1、 - 1 - 重庆市沙坪坝区虎溪镇 2016-2017 学年高二数学下学期期中试题 文 一、选择题 (本 大题共 12 小题， 共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .) 1.复数 )1( iiz ? （ i 是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为（ ） A. )1,1(? B. )1,1( ? C. )1,1(? D. )1,1( 2. 曲线 23 3xxy ? 在点 ），（ 21 处的切线方程为 ( ) A. 53 ? xy B. 13 ? xy C. 53 ? xy D. xy 2? 3.已知点 A 的直角坐标为 ? ?21,21,则 它的极坐标为（ ） A.
2、 ? 4,22 ? B. ? 43,22 ? C. ? 47,22 ? D. ? 45,22 ? 4.运用三段论推理：复数不可以比较大小（大前提）， 2015 和 2016 都是复数（小前提）， 2015 和 2016不能比较大小（结论） .以上推理（ ） A. 结论正确 B.小前提错误 C.推理形式错误 D. 大前提错误 5.下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x (吨 )与相应的生产能耗 y （吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，可求出 y 关于 x 的线性回归方程 35.07.0 ? xy ，则表中 m的值为 ( ) x 3 4 5 6 y 2.5 m 4 4.5
3、A. 15.3 B.3 C. 4 D. 5.4 6.在两个变量 y 与 x 的回归模型中，分别选择了 4 个不同模型，它们的相关指数 2R 如下，其中拟和效果最好的模型是（ ） A.模型 1 的相关指数 2R 为 0.25 B.模型 2 的相关指数 2R 为 0.50 C.模型 3 的相关指数 2R 为 0.98 D.模型 4 的相关指数 2R 为 0.80 7. 函数 xxxxf s i nc o)( ? 的 导 函 数 的 部 分 图 象 为 （ ） - 2 - A B C D 8 若曲线 mxxxxf ? 2331)( 的所有切线中，只有一条与直线 03?yx 垂直，则实数 m 的值等于
4、（ ） A. 2 B. 0 C. 0 或 2 D. 3 9. )1,1(12)( 3 ? kkxxxf 在区间上不是单调函数，则实数 k 的取值范围 ( ） A 3113 ? kkk 或或 B 22 ? k C 3113 ? kk 或 D不存在这样的实数 k 10.把数列 ?na 的各项 按顺序排列成如图所示的三角形状，记 ),( nmA 表示第 m 行的第 n 个数，若2014),( anmA ? ，则 ?nm （ ） ?984731625 aaaaaaaaa A.122 B.125 C.124 D.123 11.已知二次函数 2()f x ax bx c? ? ?的导数为 ()fx， (0
5、) 0f ? ，对于任意实数 x 都有 ( ) 0fx? ，则 (1)(0)ff的最小值为（ ） A 2 B 52 C 3 D 32 12.已知定义在 R 上的奇函数 )(xf ，其导函数为 )( xf ，对任意正实数 x 满足 )(2)( xfxxf ? ，若 )()( 2 xfxxg ? ，则不等式 )31()( xgxg ? 的解集是（） A . ? ?,41B. ? ? 41,C. ? 41,0D. ),41()41,( ? 二、填空题 (本大题共 4 小题，共 20 分 ) - 3 - 13. 已知复数iiz ? 3 31， _z 是 z 的共轭复数，则 _z 的模等于 . 14.极
6、坐标系中，直线 3? ? ?R? 与圆 2? 的公共点个数是 15.下图是某算法的程序框图，则程序运 行后输出的结果是 _ 16.若定义在 ? ?ba, 上的函数 13)( 23 ? xxxf 的值域为 ? ?1,3? ，则 ab? 的最大值是 _. 三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分 ，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .) 17.( 本小题满分 10 分 ) 复数 z 满足 1?z ，且 0122 ? zzz ,求 z . 18.(本小题满分 12 分 ) 为了了解篮球爱好者小李投篮命中率与打篮球时间之间的 关系，记录了小李第 i 天打篮球的时间 ix（ 单 位 ： 小
7、时 ） 与 当 天 投 篮 命 中 率 iy 的 数 据 ， 其 中 5,4,3,2,1?i . 算得：? ? ? 51 2515151 ,55,6.7,5.2,15 i ii iii ii i xyxyx . （）求投篮 命中率 y 对打篮球时间 x 的线性回归方程 ? ? axby ； （）若小李明天准备打球 5.2 小时，预测他的投篮命中率 . - 4 - 附：线性回归方程 ? ? axby 中 _122_1_, xbyaxnxyxnyxb niiniii ? ?，其中 _,yx 为样本平均数 . 19.（ 本小题满分 12 分 ） 设函数 32( ) 2 3 3 8f x x a x
8、b x c? ? ? ?在 1x? 及 2x? 时取得极值 （）求 ba, 的值； （）若对于任意的 03x?， ，都有 2()f x c? 成立，求 c 的取值范围 20.（ 本小题满分 12 分）选修 54? ：不等式选讲 设对于任意实数 x ，不等式 mxx ? 17 恒成立 （ ）求 m 的取值范围； （）当 m 取最大值时，解关于 x 的不等式： 12223 ? mxx - 5 - 21.( 本小题满分 12 分 ) 选修 44? ：坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是 1? ，以极点为原 点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为 ttytx(2
9、3221?为参数）。 （）写出直线 l 与曲线 C 的直角坐标方程； （）设曲线 C 经过伸缩变换?yy xx 2 得到曲线 C ，设曲线 C 上任一点为 ),( yxM ，求 yx 32?的最小值 . 22.（ 本小题满分 12 分）已知函数 exaxgexxf (ln2)(,)( 2 ? 为自然对数的底数） （）求 )()()( xgxfxF ? 的单调区间，若 )(xF 有最值，请求出最值； （）是否存在正常数 a ，使 ( ) ( )f x g x与的图象有且只有一个公共点，且在该公共 点处有共同的切线？若存在，求出 a 的值，以及公 共点坐标和公切线方程；若不存在，请说明理由 . -
10、 6 - 数学试题（ 文）答案 一、选择题 (本大题共 12 小题，共 60 分 ) ABCDB CDACD AB 二、填空题 (本大题共 4 小题，共 20 分 ) 13、 1 14、 2 15、 33 16、 4 三、解答题 (本大题共 6 小题， 共 70 分 ) 17.解：由题意可知： ? sincos iz ? 则 ? c o ss in2s inc o s 222 iz ? ? sin2cos22 iz ? ? sincos1 iz ? 0)s i nc o ss i n2()c o s32( c o s122 ? izzz ? ? ? ? 0s inco ss in2 0co s
11、32co s ? ?若 0sin ? 则 12cos ? ，由 0cos32cos ? ? 得 1cos ? ， 1?z 若 21cos ? ，则 212cos ? 0cos32cos ? ? 得 iz 2321 ? 1?z 或 iz 2321 ? 18.解 （ ）由题意知： 于是： 故：所求回归方程为 （ ）将 带入回归方程可以预测他的投篮命中率为 19解：（ 1） 2( ) 6 6 3f x x ax b? ? ? ?， 因为函数 ()fx在 1x? 及 2x? 取得极 值，则有 (1) 0f? ? ， (2) 0f? ? - 7 - 即 6 6 3 024 12 3 0abab? ? ?
