1、 1 福州市八县（市）协作校 2016 2017学年第一学期期末联考 高二理科数学试卷 【完卷时间： 120分钟 满分： 150分】 第卷（选择题 共 60分） 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分， 共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.双曲线 22110 2xy?的焦距为 （ ） A 23 B 24 C 32 D 34 2. “ 2 1x? ”是“ 1x? ”的（ ） 条件 A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要 3. 已知向量 ? ? ? ?2 , 4 , 5 , 3 , ,a b x y?分别是直线 12,ll的方向向量，若
2、 12/ll，则 ( ) A 6, 15xy? B 153, 2xy? C 3, 15xy? D 156, 2xy? 4. 对抛物线 2 4xy? ，下列描述正确的是（ ） A. 开口向上，焦点为 (0,1) B. 开口向上，焦点为 1(0, )16 C. 开口向右，焦点为 (1,0) D. 开口向右，焦点为 1( 0)16， 5. 下列有关命题的说法正确的是（ ） A命题“若 2 1, 1xx?则 ” 的否命题为： “ 若 2 1, 1xx?则 ” B“ 1x ? ” 是 “ 2 5 6 0xx? ? ? ” 的必要不充分条件 C命题 “ 2, 1 0x R x x? ? ? ? ?使 得
3、” 的否定是： “ 2, 1 0x R x x? ? ? ? ?均 有 ” D命题 “ 若 , sin sinx y x y?则 ” 的逆否命题为真命题 6.已知两点 )0,1(1 ?F ， )0,1(2F ， 且 21FF 是 1PF 与 2PF 的等差中项，则动点 P 的轨迹方程是 （ ） A 1916 22 ? yxB 11216 22 ? yxC 134 22 ? yxD 143 22 ? yx2 7.如图，在正方体 ABCD A B C D? ? ? ? 中， E 为 AC?的中点，则异面直线 CE与 BD 所成的角为 （ ） A 6? B 4? C 3? D 2? 8.斜率为 1的
4、直线经过抛物线 2 4yx? 的焦点，且与抛物线相交于 A,B两点 ,则 AB =（ ） A. 8 B. 6 C. 12 D. 73 9.在四面体 O ABC-中，点 P为棱 BC的中点 . 设 OA a? , OB b? ， OC c? ，那么向量 AP用基底 ? ?,abc 可表示为（ ） （ A） 1 1 12 2 2a b c? ? ? （ B） 1122a b c? ? ? （ C） 1122a b c? （ D） 1 1 12 2 2a b c? 10. 下列三图中的多边形均为正多边形，分别为正三角形、正四边形、正六边形， A 、 B 是多边形的顶点，椭圆过 ）和 BA( 且均以图
5、中的 21 FF、 为焦点，设图、中椭圆的 离心率分别为 321 eee 、 ，则（ ） A 321 eee ? B. 213 eee ? C. 321 eee ? D. 231 eee ? 11. 设 1F 、 2F 是双曲线 22 14yx ?的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点 P，使22( ) 0OP OF F P? ? ?（ O 为坐标原点）且 1|PF ? 2|PF 则 ? 的值为（ ） A 21 B 2 C 31 D 3 12如右图，在四棱锥 ABCDP? 中，侧面 PAD 为正三角形，底面 ABCD 为正方形，侧面 ABCDPAD 面? ， M 为底面 ABCD 内的一个动
6、点，且满足 MCMP? ，则点 M 在正方形 ABCD 内的轨迹为下图中的（ ） O A B C P 3 第卷 （非选择题，共 90分） 二、填空题：本大题共 4小题 ,每小题 4分 ,共 16分 ,把答案填在答题卡相应横线上 . 13 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 ， 已知 (2, 1,3)=-a ， ( 4,2, )x=-b . 若 ab，则x= . 14过双曲线22 13yx ?的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于 A ， B两点，则AB? 15 有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖”，乙说“甲、丙都未获奖”
7、，丙说”我获奖了”，丁说“是乙获奖”。四位歌手的话只有两位是真的，则获奖的歌手是 _. 16在直角坐标系内，点 ),( yxA 实施变换 f 后，对应点为 ),(1 xyA ，给出以下命题： 圆 )0(222 ? rryx 上 任 意 一 点 实 施 变 换 f 后 ， 对 应 点 的 轨 迹 仍 是 圆)0(222 ? rryx ； 若直线 bkxy ? 上每一点实施变换 f 后，对应点的轨迹方程仍是 ,bkxy ? 则 1?k ； 椭圆 )0(12222 ? babyax 上每一点实施变换 f 后，对应点的轨迹仍是离 心率不变的椭圆； 曲线 C ： )0(122 ? xxxy 上每一点实施
8、变换 f 后，对应点的轨迹是曲线 1C ， M是曲线 C 上的任意一点， N 是曲线 1C 上的任意一点，则 MN 的最小值为423. 以上正确命题的序号是 （写出全部正确命题的序号） . 4 三、解答题 :本大题共 6小题，共 74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17（ 12 分） 已知椭圆 C ： 223 12xy?，直线 20xy? ? ? 交椭圆 C 于 ,AB两点 . （）求椭圆 C 的焦点坐标及长轴长； （）求以线段 AB 为直径的圆的方程 . 18（ 12 分） 已知命题 p ：方程 112 22 ? mymx表示焦点在 y轴上的椭圆 ，命题 q ：双曲线15 22
