1、 1 陕西省西安市长安区 2016-2017学年高二数学下学期期中试题 文 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上 . 2. 选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效 . 3. 填空题和解答题用 0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效 . 4. 考试结束，请将答题卡上交 . 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满 足题目要求的 . 1. 已知全集 U=R, ? ?ln(1
2、x)M x y? ? ?, ? ?(x 2)21xNx ?,则 ( ) NUCM = A x|x l B x|1 x? 2 C x|0 x? l D x| O? x l 2. 复数 1 cos sinz x i x?， 2 sin cosz x i x?，则 ? 21 zz A 1 B 2 C 3 D 4 3.如果输出的函数值在区间 ? 2141，内，则输入的实数 x的取值范围是 A.? ?23?， B.? ?12?， C.? ?01，? D.?10， 4.若 3sin( ) 5?， ? 是第三象限的角，则s in c o s22s in c o s22? ? ? ? ? ? ?A 12 B
3、12? C 2 D 2? 5.某长方体的三视图如右图，长度为 10 的体对角线在正视图中的投影长度为 6 ,在侧视图中的投影长度为 5 ,则该长方体的全面积为 2 A. 253 ? B. 456 ? C.6 D.10 6.已知对于正项数列 ?na 满足 ? ?,m n m na a a m n N ? ? ? ?，若 2 9a? ，则3 1 3 2 3 1 2l o g l o g l o ga a a? ? ? ?（ ） A 40 B 66 C 78 D 156 7.点 P在边长为 1的正方形 ABCD内部运动，则点 P到 此正方形中心 点的距离 均不超过 12 的概率为 ( ) A.12
4、B.14 C.4 D. 8.已知 22a? ，则函数 22( ) 2f x a x x? ? ? ?的零点个数为 （ ） A 1 B 2 C 3 D. 4 9. 盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为 5cm， 两个直径为 5cm的玻璃小球都浸没于水中，若取出这两个小球，则水面将下降（ ） cm. A .32 B.35 C.2 D.3 10.函数 sinxy x? ， ( 0) (0, )x ? - ， 的图 像 可能是下列图 形 中的 11.定义在(0, )2? 上的函数 ()fx，()fx? 是它的导函数，且恒有 (x ) co sx f(x ) sin xf ? ? 成立，则 A 3 ( )
5、 2 ( )43ff? B (1) 2 ( ) sin 16ff?C 2 ( ) ( )64ff?D 3 ( ) ( )63ff? 12已知条件 qaaxxqxp ? 且条件 ,:,114: 22的一个充分不必要条件是 p? ，则 a 的取值范围是 正视图 侧视图 俯视图 3 A. ? ?2,1? B. 1 ,22 C. 1 2 2?， D. 1-2 2, )2 ? ?（ ， 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 .请将答案填在答题卡对应题号的位置上 . 13.在平面直角坐标系中，不等式组 0,4 0,xyxyxa? ? ?(a 为常数 )表示的平面区域的面积是 9，那么实数
6、 a 的值为 . 14在 ABC? 中，已知 a b c， ， 分别为 A? ， B? ， C? 所对的边， S 为 ABC? 的面积若向量 2 2 24 1p a b c q S? ? ? ?( ) ( )， ， ，满足 /pq，则 C? = 15. 设抛物线 2 8yx? 的焦点为 F ，准线为 l ， P 为抛物线上一点， PA l? ， A 为垂足 .若直线 AF 的斜率为 3? ，则 PF = ； 16. 已知数列 ?na 的前 n 项和构成数列 ?nb ，若 ? ?2 1 3 4nnbn? ? ?， 则 数列 ?na 的通项公式 ?na _. 三、解答题：本大题共 6小题，共 70
7、分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .（注意： 在试题卷上作答无效 ） 17.（本题 10分）已知 ABC? 的面积为 3 ，且满足 2 3 6AB AC? ? ?,设 ,ABAC 的夹角是 ? ， （ ）求 ? 的取值范围； （ ）求函数 2( ) 2 s i n c o s 24f ? ? ? ? ?的最小值 . 18.(本题 12分 ) 已知数列 2 1 nn a? 的前 n 项和 96nSn? . （） 求数列 na 的通项公式； （）设2(3 lo g )3nn abn? ? ?，求数列 1nb的前 n 项和 nT 19（本题 12分） 如图，设四棱锥 S ABCD? 的底
8、面为菱形，且 60ABC? ， 2AB SC? 2SA SB?. 4 75 80 85 90 95 100 分数 频率组距 0.01 0.02 0.04 0.06 0.07 0.03 0.05 （） 求证：平面 SAB? 平面 ABCD ； （）设 P为 SD 的中点 ,求三棱锥 SACP? 的体积 . 20.（本题 12 分）某高校在 2011年的自主招生考试成绩中随机抽取 100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第 1组 75， 80)，第 2组 80， 85)，第 3组 85， 90)，第 4组 90， 95)，第5组 95， 100得到的频率分布直方图如图所示 ( )分别求第 3， 4，
9、5 组的频率； ( )若该校决定在笔试成绩高的第 3， 4， 5组中用分层抽样抽取 6名学生进入第二轮面试，求第 3， 4， 5组每组各抽取多少名学生 进入第二轮面试 ? ( )在 ( )的前提下，学校决定在这 6名学生中随机抽取 2名学生接受甲考官的面试，求第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率 21（本题 12分） 已知椭圆 C: 22 1 ( 0 )xy abab? ? ? ?的离心率为 32 ，以椭圆的左顶点 T 为圆心作圆T: 2 2 22 ) ( 0 ),x y r r? ? ? ?（ 设圆 T与椭圆 C交于点 M、 N（ 如图 ） . （ ）求椭圆 C的方程； （ ） 求 TMT