12、 ? ? ? ， 解得 3a? ， 4b? （ 2）由（）可知， 32( ) 2 9 1 2 8f x x x x c? ? ? ?， 2( ) 6 1 8 1 2 6 ( 1 ) ( 2 )f x x x x x? ? ? ? ? ? ? 当 (01)x? ， 时， ( ) 0fx? ? ； 当 (12)x?， 时， ( ) 0fx? ? ； 当 (23)x? ， 时， ( ) 0fx? ? 所以，当 1x? 时， ()fx取得极大值 (1) 5 8fc? ，又 (0) 8fc? ， (3) 9 8fc? 则当 ? ?03x? ， 时， ()fx的最大值为 (3) 9 8fc? 因为对于任意
13、的 ? ?03x? ， ，有 2()f x c? 恒成立， 所以 298cc?， 解得 1c? 或 9c? ， 因此 c 的取值范围为 ( 1) (9 )? ? ?， ， 20.（ 1）设 ，则有 当 时 有最小值 8 当 时 有最小值 8 当 时 有最小值 8 综上 有最小值 8 所以 （ 2）当 取最大值时 原不等式等价于： 等价于： 或 等价于： 或 所以原不等式的解集为 21.解：（ 1） （ 5 分） - 8 - （ 2） 代入 C 得 设椭圆的参数方程 为参数） 则 则 的最小值为 -4。 22. 解：（ 1） 32 2 2 ( )( ) ( ) ( ) ( 0 )x a x e
14、aF x f x g x xe x e x? ? ? ? ? ? ? ? 当 0 , ( ) 0a F x?时 恒成立 ( ) (0, )Fx ?在 上是增函数， ()FxF 只有一个单调递增区间（ 0， -），没有最值 当 0a? 时， 2 ( ( )( ) ( 0 )x e a x e aF x xex?， 若 0 x ea? ，则 ( ) 0 , ( ) (0 , )F x F x ea? ? 在上单调递减； 若 x ea? ，则 ( ) 0 , ( ) ( , )F x F x ea? ? ?在上单调递增， x ea?当 时， ()Fx有极小值，也是最小值， 即 m i n( ) (
15、) 2 ln lnF x F e a a a e a a a? ? ? ? ? 所以当 0a? 时， ()Fx的单调递减区间为 (0, )ea 单调递增区间为 ( , )ea? ，最小值为 lnaa? ，无最大值 （ 2）方法一，若 ()fx与 ()gx 的图 象有且只有一个公共点， 则方程 ( ) ( ) 0f x g x?有且只有一解，所以函数 ()Fx有且只有一个零点 由（ 1）的结论可知 m in( ) ln 0 1F x a a a? ? ? ?得 此时， 2( ) ( ) ( ) 2 ln 0xF x f x g x xe? ? ? ? ?m in( ) ( ) 0F x F e?
16、( ) ( ) 1 , ( ) ( )f e g e f x g x? ? ? ? 与的图象的唯一公共点坐标为 ( ,1)e - 9 - 又 2( ) ( )f e g ee?( ) ( )f x g x? 与的图象在点 ( ,1)e 处有共同的切线， 其方程为 21 ( )y x ee? ? ?，即 2 1yxe?综上所述 ，存在 a 1? ，使 ( ) ( )f x g x与 的图象有且只有一个公共点 ( ,1)e ，且在该点处的公 切线方程为 2 1.yxe?方法二：设 ()fx与 g(x) 图象的公共点坐标为 00( , )xy ， 根据题意得? ? )()( )()(0000 xfxf xgxf 即200002 ln2 2x axex aex? ? ?由得 20xa e? ，代入得021ln ,2x x e? ? ? 从而 1a? 此 时 由（ 1）可知 m in( ) ( ) 0F x F e? 0x x e? ? ?当 且 时， ( ) 0, ( ) ( )F x f x g x?即 因此除 0xe? 外，再没有其它 0x ，使 00( ) ( )f x g x? 故存在 1a? ，使 ( ) ( )f x g x与 的图象有且只有一个公共点，且在该公共 点处有共同的切线 ，易求得公共点坐标为 ( ,1)e ，公切线方程为 2 1yxe?