9、 ? mxy 的离心率 )2,1(?e ，若 qp, 只有一个为真，求实数 m 的取值范围 5 19（ 12分） 如图，在四棱锥 S ABCD? 中，底面 ABCD 是直角梯形， AB 垂直于 AD 和 BC ，侧棱 SA ABCD?底 面 ，且 2 , 1SA AB BC AD? ? ? ? （ 1）求四棱锥 S ABCD? 的体积； （ 2）求点 B 到平面 SCD 的距离。 20（ 12 分） 平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点为双曲线1322 ?yx 的右顶点 求抛物线 C 的方程； 经过已知双曲线的左焦点作抛物线 C 的切线，求切线方程 21（ 12 分）
10、 如图 1， ABC? 是边长为 6 的等边三角形， E ， D 分别为 AB ， AC 靠近 B ，C 的三等分点，点 G 为 BC 边的中点，线段 AG 交线段 ED 于 F 点，将 AED? 沿 ED 翻折，使平 面 AED 平面 BCDE ，连接 AB ， AC ， AG 形成如图 2 所示的几何体 ( ) 求证： BC 平面 AFG ； ( ) 求二面角 B AE D?的余弦值 6 22（ 14分） 椭圆 ? ?22: 1 0xyC a bab? ? ? ?的离心率 3 ,32e a b? ? ?. (1)求椭圆 C 的方程； (2)如图所示， A、 B、 D 是椭圆 C 的顶点，
11、P 是椭圆 C 上除顶点外的任意一点，直线 DP 交 x轴于点 N，直线 AD交 BP于点 M，设 BP的斜率为 k， MN的斜率为 m.证明： 2m k为定值 7 参考答案 一、选择题 1、 D 2、 B 3、 D 4、 A 5、 D 6、 C 7、 D 8、 A 9、 B 10、 C 11、 B 12、 A 二、填空题 13、 103 14、 43 15、丙 16、 三、解 答题 17、 解：（）原方程等价于 2214 12xy?. 由方程可知： 2 12a? ， 2 4b? ， 2 2 2 8c a b? ? ? ， 22c? . ? 3分 所以 椭圆 C 的焦点坐标为 (0,2 2)
12、， (0, 2 2)? ，长轴长 2a 为 43.? 6分 （）由 223 1220xyxy? ? ? ? ? ，可得 : 2 20xx? ? ? . 解得： 2x? 或 1x? . 所以 点 ,AB的坐标分别为 (2,0) ， ( 1, 3)? . ? 8分 所以 ,AB中点坐标为 13( , )22? ， 22| | ( 2 1 ) (0 3 ) 3 2AB ? ? ? ? ?. ? 10分 所以 以线段 AB 为直径的圆的圆心坐标为 13( , )22? ，半径为 322. 所以 以线 段 AB 为直径的圆的方程为 221 3 9( ) ( )2 2 2xy? ? ? ?. ? 12 分
13、 18、若 P真，则 1 2 0mm? ? ? ，解得 10 3m? 3分 若 q真，则 5145m? ，解得 0 15m? 6分 若 p真 q假，则 10 30 15mmm? ? ? 或，解集为空集；? ? 8分 p假 q真，则 10 30 15mmm? ? ?或 ，解得 1531 ?m ? 10 分 故 1531 ?m ? 12分 8 19、 解：（ 1） 1 1 2 2 2 232S A B C DV ? ? ? ? ? ? 5分 （ 2）法一： , , , ,A A D A B A S x y z如 图 以 为 原 点 ， 所 在 线 为 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ( 0
14、 , 0 , 0 ) , ( 0 , 2 , 0 ) , ( 2 , 2 , 0 ) , (1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 0 , 2 )A B C D S ? 7分 设平面 SCD 的法向量为 ? ?,n abc? 则 2 2 2 020a b cac? ? ? ?取 ? ?2, 1,1n? ? 9分 因为， ? ?2,0,0BC? 所以， 点 B 到平面 SCD 的距离 ? ? ? 2222 2 1 0 1 0 2632 1 1B C nhn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12分 法二：设 点 B 到平面 SCD 的距离为 h ， 11 2 2 222B C DS B
15、C A B? ? ? ? ? ? 142233S BCDV ? ? ? ? ?三 棱 锥 ? 9分 易知， 5 , 5 , 2 3D C SD SC? ? ? 所以， 1 2 3 2 62SCDS ? ? ? ?因为， S BCD B SCDVV?三 棱 锥 三 棱 锥 所以， 14633h? ? ? ，所以， 263h? ? 12分 20、解：依题意，设抛物线 C 的方程为 pxy 22 ? ? 1分 12?p ? 3分， 所以 2?p ，抛物线 C 的方程为 xy 42? ? 5分 双曲线 1322 ?yx的左焦点为 )0 , 2(?F ? 6分 显然 2?x 不是 抛物线 C 的切线，设
16、所求切线为 )2( ? xky ? 8分 由? ? )2(42 xky xy 及 0?k 得， )2(42 ? kyy 9 0842 ? yky ，依题意 084)4( 2 ?k ? 8分，解得 22?k ? 11 分 切线方程为 )2(22 ? xy? 12 分 21、解：（）证明：在图 1中，由 ABC是等边三角形， E， D分别为 AB， AC 的三等分点，点 G为 BC边的中点， 则 DE AF， DE GF， DE BC. 在图 2中，因为 DE AF， DE GF， AF FG F，所以 DE平面 AFG. 又 DE BC，所以 BC平面 AFG. ? 6分 ( )解：因为平面 AED平面 BCDE，平面 AED平面 BCDE DE， AF DE， 所以， AF? 平面 BCDE 又因为 DE GF， 所以 FA， FD， FG 两两垂直 ? 7分 以点 F为坐标原点，分别以 FG， FD， FA所在的直线为 x， y， z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 F xyz.则 A(0， 0， 2 3)， B( 3， 3， 0)， E(0， 2， 0)， 所以 AB ( 3， 3， 2 3)， BE ( 3， 1， 0) 设平 面 ABE的法向量为 n (x， y