10、N? 的最小值，并求此时圆 T的方程； （ ） 设点 P是椭圆 C 上异于 M,N的任意一点，且直线 MP,NP分别与 x 轴 5 交于点 R， S， O为坐标原点 .求证： OR OS? 为定值 .来 22 （本题 12分） 已知函数 ( ) ln 1f x x ax? ? ?。 （ ） 若曲线 ()y f x? 在点 ? ?1, (1)Af 处的切线 l 与直线 4 3 3 0xy? ? ? 垂直，求实数 a 的值； （）若 ( ) 0fx? 恒成立，求实数 a 的取值范围； （）证明： ? ?1 1 1l n ( 1 ) 2 3 1n n Nn ? ? ? ? ? ?. 6 高二文科数学
11、参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题列出的四个选项中，只有一项最符合题意） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A B B B C C D B C D A 二、填空题 (共 4个小题，每小题 5分，计 20分 ) 13. 1 ； 14.4? ； 15. 8 ； 16. ? ? )2(34)1(71 nnnann三、解答题（共 6小题，计 70 分解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分 12 分） 解： （）设 ABC 角 ,ABC 的对边分别是 , , .abc 由 1 sin 32b
12、c ? ? 及 2 3 cos 6bc ?得 1 t a n 3 , ,43? ? ? ? ? ?（）经化简 ? ? 1 2 s in 24f ? ? ?5, , 2 ,4 3 4 4 1 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?又 sinyx? 在 5,4 12?上是增函数，当 2 44?即 4? 故：当 4? 时， ? ?min 2.f ? ? 18（本小题满分 12分） 解：（） 1n? 时， 0 1 1 12 3, 3a S a? ? ? ? ?; 1 1 232 , 2 6 , 2n n n n n nn a S S a? ? ? ? ? ? ? ? ?
13、?时 23 ( 1 )3 ( 2 )2nnna n? ? ?通 项 公 式 （ ） 当 1n? 时，1 2 1113 lo g 1 3 , 3bT b? ? ? ? ? ?； 2n? 时，2 23( 3 l o g ) ( 1 )32n nb n n n? ? ? ? ? ?， ? 1nb1( 1)nn? ? 7 ? nT?121 1 1 1 1 13 2 3 3 4nb b b? ? ? ? ? ? ? ?1( 1)nn? 5161n? ? 19（本小题满分 12分） （）证明：连接 AC ， 取 AB 的中点 E ，连接 SE 、 EC ， 2SA SB?， SE AB?， 2AB? ，
14、1SE?， 又四棱锥 BCDSA? 的底 面为菱形 ,且 60ABC? ， ABC? 是等边三角形， 2AB? 3CE?， 又 2SC? ， 2 2 2SC CE SE? ? ?， SE EC?， EABCE ? SE?面 ABCD A B C DS A BS A BSE 面面面 ? （） SACPV? = PACSV? = DACSV? - DACPV? = DACSV?21 = 6312433121 2 ? 20（本小题满分 12分） 解： ( )由题设可知，第 3 组的频率为 0.06 5 0.3? ， 第 4 组的频率为 0.04 5 0.2? ， 第 5 组的频率为 0.02 5 0
15、.1? ( )第 3 组的人数为 0.3 100 30?， 第 4 组的人数为 0.2 100 20?， 第 5 组的人数为 0.1 100 10? 因为第 3 ， 4 ， 5 组共有 60 名学生， 所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生，每组抽取的人数分别为： 第 3 组： 30 6360? ， 第 4 组： 20 6260? ，第 5 组： 10 6160? 所以第 3 ， 4 ， 5 组分别抽取 3 人， 2 人， 1人 ( )设第 3 组的 3 位同学为 1A ， 2A ， 3A ， 第 4 组的 2 位同学为 1B ， 2B ，第 5 组的 1位同学为 1C 则从六位同
16、学中抽两位同学有： 1 2 1 3 1 1 1 2 1 1( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) ,A A A A A B A B A C 2 3 2 1 2 2 2 1( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) ,A A A B A B A C3 1 3 2 3 1( , ), ( , ), ( , )A B A B A C 1 2 1 1 2 1( , ), ( , ), ( , ),B B B C B C共 15种可能 其中第 4 组的 2 位同学为 1B ， 2B 至少有一位同学入选的有： 1 1 1 2 2 1 2 2( , ) ,
17、 ( , ) , ( , ) , ( , ) ,A B A B A B A B 3 1 1 2 3 2 1 1 2 1( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) ,A B B B A B B C B C共 9 种可能， 所以第 4 组至少有一名学生被甲考官面试的概率为 93155? 20. （本小题满分 12 分） 8 解：（ I）由题意知 3,22,caa? ? ?解之得； 2, 3ac?， 由 2 2 2c a b?得 b=1， 故椭圆 C方程为 2 2 14x y?; （ II） 设 ? ? ? ? ? ?0,2,s i n,c o s2,s i n,c o s2 ? TNM ? ? ? ? ? 3c o s8c o s5s i n,c o s22s i n,c o s22 2 ? ?TNTM 5153,58,54c o s5154c o s52 ? ? ? 最小时 TNTMM?此时 513?r 圆 T 的方程为 ? ? 25132 22 ? yx ( )设 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? s i n,c o s2,s i n,c o s2,s i n,c o s2,0,0, ?N
