1、 1 山西省太原市 2016-2017 学年高二数学下学期期中试题 理 考试时间： 90 分钟 一 .选择题 (本大题共 12 个小题 ,每小题 3 分 ,共 36 分，请 把答案写在答 题纸上 ) 1.已知复数 ( 1)z a a ai? ? ? ，若 z 是纯虚数，则实数 a 等于 ( ) A 2 B 1 C 10或 D 1? 高 2用三段论推理：“任何实数的平方大于 0 ，因 为 a 是实数，所以 2 0a? ”，你认为这个推理（ ） A大前提错误 B小前提错误 C. 推理形式错误 D是正确的 3新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/ 新疆函数 344 ? xxy 在区间 ? ?2
2、,3? 上的最小值为 ( ) A新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/ 新疆72 B新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/ 新疆36 C新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/ 新疆12 D新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/ 新疆0 4.曲线 sin (0 )y x x ? ? ?与直线 12y? 围成的封闭图形的面积是（ ） A. 3 B. 23? C. 2 3? D. 3 3? 5用反证法证明命题：“已知 a 、 b 是自然数，若 3ab? ，则 a 、 b 中至少有一个不小于 2”提出的假设应该是（ ） A a 、 b 至少有两个不小于 2 B a 、 b 至少
3、有一个不小于 2 C a 、 b 都小于 2 D a 、 b 至少有一个小于 2 6.若函数 21( ) ln2f x x ax x? ? ?有极值，则 a 的取值范围是（ ） A )2,( ? B )2,2(? C ),2()2,( ? ? D ),2( ? 7二维空间中圆的一维测度（周长） rl ?2? ，二维测度（面积） 2rS ? ，观察发现 lS? ；三维空间球的二维测度（表面积） 24 rS ? ，三维测度（体积） 334 rV ? ，观察发现 SV? .则由四 维空间中“超球”的三维测度 38r? ，猜想其四维测度 ?W ( ) A. 224r? B. 42r? C. 212r?
4、 D. 44r? 8.已知函数x bxxxf 2)(ln)( ?，若存在 ,221?x ，使得 0)()( ? xfxfx ，则实数 b 的取值范围是（ ） A. )23,(? B. 23,(? C. )49,(? D. 49,(? 2 9. 用数学归纳法证明不等式 1 1 11 ( ) ,2 3 2 1 2n n nN ? ? ? ? ? ?则 1nk? 与 nk? 相比 ,不等式左边增加的项数是（ ） A 1 B 1k? C k D 2k 10.设函数 1)6sin()( ? ?xxf )0( ? 的导数 )(xf? 的最大值为 3，则 )(xf 的图象的一条对称轴的方程是 ( ) A 9
5、?x B 6?x C 3?x D 2?x 11.把语文、数学、英语、物理、化学这五门课程安排在一天的五节课中，如果数学必须 比语文先上，则不同的排法有多少种？（ ） A. 24 B.60 C. 72 D. 120 12已知函数 1)( 22 ? bxaxexf x ，其中 eRba , ? 为自然对数的底数，若 )(,0)1( xff ? 是)(xf 的导函数，函数 )(xf? 在区间 )1,0( 内有两个零点，则 a 的取值范围是（ ） A. )1,3( 22 ? ee B. ),3( 2 ?e C. )22,( 2 ? e D. )22,62( 22 ? ee 二 . 填空题 (本大题 共
6、 4 个小题 ,每小题 4 分 ,共 16 分。请把答案写在答题纸上 ) 13. 设复数 z 满足(1 ) 2i z i?,则 ?z _. 14. 有三个不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，则不同的投法有 _种 . 15.已知 ?fx为偶函数，当 0x? 时， ( ) ln( ) 3f x x x? ? ?，则曲线 ? ?y f x? 在点 (1, 3)? 处的切线方程是 _. 16设函数 ?fx是定义在 ? ?,0? 上的可导函数，其导函数为 ?fx? ，且有 ? ? ? ? 22 f x xf x x?，则不等式 ? ? ? ? ? ?22 0 1 7 2 0 1 7 1 0x f x
7、f? ? ? ? ?的解集为 _ 3 三 .解答题 (本大题共 4 个小题 ,每小题 12 分，共 48 分 .要求写出必要的演算过程和推理步骤 ) 17 (本题 12 分）某化工厂拟建一个下部为圆柱，上部为半球的容器（如图圆柱高为 h ，半径为 r ，不计厚度，单位：米），按计划容积为 ?72 立方米，且 rh 2? ，假设建造费用仅与表面积有关（圆柱底部不计 ），已知圆柱部分每平方米的费用为 2 千元，半球部分每 平方米的费用为 4 千元，设该容器的建造费用为 y 千元 . （ 1）求 y 关于 r 的函数关系，并求其定义域； （ 2）求建造费用最小时的 r . 18 (本题 12 分）已
