f （ x） 1 0， g （ x） 0，
11、 y=g（ x）在定义域上单调递增， exf（ x） ex+3， g（ x） 3， 又 g（ 0） e0f（ 0） e0=4 1=3， g（ x） g（ 0）， x 0故选： A 二、填空题 三、 解答题 17.（ 1）设 ( , 0 )z x yi x y R y? ? ? ?且，由 | 2 5 | | 10 |zz? ? ? 得： 2 2 2 2( 2 5 ) 4 ( 1 0 )x y x y? ? ? ? ?化简得 : 2225xy?,所以 | | 5z? .? 2分 （ 2）2 2 2 2( ) ( )z m x m x y m y iRm z m mm n x y? ? ? ? ?
12、?， 22 0y mym xy? ? ?，又 0y? 且 2225xy?， 1 0,25mm? ? ? 解得 5m? .? 6分 (3)由 (1 2 ) (1 2 ) ( ) ( 2 ) ( 2 )i z i x y i x y y x i? ? ? ? ? ? ? ?及已知得： 22x y y x? ? ? ，即 3yx? ，代入 2225xy?解得： 1023 102xy? ? ?或1023 102xy? ? ?，故 10 3 1022zi? 或 10 3 1022zi? ? ? .? 10 分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B B D D A B D A C
13、C A 13 14 15 16 72 -672 12600 7 18.证明 (1)：（用综合法） a abb baaabbbabaabba ? )(ab babaabba )()()11)(2 ? . ,0,0 ? ba ,0)()( 2 ?ab baba baabba ?. 6 分 (2) 12分 19.（ 1） 6312. 6662616 ? CCC 故共有 63种不同的去法 ? 4分 （ 2） 5 0 4242 4 07 2 02 445566 ? AAA 故共有 504种不同的安排方法 ? 8分 （ 3） 13334 3 1 2 3 2 26 3 6 5 3 6 42 115CAP C
14、 A C C A C C? 故丙、戊恰好被安排在一项活动中的概率为 115 ? 12 分 20.解：（ 1） f（ x） =x 2lnx， f （ x） =x-2x ，令 f （ x） =0， x=2列表如下， x 1 （ 1， 2） 2 （ 2， 3） 3 f（ x） 0 + f（ x） 1 2 2ln2 3 2ln3 从上表可知， f（ 3） f（ 1） =2 2ln3 0， f（ 1） f（ 3）， 函数 f（ x）在区间 1， 3上的 最大值是 1，最小值为 2 2ln2； ? 6分 8 （ 2） f (x)=1+2ax2 - a+2x =x2-(a+2)x+2ax2 =(x-a)（
15、x-2）x2 ， 当 a 2时， x （ 0， 2） （ a， + ）时， f （ x） 0；当 x （ 2， a）时， f （ x） 0， f（ x）的单调增区间为（ 0， 2），（ a， + ），单调减区间为（ 2， a）； 当 a=2时， f (x)=(x-2)2x2 0(x 2)， f（ x）的单调增区间为（ 0， + ）； 当 0 a 2时， x （ 0， a） （ 2， + ）时， f （ x） 0；当 x （ a， 2）时， f （ x） 0， f（ x）的单调增区间为（ 0， a），（ 2， + ），单调减区间为（ a， 2）； 综上，当 a 2时， f（ x）的单调增区间为（
16、 0， 2），（ a， + ），单调减区间为（ 2， a）； 当 a=2时， f（ x）的单调增区间为（ 0， + ）； 当 0 a 2时， f（ x）的单调增区间为（ 0， a），（ 2， + ），单调减区间为（ a， 2） ? 12分 21解：（ 1）取 x=1，则 a0=2n；? ? 2分 取 x=2，则 a0+a1+a2+a3+an=3n， Sn=a1+a2+a3+an=3n-2n；? 4分 （ 2）要比较 Sn与（ n-2） 2n+2n2的大小，即比较： 3n与（ n-1） 2n+2n2的大小， 当 n=1时， 3n（ n-1） 2n+2n2； 当 n=2， 3时， 3n（ n-1） 2n+2n2； 当 n=4， 5时， 3n（ n-1） 2n+2n2 猜想：当 n 4时， 3n（ n-1） 2n+2n2，? 6分 下面用数学归纳法证明： 由上述过程可知， n=4 时结论 成立，? 7分 假设当 n=k，（ k 4）时结论成立，即 3k（ k-1） 2k+2k2， 两边同乘以 3得： 3k+1 3 （ k-1） 2k+2k2=k2k+1+2（ k+1） 2+（ k-3） 2k+4k2-4k-2 而（ k-3） 2k+4k2-4k-2=（ k-3） 2k+4（ k2-k-2） +6=（ k-3） 2k+4（ k-2）（ k+1） +6 0 3k+1（ k+1） -1
