1、求函数的极值求函数的极值 求函数求函数y yx x3 31212x x的极值的极值 分析首先从方程f(x)0求在函数f(x)定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值解解f(x)3x2123(x2)(x2)，令f(x)0，解得x2或x2.当f(x)0时，x2或x2；当f(x)0时，2x2.故当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)-2(2，2)2(2，+)f(x)+0 -0 +f(x)单调递增 16单调递减-16单调递增因此，当x2时，f(x)有极大值为16；当x2时，f(x)有极小值为f(2)16.规律总结规律总结求可导函数f(x)极值的步骤
2、：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f(x)；(3)求方程f(x)0的根；(4)检验f(x)在方程f(x)0的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近f(x)0，右侧附近f(x)0，那么函数yf(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近f(x)0，右侧附近f(x)0，那么函数yf(x)在这个根处取得极小值变式训练变式训练1 1 求函数f(x)x2ex的极值【解析解析】函数的定义域为R R，f(x)2xexx2exx(x 2)ex.令f(x)0，解得x2或x0.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)-2(2，0)0(0，+)f(x)+0 -0 +f(x)单调递增 4e-2
3、单调递减 0单调递增因此，当x2时，f(x)有极大值f(2)4e2；当x0时，f(x)有极小值f(0)0.利用函数极值求参数的问题利用函数极值求参数的问题 已知函数f(x)ax3bx23x在x1处取得极值，试讨论f(1)和f(1)是函数的极大值还是极小值分析分析本题考查函数极值的概念，考查运用导数研究函数性质的方法首先借助极值点求出函数的解析式，再利用导数求出函数的极值解解 f(x)3ax22bx3.依题意得f(1)f(1)0，即 解得f(x)x33x，f(x)3x233(x1)(x1)令f(x)0，得x1或x1.若x(，1)(1，)，则f(x)0，f(x)在(，1)和(1，)上是增函数，若x
4、(1,1)，则f(x)0，f(x)在(1,1)上是减函数f(1)2是极大值，f(1)2是极小值03230323baba10ab规律总结规律总结注意多项式可导函数的极值点与导数为零的根之间关系的应用 变式训练变式训练2 2 设函数设函数f f(x x)2 2x x3 33 3axax2 23 3bxbx8 8c c在在x x1 1及及x x2 2时取得极值时取得极值 (1)(1)求求a a、b b的值；的值；(2)(2)若对于任意的若对于任意的x x0,30,3，都有，都有f f(x x)c c2 2成立，求成立，求c c 的取值范围的取值范围【解析解析】(1)f(x)6x26ax3b，函数f(
5、x)在x1及x2时取得极值，f(1)0，f(2)0，即 解得a3，b4.0366031224baba(2)由(1)可知，f(x)2x39x212x8c，f(x)6x218x126(x1)(x2)当x0,1)时，f(x)0；当x(1,2)时，f(x)0；当x(2,3时，f(x)0.当x1时，f(x)取得极大值f(1)58c.又f(0)8c，f(3)98c，当x0,3时，f(x)的最大值为f(3)98c.对于任意的x0,3，有f(x)c2恒成立，98cc2，解得c1或c9，c的取值范围为(，1)(9，)求函数的最值求函数的最值 已知函数f(x)2x312x，求函数在1,3上的最值分析分析通过求导，
6、令f(x)0，找到函数的极值点，将极值与端点处的函数值相比较，来求最值函数f(x)的单调增区间是(，)，(，)f(1)10，f()8，f(3)18，f(x)在1,3上的最大值是f(3)18，最小值是f()8 解解 2261262xxxxf22列表如下：2222规律总结规律总结求可导函数在a，b内的最大值和最小值的步骤：(1)求函数f(x)在(a，b)内的极值；(2)求f(x)在区间端点的值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值变式训练变式训练3 3 已知函数f(x)xlnx，求f(x)在区间1，e上的值域，其中e2.
7、718 28是自然对数的底数【解析解析】令f(x)0，得x1.f(1)1，f(x)在(1，)上递增，f(x)maxf(e)e1.f(x)在区间1，e上的值域为1，e1xxf11 导数的综合应用导数的综合应用(12分)两县城A和B相距20 km.现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧AB上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城A与对城B的影响度之和记C点到城A的距离为xkm，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y.统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比；比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B
8、的距离的平方成反比，比例系数为k.当垃圾处理厂建在弧AB的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.(1)将y表示成x的函数；(2)讨论(1)中函数的单调性，并判断弧AB上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由 分析分析(1)总影响度y为C厂对城A和对城B影响度之和，所以分别表示出C厂对城A和对城B的影响度从而求出函数表达式(2)求函数的最小值 解解(1)当点C在弧AB中点时，|AC|10 ，C厂对城A影响度为 ；|BC|10 ，C厂对城B影响度为 2分 0.065，解得k9 4分 5分22004200k2004009
9、422xxxy2200k2004令f(x)0，得9x44(400 x2)2,3x22(400 x2)，x4 10分又f(x)在(0,4 )上递减，在(4 ，20)上递增在弧AB上存在一点C，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响小该点到城A的距离为4 km.12分 2004009422xxxxfy 223400188xxxxf10(2)由(1)得 8分1010规律总结规律总结建立函数模型，确定等量关系是关键，等量关系建立一般有三条途径：一是题目本身已经给出等量关系，如本题；二是从已学过的数学公式得等量关系三是生活实践中得到等量关系，如利润销售额成本变式训练变式训练4 4 (12分)(201
10、0陕西高考)已知函数f(x)，g(x)alnx，aR R.(1)若曲线yf(x)与曲线yg(x)相交，且在交点处有共同切线，求a的值和该切线方程；(2)设函数h(x)f(x)g(x)，当h(x)存在最小值时，求其最小值(a)的解析式 x两条曲线交点坐标为(e2，e)，切线的斜率为 ，切线方程为 ，即 .【解析解析】由已知 解得a ，xe2，221exeeyexey2121 0lnxxaxxh xaxxaxxh2221(2)由条件知：当a0时，令h(x)0，得x4a2，当0 x4a2时，h(x)0，h(x)在(0,4a2)上递减；当x4a2时，h(x)0，h(x)在(4a2，)上递增x4a2是h
11、(x)在(0，)上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点最小值(a)h(4a2)2aaln4a22a(1ln2a)当a0时，h(x)在(0，)上递增，无最小值故h(x)的最小值为(a)2a(1ln2a)(a0)022xaxxh1利用导数求函数极值的主要步骤：求f(x)解方程f(x)0判断f(x)在各根左右两侧的符号，进一步确定函数的极值，如果在点x0两侧的单调性相反，则x0为极值点，否则它不是极值点2可导函数的极值点一定是导数为零的点，导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，其充分条件是该点两侧的导数异号3利用导数解决实际问题的一般步骤：(1)分析实际问题中的各变量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系yf(x)；(2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0；4三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)，f(x)3ax22bxc.(1)f(x)存在极值4b212ac0，不存在极值0.(2)a0且0时图象是“N”型曲线，a0时是“倒N”型曲线(3)对称中心是.abfab3,3