8、知 ? ? sin co sf x x x ax? ? ?,其中 Ra? . （ 1）若 ?fx在 0?x 处取得极值，求实 数 a 的值 . （ 2）若 ?fx在 ,22?上单调递增，求实数 a 的取值范围 . 4 19 (本题 12 分）已知 ?fx是定义在 R 上的函数， ? ? ? ?313f x x ax a R? ? ?，且曲线 ?fx在 12x? 处的切线与直线 3 14yx? ? 平行 （ 1）求 a 的值 .（ 2）若函数 ? ?y f x m?在区间 3, 3?上有三个零点，求实数 m 的取值范围 20.（本题 12 分）设函数 xaaxxf ln)( 2 ? ,其 中 R
9、a? . （ 1）讨论 )(xf 的单调性； （ 2）若 xexxf ? 11)( 在区间 ),1(? 内恒成立，求 a 的取值范围 . 5 数学答案（理） 考试时间： 90 分钟 一 选择题 (本大题共 12 个小题 ,每小题 3 分 ,共 36 分） . BADDC DBCDA BA 二 填空题 (本大题共 4 个小题 ,每小题 4 分 ,共 16 分） . 13. i?1 14.81 15. 012 ?yx 16. )2017,2018( ? 三解答题 (本大题共 4个小题 ,每小题 12 分，共 48 分 .要求写出必要的演算过程和推理步骤 ) 17 .(12 分）解 :(1) 由容积
10、为 ?72 立方米，得 rrrhhrr 232723272 223 ? ?,解得30 ?r .（ 2 分） 又 圆 柱 的 侧 面 积为 )3272(222 rrrrh ? ?， 半 球 的 表 面 积 为 22r? ， 所 以 建 造 费 用316288 2rry ? ?，（ 5 分）定义域为 3,0( .（ 6 分） (2) 233 2732 rry ? ? ，（ 8 分）又 30 ?r ，所以 0?y （ 10 分），所以建造费用 316288 2rry ? ?在定义域 3,0( 上单调递减，所以当 3?r 时建造费用最小 .（ 12 分） 18.（ 1） ,sincos)( axxxf
11、 ? （ 2分） 由 0)0( ?f 可得 ,01 ?a 1?a ；（ 4分） 经检验， 1?a 满足题意 .（ 5分） （ 2） ?函数 )(xf 在 2,2 ? 单调递增 . ? 0s inco s)( ? axxxf 在 2,2 ? 上恒成立 .（ 7分） 即 xxa sincos ? 在 2,2 ? 上恒成立 .即 min)sincos( xxa ? ? 2,2)4s in (2s inc o s ? ? xxxxy ， 1min ?y （ 10分） ? 1?a .（ 11分） 6 检验， 1?a 时， ,01s inco s)( ? xxxf 2,2 ?x ，仅在 2?x 处取得 .
12、所以满足题意 . ? 1?a .(12 分） 19.(1) axxf ? 2)( （ 1 分） 因为 曲线 ?fx在 12x? 处的切线与直线 3 14yx? ? 平行，所以 4341)21( ? af ，（ 3 分） 所以 1?a .（ 4 分） (2)由 ? ? 31 ,3f x x x?得 ，1)( 2 ? xxf 令 ,0)( ? xf 得 1?x .（ 6 分） 当 13 ? x 时， 0)( ? xf ；当 11 ? x 时， 0)( ? xf ；当 31 ?x 时， 0)( ? xf )(xf 在 )1,3( ? ， )3,1( 单 调递增，在 )1,1(? 单调递减 . 又 .
13、0)3(,32)1(,32)1(,6)3( ? ffff （ 10 分） 若函数 ? ?y f x m?在区间 3, 3?上有三个零点，等价于函数 ?fx在 3, 3?上的图象与 ym? 有三个公 共点 结合函数 ?fx在区间 3, 3?上大致图象可知，实数 m 的取值范围是 2,03? ?（ 12 分） 20.（ 1） ? ? 21 2 1 2 , 0axf x a x xxx ? ? ? ?（ 1分） 当 0a? 时， 22 1 0ax ? ， ? ?0fx? ， ?fx在 ? ?0,? 上 单调递减 .（ 3分） 当 0a? 时， ,)21)(21(2)( x axaxaxf ?当 10
14、,2x a?时， ? ?0fx? ； 当 1 ,2x a? ?时， ? ?0fx? . 故 ?fx在 10,2a?上单调递减，在 1 ,2a?上单调递 增 .（ 6分） （ 2）原不等式等价于 ? ? 11 e0xfx x ? ? ?在 ? ?1,x? ? 上恒成立 . 一方面，令 ? ? ? ? 1 2 111e ln exxg x f x a x x axx? ? ? ? ? ? ? ?， 只需 ?gx在 ? ?1,x? ? 上恒大于 0即可 . 又 ?10g ? ，故 ?gx在 1x? 处必大于等于 0. 7 令 ? ? ? ? 1211 2 e xF x g x a x xx ? ?
15、? ? ?， ? 1 0g ? ，可得 12a? .（ 9分） 另一方面， 当 12a? 时， ? ? 31 1 12 3 2 3 31 2 1 2 2 2 e 1 e ex x xxxF x a x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1,x? ? 故 3 20xx? ? ? ，又 1e0x? ? ，故 ?Fx在 12a? 时恒大于 0. 当 12a? 时， ?Fx在 ? ?1,x? ? 单调递增 . ? ? ? ?1 2 1 0F x F a? ? ? ?，故 ?gx也在 ? ?1,x? ? 单调递增 . ? ? ? ?10g x g?，即 ?gx在 ? ?1,x? ? 上恒大于 0. 综上， 12a? .（ 12分）
